CC BY
6ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГОВОГО СЕКТОРА, РАДИАЛЬНЫЕ СТОРОНЫ КОТОРОГО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮТ С УПРУГИМ СТРИНГЕРОМ И С ЖЕСТКИМ
ШТАМПОМ БЕЗ ТРЕНИЯ
Саргсян А.М.
канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Институт Механики НАН Армении Армения, Ереван
PLANE PROBLEM OF ELASTICITY THEORY FOR A CIRCULAR SECTOR, RADIAL SIDES OF WHICH INTERACT WITH ELASTIC STRINGER AND RIGID STAMP WITHOUT FRICTION
Sargsyan A.
Institute of Mechanics of NAS Armenia Armenia, Yerevan
Аннотация
При помощи метода Фурье строится решение плоской задачи теории упругости для кругового сектора, когда одна радиальная сторона соприкасается с жестким штампом без трения, другая сторона усилена упругим стрингером. На дуговой части контура заданы нормальные и касательные напряжения. Исследуется характер распределения напряжений в окрестности вершины сектора. Для двух значений угла раствора сектора получены конкретные значения параметра, характеризующего упругость стрингера.
Abstract
With the help of Fourier method the solution of the plane problem of elasticity theory for a circular sector when one radial side contacts with the rigid stamp without friction, the other side is reinforced by the elastic stringer, is built. On the arc part of the contour normal and tangential stresses are given. The character of the stresses distribution in the vicinity of the sector top is investigated. For two values of the sector gap angle certain values of parameter, characterizing the elasticity of the stringer, are obtained.
Ключевые слова: упругий сектор, жесткий штамп, упругий стрингер, особенность напряжений, коэффициенты оссобенности.
Keywords: elastic sector, rigid smooth stamp, elastic stringer, stress singularity, coefficients of singularities.
Введение. Интерес к изучению характера распределения напряжений в угловых точках упругих тел связана с необходимостью исследования в таких точках концентрации напряжений, которая существенно влияет на прочностные характеристики деталей инженерных конструкций.
В работе [1] исследовано упругое равновесие кругового сектора, когда одна радиальная сторона взаимодействует с жестким штампом без трения, вторая сторона усилена абсолютно жестким при растяжении и абсолютно гибким при изгибе стрингером, а на дуговой части контура заданы внешние усилия.
В данной работе рассматривается случай, когда вторая радиальная сторона усилена упругим стрингером.
Пусть упругий круговой сектор модуля упругости E и коэффициента Пуассона V, отнесенный к прямоугольный и полярной системам координат, находятся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. В полярной системе координат упругое состояние сектора определяется решением бигармонического уравнения для функции напряжения Эри
Ф = а
= /гФ)
= /х{ф)
Ф = 0
А АФ*(г,ф) = 0
(1)
при следующих граничных условиях на кон туре сектора
и; ;г, о) =;( г,о)=о,
(2)
u„
(г, а) = Ьг, (3) (г, а) =0, (3')
аГ Г1,;) = А (;), <Ф (Ъ;) = Л (;), (4)
где Л (;) и Л (;) - функции из класса Дирихле [2], Ь - параметр, характеризующий упругость стрингера.
Граничные условия (2) связанны с контактными задачами о вдавливании гладких штампов без
*
стф =
r* = ^„1-1 Гф
Eu* = г1
Eu* = г1
The scientific heritage No 87 (2022) 39
трения в упругое основание [3], а граничные усло- Учитывая граничное условие (3) общее реше-
вия (3) - с вопросами передачи нагрузок от тонко- ние бигармонического уравнения (1) с неоднород-стенных элементов в виде упругих стрингеров к ными граничными условиями (1) - (4) ищем в виде упругим основаниям [3,4,5].
Ф* (г, ф) = Ф(г, ф) + Ф(г, ф), Ф( г,ф) = r1+1 [ A sin (1 + 1)ф + B cos (1 + 1)ф + C sin (1-1)ф + D cos (1-1)ф], (5)
Ф(г,ф) = г2 (G, +G2cos2^?),
где Ф {r,(p}- частное решение неоднородной задачи (1), (2) - (4), Ф (V, ф) - общее решение соответствующей однородной задачи, A, B, C, D, 1, G, G - произвольные постоянные.
