Подходы к разработке быстрого кода Монте-Карло для расчёта торможения электронов в веществе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.533.9

Л.И. Меньшиков1,2, В.А. Астапенко2, П.Л. Меньшиков2, В.В. Березовский

1 Российский научный центр «Курчатовский институт»

2 Московский физико-технический институт (государственный университет)

3 Поморский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Подходы к разработке быстрого кода Монте-Карло для расчёта торможения электронов в веществе

Анализируются основные процессы, определяющие функцию распределения тормозящихся в веществе нерелятивистских электронов. Обращается внимание на то, что изменение направления движения электронов происходит главным образом в результате их рассеяния на ядрах вещества на малые углы. Это свойство кулоновского взаимодействия использовано для ускорения численных расчётов параметров тормозящихся электронов.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, ионизация и возбуждение атомов электронами, функция распределения, рассеяние электронов на атомах.

I. Введение

Вторичные электроны и рентгеновское излучение, возникающие при торможении в веществе электронных пучков с энергией Ео ~ 10-100 КэВ, дают важную информацию о строении вещества [1, 2]. Одним из важных и еще не вполне изученных радиационных процессов в рентгеновском диапазоне является поляризационное тормозное излучение (ПТИ). ПТИ представляет собой фундаментальное излучательное явление, возникающее при рассеянии быстрой заряженной частицы на объекте (атоме, молекуле, кластере, наноструктуре, макроскопическом образце), обладающем подсистемой связанных электронов. Переменное поле налетающего заряда в ходе ПТИ вызывает колебания связанных электронов мишени, приводящие к излучению фотонов. Полезен и другой взгляд на природу этого процесса. Согласно электродинамике, поле быстрой заряженной частицы почти поперечно, поэтому его можно рассматривать как совокупность виртуальных, «эквивалентных» фотонов. ПТИ — это превращение виртуального фотона в реальный, происходящее в результате его рассеяния на связанном электроне. Как и в случае обычного тормозного излучения (ОТИ), в ПТИ энергия черпается из кинетической энергии рассеивающегося заряда. Однако при этом сечение процесса не зависит от массы заряда в контрасте с ОТИ. Кроме того, ПТИ обладает рядом характеристических особенностей как в релятивистской, так и нерелятивистской области энергий излучающей частицы. Так, например, угловое распределение ПТИ в лабораторной системе в релятивистском случае подобно распределению излучения неподвижного диполя: оно плавно зависит от направления, а не сосредоточено в узком конусе вокруг направления скорости, как в случае ОТИ. Сечение ПТИ релятивистской частицы логарифмически возрастает с ростом ее энергии.

В ПТИ отсутствует эффект плотности Тер-Мика-еляна, характерный для ОТИ в рентгеновском диапазоне. Важной чертой ПТИ, которая делает перспективным это явление для исследования структуры вещества, является тот факт, что оно формируется в большой пространственной области. В результате в элементарный акт ПТИ вносят вклад одновременно много атомов среды. Поэтому спектрально-угловая зависимость интенсивности ПТИ существенно зависит от характера пространственного расположения атомов мишени и может быть использована для определения структуры вещества.

Для расчёта характеристик испускания вторичных электронов и излучения веществом необходимо знать число электронов dN = /(V,r,t)d3гд?У в элементе пространственного объёма d3r, объёма ^3У в пространстве скоростей V электронов по истечении времени £ после их входа в вещество (то есть в элементе фазового пространства d^l = с^гс/^У). В данной работе обсуждаются детали основных физических процессов, определяющих функцию распределения тормозящихся электронов /^,т,Ь). Цель работы — рассмотреть процессы рассеяния на ядрах на малые углы как диффузию направления скорости электрона, что позволяет существенно сократить время расчёта характеристик испускания вторичных электронов и излучения по сравнению с существующими программами.

II. Основные физические эффекты

При рассматриваемых здесь энергиях Ео ~ 10-100 КэВ электроны пучка легко, практически без отклонений, пронизывают электронные оболочки атомов вещества. Энергия электронов пучка намного превосходит энергию связи каждого из атомных электронов, поэтому электроны вещества можно считать свободными. При таких условиях вещество практически аналогично плаз-

ме, поэтому воспользуемся известными методами и фактами из теории плазмы (см., например, [3]), которые положим в основу данной работы.

