CC BY
22
MS С 82D40
ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА МАГНИТНОГО МОМЕНТА СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО МАГНЕТИКА
Ю.П. Вирченко, Д.А. Чурсин
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Найден полный набор а.;п'ебраически независимых псевдотензоров, на основе которых может быть составлено общее выражение для плотности потока магнитшнх) момента М(х), сферически симметричного и который содержит пространственные производные не более чем первохх) порядка.
Ключевые слова: поток, плотность магнитших) момента, псевдотензор, псевдоскаляр, псевдовектор.
1. Введение. Центральной проблемой в неравновесной термодинамике является формулировка эволюционных уравнений для плотностей интенсивных термодинамических параметров, вполне характеризующих локально состояние пространственно распределенной термодинамической системы. Можно думать, что общая форма таких уравнений представляет собой равенство производной но времени плотности какого-либо интенсивного параметра дивергенции плотности потока этого параметра. Применительно к построению эволюционных уравнений ферродинамики эта проблема состоит в формулировке такого уравнения для плотности магнитного момента М(х, ¿) в каждой пространственной точке с радиус вектором х для каждого момента времени ¿, которое бы учитывало диссинативные эффекты. Наиболее известным уравнением эволюционным ферродинамики является уравнение Ландау-Лифшица, которое мы запишем в векторно-тензорных обозначениях дня случая сферически симметричного магнетика (см., например, |1|)
Здесь M(x, t) = (Mi(x,t),M2(x,t),M3(x,t)), H(x,t) = (Hi(x,t), H2(x,t), H3(x,t)) - на-
пряженность внешнего магнитного поля, 7 = сопв^ е^ы - универсальный антиссим-метричный псевдотепзор третьего ранга и использовано правило тензорной алгебры о повторяющихся индексах [2]. Учитывая тождество е^МгМк = 0, в отсутствие внешнего магнитного ноля (внешнего источника) уравнение (1) представимо в виде
Mj(x,t) = YejkiMk(x,t) AM;(x,t) + Hi(x,t) , j = 1, 2, 3.
(1)
Mj (x,t) = VfcTjfc (x, t)
(2)
дивергенции плотности потока магнитного момента
Tjk(x,t) = ytjmiMm(x,t)VkMi(x,t).
(3)
Заметим, что Tjk(x, t) является всевдотензором второго ранга. Это означает, что, при преобразовании отражения пространства R3, он, в отличие от тензора должен изменить знак. Последнее связно с тем, что M(x, t) в левой части (3) является псевдовектором, то есть таким вектором, который по меняет знака при отражениях (см., например, [2]), а дифференциальный оператор Vk - обычным вектором (изменяющим знак при отражениях).
Уравнение (1) по описывает явлений диссипации при эволюции распределения магнитного момента среды. Возникает вопрос, каким образом нужно его изменить так, чтобы устранить этот дефект и при этом, в течение эволюции, сохранялась величина M2(x) = M2 = const. Одним из подходов для решения этой задачи является следующий. Нужно построить общее выражение для тензора Tjk(x, t), отличное от (3), которое является «локальным» функционалом от M(x, t), то есть зависящим только от значений магнитного момента M(x, t) и значений его пространственных производных в той же точке x, и которое удовлетворяет самому общему требованию ковариантности Tjk (x) при действии группы вращений O3, а затем, исходя из этой общей формы, выбрать ту возможную, которая может удовлетворять поставленным требованиям.
2. Постановка задачи. Согласно сформулированному выше подходу к решению физической задачи, нужно построить в рамках тензорной алгебры наиболее общее алгебраическое выражение для Tjk (в дальнейшем, ввиду несущественности для по-
xt
псевдотензором и которое состоит только из псевдовектора Mj и век то pa Vk, то есть это выражение является элементом тензорной алгебры с образующими Mj и Vk- При этом, так как Vk является дифференциальным оператором, то тензорная алгебра является некоммутативной. Естественно при этом, что при конструировании элементов этой алгебры могут быть использованы универсальные (неизменные при непрерывных преобразованиях из O3) тензор j и псевдотензор ejk1 (символ Леви-Чивитта), Любой элемент этой алгебры может быть представлен в виде линейной комбинации линейно независимых мономов, обозначаемых нами далее как Sjk, каждый из которых является нсевдотепзором. При этом иод мономами мы понимаем алгебраические выражения которые по содержат операции сложения тензоров (и умножения па число), а составлены только посредством операции тензорного умножения и операции свертки. Множество таких мономов, без дополнительных уточнений бесконечно. Поэтому указанная алгебраическая постановка задачи нуждается в следующем уточнении. Так как в любом эволюционном феноменологическом уравнении дня физической величины присутствуют некоторые неизвестные множители, которые являются скалярными функциями от ее значений в той же самой пространственной точке, то, в дальнейшем, любые два
монома будем рассматривать как эквивалентные, если они отличаются множителем в
Mj
но независимых мономов, но все же оставляет его бесконечным. Другим соглашением, которое мы принимаем по физическим соображениям, является требование исно.ньзо-V
что мы ограничиваемся эволюционными уравнениями вида (2) не более второго порядка. Последнее связано с физическим предположением о малости «градиентов» у
изучаемой физической величины. Соображения такого рода обычно используются при построении феноменологических уравнений (см., например, |3|) Оказывается, что, после принятия такого соглашения, множество линейно независимых мономов является конечным. Цолыо настоящего сообщения является полное описание этого множества. Таким образом, множество линейно независимых мономов разбивается на два класса: Ф0 состоит из мономов, не содержащих элемента и Ъ1 - из мономов, содержащих этот элемент.
