CC BY
7
Труды Кольского научного центра РАН. Информационные технологии. Вып. 12. 2021. Т. 12, № 5. С. 75-90.
Transactions of the Ко1а Science Centre. Information technologies. Series 12. 2021. Vol. 12, no. 5. P. 75-90.
Научная статья УДК 004.832
DOI: 10.37614/2307-5252.2021.5.12.007
Александр Анатольевич Зуенко13, Ольга Владимировна Фридман2, Ольга Николаевна Зуенко3
1 2 3 Институт информатики и математического моделирования ФИЦ КНЦ РАН, Апатиты, Россия
1 zuenko@iimm.ru3
2 ofridman@iimm.ru
3 ozuenko@iimm.ru
ПОДХОД К ПОИСКУ ГЛОБАЛЬНОГО ОПТИМУМА В ЗАДАЧАХ CONSTRAINED CLUSTERING С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ОЦЕНОК НЕСКОЛЬКИХ ЭКСПЕРТОВ
Аннотация
Разработан подход к решению задачи Constrained Clustering, основанный на агрегировании данных, полученных в результате оценивания характеристик кластеризуемых объектов несколькими независимыми экспертами, и анализе альтернативных вариантов разбиения на кластеры методами Constraint Programming с использованием оригинальных эвристик. Кластеризуемые объекты представляются как мультимножества, что позволяет применять соответствующие способы агрегации мнений экспертов. Предлагается решать задачу Constrained Clustering как задачу удовлетворения ограничений. Основное внимание уделено вопросу уменьшения количества и упрощению ограничений задачи удовлетворения ограничений на стадии её формализации. В рамках подхода созданы: метод оценки оптимального значения целевой функции путем иерархической кластеризации мультимножеств с учетом априорных ограничений предметной области и метод генерации с применением полученной оценки дополнительных ограничений на искомое решение в виде "smart-таблиц". Подход позволяет находить наилучшее разбиение в задачах рассматриваемого класса, имеющих высокую размерность. Ключевые слова:
кластеризация с частичным привлечением учителя, теория мультимножеств, программирование в ограничениях Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научнного проекта № 20-07-00708а.
Для цитирования: Зуенко А. А., Фридман О. В., Зуенко О. Н. Подход к поиску глобального оптимума в задачах Constrained Clustering с привлечением оценок нескольких экспертов // Труды Кольского научного центра РАН. Информационные технологии. Вып. 12. 2021. Т. 12, № 5. С. 75-90. http://dx/doi.org/10.37614/2307-5252.2021.5.12.007.
Original article
AN APPROACH TO FINDING A GLOBAL OPTIMUM IN CONSTRAINED CLUSTERING TASKS INVOLVING THE ASSESSMENTS OF SEVERAL EXPERTS
Alexander A. Zuenko13, Olga V. Fridman2, Olga N. Zuenko3
12 3 Institute for Informatics and Mathematical Modeling Kola Science Centre of the Russian Academy of Sciences, Apatity, Russia
1 zuenko@iimm.ru13
2 ofridman@iimm.ru
3 ozuenko@iimm.ru
Abstract
An approach to solving the constrained clustering problem has been developed, based on the aggregation of data obtained as a result of evaluating the characteristics of clustered objects by several independent experts, and the analysis of alternative variants of clustering by constraint programming methods using original heuristics. Objects clusterized are represented as multisets, which makes it possible to use appropriate methods of aggregation of expert opinions. It is proposed to solve the constrained clustering problem as a constraint satisfaction problem. The main attention is paid to the issue of reducing the number and simplifying the constraints of the constraint satisfaction problem at the stage of its formalization. Within the framework of the approach, we have created: a) a method for estimating the optimal value of the objective function by hierarchical clustering of multisets, taking into account a priori constraints of the subject domain, and b) a method for generating additional constraints on the desired solution in the form of "smart tables", based on the obtained estimate. The approach allows us to find the best partition in the problems of the class under consideration, which are characterized by a high dimension. Keywords:
semi-supervised clustering, the theory of multisets, constraint programming
Funding
The study was carried out with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research within the framework of the scientific project No. 20-07-00708a. For citation: Zuenko A. A., Fridman O. V., Zuenko O. N. An approach to finding a global optimum in Constrained Clustering tasks involving the assessments of several experts // Transactions of the Kola Science Centre. Information technologies. Series 12. 2021. Vol. 12, no. 5. P. 75-90. http://dx/doi.org/10.37614/2307-5252.2021.5.12.007.
Введение
В рамках настоящих исследований для систематического решения задачи Constrained Clustering предложено использовать парадигму Constraint Programming. Предлагается решать задачу Constrained Clustering как задачу удовлетворения ограничений (Constraint Satisfaction Problem - CSP). Особенностью предложенного подхода является его ориентация на групповое принятие решений, то есть характеристики всех кластеризуемых объектов оцениваются несколькими экспертами. Основное внимание уделено вопросу уменьшения количества и упрощению ограничений задачи CSP в процессе её постановки.
В качестве базовой модели для решения задачи Constrained Clustering была использована модель, описанная в [1].
В отличие от исследований, представленных в [1], в настоящей работе предполагается, что и кластер и кластеризуемый объект представляются как мультимножества, а расстояние (dy) между ними ищется с помощью метрик в пространстве мультимножеств Петровского [2]. Это позволяет расширить область применения методов решения задач кластеризации в пространствах большой размерности на базе Constrained Clustering на задачи группового принятия решений, и в случае необходимости, использовать соответствующие методы агрегации данных [2]
В базовой модели существенная проблема состоит в организации эффективной обработки нечисловых ограничений, формализующих для пар объектов правила их отнесения к одному или различным классам, а именно ограничений вида: (d > D) ^ (G ф G ). Проблема заключается в том, что
большое число подобных ограничений в совокупности не могут быть эффективно обработаны с помощью существующих сред программирования в ограничениях.
Таким образом, актуальным направлением исследований представляется разработка способов ускорения обработки нечисловых ограничений (новых методов распространения нечисловых ограничений). Данное направление исследований наиболее полно отражено в [3]. Другое направление работ, которое активно развивается в настоящих исследованиях, связано с тем, чтобы уменьшить количество ограничений, используемых для представления задачи, и упростить их вид. В ходе исследований было предложено генерировать ограничения не для всех пар объектов, а лишь для некоторых, что способно существенно снизить размерность решаемой задачи.
Предлагаемый метод
Проиллюстрируем применение предлагаемого подхода на примере задачи кластеризации c критерием минимизации диаметра разбиения.
Пусть задача состоит в том, что требуется разбить n объектов на k кластеров таким образом, чтобы диаметр разбиения был минимальным среди всех возможных разбиений. Диаметр разбиения - это максимальный диаметр для всех кластеров разбиения. Диаметр кластера - это максимальное расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими данному кластеру. Описываемая модель позволяет искать разбиение при условии, что не задано точное число k итоговых кластеров, а задан лишь интервал k е [kmin, kmax].
В настоящей работе предполагается, что и кластер и кластеризуемый объект представляются как мультимножества, а расстояние между ними (dij) ищется с помощью метрик в пространстве мультимножеств Петровского [3]. Кратко опишем предлагаемый подход:
1 шаг. Оценить диапазон значений, в который должен попадать искомый оптимальный диаметр разбиения. Для нахождения первоначального разбиения предлагается использовать метод FPF (Furthest Point First), представленный в [4]. Данный приближенный метод позволяет найти оценку для оптимального
диаметра разбиения: D е ^dFF / 2, dFFF J . При этом, чем точнее мы определяем
нижнюю границу, тем менее точной оказывается верхняя, и наоборот. Как правило, этот метод позволяет получить хорошую оценку именно для нижней границы. На основе полученной оценки генерируются ограничения cannot-link ( Gt ф Gj) для тех пар кластеров, для которых dtJ > dFPF . Для пар объектов,
удовлетворяющих условию dij < (dFFF / 2), ограничений и вовсе генерировать не требуется, поскольку для них ограничения вида (d > D) ^ (G ф G )
вырождаются в тождественно истинные утверждения.
2 шаг. Выполнить конкретизацию верхней границы интервала
D е ^dFPF / 2, d№F J . Для этого осуществляется процедура иерархической
кластеризации мультимножеств, описанная в [3]. Существенная модификация данной процедуры заключается в том, что в ходе кластеризации анализируются ограничения cannot-link. Применение данного метода повышает эффективность вычислительных процедур и позволяет сократить перебор вариантов объединения кластеров. В результате данного шага получаем новый интервал для оценки D.