Ниже рассмотрены три основных физических эффекта, определяющих функцию распределе-

Вд — коэффициент диффузии по углам. Пусть после п столкновений х2 = хП. Тогда после следующего столкновения имеем

хП+1 = (Хп + Хі)2 = хП + х21;

(4)

П.1. Эффект 1. Плавное диффузионное изменение направления скорости электронов при рассеянии на ядрах

Из физики плазмы известно, что из-за дально-действующего характера кулоновского взаимодействия поворот направления скорости движущейся в плазме частицы происходит главным образом в результате отдельных актов рассеяния её на частицах вещества на малые углы. В данном разделе столкновения электронов с ядрами рассмотрены на основе классической механики. Квантово-механический расчёт приведён в разделе 11.4.

Рис. 1. Эффект 1. Плавное изменение направления скорости электрона при рассеянии на ядрах

Быстрый электрон при столкновении с ядром с прицельным параметром р (рис. 1) отклоняется на малый угол:

Za

XI ~ Рі

Р2

(1)

где а = е2/Е ~ 0,001 а.е. — кулоновская длина, 1 а.е. = а0 = Ь2/те2 « 0,5 • 10-8 см, Е = тУ2/2, т — масса электрона, е — элементарный заряд, Z- атомный номер ядра (конкретные численные оценки ниже будут приводиться для Z = 30 и Е = 50 КэВ). Пусть х — угол между текущим (V7) и начальным (V) векторами скорости электрона. При х ^ 1 отклонение направления скорости от начального характеризуется малым вектором

V7 V

X = у7 ~у’ 1x1 = X-

Этот вектор является двумерным, поскольку X^V. Отклонение направления V7 от V аналогично диффузии броуновской частицы по плоскости X = (Хх,Ху). За время £ средний квадрат угла отклонения составит

х2

ХІ + Ху = (2)

где N = 2 — размерность пространства углов,

ХІ = ХІ = Х2/2 = 2 Ш,

(3)

поскольку XI является независимой случайной величиной. Из (4) заключаем: хП = п • х1. Эта формула, однако, лишь качественная, поскольку до сих пор не определено, что называется столкновением. Для вывода строгой формулы предположим на время, что отклонения происходят только при столкновениях с прицельными параметрами из интервала (р,р + dр). За время сИ происходит

Ап = 2прАрУ паАі

(5)

таких столкновений, где па — концентрация атомов. Из (1), (4) и (5) заключаем, что приращение квадрата угла отклонения составит

(1х = Ап ■ х2 = 2прё,рУ п а А

г2 а2 р2 '

В истинном случае отклонение происходит при всех прицельных параметрах, поэтому по ним следует проинтегрировать, что даёт:

Ах = 2пУnAZ а ЛдсМ.

где

Л

д=

Р

Рт

V /

(6)

3 (7)

— кулоновский логарифм, ео = 2,718... (строгое выражение для Лд получено в разделе 2.4). В (7) учтено, что приближение классических траекторий нарушается при р ^ ртт = Ь/тУ, а при р ^ ртах = az = aоZ-1/‘3 поле ядра экранировано электронами, поскольку, согласно модели Томаса-Ферми [4], основная их часть сосредоточена на расстояниях от ядра ^ aоZ-1/3.

Из сравнения (6) и (2) получаем

2ппа Z 2е4

ив — -----тТТз—Ле-

т2 V 3

(8)

Из формулы (8) и расчётов, приведших к ней, следуют два вывода:

1) отклонения направлений движения быстрых электронов происходят главным образом в результате рассеяний на ядрах (вклад в Вд от электронов вещества в Z раз меньше);

2) основной вклад в Вд дают акты рассеяния быстрых электронов на ядрах вещества на малые углы (относительный вклад в Вд от рассеяния на углы ~ 1 составляет ~ 1/Лд ~ 0,2).

Причина последнего обстоятельства вполне понятна: малость углов рассеяния компенсируется большей частотой таких столкновений, поскольку им соответствуют большие значения прицельных параметров.

