CC BY
2
Поддержка принятия решений при обосновании программы развития сложной системы в условиях нечёткой информации
Б. Х. Санжапов Волгоградский государственный медицинский университет
Аннотация: Предлагается подход к решению задачи обоснования проекта развития сложной системы при учете возможности реализации значений ее характеристик. Генеральная цель формулируется в терминах теории нечетких множеств и теории возможностей. На основании глобальной цели развития сложной системы определяются локальные цели и задачи, решение которых способствует к её приближению. Достижение генеральной цели связано с решением вопроса оценки степени приближения к поставленным целям при учете ограничений на значения показателей системы. В отличие от существующих моделей, предлагаемый подход позволяет рассмотреть более общую зависимость между элементами системы, учесть нечеткий характер реализации параметров входящих в систему средств. Для решения поставленной задачи разработан эффективный декомпозиционный метод.
Ключевые слова: сложная система, нечеткое множество, распределение возможностей, генеральная цель, декомпозиционный алгоритм.
Введение
Для решения задачи обоснования проекта развития многих систем, например, таких, как городские, экологические и другие, необходимо учитывать возможности реализации значений ее характеристик. На ранней стадии анализа проекта сложной системы отсутствуют точные значения многих параметров, влияющих на функционирование всей системы. В свою очередь, также довольно сложно описать взаимовлияние различных входящих в систему подсистем. Таким образом, для учёта всех особенностей процесса проектирования развития сложной системы необходимо использовать разработанные методы анализа систем, принятия решений [1,2].
При таких обстоятельствах, в качестве математического аппарата, целесообразно использовать подходы теории нечетких множеств и возможностей [3,4]. Исследование задач принятия решений в условиях неопределенности на каждом уровне иерархического представления модели сложной системы рассматривается в [5,6]. Заметим, что теория нечетких множеств широко применяется для решения прикладных задач при исследовании различных проблем [7,8].
При проектировании развития многих сложных систем объективно необходимо учитывать ограничения на имеющиеся ресурсы и рассмотреть зависимость между параметрами в более общем виде. В таких условиях довольно сложно непосредственно использовать результаты работы [9]. Поэтому представляет интерес развитие метода анализа системы в условиях неопределенности при рассмотрении сформулированных выше ограничений
Рассмотрим показатели анализируемой системы хм. Построим граф о = (X, Б, Б), в котором множество вершин X = (Хь..., хн} характеризует показатели системы; б = [x,, х]} - множество дуг графа, причем [x,, х] }е б при условии: значение х, показателя х1 вычисляется на основании значения х; -X; Б = [/¡~,/г+}- множество таких функций, что
при наличии ограничений: Гх =(Х ,...,х ), граф О не содержит контуров.
' 1 п
Последнее ограничение позволит построить иерархию на множестве показателей системы, то есть, определить не имеющие общих элементов
[9,10].
Формализация задачи анализа развития системы
(х' , . ,х' ) ^ х\ ^ (х' , . ,х' X
'1 п 1 '1 'п
(1)
и
множества У1,...,гм, для которых Г^ = 0, если х1 е¥м, и Гх._1 = 0 - при условии, что X, е¥1. В дальнейшем будем считать: показатели q1,..., ql, характеризующие качество функционирования системы 01,...,^, определяются на основе численных значений ^ ,...,х^ вершин верхнего уровня
V={-х^'Ч}:
q^ = ,...,хкр ^1 =1,1. (2)
Учитывая неопределенность при описании требований к характеристикам системы, представим их в виде нечетких множеств:
Численный показатель описывает реализацию показателя ^ и её
меру принадлежности нечеткому множеству о,. Учитывая в некоторых случаях ограниченность поддерживающих функционирование системы ресурсов, целесообразно представить ограничения на показатели хл,...,х^
нижнего уровня х] еУм = (хл,...,х] )в следующем виде [10] :
Я (хл,..., ) < Я0, X=1Т. (3)
Нечёткие множества = представляют
возможности реализации показателей нижнего уровня, причем /и] (х]) интерпретируется здесь как достоверность того, что значение х} характеризует
показатель х].
На основании принципа Беллмана Р. и Заде Л. [6, 9] сформулируем вышеизложенную задачу как оптимизационную по значениям показателей:
(01) А... л //£ (<Г/ ) л (хл) л... л ц)т (хУя) тах, (4)
при построенных ограничениях (1)- (3).
