CC BY
6Моделирование с помощью он-лайн калькулятораDesmos (www.desmos.com) чаще используется в проектах по математическому анализу [3].
Для вычислений в проектах по алгебре и теории чисел инструментом служит система компьютерной алгебры GAP [4].
Построение математической модели требует глубоких знаний математики, владения различными методами решения математических задач, демонстрирует практическую значимость полученных знаний. Процесс компьютерного моделирования в ходе работы над проектом позволяет ученику решать проблемы, находящиеся за пределами изучаемого курса. Этоспособствуетповышению познавательного интереса у обучающихся, поиску нестандартных решений поставленной задачи.
Использование компьютерных экспериментов в исследовательской и проектной деятельности требует особого внимания руководителей проекта. Следует стараться формулировать задачу так, чтобы использование пакетов прикладных программ в ходе работы над проблемой способствовало интеллектуальному развитию учащегося.
Работа выполнена при финансовой поддержке ФГБОУ ВО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева» по договору о выполнении НИР «Модель реализации проектно-ориентированной системы практик будущих учителей математики с учетом требований ФГОС ВО (3++)» заявка № МК-20-04-17/8 от 17.04.2020,ФГБОУ ВО «Шадринский государственный педагогический университет» по договору о выполнении НИР «Изучение групп центральных единиц целочисленных групповых колец» заявка № ШК-20-04-17/1 от 17.04.2020.
Библиографический список:
1. Нигматулин, Р. М. Организация самостоятельной работы студентов при изучении профильных математических дисциплин с использованием информационных технологий / Р. М. Нигматулин, М. Ю. Вагина // Информационные технологии в экономике и управлении: сборник материалов III Всероссийской научно-практической конференции. - ДГТУ, 2018. - С. 175-178.
2. Прокопенко, Г. И. Межпредметные связи физики и геометрии и их реализация в геометрии / Г. И. Прокопенко, Е. В. Мартынова, Т. Ю. Винтиш // Актуальные вопросы преподавания математики и информатики: сборник научных трудов II Всероссийской научно-практической конференции (16 апреля 2007 г.). - Биробиджан, 2007. - С. 66-71.
3. Нигматулин, Р. М. Математическое моделирование в учебных проектах бакалавров по профильным математическим дисциплинам / Р. М. Нигматулин, М. Ю. Вагина // Современные наукоемкие технологии. - 2018. - № 10. - С. 216-220. - URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=37223 (дата обращения: 08.03.2020). - Текст: электронный.
4. Шумакова, Е. О. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец метацик-лических групп Фробениуса / Е. О. Шумакова // Современные проблемы физико-математических наук: сборник материалов IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием: в 2 частях ; под общей редакцией Т. Н. Можаровой. - 2018. - С. 132-136.
УДК 621.01:519.283
ПЛП-ПОИСК КАК ПЕРСПЕКТИВНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
PLANNING OF A COMPUTATIONAL EXPERIMENT OF THE PROBLEM OF MULTICRITERIAL
SYNTHESIS OF A GEAR REDUCER
Статников И. Н., канд. техн. наук, вед. науч. сотр.
Фирсов Г. И., ст. науч. сотр.
ФГБУН «Институт машиноведения имени А.А. Благонравова РАН»
Россия, г. Москва firsovgi@mail.ru
Аннотация. Показана возможность проведения анализа спектра собственных частот сложной линейной колебательной системы на основе имитационного моделирования, включающего в себя целенаправленное, организованное и оптимальное проигрывание на компьютере различных вариантов.
Ключевые слова: ПЛП-поиск, эвристические методы оптимизации, метод Монте-Карло, планирование имитационных экспериментов.
Abstract. The possibility of analysis of natural frequency spectrum of complex linear oscillatory system on the basis of simulation modeling, which includes purposeful, organized and optimal playback of different variants on the computer, is shown.