Тогда напряжения и перемещения выражаются через функции Ф*( Г,ф) в виде
1(1 +1) Г1-1 [ASI + BCф + CS- + DC-] + 2 (G1 + G2 cos 2ф), Г1-1 [A1+1S+ + B1+1C+ + C (3 -1)1S-+ D (3 -1) 1C- ] + 2(G - G cos 2ф), 1r1-1 [A1+C+ - B1+S+ + C1C- -D1~S- ] + 2G2 sin 2ф, (6)
■A1+v+S+ - B1+v+C+ + C (4-1+v+) S- + D (4 --1V+) Cf] + 2r (g^ - G2 v+ cos 2ф), -A1+v+C+ + B1+v+S+ - C (4 + 1V) C- + D (4 + 1V) S-] + 2rG2 v+ sin2p, где 1±=1± 1, V = 1 ±V, S= sin(1± 1)ф , C±± = cos(1± 1)ф.
Как следует из (6), напряжения при 0 < Re 1 < 1 будут обладать у вершины кругового сектора сингулярностью (напряжения стремятся к бесконечности) порядка (1 - Re1).
Очевидно, что параметр b в правой части граничного условия (3) не меняет порядок особенности напряжений в окрестности вершины кругового сектора. Коэффициенты при таких особенностей, естественно, зависят еще и от этого параметра. Однако, здесь возникает еще вопрос об определении параметра
b в зависимости от угла раствора сектора & и функции f (ф), f (ф) .
Из требования удовлетворения функции Ф (/", ф) неоднородным граничным условиям (3) и (3'), для неизвестных постоянных G и G получим
G = bE¡4, G = - bE¡4cos2&, & Ф кж/4 (к = 1,3,5,7) (7)
В случае a = k¡¡ 4 (к = 1,3,5,7) параметр b = 0.
Удовлетворяя однородным граничным условиям (2) - (4), для определения произвольных постоянных A, B, C, D получим однородную систему линейных алгебраических уравнений
1+A + 1-C = 0, 1+v+ A + (1v+ + 4)C = 0,
S& A + C& B + S&C + C& D = 0, (8)
-1V S& A - 1+v+C&B + (4 - 1V )S&C + (4 - 1V )C&D = 0.
Следовательно, нахождение функций Ф*( Г,ф) для рассматриваемой задачи приведено к определению функций Ф (Г, ф) для задачи, рассмотренной в работе [1].
Т.е., задача упругого стрингера приведена к соответсвующей задаче абсолютно жесткого при растяжении и гибкого при изгибе стрингера.
Из системы (8) следует
A = C = 0
и тригонометрическое уравнение
cos (1 +1)&• cos (1-1)& = 0,
действительные и простые корни которого имеют следующий вид
\ =о0(2£+1)+1, Лп =а0(2и + 1)-1, а0 =n¡2а, (к,п)=0,±\,±2,... (9)
Условие конечности энергии упругой деформации в малой окрестности вершины кругового сектора накладывает на корни (9) ограничения
4>оД> О, (10)
которые, в зависимости от угла раствора кругового сектора, ограничивают область изменения параметров k и П :
I. при0<а<2ж имеем k = 0,1,2,...; « = 2,3,4,... II. при 0<а<ж/2 имеем k = 0,1,2,...; « = 0,1,2,...
III. при ж/2 <а< 3ж/2 имеем k = -1,0,1,...; n = 1,2,3,...
IV. при3ж/2<а<2ж имеем k = -2,-1,0,...; n = 2,3,4,...
В этой статье рассматривается только первый случай, для которого функция напряжения Эри примет
вид
л+Л ; 1Ч ЬЕ 2(. cos2
А cosa0(2^ + l)^ + — г I---
J 4 ^ cos2a у
Компоненты напряжений, соответствующие этой функции, будут иметь вид
к=0
Dkrh+l+ ВкГ
, Во = В = о.
