Почти достоверная модальная логика шкал Крипке с функциональным отношением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.643

В. В. Слюсарев

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Почти достоверная модальная логика шкал Крипке с функциональным отношением

Рассматривается случайная отмеченная шкала Крипке с равномерным распределением на множестве шкал модальной логики ЯЬ на фиксированном множестве точек размера п. Почти достоверной логикой 8Ьа£| называется множество всех формул, которые общезначимы в случайной ЯЬ-шкаде размера п с вероятностью, стремящейся к единице при п ^ то. Доказывается, что 8Ьа£| = ЯЬ.

Ключевые слова: модальная логика, семантика Крипке, асимптотические вероятности, случайные графы, почти достоверные логики, разбиения множеств

V. V. Sliusarev

Moscow Institute of Physics and Technology

Almost sure modal logic of Kripke frames with a functional relation

We consider the random labelled Kripke frames distributed uniformly on the set of frames on a fixed set of n points that validate the modal logic SL. The almost sure logic SLas is the set of all formulas that are valid in the random SL-frame on n points with probability-approaching to one as n ^ ro. We show that SLas = SL.

Key words: modal logic, Kripke semantics, asymptotic probabilities, random graphs, almost sure validities, set partitions

1. Введение

В современной математике активно изучаются случайные структуры, такие как случайные отношения на заданном множестве. Одним из основных способов изучения случайных структур является их описание с помощью логических языков.

Достаточно хорошо изучено описание случайных отношений на языке первого порядка. Широко известен закон нуля или единицы для случайных отношений, утверждающий, что любое определимое на языке первого порядка свойство случайного отношения на п-элементном множестве имеет асимптотическую вероятность, равную нулю или единице. Этот закон доказали независимо Глебский, Коган, Легонький и Таланов [1], и Фейгин [2]. В последней работе описывается аксиоматизация для множества всех предложений, которые верны для случайного отношения с вероятностью, стремящейся к единице, или асимптотически почти наверное.

Представляет интерес характеризация случайных отношений на языках неклассических логик. Бинарные отношения можно описывать на языке модальной логики с помощью семантики Крипке. Случайные шкалы Крипке и случайные модели Крипке демонстрируют различное поведение: в частности, для моделей Крипке выполнен закон нуля и единицы [3], в то время как для шкал Крипке он нарушается [4]. В этой статье мы ограничимся рассмотрением случайных шкал Крипке.

© Слюсарев В. В., 2024

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

Множество формул, которые выполнены асимптотически почти наверное в данном семействе случайных шкал Крипке, назовём почти достоверной логикой этого семейства. Горанко [5] описал почти достоверную логику случайной счётной шкалы Крипке и показал [6], что она содержится в почти достоверной логике конечных шкал Крипке. Задача полной аксиоматизации почти достоверной логики конечных шкал Крипке остаётся открытой; согласно Горанко [6], она может быть не конечно аксиоматизируемой и даже не перечислимой. Задача аксиоматизации почти достоверной логики, однако, может быть более выполнимой для более узких классов шкал Крипке, среди которых наибольший интерес представляют классы шкал, определяемые нормальными модальными логиками. Вербрюгге [7] доказала закон нуля и единицы для случайных конечных шкал модальной логики GL и аксиоматизацию для почти достоверной логики этого класса. Из этого результата следует,

GL

рением логики GL.

В этой статье мы рассматриваем почти достоверную логику класса шкал модальной логики SL. Известно, что логика SL определяет класс шкал Крипке, в которых отношение является функцией. Классический результат Сегерберга [8] служит примером простой

SL

натуральных чисел с отношением следования. В общем случае шкалы, в которых общезна-SL

В разделе 1 вводятся основные термины и обозначения и формулируются классические утверждения теории моделей модальной логики, которые используются для решения поставленной задачи. В разделе 2 формулируется и доказывается теорема 1 о включении почти достоверной логики класса шкал, заданного некоторой модальной логикой, в почти достоверную логику класса связных шкал этой логики. В разделе 3 описывается

SL SL

SL

SL

SL

1.1. Модальная логика

Определение 1. [9] Зафиксируем счётное множество пропозициональных переменных PV := {р1, р2, ...}. Определим множество ML модальных формул как множество всех строк р в алфавите PV U {(, ), —, V, О}, удовлетворяющих БНФ-выражению:

р ::= ±1 pi | (р ^ ф) | Пр, г е N.

Введём сокращение: Ор := —П—р.

L

L

2) L содержит аксиому нормальности d(pi ^ р2) ^ (П^1 ^ Пр2); L

(МР) если р е L, р ^ ф е L, то ^ е L для любых р, ф е ML; (Gen) если р е L, то Пр е L для любой р е L;

(Sub) если р е L, то р[ф/р] е L, где р е PV, р,ф е ML, р[ф/р] ^результат замены всех вхождений переменной р в формуле р на формулу ф.

SL

формулы Пр ^ Ор и Ор ^ Пр.

1.2. Шкалы Крипке

Определение 4. [9] Шкалой Крипке называется пара Р = (X, Д), где X = < множество, К С X х X — отношение. Множество X в этом случае будем обозначать ёош Р.