Из (2) заключаем, что характерное время изо-тропизации направлений скоростей быстрых электронов составляет

te

l

m2V3

De (Vo) 2nnAZ 2в4Лв''

(9)

где Уо = ^о |^о — вектор начальной скорости электронов в пучке. При ДЬ ^ Ьд х ^ 1, поэтому вероятность отклонения за временной интервал (0, Д 1) на углы х = (Хх,Ху) из интервала с2 х = Схх • Сху составляет

сш = сш (хх) • СШ (ху ) =

2п

хx • х

ехр ( -4= - І

2 V 2x1 2Х2

y

y

Отсюда с учётом соотношения (3) после интегрирования по азимутальному углу, сводящемуся к замене АххСху ^ 2пхАх, для вероятности отклонения за временной интервал (0, 1) на угол х из интервала (х,х + Ах) получаем выражение

dW(x) = =ехр (- =

х2

х

\d\, X2

4De • At.

(lO)

ІІ.2. Эффект 2. Плавное торможение электронов в результате ионизации и возбуждения электронных оболочек

Ионизация и возбуждение электронных оболочек (рис. 2) происходят главным образом в столкновениях с большими прицельными параметрами ао ^ р ^ аоКУ/Іо ~ 40ао. В каждом таком процессе быстрый электрон теряет энергию порядка 1о ~ 10 эВ. Эти потери создают тормозящую его силу, фактически — силу трения Бёте [4]:

Г=_ІЇІІ^у, V = У/К

тУ2

( 2тУ2 \

л=‘”ЫгН

(ll)

В интересующем нас случае начальное распределение имеет вид

f (V,r,0) = J(r)J(V — Vo).

(l2)

Таким образом, функция распределения электронов по скоростям д(У,Ь) = ^ с13т/(У.г.Ь) в начальный момент времени представляет собой резкий пик: д(У,0) = 6(У — У0). Поскольку І0 ^ Е, то при учёте эффектов 1 и 2 пик начального распределения сдвигается в область низких энергий практически без уширения (процесс 1+2 на рис. 3) по закону

g(V,t)K5(V -Voyi-t/tE).

Здесь

tE =

m2VQ3

l2nnAZe^(V0)

(13)

(14)

— время полного торможения пучка. Аргумент 6 — функции в (13) легко получить, интегрируя закон торможения:

dV/dt = —F/m Из (9) и (14) заключаем, что te l

T^~z<<h

(l5)

(16)

то есть изотропизация пучка происходит намного раньше его полной остановки.

Рис. 2. Эффект 2. Плавное торможение электронов в результате ионизации и возбуждения электронных оболочек

Vq V

Рис. 3. Поведение функции распределения по скоростям без учёта эффекта 3 и при его учёте

Оценим долю электронов, останавливающихся в веществе, заполняющем полупространство z > 0 (рис. 4, концы траекторий электронов обозначены стрелками). За время изотропизации пучок проникнет в вещество на глубину zo ~ Vote. Далее начнётся диффузионное движение электронов. Длина свободного пробега электронов l ~ Votg. Коэффициент диффузии D ~ lVo ~ V2tg. Пусть dW = F(z,t)dz — вероятность нахождения электрона в момент t на интервале (z,z + dz):

F (z,t)

d3Vdxdyf (V,r,t).

Эта функция удовлетворяет приближённому уравнению диффузии:

dF(z,t) = Dd2F(z,t)

dt

dz2

Один раз достигнув границы, электрон покидает вещество, что соответствует граничному условию Г(0,£) = 0, откуда получаем

l

/2тг Dt

exp

F(z > 0,t)

(> ~ -го)2 2 Dt

exp

(г + До)2 ' 2 Dt

Доля остановившихся в веществе электронов равна

Ps

dzF (z,t)

ь

Оставшаяся часть электронов 1 — Рз покидает вещество. Сравнение с экспериментальными данными, приведенными в [1], даёт величину

р3 «г/у/г.

