CC BY
13
А. В. Меньших,
кандидат технических наук
ПОДХОД К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК НА ЯЗЫКЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ С УЧЁТОМ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
AN APPROACH TO THE REPRESENTATION OF EXPERT EVALUATION IN TERMS OF MATHEMATICAL LOGIC, TAKING UNCERTAINTY INTO ACCOUNT ABSTRACT
В работе представлен подход, позволяющий учитывать неопределённость и неполноту исходной информации для выработки управляющих воздействий. Он основан на арифметическом представлении логических операций с учётом сохранения свойств монотонности и ограниченности. Это позволило получить аналитические выражения, позволяющие преобразовывать экспертные оценки, включающие элементы неопределённости и неполноты в оценки, представленные на языке математической логики, лишённые указанных недостатков.
The work presents an approach, which allows to take uncertainty and insufficiency of initial information into accountfor the production of controlling actions. The approach is based on arithmetical representation of logical operations with consideration to the preservation of the monotonicity and boundedness properties. This approach allowed to obtain analytical expressions, which allow to convert expert evaluations, that include elements of uncertainty and insufficiency, into expert evaluations, represented in terms of mathematical logic, that are free from these disadvantages.
Введение. В системах управления критического применения процесс принятия решений (выработка управляющих воздействий объектам управления) органами управления основан на использовании рекомендаций, инструкций, указаний, которые содержатся в руководящих документах и формализованы в виде алгоритмов [1—3]. В качестве инструментария формализации часто выступают модели, описанные на языке логики высказываний и предикатов [4], или логико-лингвистические модели [3, 5]. В моделях того и другого вида логическими (булевыми) переменными отражается присутствие или отсутствие параметров, позволяющих сделать логический вывод о необходимости (целесообразности) принятия или отказа от принятия того или иного управленческого решения.
46
Принятие решений (выработка управляющих воздействий) в системах управления критического применения, к которым, в частности, относятся системы силовых ведомств, часто осуществляется в условиях неполного или частично искажённого представления об оперативной обстановке, то есть в условиях частичной неопределённости данных[2, 3, 6, 7]. Для парирования неопределённости в этом случае используется анализ статистических данных, позволяющий на основе известных закономерностей с той или иной точностью восполнить недостающие данные, и/или экспертные оценки [8, 9].
Данное обстоятельство должно быть учтено при разработке систем поддержки принятия решений в системах управления критического применения. Сложность принятия решений в этой ситуации состоит в том, что исходные данные часто не могут быть заданы логическими переменными, а оцениваются либо вероятностно, либо интервальными оценками [8, 9].
Вопрос использования оценок указанного вида для принятия решений в системах управления критического применения изучен недостаточно.
В настоящей работе предлагается подход к представлению экспертных оценок указанного выше вида, позволяющий при принятии решений использовать модели и алгоритмы, разработанные на основе методов математической логики.
1. Подход к учёту неопределённости. Сохранение алгоритма принятия решения в случае неопределённости может быть достигнуто заменой чёткой бинарной оценки (истина или ложь, фактор присутствует или отсутствует и т.п.) переменных на численную оценку вероятности присутствия определённого фактора или степень уверенности экспертов в его присутствии [3, 5, 9—11]. Указанная численная оценка должна содержаться в интервале [0,1] и, в частности, в случае невозможности её определения по имеющимся данным с помощью описанных выше подходов, естественно принять значение равным 1
—, что соответствует ситуации неопределённости.
В том случае, если не удаётся получить вероятностную оценку наличия некоторого фактора a, используемого для принятия решения, его значение может быть оценено экспертами в виде интервала [amin;amax ] е [0;1]
Указанные обстоятельства приводят к тому, что применение математического аппарата, использующего бинарные оценки, становится невозможным. Вместе с тем каждое решение должно быть либо принятым (true), либо непринятым (false). Указанное обстоятельство делает актуальной задачу нахождения аналогов используемых в логике операций, которые позволили бы работать с вероятностными или интервальными оценками входных данных и при этом сохраняли бы правильность выбора решений. Заметим, что алгоритм принятия решения в этом случае меняться не должен.
Обратимся к разработке методов выбора управленческих решений в условиях недостоверности и неполноты информации на основе использования указанных выше видов оценок параметров.
Для решения указанной задачи в рассматриваемом случае автором в [12—14] был предложен подход, основанный на использовании арифметических выражений, эквивалентных логическим операциям в том случае, если переменные принимают бинарные значения 0 или 1. Теоретически можно найти большое множество вариантов таких арифметических выражений. Поэтому возникает необходимость задания дополнительных условий для выбора вариантов арифметических выражений.
В работах [12—14] использованы арифметические выражения, которые являются наиболее эффективными с вычислительной точки зрения. Однако такой подход обладает рядом недостатков, затрудняющих его использование в процессе принятия решений. В качестве основных недостатков можно указать то, что значения получаемых с их помощью оценок результатов могут выходить за пределы интервала [0, 1] и оценки часто являются смещёнными, т. е. при полной неопределённости параметров (если значения переменных
равны 1) результат арифметического действия этим свойством уже не обладает.