Обозначение. Пусть Р = (X, К) — шкала Крипке. Обозначим:

1) В° = {(а, а) | а е X} ;

2) К-1 = {(а,Ь) 1а, Ь е X, ЪКа} ;

3) Кп+1 := {(а, Ь) | Зс е X (аКс и сКпЬ)} для всех п > 0;

4) К* = У¿>0 К1; —рефлексивно-транзитивное замыкание К;

5) Я(а) := {Ь е X | аВЪ} для любого а е X.

6) К(и) := иаеи ^(а) Для любого и С X.

7) К \ и := К П (и х и) для любого и С X.

8) Р \ и := (и,К \ и) для любого и С X.

Определение 5. [9] Оценкой в шкале Крипке Р = (X, К) называется функция V : РУ ^ 2х. Пар а (Р,У) в этом случае называется моделью Крипке. Тройка (Р, У, х), где х е X, называется отмеченной моделью Крипке.

Определение 6. Пусть Р = (Х,К), С = (У, Б) —шкалы Крипке. Биекция / : X ^ У называется:

1) изоморфизмом шкал Р и О, если для любых а,Ъ е X верно аВЬ ^^ f (а)Б/(Ь);

2) изоморфизмом моделей (Р, V) и С, и, где V : РУ ^ 2х и и : РУ ^ 2¥, если выполнено условие 1 и для любых а е X, р е РУ выполнено а е V(р) ^^ /(а) е и(р);

3) изоморфизмом отмеченных моделей (Р,У,х) и (С, и, у), где У : РУ ^ 2х, х е X, и : РУ ^ 2У, у е У, если выполнено условие 2 и /(х) = у.

Две шкалы Крипке (модели Крипке, отмеченные модели Крипке) называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм. Отношение изоморфности обозначается символом = .

Определение 7. [9] Пусть (Р, У, х) — отмеченная модель Крипке, Р = (X, К), р е МЬ.

Отношение Р, V, х = р истинна в (Р, У, х)") определяется индуктивно:

1) Р,У,х = ±;

2) Р, У, х = р ^^ х е V(р), где р е РУ;

3) Р, У, х = (<р ^ ф), есл и Р, У, х = ^ ил и Р, У, х = ф, где р, ф е МЬ;

4) Р, У, х = ир, если Уу е К(х) (Р, У, у = <р), где р е МЬ.

Предложение 1. [10] Пусть р е МЬ. Если отмеченные модели Крипке (Р, У, х) и (С, и, у) изоморфны, то Р, У,х = <р ^^ С, и, у = р.

Определение 8. Формула р общезначима в шкале Крипке Р = (Х,К), если для любой оценки У : РУ ^ 2х и любой х е X выполнено Р,У,х = р.

Предложение 2. [10] Пусть р е МЬ. Если шкалы Крипке Р и С изоморфны, то ^ = <р ^^ С = р.

Определение 9. Логикой Log Т класса шкал Крипке Т называется множество всех формул р е МЬ, таких что Р |= р для любой Р еТ.

Определение 10. Классом шкал, ЕгГ множества формул Г С МЬ называется класс всех шкал Р, таких что Р |= р для любой р е Г.

Замечание. Если Т = {Р} ми Г = {р}, то фигурные скобки могут опускаться, например: Р |= Г; LogР; Ег р.

Определение 11. Рекурсивно определим функцию шё : МЬ ^ N —модальную глубину формулы:

1) шё(±) = 0;

2) шё(р) = 0 для любой р е РУ;

3) шё(р ^ ф) = тах{шё(р), шё(ф)};

4) шё(Пр) = шё(р) + 1.

Определение 12. Пусть Р = (Х, К) —шкала Крипке, V —оценка, х е Х^сть п е N. Определим усечённую отмеченную модель М^п = (Р^п, х), где

п

Х^п = и К'(х); Я^п = К \ Х^п; Р^п = (Х^п, Я|п) ; У^п(р) = V(р)пХ^п(х), р е РУ.

г=0

Лемма 1. Пусть Р = (Х, Я) ^шкала Крипке, V —оценка, х е Х. Пусть п е N. Тогда, для любой формулы р, тй(р) ^ п, верно

Р,У,х = р ^ Р^т,У^т,х\=р.

п

1.3. Случайные шкалы и почти достоверные логики

Определение 13. Пусть [п] = {1, ..., п}. Обозначим Тп множество всех шкал Крипке вида ([п], Я), где Я С [п] х [п].

Определение 14. Пусть Т —непустой класс шкал. Для любого п е N определим случайную шкалу Рп(Т) как случайный элемент со значениями в Т П Тп с равномерным распределением:

Р(Рп(Т) еА)= 1ТпПТ^А1, где А С Тп п Т. (1)

| Т п п Т I

Замечание. Изоморфные шкалы считаются различными.

Определение 15. Почти достоверной логикой Logas(Т) класса шкал Т называется мно-р е МЬ

11ш Р(Рп(Т) == р) = 1.

Предложение 3. Для любого класса шкал Т, LogТ С Logas(Т). Доказательство. Пусть р е Log Т, тогд а ТС Егр. По (1), для любого п е N,

р(Рп(т ) == р) = |ТпТп п Егр = |ТпТп| = 1, ( п( ) = р) |тпТп| |тптп| ,

так что р е Logas(Fr Ь). □

Обозначение. Если Ь —нормальная модальная логика, то обозначим Рп(Ь) := Рп(Е Ь) и Ьа8 := Logas(Fг Ь).

