CC BY
10
УДК 538.9
doi:10.21685/2072-3040-2021-2-9
Подавление макроскопических квантовых эффектов в массивах со спиральными нанотрубками, связанное с дисперсией их характерных размеров
А. В. Разумов1, В. Д. Кревчик2, Ю-Хуа Вонг3, Тиань-Ронг Ли4, М. Б. Семенов5, И. М. Семенов6
1,2'5,6Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 3,4Университет Ланьжоу, Китай
1•2•5•6physics@pnzgu.ru, 3wyh@lzu.edu.cn, 4litr@izu.edu.cn
Аннотация. Актуальность и цели. Интерес к изучению оптических и электрофизических свойств нанотрубок обусловлен такими их свойствами, как зависящая от симметрии структуры нанотрубки ширина запрещенной зоны и хорошая электропроводность, что делает их перспективными материалами для наноэлектроники. Большинство имеющихся методов создания таких структур предполагают получение нанотрубок в виде целых массивов со значительной дисперсией их характерных размеров. Поэтому важнейшей задачей становится исследование влияния дисперсии размеров на оптические свойства пучка нанотрубок. Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния дисперсии радиуса спиральных нанотрубок на макроскопические квантовые эффекты, возникающие при анизотропной передаче импульса фотона электронной подсистеме. Материалы и методы. В качестве модели рассматривалась цилиндрическая нанотрубка с бесконечно тонкими стенками. Спиральная симметрия нанотрубки описывалась посредством протяженного спирального возмущения, моделируемого 5-потенциалом. Расчет ЭДС фотонного увлечения и ЭДС, возникающей за счет разогрева электронной системы джоулевым теплом, выполнен в квадрупольном приближении с учетом дисперсии радиусов нанотрубок. Результаты. Проведено теоретическое исследование влияния дисперсии характерных размеров спиральных нанотрубок на макроскопические квантовые эффекты в продольном магнитном поле. Получена аналитическая формула для ЭДС фотонного увлечения в стоячей электромагнитной волне с учетом дисперсии характерных размеров в массиве спиральных нанотрубок. Получена аналитическая формула для ЭДС, возникающей за счет разогрева электронной системы джоулевым теплом протекающего по нанотрубке тока фотонного увлечения электронов в продольном магнитном поле с учетом дисперсии характерных размеров спиральных нанотрубок в массиве. Исследовано влияние дисперсии характерных размеров спиральных нано-трубок в массиве на макроскопические квантовые эффекты. Выводы. Показано, что в реальных массивах нанотрубок, где существенную роль играет дисперсия их радиуса, возможен эффект подавления макроскопического квантового эффекта, связанного с ЭДС фотонного увлечения электронов в стоячей электромагнитной волне. Показано, что с ростом среднеквадратичного отклонения подавляется и ЭДС, связанная с разогревом электронной системы джоулевым теплом протекающего по нанотрубке тока фотонного увлечения, что обусловлено существенным разбросом характерного радиуса спиральных нанотрубок.
Ключевые слова: нанотрубка со спиральным дефектом, ЭДС фотонного увлечения, ЭДС, связанная с разогревом электронной системы джоулевым теплом, эффект фотонного увлечения, макроскопические квантовые эффекты, дисперсия характерных размеров нанотрубок
© Разумов А. В., Кревчик В. Д., Вонг Ю-Хуа, Ли Тиань-Ронг, Семенов М. Б., Семенов И. М., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Для цитирования: Разумов А. В., Кревчик В. Д., Вонг Ю-Хуа, Ли Тиань-Ронг, Семенов М. Б., Семенов И. М. Формирование наноструктурированного анодного оксида на поверхности кремния // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2. С. 113-123. doi:10.21685/2072-3040-2021-2-9
Suppression of macroscopic quantum effects in arrays with spiral nanotubes associated with the dispersion of their typical sizes
A.V. Razumov, V.D. Krevchik, Yu-Hua Wang, Tian-Rong Li, M.B. Semenov, I.M. Semenov
u,5,6penza state University, Penza, Russia 3,4Lanzhou University, China u'5'6physics@pnzgu.ru, 3wyh@lzu.edu.cn, 4litr@izu.edu.cn
Abstract. Background. Interest in the study of the optical and electrophysical properties of nanotubes is due to their properties such as the band gap depending on the symmetry of the nanotube structure and good electrical conductivity, which makes them promising materials for nanoelectronics. The most of the available methods for creating such structures involve the production of nanotubes in the form of whole arrays with a significant dispersion of their characteristic sizes. Therefore, the most important task is to study the effect of size dispersion on the optical properties of a nanotube beam. The purpose of this work is to study theoretically the influence of the dispersion of spiral nanotubes' radius on the macroscopic quantum effects arising from