CC BY
81
УДК 551.466.3
Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2005, вып. 4
А. В. Бухановский, Л. Я. Лопатухин, £. С. Чернышева
ПОДХОДЫ, ОПЫТ И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ВОЛНОВОГО КЛИМАТА ОКЕАНОВ И МОРЕЙ. II. Расчет волнения по гидродинамическим моделям, режимные распределения и климатические спектры волн
Введение. Современные гидродинамические методы расчета волнения базируются на численном решении уравнения баланса волновой энергии в спектральной форме [1,2]
dN dN . dN А dN ; cN д cN . ^
— +—ф + —9 +—к +—{3 + — o = (j, (1)
Sr Sep Э6 ЭА Э[3 5со
где 7V - спектральная плотность волнового действия. Она является функцией от широты ср, долготы 6, волнового числа к и угла (5 между направлением волнового вектора и параллелью, а также от частоты со и времени /. Спектральная плотность волновой энергии S = 5(®, В) зависит от плотности волнового действия [3):
Л;
(2)
Эсо
Уравнение баланса волновой энергии связывает между собой явления поступления энергии от ветра, ее адвекции из других районов, диссипации и перераспределения за счет нелинейного взаимодействия между частотными составляющими процесса волнения. В общем виде функция источника G в (1) записывается в виде суммы трех компонент
G = Gin + Gnl + Gds, (3)
в которой Gin определяет механизм поступления энергии от ветра к волнам; Gds оценивает диссипацию волновой энергии; Gn! описывает слабонелинейное взаимодействие в спектре ветрового волнения.
Существующие в настоящее время модели волнения в спектральной форме различаются в основном формой представления функции источника (3) и методами численной реализации решения уравнения (1). Исходя из степени детализации, все модели в принципе можно разделить на три большие группы: интегральные (или I поколения), спектральные параметрические (TI поколения), спектральные непараметрические (III и IV поколений).
К интегральным моделям, в частности, относятся полу эмпирические соотношения между скоростью ветра и элементами видимых волн, принятые в различных руководствах по расчету волнения, «Строительных Нормах и Правилах» (СНиП). Параметрические спектральные модели (впервые были предложены Клаусом Хассельманом) основаны на сведении уравнения (1) путем подстановки аппроксимативного выражения для S = S(co,$) к системе более простых дифференциальных уравнений в частных производных относительно параметров спектра. Обзор существующих параметрических моделей можно найти в ряде публикаций (см., например, [3]). Основное преимущество параметрических моделей состоит в их малой ресурсоемкости и быстроте реализации расчетов. По этой причине они до недавнего времени достаточно широко использовались, особенно в прикладных задачах. Однако по мере развития информационных технологий и вычислительной техники параметрические модели постепенно отживают свой век; по-видимому, в будущем их уделом станет исключительно экспресс-анализ режима волнения. Помимо этого, недостатками параметрических моделей являются применение эмпирических соотношений между факторами волнообразования и параметрами спектра, неоднозначный учет волн зыби и использование наперед заданной аппроксимации формы спектра; вопросы ее адекватности не обсуждаются. Последнее обстоятельство из-за необходимости описания спектрального волнового климата существенно сужает область применимости параметрических моделей морского волнения.
Спектральные непараметрические модели основываются на непосредственном численном интегрировании (1) для сеточной функции S(e>/5p ■) , заданной для дискретных значений частоты 0) и направления Р (с этим связано
их альтернативное название - дискретные спектральные модели). В основном они отличаются степенью подробности описания нелинейных взаимодействий и применяемой численной схемой. В настоящее время фактически используются три модели, разработанные международными коллективами ученых: Wave Watch (WW), Wave
© А. В. Бухановский, Л. И. Лопатухин, Е. С. Чернышева, 2005
Model (WAM), а также Simulating Waves Near Shore (SWAN) - для мелководья. Модель Wave Watch разработана в США, остальные две - в Европе. Они находятся в свободном доступе и открыты для широкого круга пользователей Интернета. Спектральные непараметрические модели успешно применяются для диагноза и прогноза волнения в различных районах океанов, в том числе с оперативным усвоением данных наблюдений в спектральной форме. Например, модели WAM и Wave Watch употреблены для моделирования волн как в отдельных океанах, так и для всего Мирового океана с целью изучения долговременной изменчивости волнового климата. Кроме того, они позволяют решать различные прикладные задачи, в частности гидрометеорологического обеспечения работ по проектированию и эксплуатации гидротехнических сооружений на конкретных нефтегазоносных месторождениях. Результаты применения непараметрических моделей широко освещены в литературе (см., например, [4-6]). Вместе с тем необходимо учитывать мнение ряда исследователей, что модели, основанные на решении уравнения (Г), достигли пика своей эволюции и принципиально не улучшаемы [7]; кардинальный прорыв может быть получен лишь путем отказа от описания процесса волнения в терминах N(k,\3) в пользу более мелкомасштабных характеристик (например, огибающей волновых групп). Такое же мнение неоднократно высказывалось на ежегодных международных встречах специалистов, занимающихся численным моделированием волнения [8].
