ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ПРОИЗВОДНОЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Плотность распределения вероятности

« « 1 производном случайного процесса1

Предлагается процедура получения функции плотности распределения вероятности (ФПРВ) производной дифференцируемого стационарного (или псевдостационарного) случайного процесса при известной одномерной ФПРВ данного процесса. Показано, что предлагаемая процедура с точностью до коэффициента пропорциональности совпадает с квантово-механическим переходом от координатного к импульсному представлению состояния элементарной частицы

М.С. Батанов1

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ (НИУ), канд. техн. наук

В.П. Монахова2

Институт № 2 «Авиационные, ракетные двигатели и энергетические установки» МАИ (НИУ), канд. техн. наук

М.О. Ромашова3

МАИ (НИУ), 79651082719@ya.ru

1 Окончание. Начало см. в № 4/2022

1 доцент кафедры № 207, Москва, Россия

2 директор, Москва, Россия

3 ассистент кафедры № 207, Москва, Россия

Для цитирования: Батанов М.С., Монахова В.П., Ромашова М.О. Плотность распределения вероятности производной случайного процесса // Компетентность / Competency (Russia). — 2022. — № 5. DOI: 10.24412/1993-8780-2022-5-17-23

ключевые слова

стационарный

дифференцируемый случайный процесс, производная случайного процесса, постоянная Планка, шероховатость поверхности

ассмотрим стационарный гауссовскии случайный процесс ^(£). При этом в каждом сечении этого процесса случайная величина Е распределена по га-уссовому закону:

\2"

Р® =

1

2ло2

^exp <

2о2

(38)

где ст^ и а^ — дисперсия и математическое ожидание данного процесса Е,(£).

Осуществляя с ФПРВ (38) последовательность операций (34-37), (см. выражения (45)-(52)), получим ФПРВ производной этого случайного процесса:

т=

1

^[ti 2aJ

ехр

Г

2[t!/2OJ

■ (39)

С другой стороны, с помощью известной процедуры (4-7) для аналогичного случая получим [2]

р(?)=

1

i

2kg2-

exP i

"2o2-

где ст§, = стЕ /т§сог, здесь т§сог — интервал автокорреляции исходного случайного процесса Е(£).

Сравнивая ФПРВ производной (39) и (40), находим, что они полностью совпадают при

П =

_ 2°2

т

(41)

^cor

а величина п носит характер масштабного параметра. Выражение (41) получено для гауссовского случайного процесса, но среднеквадратическое отклонение ст^ и интервал автокорре-

ляции т.

^cor

это основные характе-

ристики любого псевдостационарного

и стационарного случайного процесса. Все остальные начальные и центральные моменты в случае негауссова распределения случайной величины дадут незначительный вклад в выражение (41). Поэтому с высокой степенью достоверности можно утверждать, что выражение (41) применимо для большого класса псевдостационарных и стационарных случайных процессов.

В квантовой механике для перехода от координатного представления волновой функции пико-частицы (то есть, частицы с характерными размерами ~ 10-8-10-14 см) к ее импульсному представлению применяются преобразования Фурье [3]:

Ф( px ) = ~л= J Ф(x )exP \lJprx \dx =

yf2nh

J ф(x)exp

imx x

(42)

dx;

(40) ф'(Px) = ^ШJф(x)exp\-^\dx =

Wxx

sl2nh _

Ы-, I imx x I , x )exp i---— \ dx,

(43)

где m — масса пико-частицы;

Н = 1,055 10-34 Дж/Гц — редуцированная постоянная Планка.

В правых частях (42) и (43) учтено выражение (1). Очевидно, что если

nx ="

2oi

= Я [м2/с],

(44)

процедуры (35-36) и (42-43) полностью совпадают.

Из выражения (44) следует, что в случае изучения хаотического пове-

дения пико-частицы (например, электрона) отношение редуцированной постоянной Планка к массе пико-час-тицы может быть выражено через основные усредненные характеристики случайного процесса стх и тхсог, в котором она участвует.

(2о§1 )2

х ехр

%'2

2П 2^)

ехр

П

(50)

Результаты

Применим предложенный метод для определения ФПРВ производной нескольких стационарных случайных процессов с различными статистиками высот неровностей. 1. Определим ФПРВ производной стационарного гауссовского случайного процесса.

