CC BY
87
новое направление в математической логике — теорию сложности формальных доказательств.
Перевод работы [1] на английский язык (см. [4]), выполненный через 15 лет после ее публикации, можно считать заслуженной оценкой фундаментальности. Правда, здесь не обошлось без некоторых «казусных» моментов. Так, авторы работы [5] рассматривают квантифицированный вариант приведенных выше преобразований, указывая в качестве первоисточника свою работу, датированную 1982 годом, и буквально говоря, что «...пропозициональный вариант данных преобразований был предложен Цейтиным в 1983 году (ссылка [4])».
Сложно отследить момент, когда впервые в публикациях стал использоваться термин «преобразования Цейтина» (Tseitin’s transformation). Однако на сегодняшний день данный термин прочно укоренился в научной литературе (причем, главным образом, в отношении преобразований, описанных в первой цитате) и фигурирует в работах по сложности формальных доказательств, по верификации дискретных автоматов, по обращению дискретных функций (см., например, [6-8] и многие другие).
Настоящая заметка представляет собой введение в обзор, посвященный использованию преобразований Цейтина в ряде областей математической и прикладной логики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Цейтин Г. С. О сложности вывода в исчислении высказываний // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. 1968. Т. 8. С. 234-259.
2. Данцин Е. Я. Алгоритмика задачи выполнимости // Вопросы кибернетики. Проблемы сокращения перебора. М.: АН СССР, 1987. С. 7-29.
3. Waisberg M. Untersuchungen uber den Aussagen kalkul von Heyting //Wiadomosci Matematyczne. 1938. V. 46. P. 45-101.
4. Tseitin G. On the complexity of derivation in propositional calculus // Automat. Reasoning. 1983. V. 2. P. 466-483.
5. Plaisted D., Greenbaum S. A Structure-preserving Clause Form Translation // J. Symbolic Computation. 1986. V. 2. P. 293-304.
6. Groote J. F., Zantema H. Resolution and binary decision diagrams cannot simulate each other polynomially // J. Discrete Appl. Mathematics. 2003. 130:2. P. 157-171.
7. Een N., Sorensson N. Translating Pseudo-Boolean Constraints into SAT // J. Satisfiability, Boolean Modeling and Computation. 2006. No. 2. P. 1-25.
8. Семенов А. А., Заикин О. С., Беспалов Д. В., Ушаков А. А. SAT-подход в криптоанализе некоторых систем поточного шифрования // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. №6. С. 134-150.
УДК 681.03
ПОЧТИ СОВЕРШЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
М. Э. Тужилин
Появление разностного метода вызвало необходимость разработки подходов к построению тех классов S-боксов, которые являются оптимальными для противостояния данному методу. Большое значение приобрело введенное в [1] понятие почти совершенной нелинейной функции (Almost Perfect Nonlinear, или, сокращенно, APN-функции).
Функция F: GF(pn) ^ GF(pn) называется APN-функцией, если для любых а = 0 и b из GF(pn) уравнение F(х + а) — F(х) = b имеет не более двух решений.
Наибольший интерес исследователей прикован к случаю p = 2. Многие свойства APN-функций, заданных на GF(2n), описаны в [2].
В силу того, что построение новых APN-функций — довольно сложная задача, имеют важное значение те преобразования функций, при которых сохраняются свойства «быть APN-функцией».
Пусть F,A,Ai,A2 : GF(pn) ^ GF(pn). Если F — APN-функция, Ai,A2 — аффинные подстановки и A — аффинная функция, то F' = Ai о F о A2 + A — тоже APN-функция. В этом случае F и F' называются расширенно аффинно эквивалентными (EA-эквивалентными) и аффинно эквивалентными при A = 0.
До недавнего времени известны были только такие конструкции APN-функций, которые были EA-эквивалентны степенным функциям F(x) = xd над конечными полями, они приведены в [3].
В [4] было введено понятие CCZ (Carlet — Charpin — Zinoviev)-эквивалентности. Отображения Fi и F2 поля GF(pn) на себя называются CCZ-эквивалентными, если графы отображений Fi и F2, то есть множества {(x, Fi(x)) | x G GF(pn)} и {(x, F2(x)) | x G GF(pn)} являются аффинно эквивалентными.
CCZ-эквивалентность является более общей, чем EA-эквивалентность (каждый класс CCZ-эквивалентности содержит один или несколько классов EA-эквивалентности), и сохраняет свойства «быть APN-функцией» и «быть AB-функцией».
В [5] приведены серии APN-функций, CCZ-эквивалентных степенным функциям над полем GF(pn).
В 2006-2008 годах были построены серии APN-функций, не CCZ-эквивалентных степенным функциям над полем GF(pn), большинство из них приведено в [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. Nyberg K., Knudsen L. R. Provable Security Against Differential Cryptography // LNCS. 1993. V. 740. P. 566-574.
2. Berger T., Canteaut A., Charpin P., Laigle-Chapuy Y. On Almost Perfect Nonlinear Functions Over F2n // IEEE Transactions on Information Theory. 2006. V. 52. No. 9. P. 4160-4170.
3. Zeng X., Hu L., Yang Y., Jiang W. On the inequivalence of Ness-Helleseth APN functions // Cryptology ePrint Archive 2007/379.
4. Carlet С., Charpin P., Zinoviev V. Codes, bent functions and permutations suitable for DES-like cryptosystems // Designs, Codes and Cryptography. 1998. V. 15(2). P. 125-156.
5. Budaghyan L., Carlet C., Pott A. New Classes of Almost Bent and Almost Perfect Nonlinear Polynomials // Proceedings of the Workshop on Coding and Cryptography. 2005. P. 306-315.
6. Budaghyan L., Carlet C., Leander G. Constructing new APN functions from known ones // Cryptology ePrint Archive 2007/063.