3 шаг. Сгенерировать ограничения для систематического решения задачи CSP. Предыдущие два этапа позволяют генерировать ограничения не для всех пар кластеризуемых объектов, как было описано ранее. Ограничения представляются с помощью табличных ограничений, а именно предложенных одним из авторов smart-тaблиц ^-типа [3]. Обработка данных ограничений производится с помощью высокоэффективных авторских методов удовлетворения нечисловых ограничений [3].
4. шаг. Решить сгенерированную на предыдущем шаге задачу Сот^атеё Clustering с помощью описанных далее эвристик для поиска переменной и её значения. Предлагаемый метод систематического поиска опирается на следующие эвристики выбора переменной на текущем шаге поиска: выбирается переменная, домен которой содержит наименьшее количество значений. При выборе значения переменной руководствуемся следующим правилом: поскольку переменная представляет один из кластеризуемых объектов, а её значение -номер кластера, то присваиваем переменной номер того кластера, который ближе к рассматриваемому объекту (рассчитываются расстояния между соответствующими мультимножествами).
В настоящей работе подробно рассматриваются 1 и 2 шаги предлагаемого похода, направленные на снижение количества генерируемых ограничений задачи удовлетворения ограничений, а также на упрощение вида ограничений.
В качестве примера применения разработанного метода рассмотрим задачу кластеризации участков горного массива по уровню сейсмической активности. Задача состоит в том, что участок горного массива разделен на определенное количество условных ячеек, в нашем случае их 56 (рис. 1). Каждое пространственная ячейка оценивалась двумя экспертами. На рисунке 2 приведены фрагменты таблиц оценок. Оценка производилась на основании определенного набора факторов, оказывающих, по мнению экспертов, влияние на возникновение сейсмических событий.
Рис. 1. Разбиение горного массива на условные ячейки
Исходные данные были представлены в виде таблицы с описанием совокупности влияющих факторов с учетом числа сейсмособытий и с представлением групп сейсмособытий в виде совокупности мультимножеств.
В качестве признаков (факторов) использовались: СН - структурные нарушения (разломы), ГП - типы горных пород в ячейке (рудное тело, вмещающие породы,...), ОП - очистное пространство текущего горизонта, ОПв -очистное пространство вышележащего горизонта, В - выработки (сопряжение, вертикальные, горизонтальные,.), С - сейсмичность (повышенная, средняя, фоновая), ВР - взрывные работы (проходческие, добычные), ФР - фронт работ (от центра к флангам, от флангов к центру целика, ...).
Каждый фактор, который используется для оценки, имеет собственную шкалу. Цель кластеризации - выявить зоны с различной степенью сейсмической активности. Данная задача фактически является задачей группового принятия решений. Для её решения был привлечен аппарат теории мультимножеств.
N СН ГП ОГ1 ОПв в с ВР ФР
0-4 ш 0-3 0-4 1-5 0-4 0-3 0-3
А [ 0 -1 0 0 0 0 0 0
А 2 2 4 0 0 0 0 0 0
АЗ э -1 0 0 0 0 0 0
А4 1 4 0 0 0 0 0 0
В1 0 4 0 0 0 0 0 0
в: 2 4 0 0 0 0 0 0
в? 3 4 0 0 0 0 0 0
В4 1 4 0 0 0 1 0 0
01 0 4 0 0 0 0 0 0
N г П ОП ОПв в с ВР ФР
0-4 0-4 0-3 0-4 0-5 0-4 0-3 0-3
А1 0 4 0 0 0 2 0 0
а: 1 4 0 0 0 ! 0 0
ш 2 4 0 0 0 ! 0 0
А4 1 4 0 0 0 0 0
В1 0 4 0 0 0 0 0
в: 1 4 0 0 0 з 0 0
в? 2 4 0 0 0 з 0 0
В4 1 4 0 0 0 3 0 0
а 0 4 0 0 0 2 3 0
Рис. 2. Фрагменты таблиц с оценками экспертов
Мультимножество - это множество с повторяющимися элементами [2]: Л={к- (х)«х| хеХ, к- (х)^2 }, где: к (х) - функция кратности элементов.
Ниже приводятся два способа описания мультимножества:
М={а, а, а, с, с, е, е, g, ё, ё, ё, Ь, Ь, Ь, Ь, Ь}
М={<3, а>, <2, с>, <2, е>, <1, g>, <3, с1>, <5, Ь>}.
Над мультимножествами можно выполнять следующие операции: объединение, пересечение, арифметическая сумма, арифметическая разность, симметрическая разность, дополнение, арифметическое произведение, арифметическая п-я степень, умножение на число и т.д.
В настоящей работе используется представление мультимножеств с помощью векторов. На рисунке 3 показано выполнение операции суммирования мультимножеств, записанных с помощью векторов:
Рис. 3. Пример сложения мультимножеств в векторной форме
Ниже на рисунке 4 показано представление экспертных оценок в виде мультимножеств с помощью векторов и их суммирование. Каждая строка таблицы соответствует мультимножеству.
N сн гп оп ОПь R с ВР фр
03 0-4 os 0*4 0-5 0-J о-э 0-3
Ai ЮООО 00001 1000 юооо ЮОООО юооо юоо юоо
А2 00100 00001 1000 юооо юоооо юооо юоо юоо
А? ООО Ю1 00001 1000 юооо юоооо юооо 1000 юоо
А4 01 ООО 00001 1000 юооо юоооо юооо юоо юоо
BJ юооо 00001 1000 юооо юоооо юооо юоо юоо
в: 00Ю0 Oüoüi íooo юооо юоооо юооо юоо юоо
BÍ 00010 00001 1000 юооо юоооо юооо юоо юоо
В4 01 ООО 00001 1000 юооо юоооо 01 ООО юоо юоо
CI ЮООО 00001 1000 юооо юоооо юооо юоо юоо
а)
N г п оп ОПв в с ВР ФР
0-1 0-4 о-э 0-4 0-5 СИ 0-3 0-Í
Al юооо 00001 1000 юооо юоооо 0G100 юоо 1000
AI 01000 00001 1000 юооо юоооо 01000 юоо 1000
АЗ 00100 00001 1000 юооо юоооо оюоо 1000 1000
АЛ 01000 00001 юоо юооо юоооо 00100 1000 3000
В1 юооо 00001 1000 юооо юоооо 00010 юоо 1000
В? 01000 00001 1000 юооо юоооо 00010 юоо 1000
ЕЭ 00100 00001 1000 юооо юоооо 00010 1000 1000
ы оюоо 00001 юоо юооо юоооо 00010 юоо 1000
CI юооо 00001 1000 юооо юоооо ооюо 0001 1000
б)
N сн 171 он ОПБ В С BP ФР
0-4 0-4 0-3 ft-4 0-5 0-4 0*3 0-3
А1 20000 00002 2000 2МОО 20ММ 10100 ZOOO гом
А: 01100 тамг гом гмта ¡огам пота гтао гом
A3 00110 00002 2000 2МОО 200000 11000 1 ООО гом
А4 02000 00М2 2000 IMOO 2000М 10100 2000 гом
Б1 JOOOO там2 20М гоооо 2U00M того soon 2000
в: 01100 00002 2000 20000 200000 10010 2000 гом
В J 00110 00М2 гом 20000 20ММ 10010 гом гом
В4 02000 мм: 204X1 20000 200000 01010 iOOO 2000
а 20000 там2 гом 2МОО 2000М 10100 1001 гом
в)
Рис. 4. Представление исходных данных для иерархической кластеризации: а) оценка первого эксперта; б) оценка второго эксперта; в) агрегация оценки двух экспертов путем сложения мультимножеств, соответствующих одинаковым пространственным ячейкам
Согласно описанным выше шагам предлагаемого подхода, были рассчитаны расстояния между исходными кластерами (один объект - один кластер) и сформирована матрица расстояний, которая представлена на рисунке 5. Для вычисления расстояний между кластеризуемыми объектами, представленными в виде мультимножеств была использована формула:
n
d11(0i, 0j ) = Z | kAi (X) - kAj (X) | l=1
где Ai и A - мультимножества, соответствующие объектам ot и o .
При выполнении первого шага предложенного метода производится разбиение объектов методом неиерархической кластеризации FPF (Furthest Point First). Данный метод позволяет получить следующую оценку для значения диаметра разбиения: D е [14,28], поскольку найденное значения для параметра dFPF равно 28.
I | | 4 | Т
■ ■ -
■II ■ -■ I- ■ ■ 4 I- ■ ■■ - III - III - - и ■■
■ ШЛИ
■ III -'Ы
I Н И Н!
