Почти совершенные шифры и коды аутентификации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2011 Математические методы криптографии №4(14)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КРИПТОГРАФИИ

УДК 519.7

ПОЧТИ СОВЕРШЕННЫЕ ШИФРЫ И КОДЫ АУТЕНТИФИКАЦИИ

А. Ю. Зубов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия

E-mail: Zubovanatoly@yandex.ru

Предлагаются конструкции почти совершенных шифров с экономным расходом ключа, совмещающие функции шифрования и аутентификации при равновероятном выборе ключей и открытых текстов.

Ключевые слова: почти совершенный шифр, код аутентификации.

Пусть Е = (S, K, M, E,D) —шифр1, для которого S, M — множества открытых и шифрованных текстов; K — множество ключей; E — множество правил зашифрования, состоящие из инъективных отображений Efc : S ^ M для каждого k Е K; D — множество правил расшифрования, состоящее из отображений Dk : M ^ M U {0}, таких, что

Js, если Efc(s) = m,

Dk (m) = <

y0, если m Е Ek(S).

Пусть на множествах S, K определены распределения вероятностей P(S), P(K), состоящие соответственно из вероятностей Ps(s) и Pk (k), строго больших нуля для каждого s Е S и k Е K. Будем полагать, что при шифровании ключи и открытые тексты выбираются независимо друг от друга. Тогда P(S), P(K) естественным образом индуцируют распределение P(M) на множестве M, состоящее из вероятностей

Pm (m) = Y, Pk (k) ■ ps (Dk (m)), m Е M, (1)

k€K(m)

где K(m) = {k Е K : Dk(m) = 0}.

Так же естественно вводятся условные распределения P(S | M) и P(M | S). Для каждой пары (s,m) вероятности pS| M(s | m) и pM | S(m | s) определяются соответственно формулами

Pm |s(m | s) = £ pk(k); (2)

kGK(s,m)

t I ч PS(s) ■ Pm | s(m 1 s) ,Q,

pS|M (s 1 m) = —PM(m— • (3)

где K(s,m) = {k Е K : Ek(s) = m}.

К. Шеннон назвал шифр Е совершенным, если для любых s Е S, m Е M имеет место равенство

Ps| м(s | m) = ps(s). (4)

1 Пользуемся определением шифра, приведённым в [1, 2].

Интерес к таким шифрам связан с тем, что шифртекст не даёт вероятностной информации об открытом тексте. В этом смысле не менее интересны шифры Е, для которых величина

Д(Е) = тах |р£ | м(з | т) - (з)

(5,т)

не превосходит достаточно малого действительного числа е ^ 0. Назовём такие шифры почти совершенными, или е-совершенными. Совершенный шифр является е-совер-шенным при е = 0. Ясно, что такие шифры относятся (как и совершенные шифры) к классу теоретически стойких шифров, поскольку, независимо от используемых потенциальным противником вычислительных ресурсов, они не позволяют определить по шифртексту открытый текст с вероятностью, превосходящей е. Как известно, недостатком совершенного шифра является большой расход ключа, поскольку для совершенного шифра должны выполняться неравенства |£| ^ |М| ^ |К| (см. [1]). В связи с этим возникает вопрос о возможности сокращения расхода ключа при переходе от жёсткого условия (4) к менее жёсткому условию Д(Е) ^ е.

В работе предлагаются некоторые классы е-совершенных шифров с равномерными распределениями Р(£), Р(К), допускающие эффективную реализацию, для которых |К| ^ |£1 . Помимо стойкого шифрования, рассматриваемые шифры гарантируют также стойкую аутентификацию.

Заметим, что для равномерных распределений Р($), Р(К) вероятность р^| м(з | т) представляется в виде

|к (з,т)| й'м (з' т) = тктг

Это следует из формул (1)-(3). Таким образом, в рассматриваемых условиях величина

выражается формулой

Д(в,т) = 1 м(в | т) - р^(в)

|К (в,т)| 1

Д(з, т) =

5)

|К(т)| |Б|

Приведём примеры почти совершенных шифров, построенных на основе кодов из [3].

Пример 1. Пусть ^ — поле характеристики 2, состоящее из д элементов, и г — произвольное натуральное число. Рассмотрим шифр Еі, для которого Б = (^)г, К = (^)2 и М = (^)г+1. Правило зашифрования строки в = (з1,...,зг) на ключе к = (а, Ь) определим формулой

Е(в) = (м1,..., иг, а + и1 ■ Ь1 + ... + иг ■ Ьг) ,

где

и = + Сг ■ а + ■ Ь, % = 1, . . . , Г,

а С1,... , сг , ^1,... , —произвольные ненулевые константы из ^, такие, что

Сг ' ^7 = С; ' (6)

при % = >

Утверждение 1. Шифр Е1 с равномерными распределениями Р($), Р(К) является е-совершенным шифром для е < д-1.