Пусть в каждой точке £ = г ССП Е(г) случайная величина Е (в частности, высота неровности) распределена по га-уссовому закону:

Р(%) =

1

4

2па2

-ехр

2о2

, (45)

где ст^ и а^1 — дисперсия и математическое ожидание данного случайного процесса Е(г).

Согласно (34) представим ФПРВ (45) в виде произведения двух амплитуд вероятности

р(%) = у(%)у(%),

\2 "

где

1

4

2ла;

^ехр

%1

%-а

4о

%1

. (46)

Подставим (46) в (35) и (36)

\2"

-ехр

%-а%1)

4;|1

ехр\ ^d%; (47)

V * (%')=тЫ 71

2л021

ехр

%-а%1)2

4;

%1

ехр <|-г%%} d%. (48)

Выполним интегрирование

ехр

%'2

2П 2о%1)

ехр 1 га%1%-1; (49)

В соответствии с (37) перемножим амплитуды вероятности (49) и (50), в результате получим

Р(%') =

1

4

2ло2'

ехр 1

2;2'

(51)

где согласно (41)

а =°%1-

'сог1

(52)

ст^ — СКО (стандартное отклонение) продифференцированного стационарного случайного процесса

Е'(г) = Е';

гсог1 — радиус автокорреляции исходного ССП Е(г) = Е с гауссовым распределением высот неровностей. 2. Определим ФПРВ производной ССП с равномерным распределением высот неровностей.

Пусть в каждой точке г стационарного случайного процесса Е(г) = Е случайная величина Е распределена по равномерному закону в интервале

Е1 < Е< Е2:

р(%) = %ЛГ. (53)

Согласно (34) представим ФПРВ (53) в виде произведения двух амплитуд вероятности:

где

р(%) = у(Е)у(%), 1

Подставим (55) в (35) и (36)

(54)

(55)

(56)

V * <«={-?} *(57)

1

х

1

В результате вычисления по формуле (56) получим

ехр

ехр

г%'%1

г%\1

(58)

ФПРВ р(Е' ) могут быть использованы при исследованиях параметров статистически неровных (шероховатых) поверхностей

Учтем, что (Е2 - Е1)/2 = а£2 — математическое ожидание, Е2 - = / — база рассматриваемого ССП Е(г). Теперь можно записать Е1= а^2 - //2 и Е2 = = а^2 + / /2, при этом выражение (58) принимает вид

ехр {г%' }- ехр {г% 1

I П I П

Здесь учтено, что согласно (41) /2

п = —^ =

Гсог2

6г

(64)

сог2

где ст^2 — дисперсия ССП Е(г) = Е с равномерным распределением высот неровностей;

°%2=12=

/2 _ (%2-%1)

12

{Щ1-ехр {-Щ }

гЧ Т

Используя выражение

^ ехр ] ^ 1 .(59)

Таким образом, для ССП Е(г) = Е с равномерным распределением высот неровностей ФПРВ р(Е') его производной Е является распределение типа 8Ш2Е'/Е'2 (62) с параметром k2 (63). 3. Определим ФПРВ производной ССП с лапласовым распределением высот неровностей.

Пусть в каждой точке г ССП Е(г) = Е случайная величина Е распределена по закону Лапласа:

2г

представим (59) в виде *(%')=2™{%/£п} ехр {

Е'Т^П//

п

п

р(%) = — ехр -

2^1 I

(65)

(60)

В результате аналогичных вычислений по формуле (57) получим

V * (%')= 2*т{Д2П} ехр |-}. (61)

Подставляя (60) и (61) в (37), окончательно находим

р(Е') = , (62) Е ^

где 1/^1 — параметр масштаба данного процесса Е(г) = Е;

а^з — параметр сдвига (математическое ожидание).

Согласно (34) представим ФПРВ (65) в виде произведения двух амплитуд вероятности

р(Е) = у(ЕМЕ),

где

где kп = — =

/ 3гсог2 3гсог2

2П / %2-Е1'

(63)

Подставим (67) в (35) и (36)

гсог2 — радиус автокорреляции исходного ССП Е(г) = Е с равномерным распределением высот неровностей.