Key words: PLP-search, the heuristic methods of optimization, the Monte Carlo method, planning the imitation experiments.
Одной из распространённых практических задач при проектировании динамических систем, рассматриваемых как линейные, является выбор значений параметров, обеспечивающих попадание собственных частот (или непопадание) в нужные интервалы на оси частот с целью снижения (или увеличения) виброактивности [1; 2; 3]. Возникает проблема выбора компромиссных (рациональных) значений параметров многопараметрической и многокритериальной динамической системы, когда число критериев качества K системы больше одного.
Решение этой проблемы, начиная с середины XX века, облегчается использованием ЭВМ. Стали развиваться информационные технологии, одним из важных элементов которых стали универсальные математические пакеты программ типа MathCAD, MATLAB, Maple [4]. Но это же обстоятельство, способствуя получению громадных объёмов результатов вычислительных экспериментов как средства компенсации невозможности получения полного аналитического решения задачи проектирования динамических систем, породило новые трудности - трудности в интерпретации этих результатов, особенно при решении задач проектирования динамических систем, когда важно знать влияние параметров системы на критерии качества.
В данной работе рассматривается задача анализа собственных колебаний реального двухступенчатого планетарного редуктора на основе использования метода планируемого ЛП-поиска (пЛп-поиска), принадлежащего к семейству методов Монте-Карло [5 - 7]. В основе ПлП-поиска лежат идей теории планирования эксперимента в сочетании с идеологией формирования квазислучайных последовательностей по методу, предложенному И.М. Соболем [8]. Иначе говоря, план размещения вариантов в пространстве варьируемых параметров основывается на получении комбинаций параметров с помощью сеток Соболя [8]. Получение таких планов и лежит в основе использования метода планируемого ЛП-поиска (ПЛП-помска).
Пусть a = (a1...,aJ) - J - мерный вектор параметров динамической системы, в качестве
которой берём двухступенчатый планетарный редуктор с 23 степенями свободы, все элементы которого, за исключением сателлитов, совершают крутильные колебания, а сателлиты - крутильные
и поперечные колебания [6, 9]. Вектор a = (a1...,aJ) принадлежит области G (a), определяемой неравенствами
a,* <a, <a,**, j = 1, J . (1)
j j j j
Уравнение собственных колебаний динамической системы с n степенями свободы записывается в матричном виде
(C - IE) y = 0, (2)
где C - квадратная матрица жёсткостей, I - диагональная инерционная матрица, Е - единичная матрица, y - вектор-столбец перемещений. В результате решения характеристического уравнения
C - IE = 0 при фиксированном значении вектора ai определяем значения n собственных частот
cjXi (ai), j1 = 1,n, i = 1,N, где N - число вычислительных экспериментов на данном этапе
проведения экспериментов.
Решалась следующая задача, называемая в литературе задачей отстройки. Задано множество ,l = 1,l| частотных интервалов; задача заключалась в поиске таких подобластей Ц(a) в
исходной области G(a), в которые не попадали бы собственные частоты cj1, т.е. выполнялось бы условие:
(a,) £ Ql; J1 = 1, n, i = 1, N, l = 1, L. (3)
\аг ; J1 = 1 П
Число параметров, входивших в математическое описание работы редуктора, равнялось 45, но на начальном этапе проведения вычислительных экспериментов варьировалось одновременно 25 (16 моментов инерции и 9 жёсткостей; J = 25). Пределы варьирования значений параметров в (1) брались ±0.3ау1ном , где а^1ном- номинальные значения варьируемых параметров анализируемого
редуктора. Из физических экспериментов было определено, что максимальному числу оборотов в области G(а) соответствуют два диапазона рабочих частот е [450;525] Гц для первой ступени и
02 е[1600;2215] Гц для второй ступени. В [9] было расчетным путем установлено, что каждая
собственная частота динамической системы при изменении параметра а ={а■í..,аJ) меняется в
некотором диапазоне. Было установлено, что нижние пределы изменения собственных частот соответствуют минимальным значениям жёсткостей и максимальным значениям моментов инерции, а верхние пределы изменения собственных частот - максимальным значениям жёсткостей и
минимальным значениям моментов инерции. Было также выяснено, что во второй частотный диапазон 0,2 в области G (а) практически не попадают собственные частоты при любом значении
параметра а = (а1...,а/). Поэтому задача свелась к отстройке собственных частот от одного диапазона ц, поскольку в этот диапазон могли попасть одна или две собственные частоты зубчатого механизма.