4 I 4 I 4 1 I
И (и
2 6 6 4 6
0 2 4 4 1 (421 4 2Щб
1 4 £ 4 С 4 ~В |0 И I I 1 4 I II
64414141 Ю В 419 к 1 |[> : ■ 1« 4 1« 1 II) & с 6 I I II 41 1И 1 II 19 I I 1 I 1 1 ! а 4 с 14 |0 ЗН 14 12 1и 11 и 14 4 ]г 10
4 1 8 4 19 14 14 14 1124 36 1114 ИЗ* 1131 33 9 3 ¡4 33 39 »Л3133113(31 И НИ ИХ 1919 1411 1 19 14 II 4 I I I 4 с 9 I (Ни161221 24 2 6 2226242226из 3431313139313414242114 22202022 14 01016 и 111121 4 I 4 4 4 19 I 1 1111114их»14 »ишш 26 23 Л 14 31 3131113131242424 В 22 2 2 1324 14 Л 12 13 12 19 II 14 3 4 4 4 1 И 4 I »Н1!И 114В31393131 3214 £ 31 34 31 33 312) 11313114333111 22 13 22 24 14 4 12 14 12 6 II 14 6 6 6 6 4 И 19 < 1141411142114 »24 2423 1324 36 30 Л 24 Л 9 ИВЗОЗО 112421В ИЗ« 3914II 11411 4 19 II 14 4 3 3 3
1 1 I к 4 11 11111229 ИИИ1414 Ш14 ИХ 24 21 31 311111 ЛИПШИМ 22 13 1329 14 б|0|4 19 I 11 19 4 4 4 4 4 19 < 3 19 14II14 1114И143334 Ш24 2( 23 24 2 4 31 311139 3131112424 Ь 22 20 142114 11214 |9 |9 II |2 3 4 4 4
2 а 4 1» 1 И »1419 2139 2114 3131 34 31 31 34 24 31 91 9114 В3334143391В 24 1 3 2 2 2 4 II 11414 II I II 14 1 1 1 1 8 8 4 ! I II 111110 22 14 МЗЗШ 16 34 31 31 II 24 31 3114 В 3131 112421В «39 39 24 3 31214 4 19 11 14 3 19 19 19 |£ 6 ( 4 н В II 19 21 39 21)2(5242 4 32 32 31 23 24 21 31 911114 МИ 21293114 2114 392114 41211 19 4 14 12 4 4 4 4
4 4 14 14191}22 11191424 2024 1» 14 ■ 24 2! *2! 22 2 '24242426¡3 39 31 13 2 4 |2В|0|3 11 11 II 14 II ■ ■ ■ 4 12 314 4 3139 Л11 »14 3131 91 В 24 31 91 34 3) 113131 24219111 22 13 22 24 14 6 |2 14 II 3 II |4 |0 ]0 |0 |0 1 И 1411192! 22 1414 И Я * 14 31211119319111141111 н 29 2924 6 11914 4 19 II 14 I I I I
31! 13) ЩМШЫ 31 39 31 И 31 20 21 23 2! ¿3024 222023» 22 14 2922 14 4 12 12 19 3 И 12 10 Ю Ю Ю 12 111111111219 3314 24 24 2. Ь 26 34 3) 34 34111214 21242411 2* 24 22 24 |4н 14 22 14 14 2) 13 14 12 12 12 14 14 141! 14 12 14 С 12 10 н 3 К 3 1Л161О111121291424 2422 2' 26 26 20 21 24 2! «24 2 4 24 2 0 2 2 14 ±20 24 24 201)1313 14 14 2) 13 14 161616 14 16 1411 12 14 14 н 12 14 н |4 |1 II А«Щ]3 14 В 1620 2622 14 39 24 22 и 39 3* 1416 22 2 ( 29 142024В н |4 13 22 19142014 14 29 2) |4 11391939 ' 12 12 14 3 14 12 14 Й 10 10 И 4 16 3 13 1311Щ2З «2612 2622 22 13 2В Ь 26 20 26 2! 2! В213434393114 22 2 0 22 29 14 1) 1014 16 12 II 14 12 12 12 12 24 12 2021 22 20 132! 22 22 в 22 2; 20 16 н 162оИ« 2; 13 1620 26 22 II П 36 31 16 2! 26 24 182 9 22 24 1 4 В 22 22 16 29 |3й 1316 20 22 16 12 !2 39 19 30 ' 2с 24 2 6 22 24 22 2 4 20 2 4 2 0 22 2 0 2; 13 22 £23|6|Щ£]4 1314 26 20 2; В Л 14 2! В31142! 1134393914 22 14 13 14 13* 1312 2 2 2 0 2) 16 ;0 20 2020 16 Н 3939 1620 202! 14 20 11 20 11 20 22 24 13202! ¿Щ]2 2213 3 14 2' 22 и 20 21 2! 11 22 2 424 12 1322 В 412 14 13 331313 14 20 2) 13 16 13 13 13 24 12 24 39 24 32 24 39 Н 20 Л 111» 13 39 391)11 1: Н1Я2П0 13 19 1! В 24 14 22 39 24 Ц2'32191411В 14 14 16 14 11В 1114 24 20 1} 14 ;9 39 1939
21 К 2421 2414 3134 91 24 Я 9111 3111 2« 2626 |б й2.2|Я]4 22 20 16 В Л 31 14 И 9131 КЗ!313414С 3434 13 13 2 6232624 91 91 31 34 ;б 24 14 24 40 26 2323 2324 2626 28 2 6 24 2 6 2 6 2 4 24 24 2 ! 22 2) н 1(1бТЛ|6 12 1, 4 36 22 2) 1)2624 2: 19 2422 2 9 В 22 20 20 13 2224 22 22 23 28 21 20 :6 24 26 24
' 18 2 2 2 2 22 13 2 2 2 2 24 16 2 2 2С 22 К 2 2 24 ь 1622 26 26 (13 22]оЩю 30 В 11 13 2! 20 13 И 2,22 12 1322 В 3 14 13 22 ЮВ 1320 14 22 21 22 13 20 20 20 23 16 2321 2624 2622 26 22 24 22 14 20 2| 22 2 3 |32! В 16102012 юИ|8 И ¿10 2! В 23 14 2113 «1222 Ц 14 12 20 1320В22 13 22 21 21 39 24 24 14 24 12 13 2632 3023 2623 30 30 24 30 36 2 6 22 21 21 23 16 22 2122 1Ш 20 1аИз 26 26 |! 39 31 34 1616 34341211 3434 |б 16 2 3 23 2 6 2 4 2 3 30 26 24 62 919191 ¡2 16 2330 3026 2326 30 23 26 23 36 2 4 34 34 31 34 31 В2;39 II 4 13 14 гИд 22 2) |! 26 24 2 4 3 24 22 2 0 В 24 20 ]3 ]626262422 23 23 21 22 £23 3023 20 12 2 2 21 20 2 4 2 4 24 18 2 4 22 2 4 1( 22 26 26 I! 242630 1,24 3024 12 2 0 2621И1О 11 В 4 12 1Мб 41211В и 13 22 26 1622 22 22 16 24 21 22 \2 24 14 24 2° 14 2621 24 22 24 2! 24 20 * 22 21 20 26 20 2 3 2 0 2 ! 21 20162822 13 Ю 26 22 |Щ]3 ¿ 13 4 1614 3 4 1бн И 14 ЗЗЗЭ21ВШ1 20 22 2! 18 !4 24 14 24 12 13 2632 32 30 2330 31 32 22 3 0 2 1 23 20 21 21 26 1622 2122 1420 22 22 1, В и1а(12 11 й ' 12 В20 4В 24 2 6 22 22 263024 26 23 32 23 2с ;0 23 1323 80 13 3028 32 23 ЗОВ 28 30 * 2 6 2 ( 2 3 26 24 21 2 2 2! В2;39 1219 39 13 26 12 1: 16 1Я16 й 14 4В1116 6 22 22 24 22 2428 22 24 23 30 21 24 А 26 1326 ' ю 12 22 В 1322 22 24 14 22 22 20 16 22 26 22 1622 26В 14 24 ЗС26 10 20 2! л 4 II 1!«Щ|3|6|3 41211В 14 13 22 26 14В2022 14 22 2! 22 .0 22 12 22
22 10 22 3 20 13 20 £ 20 16 22 13 26 16 22 1621 |321 24 2. 13 2 8 2 4 13 14 26 14 11 4 1} й 1Щ1М6 |2 616« 22 16 22 2022 н 2013 16 13 24 39 В 39 1939 '80 13 2630 3023 2632 28 30 24 36 26 30 22 21 2 126 1}22 24 24 1422 2 2 21 16 21 4 16 1 н |6«Щ|6 3]6 6« 24 24 202026232224 2 6 30 2 6 24 . 3 26 1626
