CC BY
24
УДК 539.3
Плоские задачи для упругой среды с жесткопластическими
включениями
И.Ю. Цвелодуб
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Рассматриваются плоские задачи об определении напряженно-деформированного состояния изотропной упругой области с различными жесткопластическими включениями. Показано, что поля напряжений и пластические зоны определяются однозначно. Рассмотрен пример плоскости с изолированными эллиптическими включениями, напряженно-деформированное состояние которых будет однородным.
Ключевые слова: плоская упругая область, жесткопластические включения, пластические зоны, однородное поле напряжений, изолированные эллиптические включения
Plane problems for an elastic medium with rigid-plastic inclusions
I.Yu. Tselodub
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The paper considers plane problems for stress-strain states of an isotropic elastic region with various rigid-plastic inclusions. It is shown that the stress fields and the plastic zones are uniquely determined. As an example, a plane with isolated elliptical inclusions for which the stress-strain state is homogeneous is discussed.
Keywords: plane elastic region, rigid-plastic inclusions, plastic zones, homogeneous stress field, isolated elliptical inclusions
1. Общая постановка задачи
Рассмотрим находящуюся в условиях плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния изотропную многосвязную упругую область 5 с т0 различными жесткопластическими включениями Si, внешними границами которых служат замкнутые контуры L и Ц (г = 1, 2,..., т0) соответственно. В области 5 справедлив закон Гука [1]:
8^й = (ж - 1)ст»А; + 4ст° > (1)
СТ« = СТИ -СТпп°й/2,
0 о
где ок; и — компоненты плоских девиатора напря-
жений и единичного тензора; ц — модуль сдвига; ж = = 3 - 4v при плоской деформации и ж = (3 - v)/(1 + V) для обобщенного плоского напряженного состояния; V — коэффициент Пуассона; по повторяющимся индек-
сам проводится суммирование от 1 до 2. В уравнении (1) и далее к, I = 1, 2.
Деформации еи малы и выражаются через перемещения uk известными соотношениями Коши.
Для г-го жесткопластического включения Si, подчиняющегося деформационной теории либо теории течения идеального пластического тела, имеем соответственно [1]:
г +0, 5 <^?р,
и [х 13э/Эсти, 5 >стТр,
где 5 = 5 (сти) > 0 — однородная выпуклая функция первой степени; — предел текучести; X1 = X1 (5) > 0, Xг(5) > 0 — для упрочняющегося материала и X1 > 0 — неопределенный множитель для идеального пластического материала (в последнем случае второе неравенство
© Цвелодуб И.Ю., 2009
в (2) следует заменить равенством 5 = стгт), либо
£ ы = •
I 0, 5 <стТр или 5 = <СТр и 5 <0,
, (3)
I Аг 35/дсти, 5 = стТр и 5 = 0,
где X1 > 0 — неопределенный множитель; точка означает дифференцирование по параметру нагружения т. В (2) и (3) принято предположение о том, что функция 5 = 5 (стк;) одинакова для всех включений Бг, но пределы текучести стТ могут быть различными. Здесь и далее (кроме п. 3) 1 = 1, 2,т0.
На внешней границе L области 5 заданы перемещения uk или нагрузки рк = стк1п1 (пк — компоненты единичного вектора нормали к L). На границах Ц областей Si и 5 непрерывны перемещения и нагрузки.
Будем считать, что заданные на L величины uk или pk возрастают пропорционально параметру нагружения т: ик = ик0т или рк = рк0т, т > 0. При т< Т включение Si является жестким, т.е. Егк; = 0 и ик = 0 в Si, а следовательно, и ик = 0 на Ц. Значение т = т!т соответствует возникновению пластической зоны в Бг.
Необходимо определить напряженно-деформированное состояние в области S и S1 и S2 ... иБщ.
2. О единственности решения задачи
Рассмотрим две стадии процесса нагружения.
I. 0<т<тт0 = тттТ, т.е. тах5 <стт0 = тшстгт, и
1 Si 1
все включения Бг являются жесткими. Для области 5 имеем задачу в перемещениях или смешанную задачу (поскольку ик = 0 на Ц, а на L заданы ик или рк), из решения которой найдем напряженно-деформированное состояние в 5, а следовательно, и нагрузки рк = = рк = стищ на Ц («к — компоненты единичного вектора нормали к Ц).
