CC BY
0УДК 004
Верещагин Н.М.
аспирант Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (г. Москва, Россия)
ПОДХОДЫ К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ОБЪЕКТОВ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ФОРМЫ В ЗАДАЧАХ РАСКРОЯ И УПАКОВКИ
Аннотация: в статье обсуждаются задачи раскроя и упаковки нерегулярных объектов, относящиеся к ЫР-трудным задачам. Рассматриваются основные подходы к представлению объектов: сетчатое представление, многоугольники и тригонометрические методы, такие как Б-функция ирЫ-функции. Заключен вывод о перспективе данных подходов
Ключевые слова: задача раскроя-упаковки, оптимизация, рЫ-функции, нерегулярная упаковка.
Проблемы резки и упаковки возникают во многих промышленных и логистических приложениях, как задачи, которые нужно решить, или как часть более сложных оптимизационных задач. Они имеют общую геометрическую структуру и, кроме того, множество различных настроек и специфических характеристик определяют широкий спектр конкретных задач [1, 2].
Эти типы задач сгруппированы под термином «раскроя-упаковки» и относятся к классу №-трудных (недетерминированная полиномиальная) задач. Это означает, что переборная вычислительная сложность задачи не позволяет находить точное решение для достаточного количества геометрических объектов в разумные временные рамки.
Расстановка нерегулярных объектов.
Регулярные, а точнее, прямоугольные куски встречаются во многих задачах по раскрою и в подавляющем большинстве задач по упаковке, в которых продукты обычно упаковываются в прямоугольные коробки. Другие регулярные, непрямоугольные фигуры, такие как круги, также изучались в конкретных приложениях. Тем не менее, существует множество задач, в которых разрезаемые или упаковываемые детали имеют неправильную форму. Типичными примерами являются швейная промышленность, производство мебели, кожи, стекла или резка листового металла.
Поэтому первым препятствием, которое возникает при решении проблем упаковки объектов нерегулярной формы, — это геометрия объекта. Чтобы найти приемлемые позиции размещения деталей, их необходимо сопоставить друг с другом на предмет перекрытия. Геометрическая структура таких задач является достаточно сложной, по сравнению с прямоугольными фигурами. Проверка того, входят ли детали в доску и не перекрывают ли они друг друга, является сложной задачей, если речь идет о нестандартных деталях. Как следствие, задачи о вложении гораздо сложнее, чем их аналоги, и результаты, полученные до сих пор, гораздо более ограничены в отношении размера (количества фигур) решаемых задач.
Подходы к представлению объектов нерегулярной формы.
Наиболее распространенным подходом к представлению объекта нерегулярной формы является сетчатое представление. Метод представления в виде сетки — это подход, который разделяет исходный лист на сетку, представленную матрицей, а также преобразуют формы элементов в независимую сетку с тем же размером блока, что и матрица исходного листа. Это приближение позволяет уменьшить геометрическую информацию о размещении деталей, допуская только дискретные позиции размещения вместо непрерывных. Существует несколько алгоритмов размещения, каждый со своими различными схемами сетчатого кодирования.
Простейшая схема кодирования, предложенная Оливейрой и Феррейрой [3] в 1993, использует двоичные значения, где 0 относится к пустому пространству, а 1 - к фрагменту. Позиции фигур легко отображаются в матрице, добавляя значения для 1 единицы, в которой расположены фигуры. В любой позиции сетки значение соответствует количеству фигур, которые существуют в этой позиции. Если число больше 1, то между фигурами есть перекрытие.
В работе Сегенрайха и Браги [4], проведенной в 1986 году, была предложена альтернативная схема кодирования, позволяющая выявлять контакты и перекрытия между деталями. В этой схеме цифра 1 используется для обозначения контура деталей, а цифра 3 - для обозначения внутренней части. Фигуры размещаются в соответствующих позициях в матрице путем сложения чисел в матрице с соответствующими номерами фигур. Если результат сложения чисел равен или превышает 4, то фигуры размещаются в недопустимых позициях, что означает, что последние размещенные фигуры перекрывают ранее размещенные. В этом случае либо перекрываются обе внутренние части, либо внутренняя часть и контур элемента. Возвращаемое значение 2 указывает на контакт между элементами, указывая на возможные положения, а возвращаемое значение 0 - на пустое пространство.
Рамеш Бабу А. и Рамеш Бабу Н. [5] в 2001 развивают предыдущую идею, обозначая пустое пространство числами, большими или равными 1, а саму фигуру - 0. Эта схема кодирования присваивает число, большее нуля, любому блоку за пределами границы фрагмента, присваивая 1 самому правому ненулевому блоку и добавляя 1 единицу к каждому отдельному блоку, перемещающемуся справа налево от первого блока присвоено 1.
