Почти все латинские квадраты имеют тривиальную группу автострофий Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(5)

УДК 65.012.810(075.8)

ПОЧТИ ВСЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ ИМЕЮТ ТРИВИАЛЬНУЮ ГРУППУ АВТОСТРОФИЙ1

А. В. Черемушкин

Институт криптографии, связи и информатики, г. Москва, Россия

E-mail: avc238@mail.ru

Доказано, что при n ^ ж почти все латинские квадраты имеют тривиальную группу автострофий. Как следствие выводится асимптотическая оценка числа главных классов эквивалентности латинских квадратов порядка n.

Ключевые слова: латинские квадраты, квазигруппы, ортогональные массивы, автострофии.

1. Основные определения

Пусть In = {1, 2,... ,n}. Латинским квадратом порядка n называется n х n-матрица L = (lij), строки и столбцы которой являются подстановками множества In. Каждый латинский квадрат L порядка n можно рассматривать как табличное задание квази-групповой операции «о» на множестве In, задаваемой равенством i о j = ljj, i,j е In, либо как ортогональный массив OA(n,3,1) вида

L = {(i,j,k) | i,j E In,k = i ◦ j}. (1)

Изотопия — это тройка подстановок а = (r,c,s) Е S3. Здесь r переставляет строки, с — столбцы, а s осуществляет замену элементов. Действие группы изотопий на множестве латинских квадратов определяется как а : L ^ La, где

La = {(ir,jc,ks) | (i,j,k) Е L}.

Если La = L, то а Е S^ называется автотопией. Изострофия — это преобразование (а, а), где а Е Sin — изотопия, а а Е S3 действует на множестве троек ортогонального массива (1) путем перестановки координат в каждой тройке (i,j,k) Е In, причем

L(a,a) = {(ir ,j c,ks)a . (i,j,k) е L}.

Классы эквивалентности относительно группы преобразований (Sn, S3) = Sn IS3 называются главными классами. Наконец, (а, а) — автострофия, если L(a,CT) = L.

2. Вспомогательная лемма

Воспользуемся следующим результатом из работы [1].

Лемма 1 [1]. Пусть L — латинский квадрат с нетривиальной группой автострофий. Тогда найдется некоторый изострофный ему латинский квадрат L', имеющий изострофию (а, а) с одной из следующих структур:

(i) а = (r, с, s) для некоторого простого числа р, где г, с имеют порядок р и одинаковое число m неподвижных точек, 1 ^ m ^ n/2;

хРабота выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ №4.2008.10.

(II) а = (г, с, в) для некоторого простого числа р, делящего п, где г, с имеют порядок р и не имеют неподвижных точек, а в имеет порядок 1 или р; более того, если р = 2 и п = 2 (mod 4), то в имеет по крайней мере две неподвижные точки;

(III) (а, а) = (1,1,в, (КС)), где в имеет порядок 1 или 2 и по крайней мере одну неподвижную точку;

(1у) а = (ПСБ).

Здесь подстановка а записывается в цикловой записи, с использованием больших букв К, С и Б, соответствующих номерам строк, столбцов и элементам латинского квадрата. Поэтому запись а = (КС) означает транспонирование квадрата относительно главной диагонали, а а = (КСБ) —циклическую замену элементов (г,], к) ортогонального массива (1) на (к, г,]), где г,], к Е 1п.

3. Основная теорема

Основным результатом данной работы является следующая теорема, анонсированная в [2] и уточняющая теорему 4 из работы автора [3].

Теорема 1. При п ^ ж почти все латинские квадраты порядка п имеют тривиальную группу автострофий.

Доказательство. Доля латинских квадратов порядка п с нетривиальной группой автотопий составляет Т(п)/Ьп, где Т(п) —число латинских квадратов порядка п с нетривиальной группой автотопий, а Ьп — число латинских квадратов порядка п. Для оценки этой величины воспользуемся оценкой из [4] (с. 141): при п ^ ж для числа латинских квадратов Ьп справедлива оценка

п2

пп

Ьп > пп2. (2)

еп

В силу леммы 1 число Т(п) можно оценить сверху выражением

Т(п) < (Кг(п) + К2(п) + Кз(п) + К4(п)) ■ (п\)33\,

где Кг(п), 1 ^ г ^ 4,—число латинских квадратов, имеющих автострофию, вид которой указан соответственно в пп. (1)-(1у) леммы. Найдем верхние оценки каждой из величин Кг(п), 1 ^ г ^ 4.

В случае (1) для некоторого простого числа р имеем а = (г, с, в), где подстановки г, с имеют порядок р и одинаковое число т неподвижных точек, 1 ^ т ^ п/2. Пусть подстановки г и с имеют г циклов длины р, п = гр + т, п/(2р) ^ г ^ п/р. Так как при действии подстановки г строки латинского квадрата, соответствующие одному циклу этой подстановки, переходят одна в другую, то достаточно задать только г строк, а остальные гр — г строк определятся однозначно. Поскольку аналогичное свойство выполняется и для столбцов, то для задания оставшихся неопределенными элементов латинского квадрата, лежащих на гр столбцах, соответствующих циклам подстановки с, достаточно задать еще по п — гр элементов в г столбцах. В результате осталась неопределенной только часть латинского квадрата, содержащая (п — гр) х х(п — гр) элементов.