Рассматривая далее жесткое включение Бг как упругую среду с модулем сдвига ц1 (ц1 ^ ^), для функции напряжений получим бигармоническое уравнение с заданными на Ц величинами ^ и дР1/д«. Эта задача изучена [2], ее решение дает поле напряжений стгк; в
Б.
II. т>тт0, т.е. тах 5 >стт0, и в областях Бг возникают и развиваются 'пластические зоны Бр. Покажем, что эти зоны и напряжения в них определяются однозначно. Доказательство аналогично приведенному в [3] и базируется на вытекающих из (2) и (3) условиях устойчивости деформирования каждого из т включений:
Аек;Астк; > 0, Дек, = е„ - е'
к; ~
Аст1 =ст1(1) -ст1(2) асти; = сти; сти;
для соотношений (2), либо
Аек; АстИ; > 0
(4)
(5)
Эти условия справедливы для любых напряжений ^'(1) ^(2) - „
стк; и стк;' как в пластической, так и в жесткой областях.
Знак равенства в (4), где хотя бы одна компонента ек® Ф 0 и еИ;2) Ф 0 (или в (5) при е^ Ф 0 и ек(2) Ф 0), возможен для пластически сжимаемой среды (д^дсткк Ф Ф 0) только при Аст1к1 = 0, а для несжимаемой (д^дсткк = = 0) — только при Аст1к; = Ар10к;, либо в случае е#} = екР = 0- Кроме того, ситуация, когда е]^ Ф 0,
£1(2) _ ьи;
= 0 (т.е. 51 >стт, 52 <стт) и ек; Астк; = 0, невозможна.
Основой при доказательстве единственности является известное уравнение виртуальных работ, которое вследствие условий непрерывности перемещений и нагрузок на Ц будет иметь вид [1]:
I еИ сти dS + ЕI егИ стк;dS = | икркd и
Б 1=1 Б Ц
(6)
dl — дифференциал длины дуги контура L.
Рассмотрим случай, когда пластические деформации в Бг определяются согласно соотношениям (2). Предполагая существование двух решений рассматриваемой задачи, для разностей соответствующих величин, которые будем обозначать с помощью символа А, из (6) получим:
I Ае и; Аст и; ^ + ЕI АекАстк ^ = °.
Б 1=1 Б.
(7)
Предположим, что в Бг существуют две зоны пластичности, соответствующие двум возможным решениям: Бр1 и Бр12 и Бр2 и Бр12, которые пересекаются по области Б'12, т.е. ек/1^ = 0 в Б'2, еИ2 = 0 в Б^, и среди компонент ек® и ек/2^ в Бр12 есть отличные от нуля.
Учитывая, что в новой жесткой области Б10 = = Бг \ (Бр1 и Бр2 и Б'12) все компоненты е‘к; = 0, из (7) найдем:
I Аеи;Асти;dБ +Е I е^1 Астк;^ -
Б 1=1 Бр1
- I ек/2)Астк;dБ + I АекАстиdБ = °. (8)
БР2 БР12
Вследствие (5) и неравенства Аек Астк > 0 в 5, вытекающего из (1), получим, что равенство (8) возможно лишь в том случае, если каждый из четырех интегралов обращается в нуль. Отсюда Аст^ = 0 в 5, ек® = 0 в Бр 1 = 0 в Бр2, т.е. Бр1 = Бр2 = 0, Аек;Астк; = 0 в
и е
.1(2) _
к
для соотношений (3). В (4) и (5) суммирования по г нет.
Бр 12. Таким образом, напряжения стк; в 5 и зона пластичности Бр = Б'12 определяются однозначно, напряжения в Бр для сжимаемой среды — однозначно, а для несжимаемой — с точностью до постоянной (как следует из уравнений равновесия) величины Ар1, т.е.
АстИ; =ар' ои; .
Возникает вопрос об определении напряжений ст1к; в новой жесткой области Бг0 = Бг \ Бр. Рассмотрим три возможных случая.
A. Пусть пластическая зона Бр с границей Цр возникает внутри Бг. Тогда на границе Ц и Цр новой жесткой области Бг0 будут известны нагрузки, так как по доказанному выше в 5 и Бр однозначно определяются напряжения. Рассматривая далее Бг0 как упругую среду с модулем ц!0 ^ тс, приходим к первой основной задаче плоской теории упругости (как в п. 1).