Доказательство. Заметим, что для любого т = (и1,..., и, ад) € М выполняется равенство |К(т)| = д. В самом деле, пусть Е(а,Ь)(з1,..., зг) = (и1,... ,иг, ад). Тогда

зг = + сг ■ а + ■ Ь, % = 1,..., г, и ад = а + и1 ■ Ь + ... + иг ■ Ьг. Нужное утвержде-

ние следует из того, что для любого Ь € ^ однозначно определяется параметр а из последнего равенства.

Покажем теперь, что для любых з € Б и т € М справедливо неравенство |К(з,т)| ^ 1. В самом деле, пусть для двух различных пар (а,Ь) и (а',Ь') выполняются равенства = зг + сг ■ а + ■ Ь = зг + сг ■ а' + ■ Ь', % = 1,..., г. Из этих равенств

получаем, в частности, следствия для любых различных %, ] = 1,... , г :

Константы сг, ненулевые, поэтому а + а' = 0, так как в противном случае Ь + Ь' = = 0, и тогда (а, а') = (Ь, Ь'), что противоречит условию. В таком случае из последних

= с^ ■ ^г, что противоречит условию (6). Полученное противоречие доказывает требуемое свойство.

Теперь, используя (5), получаем неравенства Д(з,т) ^ д-1 — д-г < д-1, откуда Д(Е1) = тахД(з,т) < д-1, что и требуется. ■

Рассмотрим вопрос об использовании шифра Е1 для обеспечения аутентификации данных. Формально речь идёт об оценке имитостойкости шифра Е1, то есть его стойкости к атакам типа имитации и подмены в случае, когда каждый ключ используется для передачи не более одного сообщения. Этот вопрос подробно рассмотрен в [2], где мерой стойкости служит вероятность успеха атаки. Тот же вопрос можно рассматривать и с других позиций. Шифр Е1 представляет собой код аутентификации с секретностью [4]. В случае, когда распределения Р(Б), Р(К) равномерны, стойкость кода аутентификации к активным атакам определяется вероятностями р0 и р1, где (см., например, [5, 6])

Как код аутентификации Е1 работает следующим образом. Получатель сообщения т = (и1,... , и, ад), владеющий секретным ключом к = (а, Ь), восстанавливает передаваемое состояние источника з = (з1,...,зг), пользуясь соотношениями

Критерием аутентичности сообщения служит равенство w = а + и1 ■ Ь + ... + иг ■ Ьг.

Утверждение 2. Для кода аутентификации Е1 с равномерными распределениями Р(Б), Р(К) выполняются соотношения

С ■ (а + а') = ^ ■ (Ь + Ь'),

с, ■ (а + а') = ^ ■ (Ь + Ь').

соотношений получаем равенства сг ■ 1 = (Ь + Ь')(а + а') 1 = с, ■ ф 1, или сг ■ ф

(5,т)

Р1 =

|К(т, п) | = |К(т) | П |К(п) |.

зг = и + сг ■ а + ■ Ь, % = 1,..., г.

11 ро = д , р1 < г ■ д .

Доказательство. Как отмечалось в доказательстве утверждения 1, для любого т € М имеет место равенство |К(т)| = д. Пусть (а, Ь) € К(т,п), где т = = (и1,... ,иг+1), п = (^1,..., ^г+1). Тогда а и Ь находятся из системы уравнений

а + Мі ■ Ь + а + м1 ■ Ь + .

Г + 1 .

Поскольку уравнение (и 1 + ^1) • Ь +... + (иг + V-) • Ьг = мг+1 + ^г+1 имеет в поле ^ не более г решений, системе (10) может удовлетворять не более г значений Ь. Для каждого из них из первого уравнения системы однозначно находится значение а. Это доказывает неравенство |К(т)| ^ г для любых т, п € М. Соотношения (9) следуют теперь из формул (7), (8). ■

Проиллюстрируем уровень стойкости шифра Е1 числовым примером. Пусть д = 264, г = 216. Тогда Е1 при использовании 128-битного ключа обеспечивает (2-64)-совершенное шифрование сообщений длины, не превосходящей 216 • 64 = 4194304 бит, и их аутентификацию с уровнем стойкости, определяемым параметрами р0 = 2-64, р1 < 2-48.

Пример 2. Пусть д = 2Г, ^ = 2Г+*, г, Ь — натуральные числа, такие, что 2Ь ^ г. Рассмотрим шифр Е2, для которого Б = (Ед)2^1, К = Ед X Ед X ^, М = (Ед)2<+2. Правило зашифрования строки з = (з2( ,...з1,з0) на ключе к = (а, Ь, с) определим формулой

М24,

, Мо, с +

4 • а + ... + Мі • а + Мо

где м — + Лг-а+д-Ь, і — 0,1,... , 2*, а Л0,... , Л24, д0,... , д24 —произвольные константы

из ^д, такие, что ■ д — Л ■ д при і — ^. Запись [а]ч означает приведение элемента а по модулю д, то есть вычёркивание і старших координат двоичного представления а.