В табл. 1 перечислены районы Мирового океана, для которых нами выполнены расчеты волнового климата, а также определены характеристики расчетной области и вид использованной модели. Вопросы подготовки информационной базы полей ветра рассмотрены в ч. I статьи. На основании табл. 1 можно сделать вывод, что климатические расчеты морского волнения приводят к созданию огромных информационных массивов, существенно больших, чем входная информация - поля ветра Это объяснимо тем, что поле ветра в каждой точке в фиксированный момент времени представляется только двумя величинами - модулем |v| и направлением фу скорости, а поле волнения - сеточной функцией £(о), ,р7 ). В модели WW по умолчанию рекомендовано использовать / = 1,25 значений по частоте и у =1,24 - по направлению (через 15°), итого 600 величин. Причем расчеты выполняются для каждой точки за временной интервал не менее 30 лет каждые 3 или 6 ч. Такой период выбран в соответствии с рекомендациями Всемирной Метеорологической организации для учета возможной межгодовой изменчивости волнения. Окончательный объем данных зависит от размеров расчетной области и пространственного шага сетки. Например, для Баренцева моря в более чем 1200 морских точках через 6 ч за 30 лет информационный массив будет содержать примерно 3,15-1015 величин, что соответствует 52 млн частотно-направленных спектров.
Высокая мерность и большие объемы климатических массивов морского волнения, полученных путем гидродинамического моделирования, налагают особенные требования на представление и интерпретацию его статистических характеристик (или просто статистик). В настоящее время набор статистик, необходимых для решения
Таблица I. Акватории, для которых выполнен непрерывный расчет волнения, и основные
расчетные параметры
Акватория Годы Ф, град. А, град. Модель Шаг сетки
X У
Баренцево море 1970-1999 60-81 30 з.д.-бО в.д. WW-III, 1.18 0,5 град. 1,5 град.
Охотское море 1970-1995 35-65 135-165 То же 1,6 град. 0,75 град.
Черное море 1995-2000 40,9-46,5 27,5-42,7 0,19 град 0,15 град.
Каспийское море 1990-1995 36,5-47,2 46,3-55,6 0,19 град. 0,15 град.
Северное море 1983-1998 50—70 5 з.д.-10 в.д. WW-III, 2.22 15 морских миль 15 морских миль
Каспийское море 1948-2003 36,5-47,2 46,3-55,6 SWAN СЛII, v. 40.11, v. 40.31, v. 40.41 9 морских миль 9 морских миль
2001,2002 36,5-47,2 46,3-55,6 SWAN C.III, v. 40.31, v. 40.41 3 морские мили 3 морские мили
Сев. Каспий 1948-2003 42,98-47,2 46,3-55,6 SWAN C.III, v. 40.11, v. 40.31, v: 40.41 3 морские мили 3 морские мили
Окончание табл. I
Акватория Годы ф. град. А. град. Модель Шаг X сетки У
Азовское море 1989-1998 45-47,3 34,7-39,4 SWAN С.Ш, v. 40.11, v. 40.31 10 морских миль 10 морских миль
1979-1998 45-47,3 34,7-39,4 То же 3 морские мили 3 морские мили
1969,2004 45-47,3 34,7-39,4 2 морские мили 2 морские мили
Балтийское море 1979-2000 53,8-66,1 9-30 SWAN С.Ш, v. 40.11 10 морских миль 10 морских миль
Тазовская гу ба 1994—2003 67-71,5 72-77 SWAN С.Ш, v. 40.31 2 морские мили 2 морские мили
Ладожское озеро 1994-2003 29,93-32,97 59,9-61,77 SWAN С.Ш, v. 40.11 2 морские мили 2 морские мили
Черное море 1974-2004 40,9-46,5 27,5-42,7 SWAN С.Ш, v.40.31 10 морских миль 10 морских миль
задач обеспечения проектирования и эксплуатации сооружений на шельфе, а также для нужд мореплавания, подразделяются на оперативные и экстремальные. Первые определяют режим эксплуатации сооружений и судов, вторые - режим их выживания. Перечень основных статистик, используемых в прикладных исследованиях и частично требуемых руководящими документами, приведен в табл. 2..