Б. Пусть пластическая зона Бр выходит на часть Ср1 границы Ц, т.е. Цр1 и Ср2 и Цр2 и Ц \ Цр1 являются границами пластической Б' и жесткой Б10 областей соответственно. На L заданы ик или рк, на Ц \ Ср1 ик = 0, а на Цр1 известны нагрузки рк, так как напряжения ст1к; в Б' определяются однозначно (в указанном выше смысле). Отсюда находим напряженно-деформированное состояние в области 5 и нагрузки на Ц \ Ср1, а на Цр2 они известны (так как Цр2 — часть границы пластической зоны Б'). Таким образом, на всей границе новой жесткой области Бг0 заданы нагрузки, и опять приходим к задаче в напряжениях.
B. Пусть пластическая зона Б' выходит на всю границу Ц, следовательно, жесткая зона Бг0 окружена
пластической областью Б1, т.е. Ср и Ср и Ц являются
р р р .г
границами Б10 и Б' соответственно. На Ср известны нагрузки, т.е. для области Бг0 имеем ту же задачу в напряжениях.
Заметим, что теорема единственности решения для напряжений в жесткой и пластической областях и для пластической зоны имеет место и при определяющих уравнениях (3). В этом случае в равенстве (8) надо заменить все деформации на их скорости, а затем проинтегрировать его по параметру нагружения т от нуля до текущего значения. Тогда с учетом равенств Дстк; |т=0 = = 0 получим:
1
Деи;(т)Асти; (г)^ +
2Б
+ЕI
1=10
I ек1 Астк;<^ - I еИ;2) Астк^Б +
+ I ек;Астк^Б
р12
dт = 0.
Далее доказательство практически повторяет проведенное выше для уравнений (2).
3. Упругая плоскость с изолированными эллиптическими жесткопластическими включениями
Рассмотрим частный случай сформулированной выше задачи, когда областью 5 является упругая плоскость,
подчиняющаяся закону Гука (1) и подвергнутая действию равномерно распределенных напряжений на бесконечности, а Бг представляют собой изолированные эллиптические включения, т.е. такие эллиптические включения, для которых расстояние между центрами любых двух из них велико по сравнению с их размерами. Поэтому взаимным влиянием одного эллиптического включения на напряженно-деформированное состояние любого другого можно пренебречь.
При этих предположениях проблема сводится к независимому решению т0 задач об определении напряженно-деформированного состояния упругой плоскости с одним включением Бг (г = 1, 2,т0) под действием указанных внешних воздействий.
Учитывая вышесказанное, рассмотрим одно эллип-
ГЧ* г*
тическое включение Б , уравнение границы Ь которого в системе координат 0ху имеет вид: х2 а -2 + у 2Ь~2 = 1, а > Ь. На бесконечности действуют равномерно распределенные напряжения стТС = ст^0т, а вращение отсутствует.
В [1] исследовалась аналогичная задача для случая эллиптического физически нелинейного включения с определяющими уравнениями вида:
еИ; = ?к; (стт«) (к, I, т, п = 1, 2), (9)
где Рк1 — нелинейные операторы, описывающие, например, упруговязкопластические свойства среды.
Было показано, что поле напряжений во включении является однородным, и установлены следующие соотношения между напряженно-деформированным состоянием в эллиптическом физически нелинейном включении и на бесконечности:
Рг = ЫуУ] + (г = 1, 2, 3),
у1 =ст11, у2 =ст22, у3 =ст12,
х1 - иц, х2 - и22> х3 _ и12>
(ж + 1)(1 - т ) Ж-1 .....
а11 = , , а12 = а21 = , (10)
4ц(1 + т)
4ц
(ж +1)(1 + т) = ж + т
, а33 = -~ 2 ч
4ц(1 - т)
ц(1 - т )
а == (ж +1)(3 - т) о _о = ж + 1
Р11 ТПГг \ , в12 =Р21 = “Т ,
8ц(1 + т) 8ц
о = (ж +1)(3 + т) о = ж +1
Р22 = 0 ч , Р33 = .. 2. ,
8ц(1 - т) ц(1 - т)
т = а—Ь (0 < т < 1),
а + Ь
остальные Ыу и ву равны нулю; суммирование в (10) проводится по j от 1 до 3.
Соотношения (9) и (10) представляют собой замкнутую систему для нахождения стИ; по заданным напряжениям ст°И; на бесконечности. Эта система однозначно разрешима относительно стИ; при указанных в [1] условиях. Зависимости, необходимые для определения напряженно-деформированного состояния в упругой области 5, также приведены в [1].