■i
к=0
(^-íUr^+B^+i)^-1
D Al
_ к3-a)
( 1 - cos2p/ cos2a) +—< (-sin2p/cos2a) >, В = В = 0 ( 1 + cos 2р/cos2a)
Для определения d и вк удовлетворим граничным условиям (4)
cosa ( 2к + 1 ) р sin а (2к + \ )р cosa ( 2к + 1 ) р
К
bE
(11)
со —
к=0
со —
cosa0(2k + \)(p = f* (ср), sin а0 (2к + \)<р = f* (<р),
(12)
/»=/ (р)-f
л cos2p^ w ч , ч bE sin2p 1 +-/2 (р) = /2 (() + -
V соз2а) 2 соз2а
Умножая первое уравнение системы (12) на сова0 (2т +1)(;), второе - на зта0 (2т +1)(;), как это сделано в работе [1], получим
D =
ю
/
20
a (1 + a)(2) + a0)
и
/
21
a
(1 + 3a0)(2-3a) a 3a0(1 + 3a)'
(13)
a=¿ (Л+x в (л - о (л - 2)=^ [(л+) (з - л) - 2л
fXk = fx (<р) cos «о (2^ +1) <Р, flk = \l f2 W) sin a (2k +1) (pd(p-
При этом между двумя первыми коэффициентами Фурье функции f и f имеют место
соотношения
an
/;0 - (2 - a0) /; = 0, За0/п - (2 - За0)f*21 = О
(14)
Как следует из (13), коэффициенты Ок и В зависят также от параметра Ь, которая в общем случае определяется из условий (14)
2 «оЛо -(2-сс0)/;0 = о _ 2 Зао/*! -(г-За,,)/*! = О
b = ■
E
ß1 (a0)
E
ß2 (a0 )
ßi («с ) =
1 1 -an
-+-0
2 + a 2 -ar
+1, ß2 («с ) =
1
1 - 3a.
2 + 3a 2 - 3a.
■ +1.
Например, в случае нагружения дуговой части контура кругового сектора усилиями
Ь М = Дсшр/ 3, /2 (ф) = А2ътр! 3,
из соотношения (14) для параметра Ь имеем
а) при а = л, А = 2,01А, ЬЕ = -3,136А,
б) а = 2л, А = 5,31А, ЬЕ = -2,344А.
Определяя параметр Ь и подставляя в (13), получим решение задачи (1) - (5) в виде сходящихся рядов (11).
Как было показано в работе [1], когда а < 5л/4 окрестность вершины сектора находится в малонапряженном состоянии [6], т.е. напряжения стремятся к нулю. Когда а > 5л/4 в окрестности вершины сектора имеет место концентрационное состояние, т.е. напряжение стремится к бесконечности. В предельном случае а = 5л/4 напряжения при Г ^ 0 конечны и вообще отличны от нуля, т.е. а = 5л/ 4 является предельным углом раствора сектора, меньше (больше) которого напряжения стремятся к нулю (к бесконечности).
Порядок особенности напряжений — изменяется в пределах
0 < 1 - А^ < 3/4 (к = 2), 0 < 1 -< 1/4 (£ = 3).
причем коэффициенты таких особенностей в случае нагружения дуговой части контура сектора усилиями, удовлетворяющие условиям (13), отличны от нуля.
При к = 3 возникает второй предельный угол a = 7л/4. Если f (ф) и /2* (ф) таковы, что B2 становится равным нулю, предельный угол будет a = 7 л/ 4.
Зависимость внешних сил P0 и Pa от параметра b следует из уравнений статики для кругового сектора.
С учетом соотношений (14), уравнения статики удовлетворяются.
Список литературы
1. Саргсян А.М. Упругое равновесие кругового сектора, усиленного стрингером и соприкасающегося с жестким штампом без трения. Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Труды IX международной онференции, 01- 06 октября 2018, Горис, Армения. 258-262 стр.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1974. Т.2. - 656 с.
3. Каландия А.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов. ПММ. 1969. Т.33. №1. С.132 - 135.
4. Melan E. Ein Beitrag zur Theoretic ge-schweisseter Verbindungen. // Ing. -Archiv. 1932. Bd.3. Heft 2. p.123.
5. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. 1983. - 488 с.
6. Чобанян К.С. Напряжения в составных упругих телах. Ереван: Изд-во АН АрмССР.1987. -338с.