Следует отметить, что табл. 2 не полна; решение некоторых специфических задач требует введения дополнительных статистик. Например, при расчете усталостных нагрузок на сооружения в перечень оперативных статистик включают количество волн, проходящих через данную точку в течение года. Страховые компании иногда
Таблица 2. Набор статистик по волнению, используемый при решении различных прикладных задач
i 1 Приложения
| Пункт j Статистики Буровые ! 1 Трубопро- Операции Проектиро-
установки | воды на шельфе вание судов
i Экстремальные статистики
; I 1 ^тсоть' волн возможные 1 раз в 1 5 10 25 50 и 100 лет _
! 2 Периоды и длины волн с вероятностью, указанной в п. 1 * * -
I 3 Высоты гребней волн с вероятностью, указанной в п. 1 + * *
i 4 Экстремумы из п. 1 3 с учетом направлений + + -
I 5 Спектры волн с вероятностью, указанной в п. 1 * * * +
(у Волноопасные направления, наиболее вероятное направ- + *
ление подхода экстремальных волн
7 Время роста и затухания волн в экстремальном шторме. & *
возможном 1 раз в 50 и 100 лет
Оперативные статистики
8 Повторяемость высот волн + -t- 1 + -
9 Повторяемость периодов волн + + -г +
10 Совместная повторяемость высот и периодов волн +
1 ] Повторяемость высот волн по направлениям -г -н *
12 Длительность штормов и «окон погоды» * - -
! 13 Климатические спектры + f * +
1 14 Характеристика волн зыби * + + *
i 15 Орбитальные скорости волн * + - -
Примечание.- - как правило, требуются: * - могут потребоваться; — не требуются.
запрашивают сведения о высоте волны, возможной 1 раз в 1000 и даже 10 ООО лет. Подходы к решению таких проблем кратко описаны в работах [9-11].
Методы и результаты расчета основных оперативных и экстремальных статистик Баренцева, Охотского и Каспийского морей приведены в справочнике морского регистра судоходства РФ [11]. Ниже рассмотрим ряд наиболее интересных методических подходов к определению и интерпретации оперативных характеристик волнения.
Статистическая интерпретация режимных распределений волнения. Обобщенной характеристикой волнового климата в однородном районе являются режимные или долгопериодные распределения. Анализ многочисленных натурных данных показывает, что одномерные распределения высот волн и периодов, как правило, описываются логарифмически нормальным законом распределения. Оно заложено в методику создания различных справочников, атласов и карт волнения океанов и морей. Подходы и методы расчета режимных одномерных распределений волн описаны в многочисленных публикациях, только перечисление которых заняло бы не одну страницу. Потому здесь рассмотрим одну из задач, связанную определением меры сходства-различия между районами пространственно-неоднородной акватории.
Обеспеченность режимного распределения высот волн Р(К) в различные месяцы (сезоны) разных лет может быть представлена как детерминированная функция ^(^Е) случайных аргументов (параметров) Е = 5 где к0 5 - медиана режимного распределения высот волн, а 5 - параметр формы. Величины Е = (/г05,5) имеют случайный характер в силу синоптической, сезонной и межгодовой изменчивости факторов волнообразования. Для формализованного описания меры различия между функциями Р(И,Е) и, следовательно, режима волнения используется аппарат дискриминантного анализа [12]. Дискриминация связана с процедурой получения одной или нескольких дискриминантных функций (ДФ), позволяющих отнести объект, характеризуемый набором из р дискриминантных переменных (ДП), к некоторому классу. Число ДП связано с количеством ц ДФ и общим числом g дискриминируемых классов (районов акватории): ц = гшп{^ р]. Потому, с точки зрения детализации описания режима волнения, вместо параметров Е = (/г05,5) лучше использовать набор = /^ 5 ехр[ер / $] из к~\,р характерных квантилей режимного распределения (например, 5-, 10-, 25-, 50-, 75-, 90- и 95%-ной обеспеченности). Здесь Ер, -
соответствующая квантиль стандартного нормального распределения.
Наиболее наглядно представление режимных распределений, характеризуемых наборами параметров Е или 2, в проекциях на канонические дискриминантные функции (КДФ)
Они имеют вид
/кт =Ы0 т + (4)
к
где 1к - вектор ДП, соответствующий к-му распределению, & = 1,я ; и0т, иы - коэффициенты, выбираемые из условия, чтобы средние значения для различных классов как можно больше отличались друг от друга и значения /кт были бы некоррелированы. Если ДП 2к соответствуют осям многомерного евклидова пространства, то каждый объект является точкой в этом пространстве; различающиеся классы могут быть представлены как скопление точек в некоторых областях рассматриваемого пространства. Соотношение (4) задает линейное преобразование пространства ДП в пространство ,КДФ так, чтобы обеспечить максимальное разделение классов.