В этой работе мы исследуем логику 8Ьая.

2. Логики случайных связных шкал

Определение 16. Пусть F = (X, R) — шкала Крипке. Определим отношение

Л := ( R UR-1)*.

р

Предложение 4. Для любой шкалы Крипке F = (X, R), лр — отношение эквивалентно-X.

р

Определение 17. Классы эквивалентности по отношению ^^ назовём компонентами

F. F

компоненту связности.

Обозначение. Если Т — класс шкал Крипке, то Con Т — класс всех связных шкал в Т.

Для многих модальных логик L задачу определения почти достоверной логики Las можно свести к задаче описания почти достоверной логики Logas(ConFr L) связных шкал L.

Определение 18. Пусть Т = |(X¿, R¿)}¿e/ — множество шкал Крипке, где I — некоторое

Т Т ( X, R)

где

X = {(г , а) \ а е Xi, ге /}; (г,a)R(j, b) ^^ i = j, aRib.

Обозначение. Обозначим F1 II F2 := Уie{1 2} Fi.

Лемма 2. [10] Пусть I —непустое множесmeo, {Fi = (Xi,Ri)}iei —набор шкал Крипке, F = |eIFi. Тогда LogF ^ш Log Fi.

Определение 19. Пусть F е Тп, п е N. Положим m :=max{\С\ | С е [п^Л } ; k := mi^fc е [п] ЗС е [пУЛ : к е С, \С\ = m} .

Пусть С — компонента связности F, ^^^^^^^щая точку к. Обозначим МС(F) = F \ С.

Замечание. МС(F) — сужение F на компоненту связности, которая содержит точку с минимальным номером среди всех компонент максимального размера. В частности, МС(F) —

связная шкала Крипке, и \ dom МС(F)\ ^ \С\ для любой С е [п]^ . Предложение 5. Для любой шкалы Крипке F е Тп, LogF С Log МС (F).

Доказательство. Заметим, что F = МС(F)I±IF [ ([п]\domМС(F)). Утверждение следует из леммы 2. □

Определение 20. Пусть U С N — конечное множество. Обозначим Ти множество всех шкал Крипке вида ( U, R), R CU х U.

Предложение 6. Пусть L — модальная логика, п е N, U С [п]. При условии dom МС(Fn(L)) = U, слушйаш шкала МС(i?n(L)) равномерно распределена на Ти П Con Fr L :

Р(МС(FFn(L)) = Gi \ dom МС(^^(L)) = U) = Р(МС(i^n(L)) = G2 \ dom МС(Fn(L)) = U) для любых Gi, G2 е Ти П ConFr L, вде P(A \ В) := — условная вероятность.

Доказательство. Зафиксируем п E N, подмножество U С [п] и шкалы G1 = (U,S1), G2 = (U,S2) E Fu П ConFr L. Так как dom G1 = dom G2 = U, по определению условной вероятности достаточно показать, что

P(MC (Fn(L)) = G\) = P(MC (Fn(L)) = G2),

что в силу (1) эквивалентно

l{F E Fn П Fr L : MC(F) = Gi}| = |{F E Fn П Fr L : MC(F) = G2}l .

Построим биекцию f между этими двумя множествами. Пусть F = ([n],R) E Fn П FrL такова, что MC(F) = Gi. Определим шкалу f (F) = ([n], R'), где

aRb, если a, b E U; , r ,

a, b E [n].

aS2b, если a,b E U,

Заметим, что F = G1 Ы F \ ([n] \ U), так что по лемме 2 L С LogF \ ([n] \ U). Далее, f (F) = G2 Ы F \ ([n] \ U) и, поскольку G2 = L,

Log f (F) = Log G2 П Log F \ ([n] \ U) D L.

Таким образом, f (F) E Fn П Fr L.

По условию dom Gi = ^ является компонентой связности в F. По построению отношения R', между Urn [п] \ U не существует Д'-стрелок, так что U также является компонентой связности в F'. Так как при этом R' ^^^тадает с R на [п] \ U, полученная шкала f (F) имеет то же множество компонент связности, что и ^.Следователь но, dom МТ (f (F)) = U. Поскольку f (F) \ U = G2, имеем МТ(f (F)) = С2, как и требовалось.

Для любой шкалы F = ([п], R') E Fn П Fr L, удовлетворяю щей MC (F) = G2, справедливо f-1(F) = ([n],R), где

aR'b, если a, b E U; , r ,

a, b E [n].

aS1b, если a,b E U,

Следовательно, / является биекцией между множествами {F E Fn П Fr L : MC(F) = Gi} и {F E Fn П Fr L : MC(F) = G2}, так что их мощности равны. □

Предложение 7. Пусть L — модальная логика, п E N,U С [п], IU| = т. Тогда для любой модальной формулы р:

P(MC(Fn(L)) I= <р | dom MC(Fn(L)) = U)= P(Fm(ConFr L) |= tp).

Доказательство. Множество U равномощно [m], так что существует биекция f : [т] ^ U. Определим биекцию f между множествами Fu П ConFrL и F\[т] П ConFrL : для любой шкалы F = (U, R) E Fu П Con Fr L положим

](F) = ([m],tí), aR'b ^ f(a)Rf(b), a,b E [m].

Заметим, что / является изоморфизмом между F и f(F). Тогда для любой F E Fu П ConFrL и любой модальной формулы (р имеет место эквивалентность:

F = у ^ f(F) = <р.