Поэтому число латинских квадратов, имеющих автострофию указанного вида, можно оценить выражением

К1(п)< £ £ ((I) Ш)2«"■ — -гр)Г-‘г+') <

р\п,р>2 £ ^п 4 4 У р ■ У

< п2п\3 тах{п\г((п — гр)\)п г(р ^}.

Максимальное значение величины п\г((п — гр)\)п~г(р~1') на интервале п/2 ^ гр < п достигается при г = п/4, р =2. Применяя формулу Стирлинга

' п N п

/2кп(^ П е(1+\ 0 <е< 1,

п! = V 2пп | — | е^ ' 12п< е

имеем

5

К\(п) ^ п2п !3п !п/4((п/2)!)3п/4 ^ ехр < -п21пп + 0(п2)

В случае (іі) для некоторого простого числа р, делящего п, имеем а = (г, с, в), где г, с имеют порядок р и не имеют неподвижных точек, а в имеет порядок 1 или р. Поэтому величину К2(п) можно оценить с помощью аналогичных рассуждений следующим образом:

К2(п) ^ V"1 (—, П' . ^ п!(п!)п/р <п(п!)п/2+3 ^ ехр (1 п21пп + 0(п2)

" ркйлрп/р(п/ру-; (’ и ( 1

В случае (111) в группе автострофий с точностью до сопряжения есть подстановка вида (а, а) = (1, 1, в, (КС)), причем подстановка а = (КС) задает симметрию латинского квадрата относительно главной диагонали с точностью до замены элементов в. Поэтому для определения всех элементов латинского квадрата достаточно задать элементы, расположенные на главной диагонали и верхнем треугольнике. Отсюда число латинских квадратов с такими автострофиями можно оценить величиной

К3(п) ^ 3(п\)3пп(п+1^/2 ^ ехр | 1 п21пп + 0(п2)\ .

2

В случае (1у) в группе автострофий с точностью до сопряжения есть тройной цикл вида а = (КСБ). Поэтому тройки (г,], к), (к, г,]) и (], к, г) в ортогональном массиве (1) будут либо все различны, либо все одинаковы, причем они будут совпадать в том и только в том случае, когда г = ] = к. Отсюда число латинских квадратов с такими автострофиями можно оценить величиной

К4(п) ^ 2(п\)3п(п2~п)/3+п ^ ехр п21п п + 0(п2)

Итак, число латинских квадратов с нетривиальной группой автострофий оценивается выражением

4' {5 } пп2 ( 3

Т(п) = ^ Кг(п) ^ ехр} -п21п п + 0(п2)> ^ —пТ ех^ — дп21п п(1 — 0(1п-1 п)

Окончательно, с учетом неравенства (2), получаем

Т(п) / „„Л 3 2,

^ ехр < — п 1пп (1 — 0(1п п))

Ьп [8

Теорема доказана. ■

В частности, из данной теоремы вытекает теорема 4 из [3].

Следствие 1. При п ^ ж почти все бинарные квазигруппы порядка п имеют тривиальную группу автотопий.

4. Асимптотическая оценка

Приведем теперь асимптотическую оценку числа главных классов эквивалентности латинских квадратов порядка п.

Следствие 2. При п ^ ж число главных классов эквивалентности латинских квадратов порядка п асимптотически равно

ТПз <1+

Ьпг

где Ln — число латинских квадратов порядка п.

Пусть N(п) —число главных классов эквивалентности порядка п, а Mn — множество представителей главных классов эквивалентности латинских квадратов порядка п с нетривиальной группой автострофий. Тогда доказательство вытекает из следующего равенства работы [1]:

N(п) = + V \Par(L)\- 1,

(п) 6п!3 + ^ \Par(L)\ ’

L£.Mn

где Par(L) —группа автострофий латинского квадрата L.

ЛИТЕРАТУРА

1. McKay B. D., Meynet A., Myrvold W. Small latin squares, quasigroups and loops // J. Combin. Designs. 2007. V. 15. No.2. P.98-119. http://cs.anu.edu.au/7Ebdm/papers/ls_final.pdf

2. Черемушкин А. В. Почти все латинские квадраты имеют тривиальную группу автострофий // Материалы IX Междунар. семинара «Дискретная математика и ее приложения», посвященного 75-летию со дня рождения академика О. Б. Лупанова (Москва, МГУ, 18-23 июня 2007 г.) / Под ред. О. М. Касим-Заде. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2007. С. 459-460.

3. Черемушкин А. В. Некоторые асимптотические оценки для класса сильно зависимых функций // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. С. 87-94.

4. Минк М. Перманенты. М.: Мир, 1982.