В качестве ДП могут применяться не только параметры и квантили распределений, но и другие их вероятностные характеристики, например коэффициенты разложения годового
хода квантилей 2к в ряд Фурье. Такой подход удобно применять для дискриминации районов не только по интенсивности волнения в разные месяцы, но, например, по виду годового хода. На рис. 1, а приведен пример районирования Ладожского озера, разделенного на шесть районов - пять прибрежных и центральный. На рис. 1, б даны значения первых двух КДФ (/1/2), рассчитанных для характерных точек из всех 6 районов по данным из табл. 1. Следует отметить, что это представление можно считать достаточно информативным, поскольку первые две КДФ объясняют около 90% общей меры систематического сходства-различия (следовательно, только 10% может быть отнесено к случайным отличиям).
Рис. 1. Районирование Ладожского озера по режимному распределению высот волн (а) и его отображение на плоскость двух первых КДФ (б).
Объяснение в тексте.
Из рис. 1, б видно, что четкое различие заметно только между двумя группами районов: 2-4 (север-северо-запад-запад) и 1,5,6 (восток-юго-восток и центр). Это позволяет окончательно выделить только два основных района. Первый, умеренный, охватывает северный и западный участки прибрежной зоны Ладожского озера. Благодаря ограниченным разгонам с запада, вероятность появления сильного волнения в данном районе мала. Так, высота волн 3%-ной обеспеченности с режимной вероятностью 5% превышает 2,5 м только в зимние месяцы (при условии отсутствия лъда). Второй, штормоеитый, район включает в себя южный и восточный участки прибрежной зоны Ладожского озера. Из-за преобладания западного переноса и значительных разгонов в нем режим волнения сопоставим с центральной частью Ладожского озера. В осенний сезон (сентябрь-декабрь) в этом районе высота волн с режимной вероятностью 5% может превышать 3 м. Кроме того, видно, что на плоскости КДФ внутри каждой из групп облака точек, принадлежащих разным районам, могут пересекаться. Это является следствием того, что для данных расчетных точек различия, обусловленные межгодовой изменчивостью, более существенны, чем связанные с пространственной неоднородностью. Подробнее подходы к районированию на основе дискри-минантного анализа и результаты для других акваторий рассмотрены в работе [12].
Режимное распределение показывает вероятность совокупного состояния волнения более или менее некоторого значения и не содержит сведений о длительностях разных штормовых ситуаций. Этот пробел восполняют данные по штормам и окнам погоды волнения.
Статистические характеристики штормов и окон погоды. Под штормом длительностью S и интенсивностью hf обычно понимают превышение случайного процесса h(t) заданного уровня Z, а под окном погоды с длительностью © и интенсивностью кГ - нахождение процесса ниже уровня. Приведенное определение шторма не связано с аналогичным понятием, вытекающим из морской практики, закрепленной в наставлениях Комитета по гидрометеорологии: «шторм - это событие, при котором ветер превышает 16 м/с, а волнение - 5 баллов». Статистики штормов и окон погоды востребованы в последнее десятилетие и используются при планировании операций на шельфе. Подходы к расчету длительности штормов и окон погоды изложены в многочисленных публикациях, однако результаты представлены только в справочниках нового поколения (см., например, [11])- Ниже остановимся только на некоторых принципиальных и ранее неопубликованных данных.
На рис. 2 изображен пример реализации, на котором отмечены длительности штормив и окон относительно уровней 2\ и z2. Случайные величины 5 и © по определению являются длительностями выбросов случайного процесса. Помимо них, к важным характеристикам -изменчивости процесса относятся непрерывная продолжительность ситуации D , в течение которой значение процесса h(i) находится в заданном интервале (zl5z2). Значения 5, © и D должны рассматриваться как случайные величины; их вероятностные характеристики существенно зависят от уровня z . Если известна режимная обеспеченность волнения F(h),
h, м
2
3
1
О
t
Рис. 2. Определение длительностей штормов (5), окон погоды (0) и
продолжительностей ситуаций в интервале {£>). Цифры в кружках: 1 - шторма (выбросы выше уровня), 2 - окна погоды (выбросы ниже уровня), 3 - ситуации в интервале.
