Плотность кинетической энергии полуограниченного газового облака, исходящего из широкой пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ПЛОТНОСТЬ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПОЛУОГРАНИЧЕННОГО ГАЗОВОГО ОБЛАКА, ИСХОДЯЩЕГО ИЗ ШИРОКОЙ ПЛАСТИНЫ

Голов А.Н. Кухаренко А.П.

Московский Государственный Областной университет (МГОУ)

THE DENSITY OF THE KINETIC ENERGY IN THE SEMIBOUNDED GAS CLOUD COMING FROM THE WIDE

PLATE

Golov A.N. Kukharenko A.P.

Moscow State Regional University

АННОТАЦИЯ

На основе решения нестационарного уравнения Лиувилля получено аналитическое выражение плотности кинетической энергии в полуограниченном газоподобном облаке, исходящего из широкой пластины. Найдено выражение интегральной кинетической энергии облака. Дан анализ и графическое представление полученных формул.

ABSTRACT

On the basis of the solution non-stationary Liouville equation the analytical formulae of the density of the kinetic energy in the semibounded non-stationary gas cloud coming from the wide plate is obtained. The formula of the integral kinetic energy of the cloud is obtained. The analysis and graphical presentation of the obtained formulae are performed.

Ключевые слова: уравнение Лиувилля, неравновесный газ, плотность энергии.

Keywords: Liouville equation, energy density, non-stationary gas.

1. Вопросы, связанные с процессами интенсивного испарения газов в вакуум, представляют большой интерес, как с практической, так и с теоретической точек зрения, и постоянно находятся в поле внимания исследователей ([1 - 5] и др.). Актуальность исследования рассматриваемого процесса определяется важными практическими приложениями в физике аэродисперсных систем, в аэродинамике, вакуумных технологиях, а также теоретическим интересом.

В работе [5] на основе методов, изложенных в [6], рассмотрена эволюция неограниченного облака, созданного быстрым распылением широкой пластины в вакууме, и найдено распределение кинетической энергии в этом облаке. В работах [7, 8] рассмотрена эволюция полуограниченного нестационарного облака. Методом интегралов однородного лиувиллиана (интолов) найдено решение нестационарного уравнения Лиувилля и получено выражение многочастичной функции распределения.

- 1

Fn =— exp

Z

N

В данной статье, используя результаты [7, 8], рассмотрен вопрос об энергии полуограниченного облака.

Как и в указанной работе, будем рассматривать систему N однородных слабо взаимодействующих частиц массы m, образованную путем быстрого испарения или диспергирования в вакуум достаточно тонкого плоского слоя толщиной L, нанесенного на весьма широкую непроницаемую пластину (далее -стенку) площадью 5", и образующего полуограниченное облако, расширяющееся с начальной массовой скоростью имеющей компоненты только по оси г. Частицами могут быть как молекулы, так и более крупные дисперсные частицы. Для частиц облака стенка, с микроскопической точки зрения, является бесконечно толстым и высоким потенциальным барьером.

2. В статье [7] для данной модели получена функция распределения в виде:

3 N

-Z (klPi2 + k2Pi + кзРЯ, + + ЪЧг2 + k5 )

1=1

(1)

где ZN - статистический интеграл, определяемый условием нормировки:

2n (abw)

3 N/2

К

3N

1 + Ф

(Vbw / и ■ v0t)

и = 1 -

ct bt

2 Л

.2

Цг, рг - фазовые переменные, введены для упрощения записи коэффициенты:

где

am am

B = bw / и,

(2)

(5)

к, = а+—+; k2 = ~2amvo - cvot;

2bt

k =---c; k4 = cmv0; k5 = amv0.

m

г - координата точки в физическом пространстве, ортогональная плоскости стенки, Ф© - инте-( к = -к3). (3) грал вероятности,

а, Ь, с - константы задачи, вводимые из соображений размерности [6] и определяемые из дополнительных условий. При этом к и кз одни и те же

w = 1 --

4ab

(6)

3. Оператор кинетической энергии, согласно

для любого г, а к2, к4 и кз отличны от нуля только для [10], определим г-проекций фазовых переменных. В выражениях (3) учтены соображения о выборе масштабных констант, использованные в работе [9].