Утверждение 3. Шифр Е2 с равномерными распределениями Р(Б), Р(К) является е-совершенным шифром для

1

1

2Г+2* 2(г+1)^(24+1)

е

Доказательство. Для любого т = (м2«,..., и0, ад) € М выполняется равенство

|К (т)| = 2Г+2*. (12)

В самом деле, пусть Е(адс)(з2«,... , з0) = (м2*,..., и0, ад). 'Тогда зг = + Л,г • а + дг • Ь,

% = 0,1,... , 2*, и ад = с + [Ь • (м2( • а2 + ... + и1 • а + и0)] . Для любых а, Ь € Ед из последнего равенства однозначно определяется параметр с € . Равенство (12) сле-

дует теперь из того, что для любого 7 € число пар (а, в) € Ед X Ед, таких, что [а, в]д = 7, равно ф2/д.

Точно так же, как и в утверждении 1, доказывается, что для любых з € Б и т € М

|К(з,т)| ^ 1. (13)

Теперь из (5 Д (Е2) = тах Д(в,т) = тах

(5,т)

12) и (13) получаем равенства 1

2(г+1)-(2‘+1)

1 1 = = 1 1

2^+24 2(г+1М2‘+1) 2Г+24 2(г+1М2‘+1)

откуда следует (11). ■

Как и Е1, шифр Е2 можно рассматривать как код аутентификации с секретностью. Утверждение 4. Для кода аутентификации Е2 с равномерными распределениями Р(Б), Р(К) выполняются равенства

2-г, р = 2-(г-1) - 2-2г. (14)

Ро =

Доказательство. Вероятности р0, р1 можно вычислить непосредственно, как и в утверждении 2. Вместо этого воспользуемся известным утверждением. В [3] изучается код аутентификации Е с теми же, что и у Е2, множествами Б, К, М. Отличие состоит лишь в том, что правило кодирования кода Е задаётся формулой

Е

(а,ад(в) = (в,с + На) ■ &]9

С15)

где в = (в2«,... , в0) определяет коэффициенты многочлена в(х) = в2« ■ X + ... + в0. В [3] доказано, что для кода Е вероятности успеха имитации и подмены определяются формулами (14). Покажем, что вероятности р0, р1 одинаковы для Е и Е2. Для этого достаточно заметить, что одинаковы матрицы инцидентности кодов.

Напомним, что матрица инцидентности кода аутентификации (г(к,т)) размера |К| х |М| , состоящая из элементов

это матрица

г(к, т)

1, если Ек(в) = т для некоторого в € Б,

0 в противном случае.

Заметим, что правила кодирования (11) и (15) связаны соотношением

Ек(в) = Ек (^(в)),

Г16)

где ^ : Б ^ Б — биекция для каждого к € К. Очевидно, что матрицы инцидентности кодов, связанных соотношением (16), одинаковы. Это позволяет сделать вывод о том, что для любых сообщений т, п € М величины |К(т)| и |К(т, п)|, определяющие вероятности р0, р1 по формулам (7), (8), одинаковы для Е и Е2 при условии, что распределения Р(Б), Р(К) равномерны. ■

Проиллюстрируем уровень стойкости шифра Е2 примером. Пусть 4 = 32, г = 64. Тогда Е2 при использовании 256-битного ключа обеспечивает (2-128)-совершенное шифрование сообщений длины, не превосходящей (64 + 32) ■ (232 + 1) = 412316860512 бит,

2

-64

и

и их аутентификацию с уровнем стойкости, определяемым параметрами р0 р1 < 2-63.

Шифры Е1 и Е2 допускают эффективную реализацию, поскольку операции сложения и умножения в полях характеристики 2 реализуются несложно. Выбор констант с*, ^ (так же как и констант д^, Л^), удовлетворяющих соотношениям (6), не представляет труда. Например, в качестве с можно выбрать элемент, двоичная запись которого представляет число 2г, а в качестве ^ — элемент, двоичная запись которого представляет число 2г + 1.

Интересен вопрос об оценке стойкости рассмотренных шифров в случае, когда распределение Р(Б) неравномерно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алфёров А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черёмушкин А. В. Основы криптографии. М.: Гелиос АРВ, 2005. 480 с.

2. Зубов А. Ю. Криптографические методы защиты информации. Совершенные шифры. М.: Гелиос АРВ, 2005. 192 с.

3. Kabatianskii G. A., Johansson T., and Smeets B. On the cardinality of systematic A-codes via error correcting codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1996. V. IT-42. No. 2. P. 566-578.

4. Зубов А. Ю. Математика кодов аутентификации. М.: Гелиос АРВ, 2007. 480 с.

5. Зубов А. Ю. Оценка стойкости кода аутентификации с двумя состояниями источника при случайном и равновероятном выборе ключей // Безопасность информационных технологий. 2008. №2. С. 92-96.

6. Зубов А. Ю. О выборе оптимальной стратегии защиты для кода аутентификации с двумя состояниями источника // Дискретная математика. 2009. Т. 21. №4. С. 136-147.