то средняя длительность 5" шторма за промежуток времени Т выше уровня 2 связана с числом шторхмов N простым соотношением
5 =¿/^(2). (5)
М
В работах {12-15 и др]. соотношение (5) параметризировалось с целью расчета характеристик длительностей штормов только через режимные распределения. В настоящее время прогресс технологий гидродинамического моделирования позволяет получать информацию о длительностях штормов и окон погоды для любого района Мирового океана по модельным реализациям процесса. Это требует, в свою очередь, разработки процедуры оценивания вероятностных характеристик 5, 0 и В по непрерывным реализациям ветра и волнения в рамках теории выбросов случайных процессов [16]. Большинство аналитических результатов теории выбросов относится к нормальным (гауссовым) случайным процессам. Они справедливы также для величин 5,0, Д если исходный процесс к(г) монотонно преобразуется к гауссову £(0 = /(О- Например, если обеспеченность высот волн Г (к) аппроксимируется логнормальным законом с параметрами (Л0,5^)? то функциональное преобразование = 51п(А / А0<5) приводит исходный процесс к нормально распределенному процессу с нулевым средним и единичной дисперсией. При этом длительности выбросов процесса £(/) равны длительностям выбросов исходного процесса к(г) относительно преобразованных таким же образом уровней £ . Например, в стационарном приближении для логнор-мально распределенного случайного процесса среднее число выбросов N выше уровня г определяется соотношением
г \
N{2) - <2ехр
2
(6)
Величина <2 = р"(0) / 2тс выражается через вторую производную нормированной
автокорреляционной функции логарифмов высот волн, которая с точностью до знака выражается через корреляционную функцию производной £'(/): р"(т) = (т). Таким образом,
подставляя (6) в (5). можно рассчитать среднее значение 5(2). Для окон погоды модель (5);
(6) справедлива относительно процесса
Для нормального стационарного случайного процесса при достаточно высоких уровнях 2 распределение длительностей штормов стремится к закону Релея [16]:
^(5) = 1-ехр^р^0)2252 , (7)
где р"(0) = , а для низких уровней - к экспоненциальному:
Г2(5) = 1-ехр[-11(2)5], (8)
в котором 11(2) > 0 - некоторый параметр, обратный средней длительности выброса. Для окон погоды как отрицательных выбросов выполняется обратная закономерность: для высоких уровней распределений длительностей - стремится к экспоненциальному закону (8), а для низких - к распределению Релея (7). Формулы (7), (8) дают основание предполагать, что для произвольного уровня 2 длительность как штормов, так и окон погоды может быть описана распределением Вейбулла с функцией
Г(5) = 1 - ехр
-А(к(г))
±У
5(2) J
А = Гк(1 + 1/к),
(9)
где параметр формы к = к (г) с увеличением уровня монотонно повышается в диапазоне от 1 до 2 для штормов и понижается с 2 до 1 для окон погоды.
Для распределения продолжительности ситуаций О в заданном интервале (г19г2) точная вероятностная модель существенно сложнее, чем модель (8), (9). Это обусловлено тем, что в качестве таких ситуаций могут выступать сразу следующие типы фрагментов исходного временного ряда:
® шторма выше уровня 2Х, но не выше уровня г2 (тип 1);
* окна погоды ниже уровня 22, но не ниже уровня 2Х (тип 2);
• непрерывные фрагменты реализаций, пересекающие уровень и гх, и г2 (тип 3). Совокупное распределение всех типов может быть представлено в виде
Г(О) = + р2Г2 (£>) + р2 Г3 (£), I Р[ = 1, (1.0)
где 2(#) - функции распределения штормов и окон погоды соответственно, а F3(^) -
распределение фрагментов реализаций, пересекающих оба уровня. Из (10) следует очевидная взаимосвязь между вероятностными характеристиками штормов, окон погоды и про-должительностей по интервалам. Например, для интервала (0,г) в (10) р] - ръ =0, т. е. распределение совпадает с распределением окон погоды ниже уровня 2. Наоборот, в интервале (2, о)) в (10) р2 = ръ =0 , т. е. распределение совпадает с распределением длительностей штормов выше уровня г .
В отличие от распределений , которые относятся к классу законов Вейбулла, рас-
пределение принадлежит другому классу. Если в интервале (2,,г2) принять линей-
ность изменения й(/), то распределение О имеет вид
Лп
_ п / Г\\
J
0> 0.
(И)
Здесь егДл:) = 2Ф(>/2д:) -1 - интеграл вероятностей, выражающийся через закон нормального распределения Ф(х), а ^ - параметр формы режимного логнормального распределения. Из (11) следует, что продолжительность О зависит только от параметра формы режимного распределения 5 и отношения ¿2/ Распределение (11), одним из параметров которого является производная р"(0), применимо только, если О не превышает интервал коррелированное™ процесса (обычно 1-2 суток).