Рис. 4. Траектории электронов в веществе

Н.Э. Резкое уменьшение энергии электронов пучка при близких столкновениях с электронами вещества (эффект 3)

В столкновениях с ядрами энергия электрона практически не меняется. Рассмотрим потери энергии в столкновениях с электронами вещества (ее-рассеяние), которые можно считать свободно движущимися и до столкновения покоящимися. Покажем, что ее-взаимодействие помимо рассмотренного выше эффекта 2 вызывает эффект 3: диффузию электронов по шкале энергий, которая приводит к уширению начального узкого распределения по энергиям (рис. 3).

Дифференциальное сечение рассеяния быстрого электрона на покоящемся электроне равно

do = 2npdp

27ге4 d(AE) mV2 (AE)2 '

Здесь

ДE = E-E'

E

(l8)

(l9)

— изменение энергии электрона пучка, налетающего на неподвижный электрон (0 < ДЕ < Е), Е' = тУ'2 /2 — энергия электрона пучка после

столкновения, х1 — угол рассеяния в лабораторной системе отсчёта (угол между векторами V и V'):

tgXi = -• p

(20)

Из (18) для изменения энергии за время сМ получаем результат:

dE = —dtnAZV

daДE.

совпадающий с законом плавного торможения (15). Логарифмическая расходимость интеграла по С(ДЕ) при малых ДЕ указывает на преобладающий вклад в силу трения Г от процессов рассеяния на малые углы, что соответствует столкновениям с большими прицельными параметрами. Этот вывод согласуется с приведёнными выше рассуждениями по поводу формулы Бёте (11).

При малых значениях прицельных параметров р ^ Ро = Ь/тУ классическая механика нарушается. В частности, в случае лобового столкновения, при р = 0, электроны сближаются на расстояние 2а. Поскольку тУа/Ь = ЬУ/е2 ^ 1, такие столкновения, на первый взгляд, не могут быть рассмотрены по классической механике. Этот вывод ошибочен. При заданной исходной скорости V быстрого электрона надо найти его конечную скорость V7. Кинематические сведения, необходимые для этого, показаны на рис. 5 и содержатся в соотношениях (18)— (20). Если исключить из них р и работать только с углом х1, получатся формулы (последняя из них понятна из рис. 5)

do

ДЕ

cos3 хі

E — E1 = E sin2 xi (21)

Эти соотношения полностью определяют результат взаимодействия электронов. Они следуют как из классической, так и из квантовой механики. Вследствие этого совпадения, являющегося особенностью кулоновского взаимодействия, в данной работе для описания произвольных актов ee-рассеяния применяется классическая механика.

Рис. 5. Кинематическая диаграмма рассеяния электрона пучка на покоящемся до столкновения электроне вещества (он обозначен буквой 6): V = V' + Уг, V'±У6

О

ь

Чтобы наглядно показать важность эффекта 3, рассчитаем коэффициент диффузии по шкале энергии:

1 / (А Е)2

2

Для дифференциального и полного сечений рассеяния быстрого электрона справедливо борновское приближение:

do

2пК2

U (q)

с1П = —

2Z

a0

dQ

(q2 + а2)2 '

1 71/2ПЄ4

= 2"aZV^ЛГ-

^E?w§ = hiZe‘v-

Видно, что основной вклад в него возникает от больших передач энергии ДЕ ~ Е (рис. 6). Это значит, например, что уравнение Фоккера-План-ка неприменимо к описанию эффекта 3.

Рис. 6. Эффект 3. Резкое уменьшение энергии электронов пучка при близких столкновениях с электронами вещества. АЕ = Е' - Е ~ Е = mV2/2 — типичное изменение энергии, а = 2е2/Е ~ 10~3 а.е. — кулонов-ская длина

Диффузия по энергиям приводит к росту её дисперсии SE2 = ((E — (E))2):

(15Е2

dt

= 2D}

(22)

Из (22), (15) и (11) получаем, исключая время:

5Е2 = ^к(Е2-Е2).

Отсюда и из (11) заключаем, что 6Е ^ 0,3Е уже при Е ^ 0,6Ео, то есть электроны становятся немонохроматическими довольно быстро.