82 16 2330 3026 2326 30 23 26 23 36 2 4 34 24 3) 34 3) В1» И 2210 22 13 16 3 4 14 |! 4]| «|Лй]б|4 4 1439 3139 34341431 26 30 2 6 22 £23 30 23 20 1 4 2 4 21 13 2 2 2 2 24 18 2 2 24 2 4 К 22 28 21 11 242! Ь 1.202824 12 16 26 21 6 3 2) В 6 12 |8|з|з]4 14 1) 14 1322 16В2220 14 24 2! 18 !2 24 14 24 ' 2о ¡4 2о22 2 4 2 2 2 4 22 2 4 2 0 А 2! 24 39 24 В 1)2424В 1(142121 13 12 3111 и 4 3) В II 61616 ЗЩ1112 13 10 111622В2216 24 21 24 20 .1 24 14 24 39 13 2630 2326 24 30 28 2 3 26 30 2( 23 21 22 21 23 11 В 2,22 1420 22 22 и В К 14 1 14 1} 14 614 ннЩв 22 2 0 1 6 1 6 2 6 26 24 2 2 2 4 30 2 6 22 :0 23 1323 99 К 2321 2114 3431 31 34 31 31 31 34 31 2431343) В16141214 39 13 II 19 II 14 II 4 1} 14 II 4 н |2 |4 13 16 2424 22 20 24 23 21 20:3 2613 26
' 18 1 2 2 2 22 13 2 2 2 2 24 16 2 2 Л 22 14 22 21 Ь II 22 2! 21 614 2622 3 14 26 21 и 13 21 2! II 22 24 2 4 1)1322 вШз 12 16 ЮВ 1313 14 22 2) 13 13 20 10 20 22 10 22 В 20 13 20 В 20 1 6 22 1 3 2 6 1 6 26 В 16202! « 1! 14 2420 14 12 24 В Л 14 26 2! 13 «24 20 н 1020« аШа Ю 16 м |ЗЮ 16 13 2) 16 !0 20 10 20 22 10 1322 2013 162! 20 20 в 2 2 2 6 2 0 22 21 13 2 2 16 В 14 16 1820 13 20 и « 2; 22 2! 24 21 22 2 6 2 2 й]3|бй 12 8|б|3й1б|2 13 20 16 14 .2 20 10 20 2с 12 24 21 24 20 22 24 2 4 2 2 24 2 4 2 < 2 2 24 24 21 2 0 2) 14 1(14 18 1 3 2 2 ]3 16 16 Л 20 2! 2126202620 22 1616« « 10 оЩ_12В 1311 22 22 1! 16 Л 22 14 22 ■914 14 14 1014 14 В 8 14 12 14 6 14 « В I) 14 |3 и (132121 1020 28 26 * 22 2 6 24 11 22 ¿«26 «222614 1416 ]322Щ1и0|2 3 12 II |2 3 191919 10 3 10 6 36 36 8 411 6 ( 4 м 1)161013« 1(132824 2020 28 Ь 2; 13 М 23 23 н 2826 В1326 ¡4 В 14 1320 |НЗ 364 1! 36666 ' 14 10 12 12 14 10 12 н 12 12 И 12 16 12 н В О 1111 В 11111131 1322 26 21 2; 22 21 2! 23 В 2; 2 4 22 2 2 2 4 В В II 16 1311аШа Ю Ю I) 3 3 6 3 6 ' 18 16 13 н 16 14 16 н 16 12 в 14 II II11 В 16 14 16 12 1(16 2422 2 0 13 24 22 2; 13 26 24 21 02122 В1412В В 19 II14 12 3 зИ|2 12 II 3 14 14 14 14 0 12 12 12 610 101! о 10 12 12 1 19 В В 14 142311 11143111 1431 31 31 К 39 31 31II ВИЗ! 14191414 14 14 1111 1 4 юТгЯи II II 1 19 1919 10 3 10 6 10 3 10 3 10 6 12 3 16 3«н2)|2 2!В2О203С23 22 24 36 28 24 21 31 3121 Ц3131143331В 22 13 3921II 4 1012 1иА|) |2 6 6 6 6 14 12 14 12 16 12 N В 14 14 Я N 16 14 39 391)14 |6В26]3 2624 24 24 2б 24 21 22 2 3 24 21 24 2626 2224 2614 2020 16 11 1411 10|2 |б 1Л4 11 |0 |2 |0 1с 12 14 н 14 10 12 н 14 12 н 14 14 II В В 16 14 |1 « 1(16 242 0 2 2 2 0 24 22 2; 13 2 6 24 21 39 2131 02022 В В 14 14 14 II 1 3 3 12 12 |Щ|2 Ю 12 Ю об 36 66 33 8 6 Ю 19 6 Юн« 13 12 2! В 14202626 1321 1. 30 2; 24 3) 23 23 В 2(30 22 24 3013 18 20 22 21 3 6 311 3 6 I! 1Л2 2 2 14 64 14 41 10 41 19 (ЮЦ «23 12 2)В 1(202424 2024 36 28 24 24 31 341139313114242114 3934 39 21II 4 414 10 6 I) 10 2Ш2 0 14 64 14 41 10 41 19 ( 19 11 «23 |2 2)В 1(202426 2024 36 30 21 24 2 3 2321 В 26302424 23 3 3934 3934 Ю 6 114 ]0 6 |1 II 2 2Н2 14 44 14 41 10 41 19 ( 19 II «23 |2 2)В 1(202424 2024 36 а 21 24 2 3 26 21 В 2623 24 24 2316 В20 2022 Ю 6 614 19 6 I) Ю 2 и ¡И
Рис. 5. Матрица расстояний
Полученные на первом шаге кластеры представлены на рисунке 6.
Рис. 6. Результаты применения метода FPF (Furthest Point First)
Значения диаметра меньше 14 попадают в зеленую зону и нас не интересуют, поскольку для соответствующих объектов ограничения вида (d > D) ^ (G ф G ) вырождается в тождественно истинное утверждения.
Значения диаметра больше 28 попадают в красную зону, и для них формируется ограничение cannot-link G ф G . На рисунке 7 показан фрагмент оценки
процентного соотношения между объектами, исключаемыми из дальнейшего рассмотрения, и объектами, для которых требуется генерировать либо упрощенное ограничение G ф G , либо ограничение вида (d > D) ^ (G ф G ).
Таким образом, на предварительном этапе нам удалось исключить из рассмотрения 30 процентов ячеек.
Далее опишем второй шаг метода. На втором шаге уточняется верхняя граница интервала для диаметра разбиения. Для этого применяется модифицированный метод иерархической кластеризации мультимножеств КЛАВА-И [2]. В процессе объединения кластеров учитываются ограничения cannot link, то есть, какие пары объектов не попадают в один кластер. То есть, при выборе кластеров для объединения мы не рассматриваем объекты из красной зоны. На каждом шаге иерархической кластеризации красная зона разрастается.
Допустим, если мы объединяем два последних кластера и {N2,N4},
тогда запрещенные комбинации на объединение каждого из кластеров становятся запретами для итогового кластера {N1N3N2N4}, как это показано на рисунках 8,9.