Сформулированная задача (1) - (4), в некоторых случаях, может не содержать аналитического представления функций _, +. В связи с этим обстоятельством довольно затруднительно использовать для ее решения стандартные подходы математического программирования.
Как показано выше, оптимизация в задаче (1)- (4) происходит по показателям нижнего уровня Ум - х^,..., х^ . Предложенная схема решения
задачи (1) - (4) позволяет вычислить нечеткие множества х1 на основании
рассмотрения значений параметров Xi е ¥м_1 при использовании принципа
Беллмана Р. и Заде Л. [3,4,9] для всех X■ е Гх . Таким образом, схема
предполагает решение задачи:
в которой /лщ является функциями принадлежности П( = [(^, цт (^))}, / = 1,1
В работе [9] утверждается, что решения задач (1)- (4) и (5) в общем случае не совпадают. Эти решения будут эквивалентными при наличии ограничений: все нечёткие множества являются выпуклыми на конечных носителях, все используемые функции и показатели качества являются неубывающими по своим аргументам, решения задачи:
Схема последовательного анализа
1ий(д1)л...л1и^(д1)л...л1ипв1(д1)л...л1ипв1(д1)^тах,
(5)
Л = Мо1 (41) л НПО, (<Я) тах •
(6)
подчинены условиям:
€ - наибольшее из оптимальных решений задачи (6) [9].
и
Таким образом, схема вычисления нечеткого множества Х1, характеризующего значения параметров x е x \ у,, будет выглядеть следующим образом: для каждого показателя х0 (x, еум_1) вычислим /(х0) = Л*, а Л* является решением задачи:
Л^ тах , (7)
(х - ,...,х; ) < хг </+(х- ,...,х; ), (8)
■)1 ■)т Л ■)т
ГX. =[Хл '-'Х7 }> (9)
' Ч ■'т
при этом должны быть выполнены ограничения:
/ (х■ ) >Л ■ = jl, . . .,■т . (10)
Заметим, что задача (6)- (10), в частном случае, при равенстве функций
/Г(х; ,.. ,х; )=/+ (х/ ,.. ,х; ),
J1 •'т Л •'т
была решена в работе [10].
Для вычисления нечётких множеств X будем использовать теорему о представлении [3], то есть для каждого фиксированного значения Л(0<Л< 1) вычислим четкие множества уровня Л для нечётких множеств x г : [х_ (Л), х+ (Л)]. Эти отрезки определяются при х_ (Л) = /_ (х_,..., х_), х+(Л)=/+ (х+ ,.., х+я), здесь
х_ , х+ - минимальное и максимальное решения неравенств / (х ) >Л, к = 1П, при выполнении ограничений гX. = X,..., Х5} = Vi+1. Нечеткие множества ПQl,
характеризующие количественные показатели оценок о, I = 1, ь, вычисляются на
и
тех же принципах, что и выше, то есть четкие множества 0 уровня Л(0 <Л< 1) представляются как [а1 (Л), ьг (Л)]. Значения граничных значений этих интервалов вычисляются следующим образом:
а = 0 (х-,...,х- ),Ъх = ах,...,хХр ),I = 1,Ь , при этом, х- и х+ являются, соответственно, минимальными и максимальными решениями неравенств
о (хк) 5 =1 р .
В результате вычисления нечетких множеств, определим степень достижения генеральной цели системы из решения задачи:
Л = а ^ тах , (11)
Ли1,1 = - определяются из решения задачи (6). Задача (11) эффективно решается методом дихотомии по Л. Пусть оптимальное решение задачи (6),(11) достигается при значении I = I *, то есть €=€ а ... а € = Щ., и % * реализуется при максимальном значении четких множеств уровня % возможностей
хк ,...,хк . Таким образом, = ог(х^,...,хкр), где -максимальные решения
неравенств цк (хк) >Л, 5 = 17Р. В силу сделанных предположений, имеют место неравенства:
^ ($) >%, %=а (х+К,..., х+кр), I=.
Иначе, в общем случае, для какого-то значения I емогло иметь место неравенство о ) <%.
На основании предложенной схемы были вычислены оптимальные значения показателей нижнего уровня построенного графа Ум - € = (],.. ., €] ) и
оптимальный вектор € = (%!,...,€). Таким образом, доказано следующее:
Утверждение. При введенных предположениях вектор (£ €) является оптимальным решением задачи (1) - (4), то есть это решение может быть получено в результате решения задачи (5) -(11).