1

^^ 1

%3

2ДI

(66)

(67)

>ехр d%; (68)

V «^ifc J, *г

Lex I 1;-д;3

2mleXPI 2mL

^ | exP f f} d ^

Переставим эти выражения в следующем виде

2

и%3

J exp- Щd;; (70) J 1 2Ml П J

Рис. 3. а) Многослойная поверхность (например, кристалла), при этом каждый слой рассматривается как отдельная неровная поверхность синусоидального типа; б) Многогорбая синусоидальная ФПРВ высот неровностей многослойной поверхности [a) Multilayer surface (for example, a crystal), while each layer is considered as a separate uneven surface of a sinusoidal type; b) Multi-humped sinusoidal FPDD of the heights of the irregularities of the multilayer surface]

^b* f}-. (71)

Выполним интегрирование

exp

u%3 V 2 Ml

%3

v (S'bJ^

V П

exp

+i;'m l

;3

2m l

%3

(72)

. (73)

2

" i;'m l

Подставляя (72) и (73) в (37), находим

p(S') = -

м Ln

2 n2

2mL

(74)

раметр имеет вид

n=

4mL

cor 3

(75)

где rcor3 — радиус автокорреляции ис-

И

ходного ССП Е(г) = Е с лапласовым распределением высот неровностей.

Подставляя масштабный параметр (75) в выражение (74), получим

где k3 =

Р(;')=

2 Ml

k

(76)

п(*э2 + ?2)'

параметр преобразо-

Г о

вания. сог3

Таким образом, для лапласовского ССП Е(г) = Е ФПРВ р(Е') его производной Е' является распределением Коши (76) с математическим ожиданием (параметром сдвига), равным нулю. 4. ФПРВ производной ССП с распределением высот неровностей по закону Коши.

Пусть в каждой точке г ССП Е(г) = Е случайная величина Е распределена по закону Коши:

р(;)=-

Mk

mK"

)

(77)

где — параметр масштаба данного процесса Е(г);

а^4 — параметр сдвига. Выполняя действия (34-37), обратные преобразованиям (68-74), получим:

1

Дисперсия распределения Лапласа

/г- г \ ^2 Ои2

(65) равна = 2| ь, поэтому, согласно (41), в данном случае масштабный па-

р(;')=exp .

(78)

Для нахождения параметра £4 отметим, что дисперсия распределения Коши, как известно, не определена и стремится к бесконечности, но высоты неровностей реальных поверхностей могут быть распределены только

п

n

п

l1

l1

l

l

l

по усеченному закону Коши с эффективной дисперсией ст~ 25ц_|. Поэтому в данном случае согласно (41)

можно записать

п

.504

сог4

(79)

где гсог 4 — радиус автокорреляции исходного ССП Е(г) = Е с распределением высот неровностей Е по закону Коши (77).

В этом случае получим следующую оценку параметра преобразования

к

сог4

2Цк__

П 25^^

(80)

Таким образом, для ССП с распределением высот неровностей Е(г) = Е по закону Коши (77) ФПРВ р(Е') его производной Е является распределением Лапласа (78) с параметром преобразования (80) и параметром сдвига, равным нулю.

5. ФПРВ производной ССП с распределением высот неровностей по многослойному синусоидальному закону.

Пусть в каждой точке г ССП Е(г) = Е случайная величина Е распределена по многослойному синусоидальному закону:

р(е) =

251П2 (п^Е/ /2)

/

при Е е [0, /2]

0 при Е Й [0, /2]

где /1 — толщина одного (первого) слоя (рис. 3а, б);

га1 — число неровных слоев (например, кристалла) синусоидального типа, наложенных друг на друга в интервале [0, /2], здесь /2 = п1/1 — глубина многослойной поверхности кристалла.

Согласно (34) представим функцию плотности распределения вероятности (81) в виде произведения двух амплитуд вероятности:

р(Е) = у(ЕМЕ),

где у(%)= \Т

пп1%

17

Подставим (82) в (35) и (36)

(82)

V * (Е') =

1

%/2п 0 V /2

2 . — 51П

к ПП1Е V у

V '2

/ г \

ехр | ^ d %;

ехр 1- ^ dЕ.