Непосредственное использование рассмотренных выше аналитических моделей распределений длительностей штормов, окон погоды и ситуаций в интервале для описания реальных закономерностей изменчивости скорости ветра и волнения сталкивается со следующими трудностями: 1) нарушается предположение о стационарности процесса вследствие влияния годовой ритмики (сезонной изменчивости); 2) для отдельных акваторий распределение Р(К) может несколько отличаться от логнормального, особенно для сильных штор-
мов (например, из-за влияния ограниченной глубины или разгона); 3) корреляционные функции р^(т) преобразованного процесса и рЛ(т) исходного процесса не совпадают.
Перечисленные обстоятельства не изменяют класс распределений (9), (11), но вносят неопределенность в аналитические методы определения их параметров. Следовательно, параметры теоретических распределений необходимо оценивать по выборочным реализациям.
Оценка (по некоторой терминологии, идентификация) параметров вероятностной модели основывается на построении параметрических оценок распределений длительностей штормов 5 , окон погоды © и продолжительностей в интервале О, с эмпирическими коэффициентами Е, определяемыми непосредственно по выборке. Рисунок 3 иллюстрирует различные вероятностные характеристики штормов и окон погоды в северо-восточной части Баренцева моря (зимний сезон). На рис. 3, а, б приведены соответственно квантильные биплоты распределений штормов и окон погоды и соответствующих квантилей распределения (9) с параметрами, оцененными по выборке. Видно, что в обоих случаях точки плотно группируются вокруг биссектрисы координатного угла, что дает основание принять гипотезу о возможности использования аппроксимации (9) и для штормов, и для окон погоды. На
рис. 3, б показана зависимость средней длительности штормов 5 и окон погоды © (как параметра распределения (9)) от уровня (порога) 2 . Видно, что с увеличением 2 средняя длительность шторма монотонно убывает, а окна погоды - возрастает. Здесь же нанесены аппроксимации этих точек регрессионной зависимостью вида У(2) = Аг~в , которая хорошо сглаживает полученные оценки и лежит в пределах соответствующих доверительных интервалов. На рис. 3, г показано, как меняются параметры формы к${2),к§(2) распределения (9) в зависимости от уровня 2. Из него следует, что в обоих случаях это изменение можно считать линейным (линия регрессии также нанесена на рис. 3, г) на интервале 1-2 следующим из предельных распределений (7), (8). Для высоких уровней ке(г) < 1, так как такие окна погоды имеют длительность около месяца, т. е. на них сказывается влияние сезонного хода, которое приводит к отличию от теоретического результата (8). Параметры 5(2),©(2) существенно зависят от сезона; в то же время к5(г\к&(г) сезонного хода практически не испытывают. Это позволяет в дальнейшем снизить мерность исходной модели штормов и окон погоды.
Статистические характеристики штормов и окон погоды характеризуют эволюцию интенсивности волнения в целом, не вдаваясь в особенности конкретных условий волнообразования. С этой целью необходимо привлечение специфических оперативных статистик -климатических спектров волнения.
Климатические спектры волн. Массив измеренных и модельных пространственно-временных реализаций волнения позволяет описывать режим волнения в терминах не только видимых элементов волн, но и частотных 5(со), и частотно-направленных спектров 5(со,(3) волн. Следовательно, ансамбль «волновых погод» и ансамбль спектров 5(со,Р, *,>-,/) за
достаточно длительные промежутки времени можно воспринимать как эквивалентные понятия.
При прохождении штормов параметры волнения и его спектры существенно изменяются. Под климатическим спектром волн понимают осредненный ансамбль спектров, имеющих определенную вероятность и принадлежащих некоторым характерным волновым условиям заданной акватории.
Функционально подобные классы спектральных плотностей могут состоять из нескольких волновых систем и быть стилизованы в виде аппроксимаций, хорошо известных для
о - I □..... 2 I-1 3
Рис. 3. Статистические характеристики штормов и окон погоды в северо-восточной части
Баренцева моря (зимний сезон). I - шторм; 2 - окно погоды; 3 - 95%-ный доверительный интервал. Объяснение в тексте.
спектральных плотностей волнения. Такие аппроксимации содержат моменты спектра (и связанные с ними величины), что позволяет представить любую спектральную плотность 5(со,Р) в виде 5(со,(3,Н)5 где Е - набор параметров. Следовательно, все операции над образцами 5(со,(3) внутри класса сводятся к операциям над неслучайной функцией случайных аргументов Е. В частности, можно определить средний спектр
5(©,р) = 5(ю,|3,Е), (12)
квантильный спектр
5,(©,р) = 5(й),р,гр), (13)
дисперсию спектров
Здесь Е,Ер- векторы средних и квантильных значений параметров, , соу(с,,£;) - дисперсия и ковариация параметров соответственно. В качестве набора параметров Е могут выступать высоты различных систем волн (А), параметры пиковатости (у), частоты максимума пика спектра (о)щаХ), генеральные направления распространения систем волн (Ртах)-
В целом общее выражение для спектральной плотности таких функционально подобных классов волнения можно представить в виде смеси
Р=1
(15)
р^р
)
где т0о - нулевой момент спектра (дисперсия взволнованной поверхности); кр - весовой
N
вклад каждой из N волновых систем в общую энергию ( ^к =1); Ер~ набор параметров,
характеризующих волновую систему данного класса. Другие параметры спектра (15) могут быть выражены как нелинейная функция от спектральных моментов т^- Наиболее простым
способом определения параметров является нелинейное оценивание параметров
(15) по исходным данным (результатам расчетов по модели (1)), выполняемое с помощью адаптивного случайного поиска [17].
