CC BY
48Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2014
Биккузина А.И., Жуков А.О., Никольский Ю.В., Буханец Д.И.
ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ В ДИАЛОГОВОЙ СИСТЕМЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКОМ ОБЕСПЕЧЕНИИ ОЦЕНКИ
и прогноза экологического состояния территорий эксплуатации крупных технических комплексов
Для представления исходной информации - знаний специалистов в различных предметных областях на ранней стадии анализа альтернатив целесообразно использовать нечеткие множества. Обычно считается, что используемые критерии в общем случае неэквивалентны. Поэтому на множестве критериев устанавливается строгий линейный порядок. Если встречаются эквивалентные критерии, то они заменяются обобщенным критерием, оценки по которому представляют собой усредненные значения оценок по всем эквивалентным критериям
К,>К2>-... >- Кт , (1)
- отношение строгого линейного порядка.
Ранжируемые альтернативы образуют множество X — {l,2,.
Экспертные оценки задаются в виде парных оценок. Для формализации такой информации используется обратимое нечеткой отношение (ОНО), определенное на множестве альтернатив X для каждого критерия
Л = \ил\ % = 1,т;а,Ь<£Х,
удовлетворяющее условиям
t*L =1»/4+^&. = \,Уа,Ъ^Х,а*Ъ£ = 1,...,от,
здесь £ -номер критерия.
£
Значение fj ^ интерпретируется как мера уверенности в том, что при рассмотрении критерия £ альтернатива “а” не менее предпочтительна, чем альтернатива “Ь”.
Таким образом, исходная информация базируется на матрицах парных сравнений, определенных для всех рассматриваемых критериев.
Будем считать, что рассматриваемые критерии являются независимыми. В этом случае представим условную полезность альтернативы “a” при рассмотрении альтернативы “b” в виде линейной свертки
т
и{а\Ъ) = ^^н1ъ-
<гы
Аналогично, условная полезность альтернативы “b” при рассмотрении альтернативы “а” есть
т
| а) = £ a^t
£-1
33
при ограничениях на веса критериев ар...,ам, характеризующих их важность и основанных на строгой линейной упорядоченности (1):
а1 >- а, >- .. >- t = 1,0 S at <, 1.
(2)
Без ограничения общности будем считать в дальнейшем, что обозначения “a” и “b” используются следующим образом:
>^м1^а,Ъ&Х,аФЪ.
(3)
Для построения результирующего отношения на множестве альтернатив X сформулируем задачу минимизации максимального различия условных полезностей альтернатив a,b е Х,а ф b .
При сделанных предложениях эта задача примет следующий вид
Здесь St интерпретируется как значение оценки альтернативы “а” по критерию !\\. при рассмотрении критерия К, для оценки альтернативы “Ь”.
Iм ££ ??
^ г ^ -минимальное превосходство по полезности альтернативы а над
*=i
альтернативой “b”, обусловленное оценкой по критерию К}.
Задача (4-5) может быть сведена к транспортной задаче закрытого типа следующего вида:
34
Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2014
Основная проблема, которая стоит при решении задачи (2-3, 6-10), заключается в определении значений a,...,a В дальнейшем предлагается метод решения этой задачи, который не предусматривает знание значений весов ap...,a достаточным является условие (2).
Решение задачи (2-3, 6-10) производится на основе метода [Волкова В.И. и др. (2010)], в котором первоначально определяется
(11)
далее применяется метод северо-западного угла [Кузнецов А.В. и др. (1978)].
На основании предложенного подхода определяется решение
(12)
Используя полученное решение (12), построим на множестве альтернатив нечеткое отношение по следующим формулам:
(13)
(14)
(15)
Решение задачи (2-3, 6-10) - S£ )у полученное в результате вычислений по формуле (11) и использовании метода северо-западного угла, является оптимальным для задачи (2-3, 6-10) при любых значениях весов критериев а
Полученная матрица обратимого нечеткого отношения Л = } не
позволяет сделать окончательное ранжирование множества альтернатив ввиду того, что она построена на основе экспертных данных, и в общем случае не является транзитивной. Рассмотрим основные положения, на основе которых можно вычислить транзитивную матрицу, близкую в какой-то мере полученной. После определения такой сверхтранзитивной матрицы возможно ранжирование исходного множества альтернатив.
Полагаем, что отношение T является нечеткой квазисерией, если оно рефлексивно, обратимо и транзитивно, т.е. выполняются условия:
1) = l,Va <е Jf;
2) tab+tba =l,Va,bGX,a^b;
3) tac > mm(/aM/.J,V«, b,c c X\a^b^ c.
По нечеткой квазисерии T определяется четкое отношение S с ХхХ по правилу
(a,b) b,tab > ^.
35
Построенная нечеткая квазисерия позволяет разбить множество альтернатив X на классы G ,GL равноценных альтернатив, а сами эти классы линейно упорядочить [Кофман А. (1982)].
Для поиска нечеткой квазисерии Т, аппроксимирующей вычисленное нечеткое отношение А = \Раь] , формулируется задача
шах | /^аЬ — min, (16)
а,Ь е X Те Тх,
аФЬ
TX - множество всех нечетких квазисерий на X. Введем дополнительную переменную
л = тах\маЬ~и\
а,Ь е X
и перепишем эту задачу в виде
Я —> min ,
taa=\ya^X,
*А+*ь, =1 ,a,beX,a^b,
к > mm(tab,tbJ,\/a,b,c ^ X,а ^ b с. (17)
Последнее неравенство определяет условие транзитивности по Заде [Заде Л. (1976)]. При этом оптимальное значение функционала может быть найдено по формуле [Заде Л. (1976)]
к)} -
= JV(rib + Ла ~ Ла<Ь е Х’а * b
где [г1 ab ) - элементы матрицы транзитивного замыкания матрицы Определение транзитивного замыкания отношения А = * }
к}
в рамках
компьютерной технологии может быть представлено в виде алгоритма по следующим этапам.