the anisotropic transfer of the photon momentum to the electronic subsystem. Materials and methods. A cylindrical nanotube with infinitely thin walls was considered as a model. The spiral symmetry of the nanotube was described by means of an extended spiral perturbation modeled by the 5-potential. The calculation of the photon fascination EMFand the EMF arising due to the heating of the electron system by the Joule heat was performed in the quadrupole approximation taking into account the dispersion of the radii of the nanotubes. Results. A theoretical study of the dispersion influence of the spiral nanotubes' characteristic dimensions on macroscopic quantum effects in a longitudinal magnetic field is carried out. An analytical formula is obtained for the photon fascination EMF in a standing electromagnetic wave taking into account the dispersion of characteristic dimensions in an array of spiral nanotubes. An analytical formula is obtained for the EMF arising due to the heating of the electron system by the Joule heat of the photon fascination current of electrons flowing through the nanotube in a longitudinal magnetic field, taking into account the dispersion of the characteristic dimensions of spiral nanotubes in the array. The dispersion influence of the characteristic dimensions of spiral nanotubes in an array on macroscopic quantum effects is investigated. Conclusions. It is shown that in real arrays of nanotubes, where the dispersion of their radius plays a significant role, the effect of suppression of the macroscopic quantum effect associated with the EMF of the photon drag of electrons in a standing electromagnetic wave is possible. It is shown that with an increase in the root-mean-square deviation, the EMF associated with the heating of the electron system by the Joule heat of the photon drag current flowing through the nanotube is suppressed, which is caused by a significant spread in the characteristic radius of spiral nanotubes.
Keywords: nanotube with a spiral defect, EMF of photon fascination, EMF associated with heating of the electron system by Joule heat, effect of photon drag, macroscopic quantum effects, dispersion of characteristic sizes of nanotubes
For citation: Razumov A.V., Krevchik V.D., Wang Yu-Hua, Li Tian-Rong, Semenov M.B., Semenov I.M. Suppression of macroscopic quantum effects in arrays with spiral nanotubes associated with the dispersion of their typical sizes. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;2:113-123. (In Russ.). doi:10.21685/ 2072-3040-2021-2-9
Введение
В настоящее время нанотрубки получили большое распространение как перспективный материал для наноэлектроники и наномеханики, что объясняется наличием у них целого ряда таких уникальных свойств, как высокая прочность в сочетании с большими значениями упругой деформации, хорошая электропроводность и адсорбционные характеристики, способность к холодной эмиссии электронов и аккумулированию газов, термостабильность, диамагнитные свойства и т.д. [1]. За счет своих уникальных магнитных, электрических, механических и оптических свойств нанотрубки рассматриваются в качестве базовых элементов приборов наноэлектроники [2]. Как правило, методы изготовления таких структур (см., например [3-9]) связаны с формированием целых массивов, а не одиночных нанотрубок. В силу указанных особенностей получения нанотрубок в экспериментах по изучению электропроводности таких структур исследовались материалы, изготовленные на основе большого числа нанотрубок, обладающих различными характеристиками [5, 6]. В работах [7, 9] исследовалась температурная зависимость электросопротивления индивидуальных многослойных нанотрубок, собранных в пучки. Однако информация о влиянии дисперсии характерных размеров нанотрубок на их физические свойства отсутствует.
В настоящей работе теоретически исследуются эффекты, связанные с дисперсией радиуса спиральных нанотрубок. Основная цель работы - показать, что рост дисперсии радиуса нанотрубок приводит к подавлению таких макроскопических квантовых эффектов, как возникновение электродвижущей силы (ЭДС), связанной с эффектом фотонного увлечения, и ЭДС, связанной с разогревом электронной системы джоулевым теплом.
1. ЭДС, связанная с эффектом фотонного увлечения
в стоячей электромагнитной волне в спиральной нанотрубке
Рассмотрим внутризонное поглощение света в спиральной нанотрубке (СН). Будем предполагать, что оптические переходы идут из основного состояния (т = 1) в состояния размерно-квантованного спектра СН. При этом направление вектора импульса фотона q и единичного вектора поляризации е» световой волны относительно оси нанотрубки определяется углами 0, Ф и у (рис. 1) [10].