Модель (15) легко различает одно-, двух- и многопиковые (по переменным со и р) спектры. В качестве примера на рис. 4 показана, генетическая классификация частотно-направленных (двумерных) спектров для юго-восточной части Северного моря. Выделены следующие 5 классов спектров: ветровые волны (к = 1); зыбь (к = 2); ветровые волны и близкая по частоте «свежая» зыбь (к = 3); ветровые волны и «свежая» зыбь, различающиеся и по частоте, и по направлению (к = 4); ветровые волны и зыбь, близкие (плохо различающиеся) по частоте и направлению (к = 5).
Каждый класс соответствует устойчивому состоянию к, следовательно, синоптическая изменчивость волнения может быть представлена как марковская цепь к = к^) с матрицей
переходных вероятностей = = /1 к= ]], = \т , и вектором предельной
вероятности тс - = у}, 7=1,т. Рисунок 4 назовем «звездой климатических спек-
тров», где вероятности перехода из одного класса в другой показаны в виде стрелок, соответствующих различным вероятностям перехода. Например, вероятность перехода (в течение 3 ч) от ветровых волн (класс 1) к ветровым волнам и «свежей» зыби (класс 3) составляет 5%, а наоборот (из класса 3 к классу 1) - 29%. Вероятность сохранения спектров того же класса на рис. 4 показана дугой. Для ветровых волн она составляет 89%.
В работах [12, 17] похожая классификация проведена для Баренцева моря. Ее существенное отличие состояло в более простом подходе к оцениванию параметров (15), который
предусматривал явное выделение всех сочетаний ю^х,ртах непосредственно по сеточной функции 5(0)^0 -). В свою очередь, это вывело из рассмотрения «широкие» спектры, кото-
^89% --—^
к 64%
Рис. 4. «Звезда» частотно-направленных климатических спектров для юго-восточной части Северного моря.
рые имели только один явно выраженный максимум, несмотря на то, что в них входило несколько волновых систем. Такая специфика классификации привела к появлению неустойчивых классов малой повторяемости, например детализации класса 4, в котором выделен подкласс с зыбью с того же направления, что и ветровые волны. Дальнейшие исследования показали, что не имеет смысла выделять этот подкласс особо, так как он не имеет ясной генетической интерпретации, неустойчив и плохо отделим от остальных элементов класса 4 средствами дискриминантного анализа. В отличие от классификации для Баренцева моря, применяемый здесь метод идентификации (15) использует адаптивную процедуру, которая определяет только основную систему волн (как глобальный максимум спектра, соответствующий ), и последовательно оценивает параметры всех последующих по вкладу систем на основе минимизации квадратичной невязки. Такой подход позволяет качественно аппроксимировать не только явно разделяемые двухвершинные спектры, но и «широкие» спектры с близким расположением волновых систем.
Таким образом, использование модели (15) дает возможность свести пространственно-временные поля спектров волнения к полям, описывающим их состояние (но-
мер класса) к(х,у,г). На рис. 5, на котором показана повторяемость различных классов климатических спектров на акватории Северного моря, видно, что на всей акватории преобладают ситуации чисто ветровых волн (класс 1). Вероятность класса 3 уменьшается с севера на юг. Если подставить (15) в выражения (12), (14), то можно оценить вероятностные характеристики спектров £(ю,Р) - их средние и стандарт, спектры различной обеспеченности, толерантные или доверительные интервалы. Таким образом, процедура параметризации служит эффективным средством уменьшения размерности данных и позволяет заменить трудоемкую процедуру многомерного анализа случайных пространственно-временных полей
Рис. 5. Повторяемость (%) климатических спектров пяти классов на акватории Северного моря.
частотно-направленных спектров процедурой анализа их состояний k{x,y,t) и параметров
Н(х, .умозаключение. Таким образом, развитие методологической и вычислительной базы позволило успешно использовать непараметрические спектральные модели, основанные на непосредственном интегрировании дифференциального уравнения (1), для проведения расчетов волнового климата в различных районах Мирового океана, что, в свою очередь, связано с созданием очень больших информационных массивов, для которых необходима разработка особых методов их статистического анализа и интерпретации, даже для определения оперативных статистических характеристик волнения (режимных распределений, длительностей штормов и окон, климатических спектров).