(83)

Выполняя интегрирование, получим:

V(Е') =

V* (Е') =

4п/,

Е'/21 ■( Е'/2

г| пп -г| пп

пУ-1 е ^ пу-1

пп Е'

/ +

/, п

лп1 Е' /, п

; (84)

У

4л/,

/ / Е'/, 1 / Е'/, 1 л

г| пп, -г| пп,

е^ 1 е ^ 1

пп1 Е'

/, п

пп Е'

/ +

/, п

. (85)

Подставляя (84) и (85) в (37), находим

p(Е') = v(Е')v* (Е') =

п/,

со52 ( пп1) - со5 ( пп1) со5

со5

пп

п

-1

пп1

77 2 ;

2 Г^\2

п

пп Е'

/ +

V /2 п

. (86)

/ У

, (81)

Дисперсия многогорбого синусоидального распределения (81) равна

/22 (п2п, - 6) /п (п2п, - 6) /22 (п2п, -6)

; 12п2п2 = 12п2 . (87)

°24 = 12п2п2

Поэтому в этом случае, согласно (41), имеем масштабный параметр

2а

п=

Е41

/, (п2п, - 6)

сог5

6п2г

(88)

сог5

где гсоГ5 — радиус автокорреляции одного неровного слоя синусоидального типа.

ФПРВ (88) может быть представлена в виде

р(е ) п/п

(пп1)

(пп1)-(

Е'/,

со5

пп

Е' /,

-1

пп

2 /ь,\2

V '2 у

е., л

пп. Е / +

/, п

.(89)

V 2

С учетом тригонометрической формулы

„ . ( y + X ^ . ( y - X cos x - cos y = 2sin | — | sin1

из выражения (89) получим еще один вид искомой ФПРВ

) 7llo

2cos(nni)sln V

in f EV T1 + nni л sln У n-nni

Статья поступила в редакцию 20.02.2022

Список литературы

1. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Ч.1. — М.: Наука, 1976.

2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982.

3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1963.

4. Batanov-Gaukhman M. The Diffraction of Microparticles on Single-layer and Multi-layer Statistically Uneven Surfaces. —

2020 [v2] arXiv:2007.13527.

5. Batanov-Gaukhman M. Stochastic Model of Microparticle Scattering On

a Crystal Avances en Ciencias e Ingeniería (ISSN: 07188706). — Vol. 12. — № 3; https://www.executivebs.org/ publishing.cl/ avances-en-ciencias-e-ingenieria-vol-12-nro-3-ano-2021-articulo-4/.

í Л2 í £/ л2

V l2 У

пп1 + n У -1

пп1 2

n пу У

. (90)

Таким образом, для ССП с много-горбой синусоидальной ФПРВ высот неровностей (81) ФПРВ р(Е') его производной Е' является распределением (86) [или в ином виде (90)] с масштабным параметром (88).

С помощью формальной процедуры (34-37) могут быть получены ФПРВ р(Е') производной Е' для многих других ССП с различными статистиками высот неровностей Е, которые могут быть использованы в задачах статической физики. В частности, ФПРВ р(Е') могут быть использованы при исследованиях параметров статистически неровных (шероховатых) поверхностей.

Выводы

Отметим следующие результаты. На основании анализа псевдостационарного и стационарного случайных процессов выполнена процедура (34-37) для получения ФПРВ р(Е') производной Е' исследуемого процесса при известной одномерной ФПРВ р(Е) высот его неровностей.

Процедура (34-37) с точностью до коэффициента пропорциональности Пх (44) совпадает с процедурой перехода от координатного представления квантово-механической системы к ее импульсному представлению (42-43). Но квантово-механическая процедура (42-43) получена с привлечением эв-

ристическои гипотезы о возможном существовании волн материи де БроИля. Тогда как процедура (34-37) получена на основании глубокого анализа дифференцируемого ССП с единственным предположением, что дельта-функция ст(х.. - х;) имеет вид (20).

В этоИ связи интересно проанализировать, к каким процедурам перехода от ФПРВ р(х) к ФПРВ р(х') могут привести другие виды S-функции?

Вместе с тем, область применения квантово-механической процедуры (42-43) ограничена малостью редуцированной постоянной Планка Н, поэтому пригодна только для пико-скопических систем, тогда как процедуры (34-37) могут быть применены для дифференцируемых стационарных и псевдостационарных случайных процессов любого масштаба, например [4, 5].

К таким микро- и макроскопическим случайным процессам можно отнести: неровность шероховатой поверхности, трек хаотического колебания центра масс ядра биологической клетки; трек хаотического перемещения кончика ветки дерева под влиянием порывов ветра; трек блуждания центра масс косяка рыб в океане; трек хаотического перемещения центра масс ядра планеты; возмущения границы раздела двух сред и т.д.