По предложению 6, при условии dom MC(Fn(L) = U) случайная шкала MC(Fn(L)) равномерно распределена на Fu П ConFr L, следовательно, f(MC(Fn(L))) равномерно распределена на Fn П ConFr L при этом же условии. Тогда утверждение следует из равномерного распределения Fra(Con Fr L) на Fn П Con Fr L. □

aR'b

Определение 21. Пусть п £ N. Числом Белла, Вп называется число разбиений множества [п] на непересекающиеся подмножества.

Определение 22. Пусть п, г £ N. Обозначим Gn,r число всех разбиений множество [п] на

.

Предложение 8. Для любых г, к £ N выполнено асимптотическое соотношение:

Gn}r2пк — о(Вп), п — то.

Доказательство. Известны асимптотики для чисел Вп и Gnr при т — const, п —У то [11] [12]:

ln Вп — п(1пп — 1п1пп — 1 + о(1)), ln Gn,r — М — - j п 1пп + О(п).

Тогда

ln (G

В

ÍGnr 2пк\ п

1n ( ——- ) = —п 1пп + п 1п1пп + О(п) ^ —то,

V Вп J г

G 2пк

так что —ng--> 0 при п ^ то. □

Предложение 9. Пусть L — модальная логика, такая что Fn П ConFr L = 0 для любого п £ N. Для любого фиксироваиного г £ N,

lim P(| dom МС(F„(L)) | < г) = 0.

Доказательство. Заметим, что любому разбиению [п] на непересекающиеся подмножества соответствует хотя бы одна шкала в Fn П ConFrL. Действительно, если { Ui, ..., Uk} — разбиение, то для любого j = 1, ..., к существует связная шкала Fj £ Fp.| П ConFrL. Построим шкалу F £ Fn П Fr L, поместив шкалу, изоморфную Fj, на Uj для j = 1, ..., к. Разным разбиениям соответствуют разные шкалы, так что lFn П Fr L| ^ Вп.

Оценим сверху число шкал F £ Fn П Fr L, v которых | dom МС (F)| ^ г. Так как dom М С( F)

нента связности имеет мощность не более г. Каждая такая шкала однозначно задаётся разбиением [п]^= { Ui, ..., Uk} на компоненты связности, где к ^ п и \Uj| ^ г для любого j = 1, ..., к, и сужениями R \ Uj на все компоненты связности Uj. Для любого j существует 2^Uj|2 ^ 2г2 отношений на Uj. Тогда искомое число шкал оценивается сверху выражением

^ 2^12 ■ ... ■ 2^I2 < ^ 2rar2 =Gn,r2пг2.

[п]=и1и...ик [п]=и1и...ик

Vj pj l^r Vj IUj l^r

2

По предложению 8 выполнено Gn,r2пг = о(Вп), п ^ то. Тогда

т^и l{F £ Fn П Fr L : | domMC(F)| < г}| о(Вп) п

p(|domMC (F„(L))|^ ^ = И-^ f-1FrL}| ( )1 = ~ВГ ^ 0, п

□

Теорема 1. Пусть L — модальная логика, такая что FnПConFr L = 0 для любого п £ N. Тогда L38 С Log38(ConFr L).

Доказательство. Пусть <р £ Logas(ConFr L). Тогда существуют m £ N и q £ [0,1), такие что P(Fra(ConFr L) |= ip) < q при п ^ т. По предложению 5,

P(Fn(L) = <р) < P(MC(Fn(L)) = <р)

< P(| dom MC(F„(L))| < m) + P(| dom MC(F„(L))| ^ m Л MC(Fn(L)) = <p).

По предложению 9, первое слагаемое стремится к нулю при п ^ ж. Оценим второе, используя предложение 7:

P(| domMC(F„(L))| ^ т Л MC(Fn(L)) = <р) =

= ^ P(dom MC(Fn(L)) = U Л MC(Fn(L)) = ф) =

UC[n], \U

= ^ P(MC(Fn(L))= <p | dom MC(Fn(L)) = U)P(dom MC(Fn(L)) = U) =

иC[n], \U

= S P(^\u\(ConFrL) = tp)P(domMC(Fn(L)) = U) < иC[n], \U

< ^ q P(dom MC(Fn(L)) = U) =

иC[n], \U

= q ^ P(dom MC (Fn(L)) = U ) =

U Q[n],\U

= q P(| dom MC(Р^Щ ^ m) ^ q. Таким образом,

P(Fn(L) = <p) < o(1) + q, n ^ ж,

так что при достаточно большом п данная вероятность меньше единицы. Тогда (р £ Las. В силу произвольности <р £ Logas(ConFrL), имеем Las С ConFrL. □

3. Логика SLas

Шкалы Крипке из класса Fr SL будем называть SL-шкалами. В этом разделе мы опишем стурктуру случайной SL-шкалы и докажем основной результат — равенство SLas = SL.

Предложение 11. Пусть F = (X, R) — шкала Крипке. Логика SL общезначима в F тогда и только тогда, когда

Уа £ X (|| = 1). (2)

Доказательство. Формула □р ^ Ор определяет уел овие У а £ X (R(a) = 0), а формула Op ^ □р — услов ие У а £ X (| | ^ 1). Обе эквивалентности проверяются непосред-

□

Определение 23. Шкала F = (X, R) называется обратным деревом,, если:

1) существует единственная точка ао £ X, такая что R(ao) = 0;

2) | | = 1 для люб ой а £ X \ |а0};

3) aR*a0 для любой а £ X.