ЕИ <33 И в; »ШЕЕ
ж 16 и 21| 11 н^Н 20
25 18 26 22 262024242822 ЛИД 2 22 2020282122 И
24 16 24 262111 Л'.рс | 2) 22 20222424 22 Я 28 26 2« 242024222622 К 26 28 24 20 22 20 262( 24 22 28 26 24
24 и 22(21 к 25^Н и
2020202626 22 "Щ 23 21 22 18 202424 20 24 24 26 22
20 20 и(25 22 2гД 3 24 22^20282614 2. 10 { 11
2С 13 2824 22 20 26 24 22 22 22 202224 24 24 22 26 26 24 202424 26 22 24 26 26
21 10 К 25 22 16 20 24 22 12 16 2С|2£22 22 18 28 26 26 16 22 18162026 22 16 22 26
1814 26 20 22 ЧЩ 2218 В 1С 24 22 12 14 12Ик1[ 11 Ю 22 20 24 22 К114 22 21 10 30 14 18 16 14Ин 12 12 2б| В 11 22 15 0 10 20 1:': 12 20 1С 102112 10 Ша 14 20
22 24 22 1012 20 11 0 8 2! 11 22 20 1з| 411 1; 1
|| 12 2^(251120 2 5 2. О 24 20 162822 1Л26 22 10 22 24 22 1420 22 22Щл 16 22 20 22|20 10 21 12 13 1 14 24|2б| 20 2 8 21 4 24 22 18 2 8 24 18 14 2 6 2. 12 22 24 24 14 2 2 2 2 24 16 24 16 24 22 2210 22 10 1С ^6 2б|п 20 2124^16 25 2: С
20 18 162622 1аЩ26 22 12
20 22 22 14 2 0 2 2 22 11 К И 16 20 2С22|2С 11 11 10 18 221ШбТЛм 2 6 24 14 1б| 142420 14| 24 20 19 14 16182018 20 16 18 22 14 18 141818 22 18 16 16 26 1826 22^ 20 28 26 16 16 18 18 2 8 2 4 2 0 20 28 26 22 18 182622 18 22 26 24 22 Л 18 162422 20 18 24 22 22 22 16 24121 14 22 28 23 16 20 20 21^21 22 2. Щ 21 24 2020182624 24 ¿5 26 34 24 16 18 16242022 20 24 22 22 201620262618 24^Н 22 2018202424 20 2-Д 14 24 20 13 202426 20 24^Н24 2018 202424 20 --Ш 23 24
Зин:: в и пкикш^ии ш м: ыз ш кз к >з №
13 .22 22 21 10 1 0 14 11 Ё 10 14 11 С 3 1 1
14 28 232220232624242326 22 Ш 20 22 И 1 10.1 12 1 12 12 6 4 С 4
25 25^22222 5 232426 2 623 2 2 22 18 24 8 6 6 6 22^^2С1лИ24 22(21 22 1822 24 12. С 12 . . 12 С 12 . . I С С 2 2 . 32 32 .:'.2.'|№Э|| .2 242123 11 20202- 10 1 14 1! 6 В 1С 14 С 3 11 22^82218 232522222 624 22 11 18 20 V- 610 14 10 8 12 10 6 4 С 4 222202С21 22 24242С 22 К 1С 22 14 812 1! 10 10 1; 12 8 6 6 6 22^^2-11121 24 2212:'. 24 18 22 24 1б1б14 .. . 12 В 16 1 . 1 1 1 О 24^1 14202Ш11242121 16 20 20 2 . 3 ВО 15 С В 14 1 . 1 10 1Я 1С 20^^2215 (232220 2 825 22 162022 11 4 12 12 10 С 14 12 6 С С 5
26 22 2С2222242С24 252523 20 22 11 24 12 101011 12 12 1С 14 10 8 8 8 22| ЗС20иЬ 24 22(.Ч 22 18 22 24 12. 612 14 12 I 14 14 10 10 1Л 10 24 21 231520 2 5(18242 8 23 14 20 20 2 . 1 850 1Ш С 1 16 1 . С 8 8 1 20 23 232210(2422202 326 22 16 2022 И 4 12 12 10 8 11 12 10 10 1Л 1С 26 20 262622222623262423 24 26 22 24 16 14 14 22 16 16 20 18 1- 12 12 12 20 24 242216242424202224 26 20 24 24 2. 10 18 18 16 14 20 18 16 16 16 16 20 24 241622 232014 202422 14 16 11 22 Я^О 16 14 20 20 1С 11 20 20 2 0 20 26 22 2213262626202326 2 2 20 22 20 14 10 10 14 1С 12 14 1: 12 12 12 12 22 16 2226241а2022241420 22 22 16 20 13 18 18 16 20 22 16^22 20 20 2 0 24 22 11(24221826202016 22 1С 18 14 13 16 11 12 22 20 20 16 2 0 20 20 20 20 24 221422 2424(13 2 2 2:^1 14 1з|и 11 18 16 20 20 13 16 13 11 11 16 22 202418242220162220 14 14 16 14 11 11 18 16 24 20 18 1620 20 20 20 28 14 22( 28 1 422 23 261422 2 6 24 18 18 26 2 8 25 24^Н 26 24 2 6 24 24 2 4 22 20 102С 2 4 2 2 10 2 4 22 2 0| 22 20 20 18 22 2 4 22 22 23 23 24 2 0 2 6 24 26 2 4 11 2220|>И2 2 22Ш1222: В 14 18 22^20 13 20 14 22 2 4 22 18 20 И 20 10 22 132014241115122213 14 12 20 18 202022 18 22 24 24 20 24 24 24 24 26^0 23261616 26 2б[и 26 24 16 16 23 21 26 2- 26
22 2- 12 212-2- 824 2220*124 20 18 16 26 2 6 24 22 23 23 2 4 22| 2з| 23 10 16 11 4121..1 С 121111 14 18 22 26 1622 22 22 16 24 24 22 22 24 24 24 Щй НИ 41514 1 41514 18 14 22 20 22 18 22 18 20 22 22 18 24 ¿5 24 2 4 .:': 0 121811 4122121 615 24 2622 22 25 2: 1 28 25| 28 23 28
15 12 Ш61114 421 1316 6 2 2 22 24 2 2 24 2 1 22 2- | 24 24 28 25 23 2 6 10 11 15 010.1.1 С 121111 14 18 22 26 14 202022 14 22 22 22 20 22 22 22
4 11 1210 0. 51512 П 616 22 16 22 20 22 14 20 18 15 18 24 20 20 20 20 20 16^^ 1615(151115 615 24 24 20 2 0 26 21 22 2- ' Я 26 2 4 21 25 26 2 6 ..12 41115151111614^4 20 22 20 26 2 6 2422 2б| 26 22^ 22 302В 8 23 21 61212.2 0 81414 10 14 18 22 16 2 0 22 20 14 24 22 1822 24 24 2 4 Щ»3112 61515 8 0. -12 12 10 18 1622 1822 16 20 22 24 20 24 ¿5 24 2 4 15 6 161115 61414 14(10 22 20 16 16 26 2 6 24 22 26 22^ 23 23 2 3 14 1б| 131515 4-1210 0 20 16 11 16 24 2 4 22 20 24 21 24 2 0 28 25 23 25 18 24 221422 2 4 245018 2 2 22 О 1 12 1 5 10 20 18 18 14 22 20 18 18 20 20 20 14 26 221116 242014(2011 1 0 1 Ш16 14 15 10 16 11 20 1620 20 Ш 20 22 22 242222202218181612 12 1 0 6 18 11 15 12 18 20 16 14 22 20 20 20 20 22 22 262020202216 1616 1 5 10 С | 22 20 18 14 22 22 18 16 2 4 22 Ы 22 22 2С 24 14222525 1С 22252- 10 15 11 22 010 1012 В 12 14 52 8 10 11) 10 : | 232014232520182624 20 14 11 2. 10 О 1 1 5 4 12 8 6 5 5 5 2 2 24 222020 222422222 422 18 18 16 10 8 8 6 8 6
13 26 242213242220162220 1з|юП 1 . 12 1 1 0 12 12 12 20 23 231416252514 202424 14 1С 11 22 В ПОцШш 1С 12 В 10 1Л 10 22|32 |>2.:.|ИЗ^.,.22(::. 22 11 2, 22 12 4 1012 10 0 10 12 6 С С 1 22 23 242224262622242624 20 20 16 11 И 12 10 П 15 55 0 4 12 10 12 15 13 26 242220242218202220 11 16 14 ЗС 12 1 1 1 12 12 4 012 10 12 К 2-| 21232021|22 2 (и 11 20 22 2.161.. 1 6 12 12 02 2 2 24 23 262220262324242825 20 23 23 22 10 6 0 14 10 6 10 10 2 0 2 1 24 23 23222025(24 242123 20 2020 2- 10 6 1 .- 10 6 12 12 2 2 0 2 24 23 262220262824242325 20 20 20 22 10 6 5 1: 10 6 10 10 2 1 2 О
- клетки, для которых не надо генерировать ограничения (26,5%)
- клетки, для которых ограничения имеют упрощенный вид (4,5%)
1—1 - клетки, для которых надо генерировать ограничения (70%)
Рис. 7. Уточнение интервала
ЕЬм^р
161
Я
! с 1 2 £ 5 5 !