В соответствии с процедурами ПЛП-поиска [7] было проведено 7 серий вычислительных экспериментов по 16 в каждой, что означает: общее число N0 вычислительных экспериментов
равнялось 112, а в каждой серии все варьируемые параметры OLj 1 разбивались на одинаковое число
сечений 16, и в каждом сечении образовывалась выборка из 7 значений р, где р рассматривалась как вероятность попадания собственной частоты в область и рассчитывалась следующим образом:
р = N|N0 , (4)
где N - число вариантов, удовлетворяющих условию (3), т.е., не попавших в область □1. В результате дисперсионного анализа полученных результатов было установлено:
1) с вероятностью Р > 0.95 из 25 варьировавшихся параметров 16 не оказывали существенного влияния на величину N
2) «генеральное» среднее значение р из 112 вариантов равнялось 0,227, т.е., почти у каждого
четвёртого варианта из 112 в области о (а) собственные частоты не отстраивались;
3) среди оставшихся 9 влиятельных параметров (7 моментов инерции и 2 жёсткости) были выделены поддиапазоны, в которых частота попаданий собственных частот в область в среднем по каждому из этих параметров была наименьшей (ниже 0.227).
Совокупность выделенных поддиапазонов образовала в О (а) новую перспективную область
поиска Он (а), в которой реализована наилучшая частотная отстройка в соответствии с (3) (из 128 экспериментов, проведенных в ней, только у одной модели собственные частоты не отстроились). Результаты случайного поиска в Он (а) и О (а) отображены в таблице 1, где на пересечении строки и столбца стоит величина частоты попаданий р .
Значения p в G(а) и Gh (а)
N 16 32 64 128 256
Исходная область поиска g (а) 0.187 0.282 0.266 0.281 0.239
Выделенная область поиска Gh (а) 0 0 0.015 0.015 0.015
Данные таблицы показывают, что вероятность непопадания (отстройки) собственной частоты в Qi, равная 1-р, в области G(а) после проведения N0 = 256 вычислительных экспериментов приблизительно равна 0.76, а в Gh (а) - больше 0.98, при этом число варьируемых параметров сократилось до 9 (7 моментов инерции и 2 жесткости). У двух параметров область вариации осталась без изменения, у трех сократилась более чем на половину, у четырех сократилась примерно на одну четверть. Следовательно, дальнейшие поиски ещё лучших значений а с точки удовлетворения условия
(3) нужно вести в области GH (а).
Библиографический список:
1. Гальперин, Е. А. Оптимизация спектра собственных частот механических систем методом случайного поиска / Е. А. Гальперин, А. И. Медник // Автоматизация решения задач динамики в машиностроении. - Москва : Наука, 1973. - С. 12-23.
2. Гальперин, Е. А. Экстремальные задачи управления спектром собственных колебаний механических систем при наличии ограничений / Е. А. Гальперин, А. И. Медник // Известия АН СССР, Механика твердого тела. - 1971. - № 5. - С.57-60.
3. Глазман, И. М. Освобождение резонансно-опасных зон от собственных частот вибрационной системы варьированием ее параметров / И. М. Глазман, Л. И. Штейнвольф // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. - 1964. - № 4. - С. 126-128.