Исходное положение. Предварительно зафиксируем уровень а : 0 < а < 1, для него определим матрицу ^ — уу" j
1, _ если _ ffh > а\
О, _ в _ противном_ случае.
Заметим, что возможные значения a : a ,...aM определяются на основе рассмотрения значений элементов матрицы А - {juab}: 1 < М <п2 - п, или они принимают дискретные значения, например: 1 ;0,9;... ;0,1 ;0.
36
Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2014
Для выбранного значения а построим матрицу
транзитивного замыкания A определив первоначально N = 1,n.
Будем считать, что множество объектов X = {1,...,n} отождествляется с множеством вершин взвешенного графа G=(X,U), в котором U - множество дуг. Каждая дуга, принадлежащая множеству U, имеет свой вес, определяемый матрицей нечеткого обратимого отношения A, т.е. вес дуги (i,j) равен т... Вес пути (i1,...,ik) определяется как
Hi...=
1 этап. Зафиксируем альтернативу ae.iV. Если N ф 0, то алгоритм заканчивает свою работ.
2 этап, Если
Нл = 0, УЬ(=\,п,а*Ь,
то N=№a. переход к I этапу.
3 этап. Определим
3 =в IК* = U*Mi ех).
4 этап. Вычислим
Mk-lA+b^beX},
если В2 = 0, то N=N'va, переход к первому этапу,
5 этап. Положим
& = 1А^,
это определит множество путей, ведущих из вершины а и состоящих из двух дуг, причем вес таких путей не менее а .
6 этап. Определим аналогично пути, состоящие из 3,4,...,n-1 дуг (если они, конечно, существуют).
7 этап. Вычислим N=N\a и перейдем к первому этапу. , .
Таким образом, получена матрица транзитивного замыкания Ла = j*
матрицы Аа = fa * }. Подобная процедура проводится при всех значениях а : ар...,аи.
Элементы матрицы транзитивного замыкания нечеткого отношения
определяются как
/4= V [ИаЬ Л ЩСь ) а = а1 ,...,ам
Оценим необходимый объем вычислений для определения элементов матрицы транзитивного замыкания при фиксированном значении а, есть 0(n3).
Определим число операций, необходимое для построения первой строки сверхтранзитивной матрицы. Пусть она имеет k1 единиц, необходимое число итераций при этом есть N1=0(n2). На втором шаге исследуется k1 строк, причем рассматриваемое при этом число столбцов равно (n-k1), тогда число итераций на этом шаге есть N2=(n-
37
к 1)+... +(n-k 1) (число слагаемых равно к 1), отсюда следует N2 < п * кх. Пусть на
втором шаге число столбцов, в которых при рассмотрении kl строк стоят единицы, есть k2. Тогда на третьем шаге необходимо выполнить N3=(n-k1-k2)+...+(n-k1-k2) (число слагаемых равно к2), отсюда следует, что Лг3 < н*к,.
Продолжая процесс вычислений, получим, что общее число итераций, необходимое для определения первой строки матрицы транзитивного замыкания A есть
+ Л^2 "к ... + iVr "С лк^ + лк2 +... "к лк — л{(Aj +... + к{) < л ,
t - число шагов при определении первой строки сверхтранзитивной матрицы.
Поэтому, для построения первой строки сверхтранзитивной матрицы необходимо 0(n2)операций.
Отсюда следует, что для рассмотрения всех строк матрицы A, т.е. для построения матрицы транзитивного замыкания, необходимо 0(n3) операций.
Таким образом, построение нечеткой квазисерии позволит проранжировать различные варианты с целью выбора перспективного, который будет являться в дальнейшем предметом детального анализа.
Предложенный подход к решению задачи упорядочения альтернатив может быть использован в диалоговой системе моделирования принятия решений [Ягер Р.Р. (1986)].
Для оценки альтернативных вариантов, в основном, используются несколько критериев, которые всесторонне характеризуют каждый вариант реализации программы. Т.е. необходимо выбрать наилучшую альтернативу при рассмотрении многих критериев, т.е. необходимо оптимизировать решение в соответствии с несколькими целями [Волкова В.Н. (2006)].
Анализ и оценка рассматриваемых альтернатив осуществляется, обычно, силами экспертов на основе критериев, носящих часто качественный характер. Получаемая при этом от экспертов информация является неформальной. В этих условиях одним из приемлемых методов является аппарат теории нечетких множеств [Кофман А. (1982)]. Этот аппарат обеспечивает возможность рассмотрения субъективных оценок альтернатив, осуществляемых специалистами в определенной предметной области -экспертами.
38
Научно-практический журнал «Новые исследования в разработке техники и технологий» № 1/2014
Литература
1. Волкова В.Н. и др. Теория систем: Учебное пособие / В.Н. Волкова, А.А. Денисов. М.: Высшая школа. 2006. 510 с.
2. Волкова ВИ и др. Теория систем и системный анализ: Учебник для студентов вузов / В.Н. Волкова, А.А. Денисов. М.: Изд-во «Юрайт», серия Университеты России. 2010. 679 с.
3. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / М.: Мир. 1976. 166c.
4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь. 1982. 432 с.
5. А. В. Кузнецов, Н. И. Холод, Л. С. Костевич. Руководство к решению задач по математическому программированию / Минск «Высшая школа». 1978.
6. Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р.Р. Ягера. М.: Радио и связь. 1986.
7. Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control. 1965. V. 8. N 3. P. 338-353.
39