9 6Ю1И612 2234Л22Л36 Л » АХИ 34 Я 21Л Л Я26 Я 24 Я 2612 Л » Л И 310 1С 12 9 12 12
5 г а 1! 1С 14 2026Л24 24 Я 22 29 2С Я 22 2С 2[Л 22 22 X 28 24 X X 2122 22112414 1012 19 12101414
а С 14 1С 19 3 24 22 2020 23 29 22 2-^Я 24 22^ 28 20 13^^24 2г| 2122 13 22 24 14 6 12 14 12 61214
4 8 14 14 12 14 22 24 1624 X Я 13 2£^| 20 24^Н 13 2С^| 13 24 23 23 19 Л » 24 10 8 14 16 6101614
9 С 12 П1612 20222022 3(3» 23 24 29 2С 24 яЩцЗЗ 13 29 2622 22 ЗС 34 22 X К 30 14 610 14 10 91210
3 9 10 14 1С 14 19 24 2024 22 26 22 26 26 29 24 ИдД 22 20 26 2122 24 24 26 22 2016 22 143 12 16 10101412
С 1С 211101410Е 20 22 2 0 26 26 24 22 29 X 24 22^^24 1зИ25 24 2г| 29 24 13 22 24 16 6 14 14 12 9 16 14
[ ! 9 12 12 12 10 22 24 14 2 ¡И 13 1С 19 2-Й 23 14 Я дД 13 24 23 29 16 Л Ж 14 9 3 12 1С 6 10 14 14
9 4 14 10 1С 1022 М 20 2 0 36 36 23 Л 29 24 1И 21 22 2С28 3622 16 30 22 14 4 12 12 10 С 14 12
2 4 6 2
2 О С 6 4
4 С 0 [ 4
6 6 [ I 4
2 4 4 4
4 2 6 4 2|
4 С 4 [ 4
3 9 6 4 3
4 С 2 4 2 £ 4 1010 1
3
СВ 10 а ш
4 2
С 1С 3 4 £ 3 С 4 10 2 10 4 4 10 10 2 9 3 4 £ 10 2 9 1С
С 9 3 1С
3 3 10 4 10 3 1С £ 6 С 439343910296 10 С 9 6 3 С 9 2 3 4 С
С С 4 Ы1410 1122 1120 24 31 30 14 34 26 П ЖЛ16ЛЛИ16ЯХХ111«22 1134531010 11 12 13 16 14 9 4 12 3 16 С22202] 1: з| 2! 22 2гД 29 24 22|26201з1г3 24 >>| 2122 13 22 24 14 612 14 12 91414 10 14 12 10 22 22 12 2023 X 14 . 30 19 24 29 2116 ЛдЯ 13 24 23 29 14 Л » 24 £ 8 10 16 6 101614 10 3 12 92С 1920 13 23 24 22 20 26 24 22 Ж 29 23 22 ,:|24 22 2С23 26 22 16 20 22 14 4 12 12 10 91612 14 10 9 14 14 12 10 12 12 14 4 12 Ш 11 0 12 19 И 1611 22 20 22 14 24 14 12 16 16 16 101616 22 2116 Я1614 1114 16 22 24 16 14 14 11 16 16 10 19 14 14 16 10 14 12 14 10 12 1С 14 314 912 ¡16 9 541124 2 0 24 24 X 22 24 26 26 20 24 2 4 22 162424 243012 24 2£ 20 24 24 2010 И 11 В 14 20 X 14 16 1С 13 12 161С 14 12 1С 14 16 12 12 13 1! 019 1С20 10 2 0 26 22 16 20 24 22 12 20 24 24 16 22 29 20 14 20 24 22 14 16 13 22 10 16 20 16 1420 2016 12 12 14 3141214 10 101010 6 10 8 10 И1М20 16 20 12 36 32 22 II Я 26 26 30 26 22 22 13 26 26 36Л Я 2622 20 22 20 14 1010 14 16 12 14 14 14 12 101412 2С 11 22 22 21 11 12 22 10 16 14 16 2Щ1611 13 16»Х221622Х22 5111Я Н В1« 22 14 541С 22 22 16 2С 19 13 13 16 Я 11 16. 11 26 24 26 22 24 22 24 Я 24 2С 22 Я 22 19 22 13 2016 15 0 23 П 13 14 26 Я 22 24 22 13| 24 22 13 2£ Я30 16 22 16 13 14 19 16 13 12 32 20 Я 16 16 Я Я 2016 2С 2С 22 14 20 19 20 12 Я 22 24 1С 23 22 2. О :2 22 13 91С24 22 12 Я 24 22 14 22 24 24 12 18 22 2С Е12 14 19 9 19 13 19 16 20Я19 24 22 24 20 24 22 24 20 2 2 2С 2С 13 Л 19 Я 202С 12 19 14 12 |л 1С 19 10 22 2С 24 № 22 20 24 13 24 22 Я1622 20 14 14 1С 14 19 13 13 1С 24 2С 13 1С Я 16 14 111614 22 2г| 26 2:| Я Я 22 24 25 25 1С 19 22 20 0 14 22 Я 10 29 14 22^ 23 14 21 ЯХ 14 1116 14 13 13 2£ 23 25 24^| 26 14 30 2£ 29 23 2 3 24 2 6 25 23 2 6 24 36 36 24 Я 24 2 2 22 Л 14 19 1£ 14| О 16 12 12 4 26 22Л 10262422 10 242220 1С22ЛЯ19 22 2 4 22 2 2 23 29 24Я
И
13 22 22 22 1 3 22 2 2 24 16 2 2 20 22 14 22 34 26 16 22 26 2 6 9 13 22 11 Я 26 Я 24 2 6 24 2 6 22 36 33 24 22 24 Л 24 22 2С 19 22 2016 10 Л 12 1С|
I
29 26 231
1 29 Х| 1 23 25 д|
| 25 2)| Щ 2! 29 121
Ю20 19 12 13 22 20 10 13 22 2 212 13 22 20 9 14 13 22 10 20 13 2С 14 22 24 22
13 14 Л Ш 22 13 Л 14 24 13 16 12 22 19 14 12 Ж 19 Л2( 22 19 2 2 24 24Л Ж2224 24 2910 2214 22 101220 19^9 26 26 12 20 Я 26 16 16 Л Л12 19 26 24 1С 1С Я23 26 24 25 2-1
| 21 >' 30 30 25 22 25| 29 26 22| 30 24 26 26 2 2 26 22 19 22 20 13 4 19 14 3 0 24 22 Я 12 36 24 24 324 22Л 10 24 Я 13 16 262624 22 23 2] 24 2г|
Н1 Я 22 22 24 2 0 24 2 4 24 13 2 4 2 2 24 13 22 26 26 12 26 2с|12 2 26 12 Я 25 24® 1С 1С 13 4 12 16 16 61213 19 14 13222С16 2 2 22 2 2 16 24 24 22
Ш 26 24 2С 22 2 4 22 24 22 24 20 26 22 24 Л Л 20 20 Л 22 24 Л16Я 22 19 10 X 22 1С 0 19 16 10 416 14 3 4 16 14 19 14 32 Л 22 13 22 19 Л 22 22
Ю I 2.5 2_И ЗС з] 2>И 2! Я Л 1414 Л 1611141114 Л 22 22 11 Л 16 13 112 13 13 411ЛЛ 6 1614 Л 22 2 2 2:|г4 16 яН 2! 26|
Н4 30 2:' З^Т:' 32 21рО 30 2:' 3| 2' 25 29ЯХ24 2 4 22 22 19 22 2С 22 102С19Я1219 15 12 0161314 4201316 6 22 22242224 2322 24 2з| 24 24
П 16 22 22 20 13 2 2 22 24 14 22 22 Я 16 22 Л 22 16 22 | 14 2.125 1С 23 23 25 41619 16Щ£1£ 13 6 12 18 19 14 13 22 X 14 20 Л 22 14 22 22 22
ТГ~ 22 Ж 22 13 2 0 13 2С 19 20 16 22 13 Л 1С 22 1622 19 242422 13 23 24 19 14 Л 24 12 4 19 13 10 01( 16 12 6 16 16 22 16 32 Л22 14 Л 19 16 15 24 Л
| 2.3 2'И) ЗА 23 2' 31 ]|Я Л 21 24 29Ж 11111414 14 22 11 14 16 24 16 16 4 14 1616^1613 16 £ 1614 14 ЯЯЛ1111 14 2б1 16 24
Г» 26 24 2026 20 19 24 22 22 10 22 19 16 91£1412 413 1£ 1111614 4 24 Я В 20 Х2624 2 2 25^ X >з|
3 14 14 10 14 13 22 16 20 22 2С 14 24 22
)14 12 19 10 13 16 22 13 22 16 Л 22 24 Л
11С 22 Л 16 56 ЛИЯ 22 24!
20 20 2С
19
20 2С 20 20 22
19 22 22
20 22 26 29
32 24 36 34
33 32 40 42
34 39
I I
Л 24 24 24 13 22 2 2 24 13 22 24 24 13 22 Я 2414Х 22 26 12 20 Я 24 12 16 X 24 £ 3 Я20 £ 12 19 13| Л 24 Л 2 2 24 22 24 22 24 2 0 2 6 22 24 Л Л »20 20 24 2« 19 16 Л 32 19 12 X 22 12 4 Л 13 12 61616 !