Режимные распределения - интегральная описательная характеристика волнового климата; для их сопоставления в разные месяцы и определения меры сходства-различия с целью районирования допустимо использовать аппарат канонического дискриминантного анализа. Вероятностные характеристики длительностей штормов и окон погоды являются мерой синоптической (эволюционной) изменчивости волнения; их распределения в ряде случаев могут быть получены аналитически в рамках теории выбросов случайных процессов, а параметры распределений оценены по выборочным данным. Для детализации особенностей синоптической изменчивости с учетом специфики условий волнообразования необходимо рассматривать климатические спектры волн.
Summary
Boukhanovsky А. К, Lopotoukhin L. /., Chernysheva Е. S. Approaches, experience and some results of wind wave climate investigations. II. Hindcasting, long-term distributions and climatic wave spectra.
Wind wave climate calculations for the Azov, Baltic, Barents, Black, Caspian. North. Okhotsk Seas. Ladoga Lake, the Ob-Taz bay based on international certificated hydrodynamic models are performed. Well-known international model numerical spectral models Wave Watch and SWAN are used. Discriminant analysis is used for comparing wave climate of different regions. Storm and calm duration statistics both based on analytical and empirical relations are presented. An approach to climatic wave spectra estimation is elaborated. The results for the North Sea are presented.
Литература
1. Давидан И. К. Лопатухин Л. И., Рожков В. А. Ветровое волнение в Мировом океане. Л., 1985. 2. Ко-теп О. L.f Cavaleri L, Donelan М. et al. Dynamic and modelling of ocean waves. Cambridge, 1994. 3. Теоретические основы и методы расчета ветрового волнения / Под ред. И. Н. Давидана. Л., 1988. 4. Сох А. Т., Cos Cob, Swail V. R. A global wave hindcast over the period 1958-1997: validation and climate assessment // J. Geophys. Research (Oceans). 2000. Vol. 105. 5. Swail К R.t Ceccaci E. A., Cox A. T. The AES-40 North Atlantic wave reanalysis validation and climate assessment I 16th Intern. Workshop on wave hindcasting and forecasting. Monterey, California, 2000. Nov. 6-10. 6. Lopa-toukhin L J., Boukhanovsky' A. V., Chernysheva E. 5Jvanov S. К Hindcasting of wind and wave climate of seas around Russia I I 8th Intern. Workshop on wave hindcasting and forecasting. North Shore, Oahu, Hawaii, 2004. Nov. 14-19. 7. Liu P. C., Schwab D. J., Jensen R. E. Has wind-wave modeling reached its limit?// Ocean Engineering. 2002. Vol. 29, N 1. 8. WISE meeting 2004. June 6-10, Reading, UK// www.surf-link.com/wise/. 9. Lopatoukhin L. J., Boukha-novshy A. V., Rozhkov V. A. et al. Wind and wave climate near the Prirazlomnoye oil field // Proc. Intern. Conf. "Russian Arctic Offshore" (RAO'99). St. Petersburg, 1999. 10. Lopatoukhin L.f Boukhanovsky A. Wind and wave climate investigations, related to offshore activity 11 Proc. 10th Workshop on ocean models for the APEC Region (WOM-IO). Hanoi, Vietnam, 2003. October 7-10. 11. Справочные данные по режиму ветра и волнения Баренцева, Охотского и Каспийского морей / Ред. Л. И. Лопатухин, А. В. Бухановский, А. Б. Дегтярев, В. А. Рожков. СПб., 2003. 12, Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения / Ред. И. Н. Давидан. СПб., 1995. 13. £оков В. Я, Лопатухин Л. Румянцева С. А. Синоптическая изменчивость ветра на Балтийском море // Сб. работ Ленингр. Гидрометцентра. 1991 Вып. 5(18). 14. Матушгвский ГВ., Надеев В. В. Статистические закономерности распределения характеристик устойчивости морского волнения // Метеорология и гидрология. 1987. № 9. 15. Graham С. The parameterization and prediction of wave height and wind speed persistence statistics for oil industry // Coastal Engineering. 1982. N 6. 16. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М., 1970. 17. Lopatoukhin LRozhkov V., Boukhanovsky А. ct al. The spectral wave climate in the Barents Sea // Proc. of 21st Intern, conf. offshore mechanics and arctic engineering (OMAE). 2002. June 23-28. Oslo, Norway, 2002. Paper 28397.
Статья поступила в редакцию 15 февраля 2005 г.