11.4. Квантово-механическое рассмотрение рассеяния электронов на ядрах

С учётом экранировки поля ядра электронами потенциальную энергию взаимодействия электрона с атомом запишем в виде

ТТ< л 2е2 ( л 1 ^1/3

и(г) =-----ехр(—аг), а. = — = -------.

г az ао

2Z

a0

4п

2 (4k2 + а2)

2Z

a0

2k2

(2З)

где q = k' — k, k' = mV'/К и k = mV/К — волновые векторы конечного и начального состояний быстрого электрона, dQ = sinх1 • dхldфl — телесный угол направления конечного волнового вектора. Для одного акта рассеяния вероятность рассеяния в телесный угол dQ равна

da а2 (4к2-\-a2)qdq а 2k2(q2 а2)2

2a2qdq

(q2 + a2)2

(24)

Здесь было проведено интегрирование по азимутальному углу Ф1 и использована формула q2 = (k' — k)2 = 2k2 (1 — cos х1). Средний квадрат угла рассеяния для одного акта рассеяния составляет

(2(1 - cosxi)) =

х1

dW 2(1 — cos х1)

2

k2a

-Лв

(25)

Обсудим физический смысл формул (23)-(25). Согласно постулатам квантовой механики актом рассеяния называется коллапс волновой функции электрона, происходящий при измерении его координат атомами вещества (рис. 7). Согласно (25) при одном рассеянии электрон приобретает неопределённость поперечного импульса Др± ~ Кк ■ хі ~ К/а^. Это означает, что при коллапсе волновой функции он локализуется в поперечном направлении в пространственной области с размером ~ К/Др± ~ а2. После этого он продолжает полёт в продольном (вдоль основного импульса) направлении, испытывая дифракцию на угол ~ \/а% ~ 1/ка%. На длине свободного пробега I = 1/пао электронная волна расходится в поперечном направлении на размер Ь ~ 1/ка2. При Z = 30 и Е = 30 КэВ получаем оценку Ь/а2 ~ 10. Поясним, что понимается под измерением координат электрона атомами вещества. При рассеянии электрона атом получает отдачу и может быть зарегистрирован детектором частиц. Масса атома велика, поэтому характерная длина волны Де Бройля мала. Направление трека, оставляемого атомом в детекторе частиц позволяет с погрешностью ~ а2 определить точку вылета атома. Значит, где-то в этой области он испытал взаимодействие с электроном. Подобные выводы содержатся в работе [5], в которой отмечается неудовлетворительность описания движения частиц в веществе плоскими и рассеянными волнами.

2

2

m

2

2

o

а

о

2

z

Рис. 7. Квантово-механическое движение электрона в веществе: I — длина свободного пробега, Ь — поперечный размер волнового пакете перед коллапсом

Получим теперь формулу (8) из квантовой механики:

паУАо2(1 — сов хі) =

Рис. 8. Пояснение к основному принципу метода Монте-Карло

= -пАУа{2{1 - сазхі)).

Отсюда из (23) и (25) получаем (8).

III. Быстрый вариант метода Монте-Карло для расчёта торможения электронов в веществе

ІІІ.1. Основная формула метода Монте-Карло

Пусть х — случайная переменная, принимающая значения в интервале а < х < Ь, а СШ = д(х)Сх — вероятность попасть в интервал (х,х + Сх), где д(х) — плотность вероятности. Для каждого х будем вычислять новую случайную переменную

£(х)

Ах' д(х')

(26)

— вероятность попасть в интервал (а,х), представляющая собой площадь закрашенной области на рис. 8. Очевидно, 0 < £ < 1. Поскольку СШ = С£, то случайная переменная £ принимает значения на интервале (0,1) и имеет на нём равномерное распределение. Отсюда ясен способ розыгрыша случайной величины х. Обратим формулу (26):

= х(£)

(27)

Располагая генератором случайных чисел с равномерным распределением на интервале (0, 1), получаем числа £, и по формуле (27) находим числа х.

ІІІ.2. Стандартный вариант метода Монте-Карло для расчёта торможения электронов в веществе [1]

Чтобы описать суть стандартного подхода, ограничимся рассмотрением только рассеяния на ядрах.