Альтернативой представлению в виде сетки является использование многоугольников для непосредственного представления неправильной формы элементов. В основе механизма решения предложенной задачи лежит механизм построения №Р-многоугольника для двух геометрических областей [6]. Для двух многоугольников (А и В) и любой точки О на плоскости №?-многоугольником называется путь, который проделывает точка О при движении
многоугольника B (орбитального полигона) относительно A (стационарного полигона), таким образом, чтобы многоугольники A и B касались друг друга, но не пересекались. Наиболее быстрый алгоритм построения №Р-полигона был оптимизирован для учета отверстий внутри фигур [7]. Одним из преимуществ полигональных представлений по сравнению с сетчатыми заключается в том, что абсолютный размер фрагментов не влияет на объем информации о представлении фрагментов.
Также для представления можно использовать тригонометрию, где существуют хорошо известные тесты пересечения линий и включения точек. Одним из таких вариантом является D-функция, предложенная Конопасеком [8]. Э-функция определяет относительное положение точки P относительно ориентированного ребра ЛБ. Это математическое выражение, основанное на уравнении расстояния между прямой линией и точкой. Когда даны две вершины, представляющие вектор, математическое выражение может проверить относительное положение любой другой вершины относительно опорной линии этого сегмента. Использование функции D для решения геометрических проблем вложения предоставляет точный подход в том смысле, что многоугольники точно представлены.
РЫ-функции является последней инновацией в решении геометрических проблем вложения [9, 10, 11]. Ее цель - представить все взаимные положения двух объектов (в данном контексте - многоугольников). РЫ-функции — это, по сути, математические выражения, полученные из уравнения расстояния между двумя объектами. Они были разработаны и применены Стояном в 2001. РЫ-функции предназначены для представления всех взаимных положений двух объектов. Собственно, расположение объектов относительно друг друга описываем так называемыми рЫ-функциями. Для любого размещения двух объектов ^ и А] на плоскости М2 соответствующая рЫ-функция фЛ1Л1 показывает, как далеко эти объекты находятся друг от друга, касаются ли они друг друга или перекрываются, в последнем случае она показывает, насколько велико это перекрытие.
Заключение.
В целом, в современной литературе представлено множество подходов к решению проблем расстановки объектов. Задачи расстановки объектов, а также задачи вложенности без фиксированных ориентаций получили особое внимание при разработке из-за более простых требований по сравнению с аналогичными задачами с непрерывным вращением. Доступные геометрические представления должным образом адаптированы для использования с фиксированной или дискретной ориентацией, но не могут быть эффективными с точки зрения вычислений при работе с непрерывными поворотами. Использование phi-функций может решить проблему свободных вращений за счет высокой сложности и вычислительных затрат, однако их потенциал в улучшении точности и эффективности вложения объектов остается значительным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. H. Dyckhoff, «A Typology of Cutting and Packing Problems», European Journal of Operational Research, Vol. 44, No. 2, 1990, pp. 145-159;
2. Guo B, Zhang Y, Hu J, Li J, Wu F, Peng Q and Zhang Q (2022), Two-dimensional irregular packing problems: A review. Front. Mech. Eng 8:966691. doi: 10.3389/fmech.2022.966691;
3. J.F. Oliveira and J.S. Ferreira. Algorithms for nesting problems. Applied Simulated Annealing, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 396:255-273, 1993;
4. S.A. Sagenreich and L.M. Braga. Optimal nesting of general plane figures: A monte carlo heuristical approach. Computers & Graphics, 10(3): 229-284, 1986;
5. A.R. Babu and N.R. Babu. A generic approach for nesting of 2-d parts in 2-d sheets using genetic and heuristic algorithms. Computer-Aided Design, 33:879-891, 2001;
6. Cunninghame-Green, R. Geometry, Shoemaking and the milk tray problem // New Scientist, (1989) 12th August, № 1677;
7. Burke E.K. Complete and robust no-fit polygon generation for the irregular stock cutting problem // European Journal of Operational Research. 2006. № 179;
8. M. Konopasek. Mathematical treatments of some apparel marking and cutting problems. Technical Report Report 99-26-90857-10, U.S. Department of Comerce, 1981;
9. Y. Stoyan, M. Gil, J. Terno, T. Romanova, G. Scheithauer, Construction of a phi-function for two convex polytopes, Appl. Math. 2 (2002) 199-218;
10. Y. Stoyan, G. Scheithauer, N. Gil, T. Romanova, O-functions for complex 2D-objects, 4OR: Quarterly J. Belgian, French and Italian Operations Research Soc. 2 (2004)69-84;
11. Yu. Stoyan, J. Terno, G. Scheithauer, N. Gil, T. Romanova, Phi-functions for primary 2D-objects, Studia Informatica Universalis 2 (2001) 1-32.
Vereshchagin N.M.
Moscow State Technical University «STANKIN» (Moscow, Russia)
APPROACHES TO REPRESENTING OBJECTS IRREGULAR SHAPES IN NESTING AND PACKAGING PROBLEMS
Abstract: the paper discusses the problems of nesting and packing of irregular objects, which belong to NP-hard problems. The main approaches to object representation are reviewed: mesh representation, polygons and trigonometric methods such as D-function and phi-functions. Concludes on the perspective of these approaches
Keywords: nesting-packing problem, optimization, phi-functions, irregular packing.