3. Построение множества линейно независимых мономов. Сделаем некоторые предварительные замечания, упрощающие описание списка линейно независимых мономов.
I. Так как конструируемая тензорная алгебра некоммутативна, то важен порядок, в котором расставляются между собой элементы М^ и Однако, ввиду справедливости формулы дифференцирования произведения для оператора
при построении линейно независимых мономов можно ограничиться только такими, у которых после элемента алгебры Vk, если он имеется в мономе, находится только один элемент Mj,
II. Так как символ 6jk, после тензорной операции свертки по одному из индексов, исчезает из выражения монома, то все конструируемые мономы - нсевдотепзоры второго ранга распадаются на два класса: Ко состоит го мономов имеющих вид Sjk = j • S, где S - моном нулевого ранга, который является псевдоскаляром, и К1 - из мономов Sjfc, в построении которых символ j отсутствует.
III. Для тензорного произведения символов е справедлива формула (см., например,
которая сводит их к линейным комбинациям из символов 5, По этой причине, символ е при конструировании линейно независимых мономов может быть использован не более одного раза. Следовательно, множество всех искомых мономов разбивается па два класса: £0 состоит из мономов, при построении которых отсутствует символ е и £1 -из мономов, которые содержат символ е.
Дня упрощения процедуры перечисления всего списка линейно независимых мономов имеет смысл попутно перечислить все возможные линейно независимые скаляры, псевдоскаляры, векторы, псевдовекторы и тензоры второго ранга в рамках тензорной алгебры с образующими М^ и с учетом принятых соглашений. Заметим, что
5
принятых соглашений.
Множество скалярных мономов. Если не используется элемент то, ввиду принятого соглашения об эквивалентности мономов, отличающихся па скалярную функцию
s
VkMn...Mjs = Y, П Mjm VfcMj
1=1 m=l
от Ы,, и тождества е^кМгЫ,Ык = 0 такие мономы отсутствуют. Пусть элемент Vк используется. Тогда он должен быть свернут либо с Ыj, либо по одному из индексов символа е, В первом случае, каждое из выражений VlЫl является псевдоскаляром и дня того, чтобы его превратить в скаляр его нужно умножить либо па псевдоскаляр (в первом случае), не содержащий элемента Vk, а таких псевдоскаляров не существует, ввиду етММЫк = 0, либо на псевдовектор (во втором случае), не содержащий Vk, которого также те существует, ввиду £ijkЫjЫк = 0. Таким образом, множество скалярных мономов требуемого тина пусто.
Множество псевдоскалярных мономов. Если не используется символ £^к, то имеются только псевдоскаляры (Vj• Ыj), (Ы,Ы,VjЫ,), Если же символ £,к используется, то такой моном единствен (£ijkЫiVjЫк), так как все индексы у символа е должны быть свернуты, один из них обязательно - с символом V, два других - с элементами Ыj, но, в силу тождества £ijkЫjЫк = 0, стоящими по разные стороны от V.
Заметим, что перестановки индексов у е не приводит к появлению новых независимых мономов, ввиду абсолютной антисимметрии псевдотензора еjkl. Это свойство используются всюду ниже без дополнительных оговорок.
Множество векторов. Если символ е не используется, то так как элемент Ыj, являющийся нсевдовектром, должен использоваться при построении четное число раз, то имеется, с точностью до эквивалентности, три монома, в которых имеется два множителя Му (ЫjVjЫ,), (Ы,VjЫj), (ЫjViЫj) и один моном с 4 четырмя сомножителями,
(ым Ык Vj Ык).
При наличии элемента е в конструкции монома, элемент Ыj может появиться нечете
еледующие мономы (£ijkVjЫк), (£,ЫjЫ^кМ), (£ijkЫjЫ^М).
Множество псевдовекторов. Имеется один моном ЫЭто связано с тем, что нет никаких скалярных мономов, содержащих элемент V, на которые можно было умножить Ы,, чтобы построить новый линейно независимый моном. Кроме того, если свободный индекс г в мономе несет на себе элемент V, то это невозможно, так как число элементов Ы, в тензорном произведении будет четным без наличия элемента е (см. выше), либо
е
Множество тензоров. Имеется три тензора ё,, (Ы,Ы)), (£укЫк) так как эти мономы нельзя изменить умножением на скалярный моном, содержащий элемент V. Кроме того, могли бы существоввать мономы, которые представляются произведением псев-дотепзора па псевдоекаляр, по при этом, так как во всевдоскалярах в произведении используется элемент Vk, то псевдотензор не должен содержать этот элемент, но таких псевдотензоров не имеется (см. ниже). По этой же причине, нет тензоров Б,, у которых свободные индексы присвоены элементам Ы, и Vу (либо наоборот). Наконец, если свободные индексы присвоены Ы, и элементу е,к1, то для построения нужно свернуть оставшиеся индексы у этого элемента с тензором, по дня этого имеются только уже указанные мономы ёу, (Ы^Ы,), которые при свертке с е,к1 дают нуль.