Пусть электрон испытал акт рассеяния. Пусть £(х) — вероятность того, что электрон по-

сле этого не испытал рассеяние на пути длиной х. Вероятность испытать рассеяние на отрезке пути (х,х + Ах) равна Ах//, поэтому £(х + Ах) — £(х) = — (Ах//)£(х). Отсюда находим: £(х) = ехр(—х//). Согласно разделу 3.1 точка следующего рассеяния находится по формуле

х = 1 ■ 1п ( -

(28)

Из этой формулы становится ясна слабая сторона стандартного метода Монте-Карло. Согласно (28) за один шаг частица смещается на расстояние порядка I. Однако, согласно (25), типичный угол рассеяния её при этом очень мал, особенно при высоких энергиях электрона. По этой причине при стандартном подходе компьютер вынужден делать слишком малые шаги, что увеличивает время счёта. Рассмотрим теперь способ, позволяющий устранить эту трудность.

111.3. Пошаговый (по времени) расчёт

параметров тормозящегося электрона.

Сравнение со стандартным подходом

При Ь = 0 пробный электрон со скоростью Vо = (0,0,Уо) входит в вещество (рис. 4) в начале фиксированной системы координат (х,у,г) параллельно оси г (эту систему координат будем называть опорной, ОСК). Выбираем шаг по времени ДЬ, вообще говоря, зависящий от энергии. Он должен быть меньше самого меньшего характерного

х

а

времени, поэтому выберем, например,

1 т2У3

^■ = ^ыу), *е(У) = 2тгА22е4Ав(уу ^~Ю-

(29)

Чтобы избежать отрицательных значений, здесь и далее приняты замены:

. „„ , f 2mVaz

Ав -*■ Л0(У) = In + 1

V я.д/еп

, ( 2mV2

In I - + 1

(30)

V ZIo

Текущее состояние электрона задаётся шестью числами (t,V,r) = (t,Vx,Vy,Vz,x,y,z), где все проекции относятся к ОСК. Начальное состояние: (0, 0, 0, Vo, 0, 0, 0).

Зная текущее состояние, найдём состояние на следующем шаге: (t,V,r) ^ (t + At,V',r')

Компоненты скорости удобно записывать через сферические углы (в,ф), отсчитанные от осей

ОСК:

Vx = V sin в cos ф, Vy = V sin в sin ф,

Vz = V cos в (31)

VX = V' sin в' cos ф', Vy = V' sin в' sin ф',

VZ = V' cos в'. (32)

Используя формулы (23) и (29), сравним путь VAt, проделанный электроном за время одного шага, с длиной свободного пробега l, соответствующей одному шагу в стандартном подходе:

2

VAt

2

l N Ae Z2/H vo

V

150

~W'

Отсюда заключаем, что при разумном выборе N ~ 15 представленный в данной работе метод ускорит расчёт примерно на порядок.

111.4. Нахождение величины и направления скорости V ' под действием эффекта 3

Воспользуемся малостью кулоновской длины а. Назовём «сильным» взаимодействием электронов (СВЭ) столкновение их с прицельным параметром р < К = Qa, где Q ~ 3. Вероятность осуществления СВЭ за время ДЬ даётся выражением: Р =1 — ехр(— пК2па2УДЬ). Разыгрываем очередное случайное число £. Если выпало £ < Р, то СВЭ произошло, если выпало Р < £ < 1, то не произошло. В последнем случае параметры частицы находятся по формулам «плавного» движения, приведённым в следующем разделе. Если же СВЭ произошло, находим прицельный параметр столкновения по формуле р = Н\/£. Зная р, по формулам (20) и (21) находим х1 и У7.

Направление нового вектора скорости электрона V7 относительно прежнего V задаётся двумя

углами (рис. 9): полярным xi и азимутальным -01. Азимутальный угол равновероятен в интервале (0,2п), поэтому рассчитывается по формуле 01 = 2п • £. Его удобно отмерять от плоскости, проходящей через векторы V и Vo. С помощью рис. 9 получаем формулы, выражающие искомые углы в' и ф' конечного направления скорости V' через углы х, 0 и характеристики начального направления в и ф:

cos^' — ф) = D,

cos в' = — sin в sin xi cos 0i + cos в cos xi, (33)

где D = (cos в sin xi cos 0i + sinв cos xi)/sin в'. Сначала из второго уравнения (33) находится угол в' (0 < в' < п). Затем из первого уравнения получаем

ф' — ф = arccos D, 0 < 0i < п; ф' — ф = — arccos D, п < 0i < 2п. (34)

Относительную погрешность рассмотренного способа учёта эффекта 3

SDe

1

De 2Q2

0,05

можно оценить по вкладу 5Ве в коэффициент диффузии по энергиям Ве , происходящему от неучтённой области прицельных параметров

р > QR.