Плотность облака в физическом пространстве, согласно кинетической теории [10]:

(7)

р = 2mN

^у/2 ^-B[x2+У2 +(Z-V)2 ] , (4)

«x =

[l -Ф^/)]

NB3'2 ■ ( k2x2 + 2au ) ■ exp |-B ■

N \

Е = ■(Рп + Ра + Р2з)'5(чг -г)

где г - радиус-вектор точки в физическом пространстве. Интегрируя (7) с функцией распределения (1), получим плотность энергии в физическом пространстве. Члены полученного выражения, связанные с энергией движения по OX и OY имеют сходный вид и равны:

2 2 x + у +

( z - Vot )2 ]}

«у =

4K3/2a2mu2 + erf (v0t ■JB)

NB3'2 ■ (k2y2 + 2au ) ■ exp |-B ■ [

■I x2 + y2 +

( z - Vot )2 ]}

(8)

(9)

4K3/2a2mu2 ■ + erf (vat ■ VB)]

Член, связанный с энергией движения по OZ отличается от них и равен:

«z =

NB312 ■ (kz - k2 )2 + 0au ■ exp j-B ■[ x2 + у2 +( z - voo )2 ]}

4K3/2a2mu2 ■ 1 + erf (v0t ■ Jb)]

Полная плотность кинетической энергии в об-

1

(10)

(13)

лаке:

Р^ = + ^ + ^

(11)

х у г

пропорциональна плотности вещества и асимптотически стремится к нулю.

4. Интегральную кинетическую энергию

а = -

находим классическое выражение:

Е = Е = N6. ('4)

х у 2 Т. о., кинетическая энергия движения в плос-

наидем интегрированием плотности кинетической кости XY постоянна и имеет чисто тепловое проис-энергии по объему облака. Интегрирование (8) и (9) хождение, т.к. входящая в ее выражение величина

приводит к сходным выражениям

N

4ашм> (12)

Учитывая, что константа а выражается через модуль распределения 6 [6, 7]

Е, =

N0 Nmvl

6 = квТ по физическому смыслу есть температура в единицах энергии (модуль распределения по Гиб-бсу).

Интегральная кинетическая энергия движения по оси OZ находится по тому же алгоритму, и имеет вид:

(15)

- + -

■ + ■

Nk ■(kv0t - 2k )■ exp (-Bv02t2) .

8>/KB ■

1 + erf

(vot ■Jb )]

a2mu и

Т. о., кинетическая энергия движения по оси направленного массового движения со скоростью

OZ складывается из: у0; 3) энергии переноса тепла массовым движением.

1) кинетической энергии хаотического тепло- Полная кинетическая энергия 3 -мерного дви-

вого движения частиц; 2) кинетической энергии жения облака:

c

E =

3N9 Nmv2

-+ -

- + -

Nk •( kv0t - 2k2 )• exp (-Bv^t2) .

(16)

2 8^пВ • 1 + erf (v0t •JB)

Асимптотическое значение последнего члена при t^V

Nv0 • exp (-awm2vl) . (17)

a 2mu2

2V

%aw ■

1 + erf (mvn

ены в программе Maple. При построении всех графиков принято: a=1, b=1, c=1, m=1, w=3/4, v0=1. На рис. 1 представлены профили плотности энергии движения ex по осям X и Y при >>=0, z=0. Профили

5. Ниже дано графическое представление и анализ полученных результатов. Графики постро-

еу аналогичны. Видно, что профили плотности энергии симметричны и принимают максимальное значение в начальный момент на стенке.

Рис.1. Х-профили ex (слева) и Y-профили ex при разном t (справа).

Общей закономерностью для всех графиков является «расползание» распределения плотности энергии со временем при понижении максимума. Это есть следствие процесса распространения облака в полупространство.

На рис.2. приведен график для 2-профилей ех (аналогичный вид имеют 2-профили еу). Они ограничены слева непроницаемой стенкой.

- Curve

+ ++ + + + Curve □ □□□□□ Curve оооооо Curve

Рис. 2. Z-профили ex при разном t

e

e

x

x

e

x

На рис. 3 приведены графики X-, У- и 2- профилей плотности энергии движения ет по оси 2. X, У-профили имеют сходный вид.

Рис.3. Х- и Y-профили ег при разном t (слева) и Z-профили ег при разном t (справа)

Максимум е^) со временем движется вправо, одновременно понижаясь.

Ег

Рис.4. Поведение со временем величины Ег при разных значениях у0.

Поведение со временем величины Ег (см. (15)) показано на рис. 4

6. Итак, для задачи об эволюции газоподобного облака в полуограниченный объем вакуума, найдены общие аналитические выражения плотности кинетической энергии и интегральной кинетической энергии. Эти формулы выведены без прямого использования уравнений газодинамики или неравновесной термодинамики, а получены непосредственно из микроскопической статистической механики и кинетической теории. Выясняется роль и значение ограничивающей поверхности (стенки) и анизотропии распространения облака вдоль оси Z. Все результаты получены строго (в рамках принятой модели), и представлены точными аналитическими выражениями, без использования приближенных и численных методов. Получены точные графики интересующих нас величин. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными в предыдущих работах [7, 8], не противоречат наблюдаемым физическим явлениям и имеют ясный физический смысл. Появление новых членов в (15), в отличие от (14), формально можно описать введением эффективной «продольной» температуры 6ц , неравной «поперечной» температуре 6, как это делается в газодинамике [1]. Направленный поток газа является неравновесной системой с двумя температурами, Причём «продольная» температура создаётся не только хаотическим тепловым движе-

нием частиц, но и направленным начальным движением. При этом «поперечная» температура «заморожена», а «продольная» зависит от времени.