В связи с этим предлагается задать следующие дополнительные требования, которым должны соответствовать арифметические выражения.
Обозначим через а * Ь логическую функцию, а / (а,Ь) — соответствующее ей арифметическое представление. Изучим свойства, которыми должна обладать функция I(а,Ь).
1) Значения функции должны совпадать со значениями соответствующих логических функций в области их определения:
для а,Ь е {0,1} выполнено I (а,Ь) = а * Ь .
2) Значения функции не должны выходить за область определения вероятностных функций:
для а,Ь е[0,1] выполнено I(а,Ь)е[0,1].
3) Значение функции в середине интервала должно соответствовать ситуации полной неопределенности:
для а = Ь = — выполнено I(а,Ь) = —.
2 4 ' 2
4) Изменения значений функции должны накапливаться постепенно:
I (а,Ь) непрерывно и монотонно изменяется по каждому аргументу на интервале
/
0,1) и
1,1 V 2 .
5) Округление значений функций до ближайшего целого совпадает со значением при округлении аргументов до ближайшего целого:
для a Ф 1, b Ф 1 выполнено round f (a,b) = f (round a,round b).
2. Изучение вопроса использования вероятностных и интервальных оценок. Первоначально обратимся к рассмотрению вероятностных оценок.
Непосредственная проверка показывает, что перечисленным выше требованиям (1—5) отвечают арифметические выражения, соответствующие используемым в логике высказываний и предикатов логическим функциям, которые приведены в табл. 1. Рассмотрим интервальные оценки.
Пусть оценки параметров a и b заданы числовыми промежутками на интервалах
(amax,amin) и (bmax,bmin) соответственно. Тогда на основе правил интервальной математики
[15] с использованием преобразований, приведённых в табл. 1, могут быть найдены интервальные оценки результатов выполнения логических операций (табл. 2).
Таблица 1
Арифметические выражения для логических операций
Операция а * b Арифметическое представление f (а, b)
a л b 4äb
—a 1 - a
a v b 1 -V(1 - aX1 - b)
a ^ b 1 -V a(l - b)
a о b V(l -Va(1 - b))1 ^(1 - a)b )
0 ■N/a(1 - a)
1 1 - у/a(1 - a)
В случае использования указанных оценок выполняются все описанные выше свойства, кроме свойства 3. Однако получаемая при этом погрешность является незначительной, что проиллюстрировано на рисунке для операции a л b, где Aa = amax - amin Ab = b - b
max min .
Таблица 2
Арифметические выражения для интервальных оценок, соответствующих логическим операциям
Операция а * b Наименьшее значение интервальной оценки Наибольшее значение интервальной оценки
a&b ЛJaminbmin "\amaxbmax
a v b 1 - V(1 - amx )(1 - bmax ) 1 -7(1 - amin )(1 - bmin )
—a 1 - a max 1 - a min
a ^ b 1 -л/amax (1 - bmin ) 1 -л/amin (1 - bmax )
a о b Vf,1 - Vamax (1 - bmin ))(1 - - Д1 - amrn )bmax ) V(1 - Vamin (1 - bmax ))(1 - V(1 - amax )bmin )
0 0 Ja (1 - a ) ^ min\ max /
1 1 amax (1 - amin ) 1
Изменение значения погрешности формулы, соответствующей конъюнкции
Заключение. Полученные арифметические выражения позволяют сохранить используемые в системах поддержки принятия решений алгоритмы нахождения управляющих воздействий, основанных на использовании методов математической логики, и вместе с тем учесть частичную неопределённость и/или неполноту информации. Дальнейшие исследования могут быть проведены в направлении повышения точности методов и нахождения способов использования нечёткой информации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Организация защиты населения и территорий от чрезвычайных ситуаций : учебник / В. А. Седнев [и др.]. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Акад. ГПС МЧС России, 2014. — 229 с.
2. Меньших В. В., Сысоев В. В. Структурная адаптация систем управления. — М. : Издательское предприятие редакции журнала «Радиотехника». — 2002. — 150 с.
3. Логико-лингвистическое моделирование в военных системных исследованиях / Н. Г. Бублик [и др.].. — М. : Военное издательство, 1988. — 232 с.
4. Горбатов В. А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. — М. : Наука, 2000. — 544 с.
5. Новосельцев В. И. Системный анализ: современные концепции. — Воронеж : Кварта, 2003. — 360 с.
6. Новосельцев В. И. Системная конфликтология. — Воронеж : Кварта, 2001. —
169 с.
7. Меньших Т. В., Новосельцев В. И. Модель и численный метод оценки погрешности вычислений в эргатических информационных системах на основе использования методов нечеткой математики // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. — 2019. — № 5. — С. 47—55.
8. Математическое моделирование действий органов внутренних дел в чрезвычайных обстоятельствах / В. В. Меньших [и др.]. — Воронеж : Воронежский институт МВД России, 2016. — 181 с.
9. Моделирование коллективных действий сотрудников органов внутренних дел / В. В. Меньших [и др.]. — Воронеж : Воронежский институт МВД России, 2017. — 236 с.
10. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / под ред. Д. А. Поспелова. — М. : Наука, 1986. — 312 с.
11. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А. Н. Борисов [и др.]. — М. : Радио и связь, 1989. — 304 с.
12. Меньших А. В., Тростянский С. Н. Логико-арифметические методы оценки управленческих решений в условиях недостоверности и неполноты информации // Системы управления и информационные технологии. — 2013. — Т. 54. — № 4. — С. 39—42.
13. Меньших А. В., Тростянский С. Н. Логико-арифметические методы выбора управленческих решений в государственной противопожарной службе // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. — 2014. — № 2 (11). — С. 36—39.
14. Меньших А. В. Подход к принятию управленческих решений, основанный на использовании арифметических представлений логических выражений // Охрана, безопасность, связь — 2018. — Т. 3. — № 3 (3). — С. 105—108.
15. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. — М. : Мир, 1987. — 360 с.
REFERENCES
1. Organizatsiya zaschityi naseleniya i territoriy ot chrezvyichaynyih situatsiy : uchebnik / V. A. Sednev [i dr.]. — 3-e izd., pererab. i dop. — M. : Akad. GPS MChS Rossii, 2014. — 229 s.
2. Menshih V. V., Syisoev V. V. Strukturnaya adaptatsiya sistem upravleniya. — M. : Izdatelskoe predpriyatie redaktsii zhurnala «Radiotehnika». — 2002. — 150 s.
3. Logiko-lingvisticheskoe modelirovanie v voennyih sistemnyih issledovaniyah / N. G. Bublik [i dr.].. — M. : Voennoe izdatelstvo, 1988. — 232 s.
4. Gorbatov V. A. Fundamentalnyie osnovyi diskretnoy matematiki. Informatsionnaya matematika. — M. : Nauka, 2000. — 544 s.
5. Novoseltsev V. I. Sistemnyiy analiz: sovremennyie kontseptsii. — Voronezh : Kvarta, 2003. — 360 s.
6. Novoseltsev V. I. Sistemnaya konfliktologiya. — Voronezh : Kvarta, 2001. — 169 s.
7. Menshih T. V., Novoseltsev V. I. Model i chislennyiy metod otsenki pogreshnosti vyichisleniy v ergaticheskih informatsionnyih sistemah na osnove ispolzovaniya metodov nechetkoy matematiki // Priboryi i sistemyi. Upravlenie, kontrol, diagnostika. — 2019. — # 5.
— S. 47—55.
8. Matematicheskoe modelirovanie deystviy organov vnutrennih del v chrezvyichaynyih obstoyatelstvah / V. V. Menshih [i dr.]. — Voronezh : Voronezhskiy institut MVD Rossii, 2016. — 181 s.
9. Modelirovanie kollektivnyih deystviy sotrudnikov organov vnutrennih del / V. V. Menshih [i dr.]. — Voronezh : Voronezhskiy institut MVD Rossii, 2017. — 236 s.
10. NechYotkie mnozhestva v modelyah upravleniya i iskusstvennogo intellekta / pod red. D. A. Pospelova. — M. : Nauka, 1986. — 312 s.
11. Obrabotka nechetkoy informatsii v sistemah prinyatiya resheniy / A. N. Borisov [i dr.].
— M. : Radio i svyaz, 1989. — 304 s.
12. Menshih A. V., Trostyanskiy S. N. Logiko-arifmeticheskie metodyi otsenki upravlencheskih resheniy v usloviyah nedostovernosti i nepolnotyi informatsii // Sistemyi upravleniya i informatsionnyie tehnologii. — 2013. — T. 54. — # 4. — S. 39—42.
13. Menshih A. V., Trostyanskiy S. N. Logiko-arifmeticheskie metodyi vyibora upravlencheskih resheniy v gosudarstvennoy protivopozharnoy sluzhbe // Vestnik Vo-ronezhskogo instituta GPS MChS Rossii. — 2014. — # 2 (11). — S. 36—39.
14. Menshih A. V. Podhod k prinyatiyu upravlencheskih resheniy, osnovannyiy na ispolzovanii arifmeticheskih predstavleniy logicheskih vyirazheniy // Ohrana, bezopasnost, svyaz — 2018. — T. 3. — # 3 (3). — S. 105—108.
15. Alefeld G., Hertsberger Yu. Vvedenie v intervalnyie vyichisleniya. — M. : Mir, 1987. — 360 s.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Меньших Анастасия Валерьевна. Старший преподаватель кафедры автоматизированных информационных систем органов внутренних дел. Кандидат технических наук.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: asy90@yandex.ru
Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-51-89.
Menshikh Anastasia Valeryevna. Senior teacher of the chair of Automatized Informational Systems of Internal Affairs Authorities. Ph.D. in Engineering Science.
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: asy90@yandex.ru
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 20-05-189.
Ключевые слова: экспертные оценки; учет неопределенности; арифметические представления логических операций; интервальные оценки.
Key words: expert evaluations; taking uncertainty into account; arithmetical representation of logical operations; interval evaluations.
УДК 519.8:004.94