Рис. 9. Пояснение к способу розыгрыша нового направления скорости V', возникающего в результате диффузии по направлениям

111.5. Нахождение результатов плавного движения (учёт эффектов 1 и 2) в случае, если не осуществился эффект 3

Теперь разберём случай Р < £ < 1, когда СВЭ не произошло.

По истечении времени ДЬ в результате действия эффекта 1 изменяется направление скорости электрона. Азимутальный угол снова равновероятен и находится по формуле 0 = 2п • £. Согласно формуле (10) и общей процедуре, изложенной

в разделе 3.1, получаем соотношения, определяющие полярный угол х:

£(х) = 1-ехр -= , х

х

х2

1 — е

(35)

Новые углы в7 и ф7 находим по формулам (33).

(34).

Модуль конечной скорости находим из уравнения (15):

V7 = V - — ■ At «------------------^--------.

т 1 + Лт • At

1 mV

(Зб)

Координаты конечного состояния находятся по формулам г7 = г + V • ДЬ.

111.6. Выбор шага Д£. Область низких энергий электронов

С уменьшением энергии электронов куло-новская длина а = е2/Е растёт. Электроны в атоме сосредоточены главным образом на расстояниях г < ао/г1/3 от ядра. При

Za2 > (a0/Z1/3)2 = a20/Z2/3,

то есть при E <EC « 3I0Z5/6 « 1 КэВ,

(З7)

предполагавшееся выше приближение независимых электронов перестаёт выполняться. Длина торможения таких электронов очень мала. Поэтому они практически не вылетают из вещества, останавливаются в нём. Кроме того, они дают малый относительный вклад в суммарное рентгеновское излучение. Отсюда следует, что расчёт траекторий электронов можно прекращать при выполнении условия (37).

С учётом роста частоты СВЭ с уменьшением энергии вместо (29) требуется принять более общее выражение для шага:

(З8)

IV. Алгоритм расчёта функции распределения

азимутальная скорость, 0 < У± < то. Пространство (г,г) разобьем на прямоугольные области с размерами порядка 1з/10, где

ls

m2 V04

16пnAZe4Л(Vo)

— длина торможения электронов. Пространство скоростей разобьём на области с размерами порядка Vo/10. В результате фазовое пространство разбивается на области, которые будем нумеровать индексом а и далее называть состояниями электрона. Искомая стационарная функция распределения есть fa.

Для расчёта fa «прослеживаем судьбу» каждого из большого числа NP ~ 104 div 105 пробных электронов. Конкретно, по методу Монте-Карло вычисляем нестационарную функцию распределения Fa(t) индивидуальных электронов. Пробные электроны возникают при t = 0 в состоянии «0» (рис. 10) и исчезают, попав в состояние «End». В результате рассеяния электронов на частицах вещества они переходят из одного состояния в другое, что на рис. 10 показано стрелками. Кинетическое уравнение для Fa(t) линейно и имеет вид

(40)

где Ьар — матрица констант скоростей переходов. Уравнение (40) следует решать с начальным условием

Га (0) = 5ао- (41)

Интегрируя уравнение (40) по времени в пределах (0,то), с учётом (41) получаем

0 Laege + SaQ

где

ga

dtFa ( t ) .

(42)

(4З)

Пусть отдельные электроны поступают в моменты времени Ьп, где п — номер очередного электрона. Для такого режима функция распределения равна

Одной из целей данного исследования является расчёт функции распределения электронов /^,г), соответствующей облучению вещества стационарным пучком (рис. 4). В силу аксиальной симметрии эта функция зависит от пяти переменных:

/ = / (г,г,Уг ,УГ ,У±),

dN = f • dz • 2nrdr • dVz • dVr • 2dV±_.