В рассматриваемом случае жесткопластического включения с определяющими уравнениями вида (2) или (3) из (10) на 1-й стадии нагружения (0<т<тт, т.е.
= 0, г = 1, 2, 3) получим систему:
ауУу + вуху = 0 (г = 1 2 3) из которой однозначно находятся уг = у10т, где (ж + 1)[(ж + 2 - т) х10 + (ж - 2 - т)х20 ]
Ло ='
У 20 =
4ж(1 - m)
(ж + 1)[(ж - 2 + m) х10 + (ж + 2 + m) x20 ]
(11)
4ж(1 + т)
у30 = (ж +1) х30/(ж + т2).
Рассмотрим 11-ю стадию нагружения (т>тт), выбрав в качестве примера идеальное жесткопластическое включение, подчиняющееся уравнениям (3), где 52 = = (у1 - у2)2 + 4у2, что соответствует критерию Треска (в обоих случаях плоской задачи).
Значение тт, соответствующее началу пластического течения в Б , найдем из условия 5 = стт и соотношений (11): тт =стт[(у10 - у20) + 4у30] ^ .
Из (3) получим выражения для скоростей пластических деформаций:
(12)
F1 = -2 = k(y1 - у2)СТТ , F3 = 4ку3^т ,
где учтено, что s = стт.
Условию пластичности, т.е. (у1 - у2)2 + 4у| = стТ, удовлетворим, полагая
у1 - у2 =CTTcos 0, 2у3 =CTTsin 0. (13)
Из (12) и (13) будем иметь равенства F1 = -F2 = = k cos 0 и F3 = 2k sin 0, подставляя которые в продифференцированные по т соотношения (10) и разрешая их относительно у1 (i = 1, 2, 3), получим систему для определения неизвестных 0 и k:
у - у2 = aT (cos 0)' = уш - у20 - Ak cos 0,
. (14)
2у3 = CTT (sin 0) = 2у30 - Bk sin 0,
A = 4ц(жт2 + 1)/[ж(1 - m2)] > 0,
B = 4ц(1 - m2 )/(ж + m2) > 0.
Исключая из (14) величину k и учитывая, что при т = тт имеют место равенства: у1 - у2 = стт cos 0T =
= (у10 - у20)тт и 2у3 = CTT sin 0T = 2у30тт (0T = 0(тт)), будем иметь уравнение первого порядка
0 Asin 0Tcos 0- B cos 0Tsin 0
TT (A cos2 0 + B sin2 0)
с начальным условием 0(тт) = 0T, которое дает решение 0 = 0(т) при т>тт. Функция к = к(т) находится из (14).
Заметим, что согласно (13) напряжения у1 и у2 определяются с точностью до произвольного слагаемого, поскольку в рассмотренном примере среда является пластически несжимаемой.
4. Выводы
Рассмотрены новые двумерные задачи об определении напряженно-деформированного состояния упругой области, содержащей жесткопластические включения, подчиняющиеся определяющим уравнениям (2) или (3), для которых справедливы условия устойчивости (4) или (5) соответственно.
Теория жесткопластических сред, в которых пренебрегают упругими деформациями, широко используется при оценке напряженно-деформированного состояния элементов конструкций [4]. Было показано, что задача определения напряженно-деформированного состояния в многосвязной упругой области, а также напряжений и пластических зон в содержащихся в ней различных жесткопластических включениях является корректной в смысле единственности решения (вопросы существования решения не рассматривались). Это открывает возможности для разработки методов решения подобных задач для неоднородных сред, к которым относятся композиты, наноматериалы и т.п.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 08-01-00168, 06-08-96002) и Совета по грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-3066.2008.1).
Литература
1. Цвелодуб И.Ю. Физически нелинейное включение в линейноупругой среде (плоская задача) // Изв. РАН. МТТ. - 2000. - №2 5. -С. 72-84.
2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.
3. Цвелодуб И.Ю. Обратная упругопластическая задача // Изв. РАН. МТТ. - 1998. - № 1. - С. 35-43.
4. Быгковцев Г.И., Ивлев ДД. Теория пластичности. - Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.
Поступила в редакцию 11.12.2008 г., после переработки 11.03.2009 г.
Сведения об авторе
Цвелодуб Игорь Юрьевич, зав. лаб. ИГиЛ СО РАН, itsvel@hydro.nsc.ru