Точку а0 будем называть корнем дерева F и обозначать root F.

Определение 24. Пусть F = (X, R) — обратное дерево, |Х| < ж. Высотой F назовём число height F = max {k ^ 0 | За £ X : aRk(root F)}.

Рис. 1. Конечная связная SL-шкала

Предложение 12. Шкала Крипке Р = (X, К) —конечная связная БЬ-шкала тогда и только тогда, когда

1) в Р существует цикл С = {с\, ..., Ск} С X :

2) для любой с £ С существует подмножество Т(с) С X, такое что с £ Т(с)

и (Т(с), R \ Т(с)) — обратное дерево;

3) множества Т(с), с £ С, попарно те пересекаются и образуют разбиение X.

Доказательство. Пусть шкала F = (X, R) удовлетворяет условиям 1 — 3. Покажем, что для любой точки a £ X выполнено (2). Если a £ С, то |R(a)| = 1 согласно (3). Иначе, a £ Т(с) для некоторого с £ С. Так как a £ С, имеем a = с, так что a не является корнем обратного дерева Т(с). Тогдa |R(a)| = 1. В силу произвольности a £ X, утверждение доказано.

Обратно, пусть F = (X, R) £ Тп П ConFr SL. Покажем, что в F существует цикл. Рассмотрим произвольную точку ai £ X. По условию (2) существует единственная точка a2 £ R(ai). Продолжим построение: для любого г £ N существует единственная точка a¿+i £ R((ii). Тогда a|x|+i £ {a1, ..., a|x|} в силу конечности множества X. Выберем минимальное т, такое что am+1 = ak для некоторого к ^ т. Тогда С = {ak, ak+i, ..., am} — искомый цикл.

С F

пых цикла С = {ci, ..., Ск} и С' = {ci, ..., c's}. Если С П С' = 0, то Ci = c'j для некоторых г £ [ к], j £ [ s]. Но тогда то (2) получаем, что с^ mod k)+i = c[j mod k)+i, откУДа п0 индукции можно доказать, что С = С '.Если С П С' = 0, то заметим, что в силу связности шкалы F верно Ci(R U R-i)*с\. Так как циклы не пересекаются, часть пути из ci в c'i лежит вне обоих циклов: c¿(R U R-i)ai(R U R-i)a2(R U R-i).. .a¡(R U R-i)Cj для некоторых i £ [к], j £ [ s] и ai, ..., ai £ С U С'. Так как R(c¿) = {c^ mod k)+i}, невозможно, что aRai, так что aiRci. Аналогично, так как |R(ai)| = 1, получаем a2Rai. Рассуждая таким образом, получим, что c'jRa¡R... RaiRci, но это противоречит тому, что R(c'j) = {с(j mod k)+i}. Следовательно, цикл С единственный.

£ С. Пусть Т1(с) = R-i(c) \ С. Тогда для любой a £ Т1(с), R(a) = {с}. Пусть Тг(с) = R^CZKc)). Так как R(Тl(c)) = {с} и с £ Т1(с), имеем Т2(с) ПТ1(с) = 0. Заметим, что Т2(с) ПС = 0. ^^^^^^^тельно, если a £ Т2(с) ПС, то aRfe для некоторого b £ Ri(с), но в то же время в силу (3) R(a) = {с'} для некоторого с1 £ С — противоречие. Продолжим построение: для любого i ^ 2 положим X¿+i(с) = R-1^^)). Аналогично описанному случаю доказывается, что X¿+i ПС = 0 и !¿+i П Т^ = 0 для 1 ^ j ^ г.

R(c 1) = {С2}; R(С2) = {сз}; ...; R(Ck) = {ci};

(3)

Положим Т(с) = {с} U U^ Ti(с). Обозначим Rc = R \ Т(с). Докажем, что (Т(с), Rc) — обратное дерево с корнем с. По построению с е Т(с) и Т(с) П С = {с}. Так как R(c) С С, получаем, что Rc(c) = 0. Для любого а е Т(с) \ {с}, |^^(о.)| = 1 по (2) и R(a) С Т(с) по построению, так что lRc(a)l = 1. Выше мы показали, что для любого а е Ti(c) выполнено aRc. Так как Ti+l(c) = R-1(Ti(c)) для всех г ^ 1, отсюда следует, что aR*c для любого а е Ti(c) и любого г ^ 1, так что aR*с. Следовательно, aR*c для любой а е Т(с).

Покажем, что {Т(с) | с е С} — разбиение X. Пусть а е X. Рассуждая так же, как при доказательстве существования цикла, заметим, что в R*(a) содержится цикл. Так как С — единственный цикл, С С R* (а). Для любой с е С обозначим d(a,c) минимальное число d ^ 0, такое что aRdc. Из условия (2) следует, что d(a, с) различны для разных с е С. Пусть са — точка из С с наименьшим d(a, с). Если d(a, са) = 0, то а = са, так что а е Т(а). Иначе а е Td(afia)(ca) С Т(са).