Выводы
Предложенный подход к решению задачи анализа варианта развития системы, при учете возможности реализации значений ее характеристик, позволит формализовать ограничения на значения показателей нижнего уровня построенного графа- модели системы. Разработанный эффективный декомпозиционный алгоритм сделает возможным оценку вариантов развития сложной системы в условиях нечеткой исходной информации. Полученные в статье результаты могут быть использованы при анализе экологических, городских и других систем.
Литература
1. Поспелов Г.С., Ириков В.А., Курилов А.Е. Процедуры и алгоритмы формирования комплексных программ. М.: Наука, 1985. 424 с.
2. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1988. 208 с.
3. Zadeh, L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibilities // Fuzzy Sets and Systems.1978. Vol.1.Pp.3-28.
4. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision Making in a Fuzzy Environment // Management Sciences. 1970. no. 17. Pp.141-164.
5. Sanzhapov B.Kh., Sanzhapov R.B. Decision support based on the interval relation // ARPN Journal of Engineering and applied Sciences. 2017. Vol. 12, № 15. Pp. 4601-4607.
6. Sanzhapov B.Kh., Sanzhapov R.B. Ordering Objects on the Basis of Potential Fuzzy Relation for Group Expert Evaluation // ARPN Journal of Engineering and applied Sciences. 2016. Vol. 11.no 13. Pp. 8544- 8548.
7. Емалетдинова Л.Ю., Кабирова А.Н., Катасев А.С. Методика разработки нейросетевых моделей регуляторов управления техническим объектом // Инженерный вестник Дона, 2023, № 7. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n7y2023/8544.
8. Валеев С.С., Кондратьева Н.В., Гузаиров М.Б., Исмагилова А.С. Иерархическая динамическая система управления информационной безопасностью информационной системы предприятия // Инженерный вестник Дона, 2023, №11 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n11y2023/8802.
9. Макеев С. П., Пицык В. В., Полуденко В. А. Согласование целей развития больших технических систем с возможностями реализации их характеристик при нечеткой исходной информации // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 5. С. 124—132.
10. Санжапов Б.Х., Калина И.С. Обоснование реализации программы социально-экономического развития региона в условиях нечеткой информации // Известия Волгоградского государственного технического университета.2008.№8(46). C.115-118.
References
1. Pospelov G.S., Irikov V.A., Kurilov A.E. Procedury i algoritmy formirovanija kompleksnyh programm [Procedures and algorithms for the formation of complex programs]. M.: Nauka, 1985. 424 p.
М Инженерный вестник Дона, №4 (2024) ivdon. ru/ru/magazine/archive/n4y2024/9169
2. Ventcel' E. S. Issledovanie operacij: zadachi, principy, metodologija [Operations Research: Objectives, Principles, Methodology]. M.: Nauka, 1988. 208 p.
3. Zadeh, L.A. Fuzzy Sets and Systems. 1978. V. 1. Pp.3-28.
4. Bellman R.E., Zadeh L.A. Management Sciences. 1970. №17. Pp.141-164.
5. Sanzhapov B.Kh., R.B. Sanzhapov. ARPN Journal of Engineering and applied Sciences. 2017. Vol. 12, no 15. Pp. 4601-4607.
6. Sanzhapov B.Kh, R.B. Sanzhapov. ARPN Journal of Engineering and applied Sciences. 2016. Vol. 11.no 13. Pp. 8544- 8548.
7. Emaletdinova L.YU., Kabirova A.N., Katasev A.S. Inzhenernyj vestnik Dona. 2023, № 7. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n7y2023/8544.
8. Valeyev S.S., Kondrat'yeva N.V., Guzairov M.B., Ismagilova A.S. Inzhenernyj vestnik Dona, 2023, №11. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n11y2023/8802.
9. Makeyev S.P., Picyk V.V., Poludenko V.A. Izvestija AN SSSR, Tehnicheskaja kibernetika. № 5. 1991. Pp. 124- 132.
10. Sanzhapov B.Kh., Kalina I.S. Izvestija Volgogradskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. 2008. № 8(46). Pp.115-118.
Дата поступления: 10.03.2024 Дата публикации: 18.04.2024