Приступим к решению основной задачи.
Множество псевдотензоров. Имеется два тина их построения: 1) нсевдотензоры, которые представимы в виде произведения «тензор»•«псевдоскаляр», 2) псевдотензоры,
не нредставимые в виде такого произведения.
В нервом случае, на основании предыдущих пунктов имеем следующие мономы:
6j (VkMk), Sij (MkMl VkMi), 8ij (£klmMkVlMm),
MiMj (Vk Mk), MiMj (Mk Mi VkMi), MiMj (ekimMk ViMm).
tjjnMn(VkMk), iijnMn(MkMiVkMi). (4)
Здесь в последней строке только два монома вследствие принятого соглашения н. III. Во втором случае, в силу пункта II, элемент 6 уже не используется при построении
Vk
произведения тензоров £ijkMk, MiMj на псевдоскаляры, то все они перечислены в списке (4). Поэтому, далее, мы строим все линейно независимые мономы класса D1, то есть Vk
Мономы класса L0 П D^ Если один го свободных индексов приевоен элементу Vk, то, с точностью до эквивалентности, такие мономы имеют вид:
Vj Mi, Vi Mj , MiMiVj Mi, Mj Mi ViMi, MiMj Mk Mi VkMi, Mi MiViMj , Mj MiViMi.
(5)
Мономы класса L1 П D1. Эти мономы проклассифицируем по числу тех свободных индексов, которые несет на себе элемент е. При этом, если этот элемент не несет свободных индексов, то он входит в состав какого-то псевдоскаляра, в состав которого
V
ся на один из тензоров 6^, либо MiMj, и поэтому такого типа мономы содержатся в списке (4).
Рассмотрим случай, когда элемент е имеет один свободный индекс. Тогда е может
V Mi
Vk
eikiVkMi, во втором - MiMmeikiVkMm. Для того чтобы получить на их основе мономы-
Mj
выше, единствен и который мы будем записывать слова от пего. Другие мономы такого типа получаются перестановкой индексов i и j. В результате, получаем следующий список мономов:
Mj eikiVk Mi, MjVk Mi, Mj Mi MmeikiVk Mm , Mi MxMme]kiV kMm ■ (6) Другой тип мономов такого же типа получается, когда элемент eiki сворачивается
Mk Mi Vj
такой моном по обращается тождественно в пунь. Эти мономы, ввиду четности чис-M
имеем дополнительно к списку (5) два монома (eikiMkVjMi), (£jkiMkViMi). Есть еще
е Mk Mi
обращались в пунь. Дня этого нужно разделить их псевдоскалярным дифференциальным оператором MmVm. Свободный же индекс j при этом присваивается множителю -
Mj
зовать для построения мономов такого тина нельзя вследствие соглашения пункта I. Такой способ построения псевдотензоров дает нам еще два монома: (Mj£ikiMk(M, V)Mi), (мг£]к1мк(M, V)Ml). Следовательно, дополнительный список мономов, v которых один из свободных индексов присвоен элементу е состоит из следующих мономов:
£ikiMkVjMl, £jkiMkViMi, Mj£ikiMkMmVmMi, Mi£jkiMkMmVmMi. (7)
Наконец, список нсевдотепзоров, у которых оба свободных индекса присвоены элементу е, учитывая список (4), состоит из двух дополнительных мономов:
£ijkMmVmMk , Mi£ijkVkMi . (8)
Суммируем паши результаты наших рассуждений в виде следующего утверждения.
Теорема. Имеется 25 линейно независимых мономов в тензорной алгебре с обра-
Mj Vk
сформулировалиых в ни. I-III, которые являются исевдотеизорами второго ранга. Множество этих мономов иредставлеио списками (4)-(8).
Замечание. Псевдотензор £jkiMkViMi, соответствующий потоку плотности магнитного момента, который определяет уравнение (3), находится в списке (7).
Литература
1. Ахнс•;<•[) А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны / М.: Наука, 1967. 368 с.
2. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / М.: Наука, 1967. 664 е.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика / М.: Наука, 1986.
4. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике / М.: Гос. изд. ФМЛ, 1963. 412 е.
FLUX DENSITY OF MAGNETIC MOMENT OF SPHERICALLY SYMMETRIC MAGNETIC
Yu.P. Virchenko, D.A. Chursin
Belgorod State University, Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. It is found the total collection of algebraic independent monomials on the basis of which the general expression of magnetic moment M(x) may be constructed when it is spherically symmetric contains spatial derivatives mo more than first order.
Key words: flux, magnetic moment density, pseudotensor, pseudoscalar, pseudovector.