Волновые функции начального ¥ (г, ф) и конечного ¥ £т (г, ф) состояний и энергетический спектр определяются соотношениями вида [11-13]:
, (1)
, (2)
(3)
где X = (ai?2к - Ф/Фо )(l + a2R)) - Am/2, Am - квантовое число, являющееся решением трансцендентного уравнения
-A/ V = sin (nA)/(sin (nA)-cos (nS)),
S = 2((k-Ф/Ф0))(l + a2i)), V = 2m*V0R)(l + a2R2)/¿2, V0 - амплитуда барьера; Ф - магнитный поток через поперечное сечение нанотрубки; Фо - квант магнитного потока; ф = ф — az — 2nM , M - целое число такое, что 0 < ф < 2п . Число a определяется периодом спирального дефекта по оси цилиндра Tz = 2n/a; т = 1,2,... - квантовое число, нумерующее энергетические подзоны; к - собственное значение оператора K, являющегося линейной комбинацией оператора импульса Pz и момента импульса L z : K = Pz + aLz .
В
Рис. 1. Ориентация векторов q и ех электромагнитной волны относительно оси нанотрубки [10]
Пусть вектор импульса фотона я направлен вдоль оси нанотрубки, тогда направляющие углы будут равны: 0 = 0 и Ф = 90°. В данных условиях в нанотрубке возможно появление стоячей электромагнитной волны, при этом анизотропная передача импульса приводит к появлению ЭДС, связанной с эффектом фотонного увеличения (ЭФУ) электронов [10]. С учетом дисперсии радиуса нанотрубки величина этой ЭДС будет определяться следующим выражением:
е, = ч\еПгР(и^Н)-Ж)]ёи, (4)
и еПЬ
где п^ - концентрация электронов на единицу площади СН; - длина СН вдоль оси OZ; Ж (±,) - вероятность поглощения фотона с импульсом , определяемая выражением
W (± q ) = ± — JJ^ \M\2 8(h ю-E (к ,1) + E (к', m))dkdk'; (5)
h
0 0 n
Р(и) - Гауссова функция распределения дисперсии радиуса СН в массиве:
(г ,12 ^
, (6)
P (и) =—^=exp aV 2п
[u-1]2
2a2
при этом будем предполагать, что дисперсия и размеров СН изменяется в пределах 0,5-1,5, как наиболее вероятный интервал отклонения радиуса СН Лд от
его среднего значения Лд : и = Лд / Лд, о -среднеквадратическое отклонение. Квадрат матричного элемента в (5) запишется в виде
*I 1
\М\2 = 24 л3й4^2 0 — {[«¡Л+Д ,х'±1 (пД1)- 2«148Х+Д1 cos (пД1) + т юЛд Т
+«1бЗх+1,х'+1sin (пдт)+«л+^+да sin (пд1+пдт )]х
х[а203Х,Х'±1 + «гА+Д ,Х'±1 х(пД1 ) + а243Х+1,Х'±1 cos(пД'т ) + + «253^+Д1+1,Х'±1 cos(пД1 + пДт )] + [а123Х,Х'±1 + «133Х+Д1,Х'±1 cos(пД1 ) -
--а14зх+д1,гsin (пд1 )+аА+и'±1cos (пдт )+«17зх+д1+1,г+1cos (пд1+пд т )]х
х [«213Х+Д1,Г+1 sin (пД1 ) + 2«223Х+Д1,Г cos (пД1) +
+а24^+и-+1^п (пдт)+^ид^и-и^ (пд1+пдт )]}, (7)
где а = |е|2 /(4ле^л/еЙс) - постоянная тонкой структуры с учетом статической относительной диэлектрической проницаемости е; с - скорость света в вакууме; В - индукция магнитного поля; 10 - интенсивность света; ю - частота поглощаемого излучения с волновым вектором q и единичным вектором поляризации е^ ; ац,а^-.а-б - коэффициенты, сложным образом зависящие от параметров нанотрубки, магнитного поля и величин X и к; 5т т' - символ Кронекера.