При стохастическом подходе к исследованию хаотического поведения пикоскопических частиц, отношение редуцированной постоянной Планка к массе пико-частицы может быть выражено с помощью соотношения (44) через основные характеристики стх и тх cor исследуемого случайного процесса.

Благодарности

Благодарим Д. Рида, Г.И. Шипова и канд. физ.-мат. наук В.А. Лукьянова за ценные комментарии и замечания, сделанные при подготовке статьи. Также выражаем благодарность д-ру техн. наук А.А. Кузнецову и д-ру физ.-мат. наук А.И. Козлову. Была важна поддержка канд. психол. наук Т.С. Леви, А.Н. Маслова, Л.А. Ба-тановой, А.Ю. Болотова. ■

Kompetentnost / Competency (Russia) 5/2022

ISSN 1993-8780. DOI: 10.24412/1993-8780-2022-5-17-23

Distribution Density of the Random Process Derivative Probability

M.S. Batanov1, Moscow Aviation Institute (National Research University) (MAI (NRU), PhD V.P. Monakhova2, Institute N 2 Aircraft, Rocket Engines and Power Plants of MAI (NRU), PhD M.O. Romashova3, MAI (NRU), 79651082719@ya.ru

1 Associate Professor of Department N 207, Moscow, Russia

2 Director, Moscow, Russia

3 Assistant of Department N 207, Moscow, Russia

Citation: Batanov M.S., Monakhova V.P., Romashova M.O. Distribution Density of the Random Process Derivative Probability, Kompetentnost'/ Competency (Russia), 2022, no. 5, pp. 17-23. DOI: 10.24412/1993-8780-2022-5-17-23

key words

stationary differentiable random process, derivative of random process, Planck's constant, surface roughness

References

The article proposes a method (procedure) for obtaining the probability distribution density function (PDDF) of the derivative of a differentiable stationary (or pseudo-stationary) random process with a known one-dimensional PDDF of this process. We have shown that the proposed procedure, up to a proportionality factor, coincides with the quantum mechanical transition from the coordinate to the momentum representation of the state of an elementary particle. An assumption that the ratio of the reduced Planck's constant to the mass of an elementary particle can be expressed through the ratio of the averaged characteristics of a stationary random process in which this particle participates was made based on a detailed analysis of the differentiable random process properties.

At the same time, the procedure proposed in the article is suitable for obtaining the PDDF of the derivative of a differentiable stationary (or pseudo-stationary) random process of any scale. We believe that the results obtained in this article are applicable in various branches of statistical physics, in particular, in the study of the properties of rough surfaces.

1. Rytov S.M. Vvedenie v statisticheskuyu radiofiziku. Ch.1 [Introduction to statistical radiophysics. Part 1], Moscow, Nauka, 1976, 494 P.

2. Tikhonov V.I. Statisticheskaya radiotekhnika [Statistical radiotechnics], Moscow, Radio i svyaz', 1982, 622 P.

3. Blokhintsev D.I. Osnovy kvantovoy mekhaniki [Fundamentals of quantum mechanics], Moscow, Vysshaya shkola, 1963, 620 P.

4. Batanov-Gaukhman M. The Diffraction of Microparticles on Single-layer and Multi-layer Statistically Uneven Surfaces, (2020) [v2] arXiv:2007.13527.

5. Batanov-Gaukhman M. Stochastic Model of Microparticle Scattering On a Crystal Avances en Ciencias e Ingeniería (ISSN: 0718-8706), vol. 12, no. 3; https://www.executivebs.org/publishing.cl/avances-en-ciencias-e-ingenieria-vol-12-nro-3-ano-2021-articulo-4/.

НОВАЯ КНИГА

Контактные средства измерений температуры

Учебное пособие. — М.: АСМС, 2022

В учебном пособии приведено понятие «температура», описаны температурные шкалы, дана классификация контактных средств измерений температуры.

Для каждой из групп контактных средств измерений: механических, или термометров расширения (манометрических, биметаллических, жидкостных стеклянных), и электрических (термопреобразователей сопротивления и термоэлектрических преобразователей) рассмотрены принцип действия, конструкция, метрологические характеристики и методы поверки.

По вопросам приобретения обращайтесь по адресу: Академия стандартизации, метрологии и сертификации (АСМС), 109443, Москва, Волгоградский пр-т, 90, корп. 1. Тел. / факс: 8 (499) 742 4643. Факс: 8 (499) 742 5241. E-mail: info@asms.ru