(39)

Здесь х,т — координаты цилиндрической системы координат, 0 < г < то (ось г на рис. 4 направлена вверх), 0 < г < то — радиальная координата, — то < Уг < то, 0 < Уг < то, У^ = |У^|, У^ -

fa (t) = ^2 F (t — tn

F (t — t')J (t')dt', (44)

где

j (t) = ^2 S(t—tn)

(45)

— число электронов, поступающих в вещество в единицу времени. В частности, за временной интервал (^1,^2) в вещество поступает число электронов

^2

Ne = Си (Ь).

Для стационарного пучка J(t) = J = const, поэтому из (44) и (43) для искомой стационарной функции распределения получаем выражение

fa — Jga

(4б).

Из (43) видно, что функция да имеет размерность времени. Для нахождения да нужно рассчитать траектории большого числа Мр пробных частиц. Каждая из них при Ь = 0 входит в вещество в точке, которую принимаем за начало координат. Пусть все проведённые расчёты показали, что во всех испытаниях в момент Ь > 0 в состоянии «а» находилось Ма(Ь) частиц. Тогда, согласно (39), функция Ра(і) вычисляется по формуле

Рис. l0. Переходы между различными состояниями (областями в фазовом пространстве (r,V)). Состояние «End» соответствует остановившимся в веществе или покинувшим его электронам

Fa (t) =

l

Na(t)___________

Np 2 il0

Здесь 0,а = Уа (г) • Уа(У) — объём области «а» в фазовом пространстве, Уа(г) и Уа (V) — её объёмы в обычном пространстве и в пространстве скоростей.

V. Результаты

Результаты расчётов представлены на рис. 11, 12, 13, 14, 15 и достаточно подробно описаны в подписях к ним. Была рассчитана также функция распределения электронов / ^,г) и сохранена в виде массива данных.

Рис. 11. Траектории движения пучка электронов с энергией 200 КэВ в меди (А — точка входа в вещество). Точками отмечены случаи сильного электрон-электронного взаимодействия. Стороны куба равны длине торможения при энергии 200 КэВ (28 мкм)

Плотность распределения точек остановки -1 о8

0 5мкм Юмкм 15мкм

X

Рис. 12. Плотность распределения точек остановки электронов с энергией 200 КэВ в меди. При этой энергии в веществе останавливается 77% частиц, а 23% выходят из него обратно

Плотность распределения точек остановки

0 5нм Юнм 15нм

х

Рис. 13. Плотность распределения точек остановки электронов с энергией 30 КэВ в меди

................:....... 1........■.......... 0°

Рис. 14. Угловое распределение электронов, выходящих из меди обратно. Начальная энергия электронов

30 КэВ

X, нм

Рис. 15. Распределение расстояний точек выхода электронов из меди от точки их входа (точка A, рис. 11) при начальной энергии 30 КэВ

VI. Заключение

Расчёты траекторий нерелятивистских электронов в веществе необходимы в ряде прикладных задач, например, для оптимизации установок, подобных растровым электронным микроскопам. Особенно важны эти расчёты для разработки новых приложений таких приборов, когда в качестве информативного сигнала выбирается рентгеновское излучение из облучаемого электронами вещества. Существующие алгоритмы требуют больших затрат машинного времени. Предложенный здесь метод позволит в несколько раз сократить время расчётов.

Полученная в данной работе функция распределения электронов будет в дальнейшем использована для расчёта выхода излучения и электронов из вещества.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1. 1/2637).

Литература

1. Гоулдстейн Д., Ньюбери Д., Эчлин П. [и др.] Растровая электронная микроскопия и рентгеновский микроанализ. — М.: Мир, 1984.

2. Астапенко В.А., Буреева Л.А., Лисица В.С. Поляризационные эффекты в атомных переходах // Успехи физических наук. — 2002. — Т. 172. — С. 155-192.

3. Трубников Б.А. Теория плазмы. — М.: Наука, 2001.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974.

5. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. — М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1974.

Поступила в редакцию 15.04.2009.