Теперь докажем, что а £ Т(с) при с = са. Предположим, что а е Т(с) для некоторого с е С. Если а = с, то d(a, с) = 0 должно быть минимальным среди всех точек из С, тогда са = с. Иначе, а е Tr(с) для некоторого г > 0, тогда aRrс. В силу минимальности d(a, са), г > d(a, са). Тогда путь из а в с проходит через са, следовательно, са е Т(с). По построению Т(с) П С = {с}, так что са = с. Утверждение доказано. □

Определение 25. Определим шкалу N := (N, S), где S = {(п,п + 1) | п е N}.

Предложение 13. f8] SL = Log N.

Определение 26. Пусть F = (X, R) ^ шкала Крипке, к е N. Множество {al, ..., аи} С X называется простои цепью из к элементов в F, если al, ..., аи попарно различны и alR... Rak-

Предложение 14. Пусть р е ML \ SL — модальная фор мула, md(^) = т. Если в шкале F = (X, R) е Fr SL найдётся простая цепь из т + 1 элемента, то F == р.

Доказательство. По утверждению 13, (N, S) == р. Тогда для некоторой оценки V шкалы N и некоторого г е N верно N,V,r == р. По лемме 1, Nr^m, V/'™, г == р. Заметим, что dom Nrfr = {г, г + 1, ..., г + т}.

Пусть а0, ..., ат — простая цепь в F. По условию (2), R(ai) = {ai+l} для всех 0 ^ г < т. Тогда Ра^™ = ({ао, ..., ат}, {(ai, ai+l)m-~01}). Определим оценку V на : положим

V'(p) = {ai | 0 < i < m, (r + i) е V^m(p)}.

Тогда отмеченные модели (Nf'm, V^™, г) и (Ра^0т, V', а) изоморфны, так что по предложению 2 F^m, V', а |= р. По лемме 1, F == р. □

Следствие 1. Пусть р е ML \ SL; md(^) = т. Пусть F = ([п], R) е ConFr SL. Обозначим С С [п] цикл в F, h = maxheight(T(с)). Если |С| + h > т, то F == р.

cEC

Доказательство. Пусть |С| + h > т. Существует с е С, 'ткш что height Т(с) = h. Тогда

в Т(с) ^^^^^тся точка ао, такая что R*(ao) — простая цепь из не менее чем m +1 элемента. □

Следствие 2. Пусть р е ML\SL md(^) = т. Пусть F = ([n], R) е ConFr SL С С [п] цикл в F, d = max |Т (с)У Есл и d < т, то F = р.

cEC

Доказательство. Пусть d < т. Тж как {Т(с) | с е С} — множества [п],

п

cec ' " ......m

п = Е |Т(С)| < 1С| швх. |Г(с)| = 1С1С|-,

сЕС Г

тогда 1С| > ^ = ш„ ^^^^^тательно |С| + d> т. По ^^^детвию 1, Р = р. □

Далее мы покажем, что Logas(ConFr 8Ь) С SL. По следствию 1 достаточно показать, что в случайной шкале i?ra(ConFr SL) с ненулевой асимптотической вероятностью найдётся большой цикл или дерево большой высоты. Исследуем распределение высоты максимального дерева в Рп(ConFrSL).

Определение 27. Пусть F — ([п],К) —связна я SL-шкада с циклом С и разбиением {Т(с) | с £ С} на обратные деревья. Обозначим:

m :— max{heightT(с) | с £ С}, Со :— min{c £ С | height Т(с) — m}.

Определим МТ(F) :— F \ Т(со) — обратное дерево в F, обладающее минимальным

F.

Определение 28. Определим случайную шкалу Тп — МТ(Fn(ConFr SL)).

Определение 29. Для любого U С N, |U| < то, a £ U обозначим Т( U, г) множество обратных деревьев вида ( U, R) с корнем г.

п £ N, U С [ п] | U| < то,

г £ U. При уеловии dom Тп — U, root Тп — г случайная шкала Тп равномерно распределена на Т( U, г) :

Р(Тп — Т | dom Тп — U, root Тп — г) — Р(Тп — Т2 | dom Тп — U, root Тп — г) для любых Т1,Т2 £

Доказательство. Пусть Т1 — (U, S\), Т2 — (U,S2) £ По определению условной вероятности достаточно показать, что

Р(Тп — Т Л dom:fn — U Л root ТТп — a) — Р(Тп — Т2 Л dom Тп — U Л root ТТп — a),

что равносильно

|{F £Fn П ConFr SL : МТ(F) — Т1}| — |{F £ Fn П ConFr SL : МТ(F)— Т2} .

Построим биекцию f между этими двумя множествами. Пусть F — ([п], R) — связиая SL-шкала и МТ(F) — Т1. В ^^стности, root МТ(F) — root^ — a. Определим f(F) — ([п], R),

где

a R , a £ U

aR b ^^ <

a S2 , a £ U.

U

лось дерево Т2 вместо дерева Т1. Так как rootT2 — a — root МТ(F), то легко убедить-f( F) SL F.

Тогда dom МТ(F) — U и МТ(F) — (U, R \U) — (U, S2) — Т2.

SL

шкалы G — ([п],^^^^^ что МТ(F) — U и G \ U — Т2, ^^тобраз f-1(G) можно вычислить аналогичной заменой отношения на множестве U на отношение дерева Т1 :

t-1f^\ !\ 1 m D7 \aR'b, ecлиa£U

f (G) — ([п], R), где aRb ^^

a S1 , a £ U.