При поглощении фотона электрон переходит из одной энергетической подзоны в другую, а начальное состояние электрона к и конечное состояние электрона к' удовлетворяют законам сохранения энергии и волнового вектора:
е(к') = е(к) + йю, к' = к ± ц . (8)
Выполняя в (5) интегрирование к' и к, приходим к следующему выражению для ЭДС фотонного увлечения в полупроводниковой нанотрубке со спиральным дефектом:
=1
25 п4 I0 L 3,2
enLm"2mтZ у2 Rо
| ^^{«13 (К±)5х+д1,х'±1 (пД1 )-
) +
х
-2«14 (к± )8^+д1,^'cos (пд1)+«16 (к±))+и'±1sin (пдт) +«17 (К± )8^+д1+1,А,'±1 sin(пД1 + пДт ) х «20 (К± )х,Г±1 + +«21 (К± )8^+д1,А,'±1 cos (пД1) + «24 (К± )х+1Д'±1 cos (пДт ) + + «25 (К±)х+Д1+1Д'±1с^(пД1 +пДт ) + «12 (К±)хД'±1 + +«13 (к ±) 8х+Д! ,х'±1cos (пД1)- 2«14 (к ±) 8х+Д! хsin (пД1) +
+«16 (к ± )8х+1,х'±1cos (пдт)+«17 (к ± )8х+д1+1,х'±1(пд1+пдт)
х «21 (К± )8х+д1,х'±1 (пД1) + 2«22 (К± )х+Д1;Гcos(пД1) + +«24 (К±)х+а'±1^п (пдт)+«25 (^Зх+^+а-й^ (пД1 +пдт) • (9)
3. ЭДС, связанная с разогревом электронной системы джоулевым теплом тока фотонного увлечения
Далее проведем расчет спектральной зависимости ЭДС, которая может появляться при разогреве электронной системы джоулевым теплом протекающего по нанотрубке тока фотонного увлечения. Действительно, как было показано в [10], пространственная асимметрия электрон-фононного взаимодействия приводит к тому, что передача энергии от электронной системы к кристаллической решетке посредством излучения фононов сопровождается изменением импульса электронной системы и, как следствие, возникновением ЭДС:
3/2 *
г 4пт Ф , „2 ,
:= I -—---(7 (ю)) S2du,
J Ш ЛЧ V-' V //
12
фо
(10)
здесь « - период кристаллической решетки; N0 - число атомов в одном витке; S - площадь поперечного сечения стенки нанотрубки; плотность тока увлечения 7 (ю) определяется выражением вида
V1
7 (ю) = 7о X-1 а
*2
4п«т v^q^ Ф
Я!
Ф0
а
*2 С
ФО *0
1 + а 2R02
К Ф — + —
а Ф
х
0;
/бе (<Я К2
х2 [«12 (К)6ХД'±1 ±«13 (К)3х+д15х'±1 cos(пД1) + 2«14 (К)ЗХ+ДЬГcos(пД1 )±
т —1
т
±«16 (к )зх+1,х'±1cos (пд т) ± «17 (к )зх+Д1+1,Х'±1 (пд1+пд т)х
х[а24 (К)3Х+1,Х'±1 sin(пД'т ) + а21 (К)3Х+Д1,Х'±1 (пД1) + +а25 (К)3Х+Д1+1,Х'±1 sin (пД1 + пД'т )] + [±а13 (К)8х+Д1,Х±1 sin(пД1) -
-2а14 (к )6х+д15г sin (пД1) ± а1б (К )3х+1,х'±1sin (пДт) ±
±а17 (К)3Х+Д1+1,Х'±1 sin(пД1 +пДт )]х[а20 (К)3ХД'±1 ± а21 (К)3Х+Д1,Х'±1 х хcos(пД1) + 2а— (К)8х+Д1,Х cos(пД1 )± а24 (К)3Х+1,Х'±1 СМ(пДт )±
±а25 (К)3Х+Д1+1,Х'±1 cos(пД1 +пДт )] . (11)
На рис. 2 представлена рассчитанная по формуле (9) спектральная зависимость ЭДС фотонного увлечения электронов в стоячей электромагнитной волне для различных значений и величины среднеквадратичного отклонения о радиуса спиральных нанотрубок в массиве.
йю, эВ
Рис. 2. Спектральная зависимость ЭДС фотонного увлечения электронов в стоячей электромагнитной волне вдоль оси нанотрубки для различных значений величины о при Л, = 20 нм; Т = 150 нм; У0 = 4; В = 5 Тл: 1 - 0 = 0,1; 2 - 0 = 0,5; 3 - о = 1
Из рис. 2 видно, что с ростом величины о величина ЭДС уменьшается (ср. кривые 1 и 3 на рис. 2) за счет экспоненциально затухающего вклада
наименьших дисперсий. Аналогичная ситуация имеет место в случае ЭДС, возникающей за счет разогрева электронной системы джоулевым теплом, протекающим по нанотрубке тока фотонного увлечения, рассчитанная по формуле (10) с учетом (11) (рис. 3). Таким образом, с ростом среднеквадратичного отклонения о увеличивается число СН в массиве, радиус которых существенно отличается от среднего радиуса СН, что приводит к подавлению макроскопических эффектов.