I 29 2с|
1 23 21 23 29 2£| Я Я 14 Л14Я 14 10 22 22 14 Я 22 22 11 Я 11 11 6 16 1316 614 1414 I X Я 212324 26 Я 23 26 29 23 29 X Я 24 22Х 20 1 5 23 2 0 2 2 1Л2С19131С19141С 6131616 414121
| X. 22|
1 20 16 13 16 2424 22 2С 24 29 24 Я
ШЛЗ
13 .22 22 22 1 3 22 2 2 24 16 2 2 20 22 14 22 24 X 14 22 22 2 2 6 14 X 22 9 14 X 24 14 13 24 22 14 22 24 24 10 13 22 20 22 »22 1120 13 20 19 Л 1622 13 Л 16 Л Л 16 20 22 16 12 14 24 Л 14 12 24 Л 19 14 Х22 13 16 24 2014 10 Л 16 11 » В12 20И16П Я10 11Л » 30 22 Я51П 565111111! Я 11 Я 56 51 12 22 21 14 Л И Л НИ 11В1113 X 22 24 24 2 4 2 0 22 24 24 22 24 2424222424 22 2020 14 19 14 191822191616ХЛ2222ХЗОЯ2С221616 16 16 10
3 12 1С 10 20 13 19 14 22 » 910161413 10 1619Л16 I В51В II В » В 54 22 20 13 14 22 22 13 16
10 14 14 14 1014 14 1С 3 14 12 14 С1416»101419 1дд19Х3210ЛЯХ1632Х 24 1422Х261622Х 24 10 16 13 22 0 10 10 12 3 12 14 12 10 310 6 3 С 9 £ 3 4 10 £ 9 41410161С191£ 19 13 232420ЛЯХ2213 Зс| 2С1429 2£Л13Х24 20 1413Л1СОЗ 9 £ 412 14 10 12 12141012 14 12 12 1012 Ш 12 14 13 2010 19 19 19 13X32 10 22 X 24 22 22 24 22 Л Л22 24 22 22 24 22 19 13 1С 19 10 3 О 3 10 10 Ш
13 16 19 14 1£ 14 16 14 16 12 19 14 16 1222 13 16 1416 12 19 16 242220 192422 22 13Х 24 221324 22 Я1622 20 19 10 12 1412 33 |п О 12
3 12 12 12 61010 12 6 1012 12 С 10 1£ 1£ 14 16 20 22 1£ 2-1 29 14 22 29 29 16 Я 29 23 14 16 X 26 14 Л 24 24 14 16 В 22 1 £ 10 12 0 10 16 12 10 3 10 610 3 10 9 10 612 3 10 9 16 14 2С 12 2220Л 2о| 29 22 29 24 Л В^|н22| 3113 К » Л 12 410 12 10Ц 10 12
14 11 14 11161114 1С 14 14 16 14 16 1С Я »1014 1С 10 Л ИХ 14 2414Х141412Я241114Х161114Х1410Л161914 1110 11 15 11 16 12 14 14 14 1012 14 14 12 14 14 14 12 13 13 16 1412 16 19 162420 22Я2422 22 13Х 24 22Я24 22 13Я22 20 19 16 14 1612 33 91212 4
45 4£
> 39 X
1 39 33
4£
1 44 44
> ЗС 34
: 34 14
] 42 44
45 4£
! 39 X
: 39 33
44 4£
: 44 44
! 34 32
; 34 34
] 36 33
; 40 40
> 24 22
9 2С Л
9 24 24
9 29 23
! 24 22
! 19 13
: 29 23
9 29 23
Я» Л 13 20 20 20 Я 22 19 22 22 »22 X Я 32 24 X 34 32 3 2 40 42 34 391
44 34 34 X 40 24 2024 29 24 19 29 29 13 » 22 13 1 3 2 0 22 Л Л 19 2 4 22 13 22 23 Я 30 24 29 3 4 30 3 2 42 42 32 4С X Я 4С 44 Л Л 44 46 X Я 4£ 44 3 2 34 19 40 22 20 24 29 22 15 29 25
РКП ВГИЕН ГЕ1
Ы
Рис. 8. Ограничения саппо^Нпк до объединения двух кластеров {N^N3} и {№,N4} Для результирующего кластера имеем новую красную зону.
MmEJE&niüHF4
14 14 12 24 Ж 16 ü ЙШ 1IXIÜ1I1IIXI 16 16 14ЖЖЖ24ЛХ
id 18 s 24 :: ж г: 29 а
14 12 1422241624ЖХ 12 16 12 20 2220222424 14 1614192420242226 10 14 10 22 Ж 22 X 2G X 12 12 10 22 24 14 ?> 30 28 1Q 16 10 22 20 20 X 26 26 14 14 10182218252424 3 1С 6 22 20 21 l | 2: 14 12 10 22 22 12 Ж 28 2Í а 12 е 20 11 20 К X 24 12 13 10162222 20 22 24 16 10 U 11 22 20 24 М 18 16 20 10 20 26 22 10 1аЩх 16 20 12 26 22
14 16 2oBl6 22 18 16 20 18 20 16 1бЩж 14 18 14
24 1020 22 25 0 12 22 18
25 25 12 18 И 12 0 25 16 24 2626 16 18 22 25 О 14 24 22 22 20 14 18 12 14
26 16 22 26 26 8 18 22 lí| 22 20 18 222016 10 20 12 24 2 4 28 16 22 24 22 10 12 2622 26 22 18 22X18 1 2612 26 12 11: 20 2020 22 24 20 16 29 22 24 24 261622 24 2214 20 24 2 4 22 22 18 22 20 22 10 22 1622 14 2:-| Г. 1622 18 24 24 22 18 29 24 24 2 8 26 18 22 24 24 14 22 24 2026 20 18 24 22 22 10 24 14 26 22 2612X2924 20 2020 24 20 18 16 26 22 22 24 29142022221420 24 22 26 20 16 20 20 22 10 2614 222222 614X22 20 16 20 22 16 12 14 24 20 24 18 22 16 18 14 16 18 X
24 22 20X14181418 18
25 10 14 18 1J Л 19 X 22 101610181618182924 18 201018181918X22 18 16 14161218162422 16 14 16 20 22 16 ¿ll 28
1420 12 п » я ?: 20 »
25 2014 16 20X18 X 24 18 16 14 12 16 18 16 24Х 5052 52 £0 50 52 £2 £2 £2 £0 S4 54 50 54 68 6062 S6 6В 66 62 64 72 74
18 20
22 X 28 26 22 22 X Ж 28 22 22 24
18 Х^И X
2 2 24 X 26 24 22 X Ж 28 24
24 22 X 26 Ü
16 яЩ 18 22 22| 28 Ü
25 24 24 2 6 22 22 ггИга 24 14 18 22 X Ж 24 22
24 24 22 2 6 26 2С 22 24 26 Ж 16 X 24 22 12 22 18 28 26 Ж
26 22 16 22 Ж 2С Ж 22 lü|
8 16 24 22 12
19 10 22 20 24 22 X 10 ia| 16 12 12
10 Ж 18 12 10 0 18 14 X
25 18 19 14 12 X 21 24
19 10 Ж 22 10 2 2 22 12 20 16 25 19 Ж 12 18 10 X X 26 4 19 14 Ж 24 12 2 2 24 16 24 16 22 18 16 8 16 12 16 Ж 24 6
18 12 Ж 22 12 22 22 12 20 18 25 18 18 10 18
9 14 Ж 24 14 14 12 24 20 18
19 Ж 16 18 22 22 18 16 16 Ж 10 X. Ü 26 16 25 Ж Ж 26 22 18 22 Ж 24 22 25 18 24 2 2 22 14 22 29 28 16 22 28 24 24 24 Ж 24 24 22 X 24 22 22
ёТ'х^Н'ёГ
■ X X 18| 24 28 29 16 X 20 X 29 22 1с|
24 22 | 24 22 18 2 6 2 5 20 16 X 24 22 14 22 24 2411 18 2 2 25
19 2 2 22 Ж 10 10 14 18 8
22 25 Ж 22 14 9 10 16 12
22 22 19 24 14 10 12 18 12
22 18 22 24 14 6 12 14 12
18 25 X 24 10 8 14 16 6
22 18 18 X 14 6 10 14 10
22 25 16 22 14 а 12 16 15
24 18 22 24 16 6 14 14 12
16 25 X 24 9 а 12 16 6
22 16 X 22 14 4 12 12 10
X 22 18 24 12 10 10 18 12
22 18 22 24 14 6 12 14 12
14 25 X 24 6 а ю 16 6
22 16 X 22 14 4 12 12 10
24 26 22 24 16 14 14 22 16
Ж 25 24 21 X 15 18 18 16
14 16 19 22 10 16 Ж 16 14
22 25 22 Ж 14 10 10 14 16
22 22 16 Ж 19 18 18 16 25
22 16 18 14 19 16 18 12 2!