Литература

1. Бёрд Г. // Молекулярная газовая динамика. М.: «Мир», 1981, 320 с.

2. Анисимов С. И., Рахматуллина А. Х. // Динамика расширения пара при испарении в вакуум.// ЖЭТФ,т. 64, вып.3, с. 869 - 876, 1973.

3. Кузнецова И. А., Юшканов А. А., Яламов Ю. И. // Интенсивное испарение молекулярного газа с поверхности сферической частицы в вакуум. // ЖТФ, т. 70, вып. 11, с. 140 - 142, 2000.

4. Анисимов С. И., Лысиков Ю. И.//О расширении газового облака в вакууме.//ПММ, 34, 1970, с. 926.

5. Ю. И. Яламов, А. Н. Голов. Эволюция облака, созданного быстрым распылением широкой пластины в вакууме. - Труды Центра фундаментальных научных исследований МГОУ, № 1, М., Издательство МГОУ, 2005, с. 15 - 26.

6. Голов А. Н., Яламов Ю. И. «Статистическая и кинетическая теория нестационарных газоподобных и газодисперсных систем»/изд.МГ0У.2011, 230с.

7. Голов А. Н.//Эволюция полуограниченного нестационарного плоского газоподобного об-лака.//Вестник МГОУ. Серия «Физика-Математика», № 2, 2014, с. 69 - 78.

8. Голов А. Некоторые задачи кинетической теории эволюции газоподобных систем. LAP, Saarbrücken, Deutschland, 2016, 88 с. 5,5 п.л.

9. Голов А. Н., Филиппова А. П. Получение и исследование формулы плотности потока вещества

в нестационарном полуограниченном газоподобном облаке. Вестник МГОУ. Серия «Физика-Математика», № 2, 2015, с. 107 - 119

10. Гуров К. П. // Основания кинетической теории. М.: «Наука», 1966. 351 с.

ПАРАДОКСЫ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И ЕГО СХОДСТВО С УРАВНЕНИЕМ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

Рысин А.В. Рысин О.В.

АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, радиоинженеры

Бойкачев В.Н. АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, директор кандидат технических наук Никифоров И.К.

безработный, г. Чебоксары, кандидат технических наук, доцент

THE PARADOX OF THE SCHRODINGER EQUATION AND ITS SIMILARITY WITH THE EQUATION OF HAMILTON-JACOBI

Rysin A. V.

Rysin O.V.

ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, radio engineers

Boykachev V.N.

ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, director, candidate of technical sciences Nikiforov I.K.

unemployed, Cheboksary, candidate of technical sciences, associate professor

АННОТАЦИЯ

Исходя из ранее опубликованных статей продолжено рассмотрение философского и физического смысла констант мироздания. Показана роль констант скорости света, постоянной Планка, констант электрической и магнитной проницаемости, массы покоя. Отсутствие понимания роли этих констант привело к неправильным гипотезам в физике. Предложен способ решения указанных ошибок и парадоксов. Статья даёт также возможность понять природу взаимодействия.

ABSTRACT

On the basis of previously published articles continues the discussion of philosophical and physical meaning of the constants of the universe. The role of constants the speed of light, Planck's constant, the electric constant and magnetic permeability, of the rest mass. The lack of understanding of the role of these constants led to the wrong hypothesis in physics. The proposed method of addressing these errors and paradoxes. The article also gives the opportunity to understand the nature of the interaction.

Ключевые слова: скорость света, постоянная Планка, уравнения Шрёдингера и Гамильтона-Якоби.

Keywords: the speed of light, Planck's constant, Schrodinger's equation and Hamilton-Jacobi.

Рассматривая связь философии, математики и также в [2], мы показали как выводится общее урав-физики в статьях [1] и «Математическое обоснова- нение мироздания взаимодействия двух противопо-ние философских законов теории мироздания», а ложностей - бытия и небытия в виде

(cosw)2 + (sin w)2 = (ch Z)2 - (sh Z)2 (1)

Из указанных статей напомним, что такая форма записи связи противоположностей определяется тем, что бытиё и небытиё образуют замкнутую систему со взаимным обменом, и ни один объект мироздания не может быть вне этой системы в силу того, что тогда он для нашей системы ноль. При этом вычитание в нашей системе означает сложение в противоположной, а иначе не было бы раз-

личий. Аналогично, аргументы также имеют взаимосвязь вида:

w = 12 . (2)

Здесь /=(-1)1/2. В этом случае аргументы бытия и не бытия не могут быть не равны друг другу, так как количественный обмен в замкнутой системе всегда равный. Отсюда - это уравнение приводит казалось бы к противоречивой записи:

1 = *. (3)