4. Далингер, В. А. Информатика и математика. Решение уравнений и оптимизация в Mathcad и Maple / В. А. Далингер, С. Д. Симонженков. - Москва : Юрайт, 2019. - 156 с.
5. Статников, И. Н. Использование интеллектуальных методов решения задач проектирования на основе планируемого вычислительного эксперимента / И. Н. Статников, Г. И. Фирсов // Информа-
ция и образование: границы коммуникаций (INFO'15): сборник научных трудов № 7 (15). - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2015. - C. 342-344.
6. Статников, И. Н. Планирование вычислительного эксперимента в задаче многокритериального синтеза зубчатого редуктора / И. Н. Статников, Г. И. Фирсов // Информация и образование: границы коммуникаций (INFO'19): сборник научных трудов № 11 (19). - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2019. -C. 99-101.
7. Statnikov, I. N. Using sobol sequences for planning experiments / I. N. Statnikov, G. I. Firsov // Journal of Physics: Conference Series. - 2017. - P. 1-3.
8. Соболь, И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. - Москва : Дрофа, 2006. - 175 с.
9. Генкин, М. Д. Об отстройке собственных частот планетарного редуктора методом-ЛП-поиска / М. Д. Генкин, В. К. Гринкевич, Н. Ф. Овчинникова // Динамические процессы в механизмах с зубчатыми передачами. - Москва : Наука, 1976. - С. 66-72.
УДК 519.958
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ОБРАТНОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В ИСКУССТВЕННОЙ СТРУКТУРЕ COMPUTATIONAL ALGORITHMS FOR THE REVERSE HEAT TRANSFER PROCESS
IN ARTIFICIAL STRUCTURE
Байшемиров Ж. Д., Ph.D., и. о. ассоц. профессора Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Институтинформационных и вычислительных технологий КН МОН РК, Марат Нуртас, Ph.D., ассоц. профессор Международный университет информационных технологий, Утепова К., магистрант Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Токмухамедова Ф., магистрант Международный университет информационных технологий, Казахстан, г. Алматы zbai.kz@gmail.com
Аннотация. В данной работе разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы для обратного процесса. Формулирование одномерной обратной задачи коэффициента для одномерного уравнения теплопередачи в искусственной структуре и применение итерационных формул дает возможность реального расчета коэффициента теплопроводности среды, в котором также управляются параметры вычислительного процесса, определение скорости движения нефти в трубопроводе.
Ключевые слова: математическая модель, обратный процесс, температура жидкости, скорость жидкости, транспортировка нефти.
Abstract. In this article, we developed and implemented algorithms for computing the inverse process. The formulation of the one-dimensional inverse coefficient problem for the one-dimensional heat transfer equation in the artificial structure and the use of iterative formulas enables real calculation of the thermal conductivity of the medium, which also controls the parameters of the computational process, and the determination of the speed of oil in the pipeline.
Key words: mathematical model, inverse process, fluid temperature, fluid velocity, oil transportation.
Введение
В настоящее время известны ряд методов транспортировки нефти. Но современный опыт постановки и решения задач разработки на основе использования вычислительной техники и методов моделирования не решены в замкнутом виде и требуют дальнейшего совершенствования. Проблемы транспортировки нефти и газа давно привлекают внимания не только нефтяников, но и специалистов других отраслей [1-4]. Математические модели сложных задач предназначены, в первую очередь, для детального исследования механизмов транспортировки нефти и очень полезны для теоретического анализа новых технологий. В то же время, моделирование реальных процессов разработки с применением строгих постановок математических задач сопряжено со значительными затратами машинного времени и не всегда используются в задачах проектирования и анализа, где требуется выполнение многовариантных расчетов [5-10]. В практике проектирования и анализа разработки широко распространены инженерные или полуинженерные модели расчета процессов транспортировки нефти п отрубопроводу, получаемые из тех же математических постановок задач в результате ряда упрощающих предположений и физических допущений. Обладая свойством простой и быстрой реализуе-