6 12 14 19 9 18 18 18 16
14 14 16 14 19 18 18 16 24
10 14 8 12
6 12 6 10 16
8 16 6 10 14
8 14 6 10 16
X 14 22| X 14 22 282614 22 Ж 24 18 18 X X X 4 Ж 22 Ж 10 Ж 24 22 10 24 2 2 25 15 22 20 X 18 22 24 22 18 22 Ж 10 18 22 22 12 18 22 25 3 14 182210X18 10 22 18X14 2418 1612 22 18 14 12 X 19 20 X 22 Ж 12 X X X 16 16262612 18 Ж 24 16 16 X 28 X 22 Ж 12 Ж 24 24 8 24 2 2 25 10 24 20 18 16ЖЖ24 10 1618 4121616 612 18 18 14 18 22Ж16 22 22 18 16.10 4 16 14 8 4 16 14 18 14 22 Ж 22 18 22 12 19 18 А 12 20 2 0 6 16 24 2 6 22 22 2l| 24 16 18 14 4 20 1 8 16 6 22 22 24 22 24 X 22 10 16 18 6 12 18 18 14 18 22 Ж 14 X X 4 18 18 loflu 16 12 616 16 22 16 22 Ж 22 14 Ж 16 4 14 16 1GII6 18 16 6 16 24 24 Ж Ж Ж X 22 14 12 4 18 16 16 0 18 16 14 424 25 22ХХХ24 8 X Ж 6121818 О 8 14 14 10 14 182216X22 4 X 18 12 6 16 16 s| 0 14 12 18 10 18 16 22 18 22 16 6 16 18 16 6 14 14 Ц 0 15 22 20 1616ЖЖ24 1416 61816164 14 12 15|ж 16 18 lí ü Л 22 18 24 22 14 22 24 24 10 1 8 2 2 25 О 8121610X18 14 Ж 22 19 16 24 X 14 1 0 20 16 8 0 8 10 16 14 18 22 22 24 22 22 Ж 22 18 18 16 18 12 8 0 6181816 Ж 22 22 Ж XX Ж22 1616 16 16 10 6 0 22 X 18 22 26 24 14 22 26 261622 2 6 24 10 16 18 22 0 15 15 10 25 14 X Ж20 1826 24 Ж 14 18 X м| 22 24 22ХХ22 24 22222422 18 18 16 18 15 18 X 24 22 18 24 22 2316 22 20 18 10 121412 Ж X 29 14 16 X Ж 14 2024 24 14 16 18 22 9 6 10 22^Н 22 29 22 19 Ж 22 12 4 10
22 Х 24 22 24ХД22 24 26 24 Ж20 16 18141210 18 Ж 24 22 Ж 24 22 18 2 0 2 2 20 18 16 14 16 12 8 8
16 SO
12 52
14 62
14 Я)
14 50
10 62
12 62
14 62
14 62
12 SO
14 64
14 64
14 Я)
12 64
19 59
18 (О 16 62 14 56 12 69 16 66
19 62 16 64 24 22 X 24
22 ы
Х< X
I
22 69
19 20 ■
24 26
22 66
X 66
24 24
26 66 66 ■ [9 ?0|
26
22 28 28 24 X 14 22 24 19 22 24 24 24 26
22 28 28 24 22 16 24 24 19 25 22 22
X 2бН
24 2s|
22 14 22 22
18 16 18 24 24 2бВ 22 2[|
X 14 24 22 18 69
16 25 22 24 X 20
22 2lH 26 ."Н
X 24 28 24 X 26
19 14 22 25 19 64 10 16 18 25 16 66 12 18 20 16 14 69 14 22 22 18 16 22 12 8 12 14 12 54
6 4 12 8 52
ю ю ю а 56
12 12 12 а 60
10 16 12 54 12 1оЛ 10 12 50
12 16 1о|
_а 12 12
26 « 66 И ?2 И 52 56 К ¡4 ¡O Í5 65
60
Рис. 9. Ограничения саппв^Нпк после объединения двух кластеров {N^N3} и {^,N4} в один кластер {N^N3, №,N4}
На рисунке 10 приведены кластеры, которые получаются в результате выполнения второго шага метода, то есть в результате применения модифицированного метода иерархической кластеризации.
Рис. 10. Результаты иерархической кластеризации модифицированным методом иерархической кластеризации
Как видно из рисунка 10, после проведения иерархической кластеризации имеем уточненную верхнюю границу интервала для диаметра разбиения: £ е [14,26] .
На рисунке 11 показано, насколько сократилось количество клеток матрицы расстояний, для которых необходимо генерировать более сложные ограничения. Оно уменьшилось на 5,6 процентов.
Синим цветом помечены уточненные в ходе иерархической кластеризации значения диаметров.
- клетки, для которых не надо генерировать ограничения (26,5%)
- клетки, для которых ограничения имеют упрощенный вид (4,5%+5,6%) 1—1 -ИШки, для которых надо генерировать ограничения (64,4%)
Рис. 11. Уточнение верхней границы интервала
Заключение
В работе для учета мнений нескольких экспертов используется аппарат мультимножеств и соответствующие способы агрегирования экспертных оценок. Продемонстрировано, каким образом задача Constrained Clustering может быть сведена к задаче удовлетворения ограничений. Разработан метод, который позволяет генерировать ограничения не для всех пар объектов, а лишь для некоторых, основываясь на априорной интервальной оценке для оптимального значения критерия кластеризации. Для получения данной оценки используется метод FPF, а также предложен модифицированный метод иерархической кластеризации мультимножеств, который позволяет анализировать запреты на комбинации объектов внутри кластера. Применение предложенного метода позволяет существенно снизить количество генерируемых ограничений, требуемых для постановки задачи CSP. Так, для рассматриваемого в статье примера количество сгенерированных ограничений равно 1984. Без применения же предложенного метода для решения задачи CSP пришлось бы обработать 3080 ограничений.
Список литературы
1. Duong K.C., Vrain C. Constrained Clustering by Constraint Programming. // Artificial Intelligence Journal, 2017. Vol. 244. Pp. 70-94.
2. Петровский А.Б. Методы групповой классификации многопризнаковых объектов (часть1) // Искусственный интеллект и принятие решений, 2009. № 3. С.3-14.
3. Zuenko A., Oleynik Y., Yakovlev S. and Shemyakin A. Matrix-Like Representation of Production Rules in AI Planning Problems. // Proceedings of the Fourth Int. Scientific Conf. Intelligent Information Technologies for Industry (ПТГ19), Advances in Intelligent Systems and Computing. Springer, Cham. 2020. Vol. 1156. Pp. 393-402.
4. Gonzalez T. Clustering to minimize the maximum intercluster distance // Theoretical Computer Science, 1985. №38. Pp. 293-306.
References
1. Duong K.C., Vrain C. Constrained Clustering by Constraint Programming. Artificial Intelligence Journal, 2017. Vol. 244. Pp. 70-94.
2. Petrovsky A.B. Metody gruppovoy klassifikatsii mnogopriznakovykh ob"yektov (chast'1) [Methods for group classification of multi-feature objects (part 1)]. Iskusstvennyy intellekt i prinyatiye resheniy [Artificial Intelligence and Decision Making], 2009. No. 3. Pp. 3-14. (In Russ.).
3. Zuenko A., Oleynik Y., Yakovlev S. and Shemyakin A. Matrix-Like Representation of Production Rules in AI Planning Problems. Proceedings of the Fourth Int. Scientific Conf. Intelligent Information Technologies for Industry (ПТГ19), Advances in Intelligent Systems and Computing. Springer, Cham. 2020. Vol. 1156. Pp. 393-402.
4. Gonzalez T. Clustering to minimize the maximum intercluster distance. Theoretical Computer Science, 1985. No. 38. Pp. 293-306.
Сведения об авторах
А. А. Зуенко — кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ИИММ КНЦ РАН;
О. В. Фридман — кандидат технических наук, старший научный сотрудник ИИММ КНЦ РАН;
О. Н. Зуенко — аспирант, стажер-исследователь ИИММ КНЦ РАН. Information about the authors
A. A. Zuenko — Candidate of Science (Tech.), Leading Researcher of the Institute for Informatics and Mathematical Modeling Kola Science Centre of the Russian Academy of Sciences;
O. V. Fridman — Candidate of Science (Tech.), Senior Research Fellow of the Institute for Informatics and Mathematical Modeling Kola Science Centre of the Russian Academy of Sciences;
O. N. Zouenko — postgraduate, trainee researcher of the Institute for Informatics and Mathematical Modeling Kola Science Centre of the Russian Academy of Sciences.
Статья поступила в редакцию 15.11.2021; одобрена после рецензирования 20.11.2021; принята к публикации 08.12.2021.
The article was submitted 15.11.2021; approved after reviewing 20.11.2021; accepted for publication 08.12.2021.