фотонного увлечения для различных значений величины О при Я0 = 20 нм;
Т = 150 нм; У0 = 4 В = 5 Тл: 1 - 0 = 0,1; 2 - О = 0,5; 3 - О = 1
Заключение
В работе выполнен расчет спектральной зависимости ЭДС фотонного увлечения электронов в стоячей электромагнитной волне вдоль оси нано-трубки для случая массива СН, дисперсия радиуса которых описывается функцией гауссова вида при наличии продольного магнитного поля. Также проведено теоретическое исследование спектральной зависимости ЭДС фотонного увлечения для различных значений величины среднеквадратичного отклонения. Показано, что в реальных массивах нанотрубок, где существенную роль играет дисперсия их радиуса, возможен эффект подавления макроскопического квантового эффекта, связанного с ЭДС фотонного увлечения электронов в стоячей электромагнитной волне. Получена аналитическая формула для ЭДС, связанной с разогревом электронной системы джоулевым теплом, протекающего по СН тока фотонного увлечения для случая массива
спиральных нанотрубок. Показано, что с ростом среднеквадратичного отклонения данный макроскопический эффект подавляется, это обусловлено существенным разбросом характерного радиуса СН.
Список литературы
1. Басаев А., Галперин В., Павлов А., Шаман Ю., Шаманаев С. Особенности синтеза углеродных нанотрубок (УНТ) и их массивов на установке УНТ-2 // Наноинду-стрия. 2009. № 4. С. 16.
2. Антипов А. А., Аракелян С. М., Кутровская С. В., Кучерик А. О., Ногтев Д. С., Прокошев В. Г. Формирование протяженных массивов наноструктур при осаждении металлических наночастиц из коллоидных растворов импульснопериодиче-ским лазерным излучением // Нано- и микросистемая техника. 2011. № 3. С. 4-8.
3. Ткачев А. Г., Мищенко С. В., Коновалов В. И. Каталитический синтез углеродных нанотрубок из газофазных продуктов пиролиза углеродов // Российские нанотех-нологии. 2007. Т. 2, № 7-8. С. 100-108.
4. Takagi D., Kobayashi Y., Homma Y. Carbon nanotubegro wth from diamond // J. Am. Chem. Soc. 2009. Vol. 131. P. 6922.
5. Saito R., Fujita M., Dresselhaus G., and Dresselhaus M. S. Electronic structure of chiral graphene tubules // Applied Physics Letters. 1992. Vol. 60. P. 2204. URL: https://doi.org/10.1063/1.107080
6. Charlier J.-C., Michenaud J.-P. Energetics of multilayered carbon tubules // Physical Review Letters. 1993. Vol. 70. P. 1858. doi:https://doi.org/10.1103/ PhysRevLett.70.1858
7. White C. T., Robertson D. H., Mintmire J. W. Helical and rotational symmetries of na-noscale graphitic tubules // Physical Review. 1993. B 47. Р. 5485(R). doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.47.5485
8. Mintmire J. W., Dunlap B. I., and White C. T. Are fullerene tubules metallic? // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68. Р. 631. doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.631
9. Hamada N., Sawada S., Oshiyama A. New one-dimensional conductors: Graphitic microtubules // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68, № 10. P. 1579-1581.
10. Кревчик В. Д., Разумов А. В., Козенко С. Е. Эффект анизотропной передачи импульса фотона электронной системе в нанотрубке со спиральным дефектом в условиях внешнего магнитного поля // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. № 3. С. 164-171.
11. Кибис О. В. Эффект анизотропной передачи импульса в низкоразмерных электронных системах в магнитном поле // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1997. Т. 66, № 8. С. 551-555.
12. Кибис О. В. Новые эффекты электрон-фононного взаимодействия в квазидвумерных структурах в магнитном поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1999. Т. 115, № 3. С. 959-969.
13. Григорькин А. А., Дунаевский С. М. Электронный спектр и баллистический транспорт спиральной нанотрубки // Физика твердого тела. 2007. Т. 49, № 3. С. 557-561.
References
1. Basaev A., Galperin V., Pavlov A., Shaman Yu., Shamanaev S. Features of the synthesis of carbon nanotubes (CNTs) and their arrays at the CNT-2 facility. Nanoindustriya = Nanoindustry. 2009;4:16. (In Russ.)