□

Определение 30. Для любых U С N, |U| < то^ a £ U обозначим X(U,a) случайный элемент множества Т( U,a) с равномерным распределением.

Определение 31. Обозначим Yn случайный элемент с равномерным распределением на всех обратных деревьях вида ([п], R).

п £ N, U С [ п] a £ U

любого Т £ Т(U, a):

Р(Тп — Т | dom ТТп — U, root Тп — a) — P(X(U, a) — Т).

Предложение 16. Пусть U С N. Тогда для любого a £ U и любого числа h £ N,

P(heightX(U, a) — h) — P(height Y^| — h).

Доказательство. Так как |U| < то и распределение X(U, a) не зависит от структуры множества U, достаточно рассмотреть случай U — [п], где п £ N.

По определению, Yn равномерно распределено на множестве |_Щ=1 ^(М, г). Тогда для h£N

P(heightY — h) — П=1 l{F £Г(U,a): heightF — h}|

p(height Yn — h) — _n__ . (4)

Пусть a, b £ [п]. Обозначим иа-ь циклический сдвиг на [п], который переводит b в a :

аа-ь : [п] ^ [п]; аа-ь(г) — (г + a - b) mod п

Для любого Fa — ([п], R) £ Т([п], a) оиределим Fb — ([п], R'), где

гR'j ^^ aa-b(i)Raa-b(j).

По построению root Fb — b, так что Fb £ Т([п], Ь); деревья Fa и Fb изоморфны, так что height Fa и height Fb- Легко видеть, что данное преобразование Fa ^ Fb обратимо: аналогичным образом применим к Fb обратный циклический сдвиг оь-а- Таким образом, для любых a, b £ [п] и любо го h £ N определена биекция между {F £ Т (^],a) : heightF — h} и {F £ Т([п], b) : heightF — h}. Следовательно,

|{F £ Г([п], a) : heightF — h}| — |{F £Г([п], b) : heightF — h}|, a, b£ [п]. (5)

Аналогично,

|T(M,a)| — |Г([п],b)l, a, b£ [п]. (6)

h£N

^{F £ T([п], 1) : heightF — h}|

P(height >— h) — uiTin, i)i -

К F £T([п],1) : height F — ft)1— P(heightx(W, 1) — h).

1)|

a £ [ п h £ N,

|{F £ T([п],a) : heightF — h}|

P(heightX([rf],a) — h) — |Г(п a)| -

|{^£Т([п], 1):heightF — h)|—P(height Yn — h),

IT (п, 1)| □

п £ N, U С [ п a £ U

h£N

P(height Тп — h | domТп — U, root Тп — a) — P(height Y^| — h).

□

Предложение 17. [13] Справедливы асимптотические выражения для математического ожидания и дисперсии высоты случайного дерева:

^ ^ ( _ 3) пЩ

E(heightl>„) ~ V2ттп; Var(height Yn) ~ —-—-——, п ^ то.

3

Предложение 18. Logas(ConFr SL) С SL.

Доказательство. Пусть p £ SL, md(p) = т. По следствиям 1 и 2,

P(i>ra(ConFr SL) = p) ^ P (| domTra| < —) +P (| domTra| ^ — Л height > > т) . (7)

т т

Вычислим второе слагаемое, используя следствие 4:

P f| dom Тп | ^ — Л height Тп > т) = т

= ^ P(dom Тга = U Л height Тп > т) =

иС [га], IU£

= ^ P(height Тп > т | dom Тп = U) P(dom Тп = U) =

^ СМ, £

= ^ P(height Y^| > т) P(dom Тга = U) =

и С [га], iu £

= P(height Y^| > т) ■ ^ P(dom Тга = U) =

t/сн ^ £

= P(height Y^| ^ т) P (| dom2>„| < .

Для любого к > ^ верпа асимптотика ^ = О ^= °(1), так чт0 п0 утверждению 17 и неравенству Чебышёва получим

P f I height Yk- E height Yk\ > Eheight > - т] <

P(height :>>fc ^ т) ^ P (j height Y>fc - E height Yk | ^ E height Yk - т)

Var(height Yk) — 3)k — 3) ж — 3

^---~-, -~--~-, n ^ то.

(E height Yk — т)2 3(^ДЖк — т)2 — ^ )2 6

Тогда для любого U С [n], |U| > ^ выполнено:

/ ж — 3 \ 9 — ж

P(height Y^| > т) ^ И — —J (1 + о(1)) = —(1 + о(1)), n ^ то.

Обозначим q := ^^ > 0. Подставим полученную оценку в (7):

P(i>ra(ConFr SL) =p) ^ P (| domТп| < —) +q(l + 0(1))P(| domTra| ^ т\ =

т т

= P (| dom Тга| <т) + 9(1 + о(1)) (l — P (| domTra| < =

= ( q + (1 — q)P (| domTra| < (1 + о(1)) ^ д(1 + о(1)).

При достаточно большом п эта вероятность положительна. В силу произвольности р £ SL, Logas(ConFr SL) С SL. □

Теорема 2. SLas = SL.