2. Antipov A.A., Arakelyan S.M., Kutrovskaya S.V., Kucherik A.O., Nogtev D.S., Pro-koshev V.G. Formation of extended arrays of nanostructures during the deposition of metal nanoparticles from callodium solutions by pulse-periodic laser radiation. Nano- i mikrosistemaya tekhnika = Nano- and microsystem technology. 2011;3:4-8. (In Russ.)
3. Tkachev A.G., Mishchenko S.V., Konovalov V.I. Catalytic synthesis of carbon nanotubes from gas-phase products of carbon pyrolysis. Rossiyskie nanotekhnologii = Russian nanotechnologies. 2007;2(7-8):100-108. (In Russ.)
4. Takagi D., Kobayashi Y., Homma Y. Carbon nanotubegro wth from diamond. J. Am. Chem. Soc. 2009;131:6922.
5. Saito R., Fujita M., Dresselhaus G., and Dresselhaus M.S. Electronic structure of chiral graphene tubules. Applied Physics Letters. 1992;60:2204. Available at: https://doi.org/10.1063/1.107080
6. Charlier J.-C., Michenaud J.-P. Energetics of multilayered carbon tubules. Physical Review Letters. 1993;70:1858. doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.70.1858
7. White C.T., Robertson D.H., Mintmire J.W. Helical and rotational symmetries of na-noscale graphitic tubules. Physical Review. 1993;47:5485(R). doi:https://doi.org/ 10.1103/PhysRevB.47.5485
8. Mintmire J.W., Dunlap B.I. and White C.T. Are fullerene tubules metallic? Phys. Rev. Lett. 1992;68:631. doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.631
9. Hamada N., Sawada S., Oshiyama A. New one-dimensional conductors: Graphitic microtubules. Phys. Rev. Lett. 1992;68(10):1579-1581.
10. Krevchik V.D., Razumov A.V., Kozenko S.E. The effect of anisotropic transfer of photon momentum to an electron system in a nanotube with a spiral defect under conditions of an external magnetic field. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and methematical sciences. 2012;3:164-171. (In Russ.)
11. Kibis O.V. The effect of anisotropic momentum transfer in low-dimensional electronic systems in a magnetic field. Pis'ma v zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki = Letters to the Journal of experimental and theoretical physics. 1997;66(8):551-555. (In Russ.)
12. Kibis O.V. New effects of electron-phonon interaction in quasi-two-dimensional structures in a magnetic field. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki = Journal of experimental and theoretical physics. 1999;115(3):959-969. (In Russ.)
13. Grigor'kin A.A., Dunaevskiy S.M. Electronic spectrum and ballistic transport of a spiral nanotube. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 2007;49(3):557-561. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Алексей Викторович Разумов кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей физики и методики обучения физике, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Aleksey V. Razumov Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of general physics and physics teaching methods, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Владимир Дмитриевич Кревчик
доктор физико-математических наук, профессор, декан факультета информационных технологий и электроники, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Vladimir D. Krevchik Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of information technology and electronics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Ю-Хуа Вонг
профессор, Университет Ланьжоу (Китай), директор Института функциональных и экологичных материалов (филиал Главной лаборатории специальных функциональных материалов и структурного моделирования) (Китай, Ганьсу, Ланьжоу, р-н Ченгуань, Тианьшуй С Роуд 222)
E-mail: wyh@lzu.edu.cn
Yu-Hua Wang
Full Professor, Lanzhou University (China), Director of the Institute of Functional and Environmental Materials (a branch of the Key Laboratory for Special Function Materials and Structure Design (222 Tianshui S Rd, Chengguan District, Lanzhou, Lanzhou, Gansu, China)
Тиань-Ронг Ли
Доцент, Университет Ланьжоу (Китай), Главная лаборатория специальных функциональных материалов и структурного моделирования (Китай, Ганьсу, Ланьжоу, р-н Ченгуань, Тианьшуй С Роуд 222)
E-mail: litr@izu.edu.cn
Tian-Rong Li
Associate Professor, Lanzhou University (China), Key Laboratory for Special Function Materials and Structure Design (222 Tianshui S Rd, Chengguan District, Lanzhou, Lanzhou, Gansu, China)
Михаил Борисович Семенов доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Иван Михайлович Семенов студент, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Mikhail B. Semenov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of physics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Ivan M. Semenov
Student, Penza State University (40 Krasna-ya street, Penza, Russia)
Поступила в редакцию / Received 08.04.2021
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 15.04.2021 Принята к публикации / Accepted 20.04.2021