Доказательство. Заметим, что Fn П ConFr SL = 0 для любо го п £ N: цикл па множестве [п] является связной SL-шкалой. Тогда по теореме 1 и утверждению 18, SLas С ConFr SL С SL. По утверждению 3, SL С SLas. □

4. Заключение

Мы доказали, что SLas = SL. Ключевую роль в доказательстве сыграла теорема 1,

SL SL

бииаториые свойства которых значительно проще. Предложение 12 показывает, что связ-SL

ляет нам явно вычислить вероятности возникновения свойств, от которых зависит логика SL

Исследование может быть продолжено в нескольких направлениях. Открыт вопрос о

SL

тат может послужить важной отправной точкой для изучения закона нуля и единицы. Поскольку SLas = SL, достаточно установить, существуют ли формулы, не входящие в

SL, SL

ницы асимптотической вероятностью.

Описанный нами метод может быть использован для изучения вероятностных свойств других модальных логик. В частности, можно рассматривать логики, описывающие бо-

SL.

да Vx | ^ т) или Vx (1 ^ | ^^(ж) | ^ т), которые соответствуют модальным логи-

кам Altm и DAltm [9]. Мы предполагаем, что случайные шкалы этих логик обладают схожими свойствами, что позволит обобщить подход данной статьи на эти логики.

Список литературы

1. Глебский Ю.В., Коган Д.И., Легонький М.И., Таланов В.А. Область и степень реализуемости формул ограниченного исчисления предикатов // Кибернетика. 1969. Т. 5. С. 142-154.

2. Fagin R. Probabilities on finite models // Journal of Symbolic Logic. 1976. V. 41, N 1. P. 50-58.

3. Halpern J.Y., Kapron B. Zero-One Laws for Modal Logic // Annals of Pure and Applied Logic. 1994. V. 69, N 2-3. P. 157-193.

4. Le Bars J.-M. The 0-1 law fails for frame satisfiability of propositional modal logic // Proceedings 17th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science. 2002. 02. P. 225-234.

5. Goranko V., Kapron B. The Modal Logic of the Countable Random Frame // Archive for Mathematical Logic. 2003. V. 42, N 3. P. 221-243.

6. Goranko V. The Modal Logic of Almost Sure Frame Validities in the Finite // Advances in Modal Logic. 2020.

7. Verbrugge R. Zero-one laws for provability logic: Axiomatizing validity in almost all models and almost all frames // 2021 36th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science, LICS 2021. IEEE Xplore. 2021. 06. Proceedings - Symposium on Logic in Computer Science.

8. Segerberg Krister. On the Logic of «To-morrow» // Theoria. 1967. V. 33, N 1. P. 45-52.

9. Chagrov A.V., Zakharvaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997. Oxford logic guides, V. 35.

10. Goranko Valentin, Otto Martino. Model Theory of Modal Logic // Studies in Logic and Practical Reasoning. 2007. 12. V. 3. P. 249-329.

11. de Bruijn N.G. Asymptotic Methods in Analysis // Bibliotheca Mathematica. North-Holland Publishing Co., 1958.

12. Miksa F.L., Moser L., Wyman M. Restricted Partitions of Finite Sets // Canadian Mathematical Bulletin. 1958. V. 1, N 2. P. 87-96.

13. Renyi A., Szekeres G. On the height of trees // Journal of The Australian Mathematical Society. 1967. V. 7. P. 497-507.

References

1. Glebskii Yu. V., Kogan D.I., Liogon'kii M.I., Talanov V.A. Range and degree of realizabilitv of formulas in the restricted predicate calculus. Cybernetics. 1969. V. 5. P. 142-154. (in Russian).

2. Fagin R. Probabilities on finite models. Journal of Symbolic Logic. 1976. V. 41, N 1. P. 50-58.

3. Halpern J.Y., Kapron B. Zero-One Laws for Modal Logic. Annals of Pure and Applied Logic. 1994. V. 69, N 2-3. P. 157-193.

4. Le Bars J.-M. The 0-1 law fails for frame satisfiability of propositional modal logic. Proceedings 17th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science. 2002. 02. P. 225-234.

5. Goranko V., Kapron B. The Modal Logic of the Countable Random Frame. Archive for Mathematical Logic. 2003. V. 42, N 3. P. 221-243.

6. Goranko V. The Modal Logic of Almost Sure Frame Validities in the Finite. Advances in Modal Logic. 2020.

7. Verbrugge R. Zero-one laws for provability logic: Axiomatizing validity in almost all models and almost all frames. 2021 36th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science, LICS 2021. IEEE Xplore. 2021. 06. Proceedings - Symposium on Logic in Computer Science.

8. Segerberg Krister. On the Logic of «To-morrow». Theoria. 1967. V. 33, N 1. P. 45-52.

9. Chagrov A.V., Zakharvaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997. Oxford logic guides, V. 35.

10. Goranko Valentin, Otto Martino. Model Theory of Modal Logic. Studies in Logic and Practical Reasoning. 2007. 12. V. 3. P. 249-329.

11. de Bruijn N.G. Asymptotic Methods in Analysis. Bibliotheca Mathematica. North-Holland Publishing Co., 1958.

12. Miksa F.L., Moser L., Wyman M. Restricted Partitions of Finite Sets. Canadian Mathematical Bulletin. 1958. V. 1, N 2. P. 87-96.

13. Renyi A., Szekeres G. On the height of trees. Journal of The Australian Mathematical Society. 1967. V. 7. P. 497-507.

Поступим в редакцию 05.07.2024