№10
2007
РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МАШИН
539.374
ПЛАСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СЕТЧАТЫХ МАТЕРИАЛОВ
Д-р техн. наук, проф. К. И. РОМАНОВ
Сформулированы критерии устойчивости по Друкеру для сетчатых материалов, что позволяет определить условие глобальной устойчивости в процессах вытяжки армированных элементов конструкций. Дана классифыкаг^ш микромоделей сетчатых материалов и показано, что потеря устойчивости дискретных материалов является квантованным процессом, сопровождающимся выходом из работы отдельных волокон или отслаиванием пространственной сетки по плоскостям.
Drucker-Prager criterion for mesh materials allowing to define a condition of global stability in processes of reinforced elements extraction from constructions are formulated. Classification of micro models of mesh materials shows that loss of stability in discrete materials is a quantized process accompanied by the exit of separate filaments from operation or a grid peeling on planes.
Исследование несущей способности сетчатых материалов [ 1—3] представляет интерес на стадии проектирования технологии получения армированных конструкций. Ниже для анализа пластической устойчивости сетчатых материалов применен постулат Друкера [4] и показано, что этот постулат дает возможность определить условие глобальной устойчивости в процессах вытяжки армированных элементов конструкций.
Сформулирован принцип равной устойчивости, открывающий путь к оптимальному проектированию сетчатых конструкций.
1. Диполь* (рис. 1). Рассмотрим стержень, растянутый силой Р и имеющий в текущий момент нагружения длину / и площадь поперечного сечения Р .
Примем уравнение состояния материала в виде
гдеа = Р/^ действительное напряжение, е = 1п(///0) —логарифмическая деформация, /0 — начальная длина стержня, А и п постоянные материала. Считаем материал несжимаемым
где У0 — начальный объем стержня.
По критерию с1РШ = 0 получаем известный результат [5] е* = /7, где е* —предельная деформация, обусловленная наступлением пластической неустойчивости.
* Использование терминов теории электричества не является принципиальным, однако позволяет классифицировать микромодели сетчатых материалов.
а = Ае",
(1)
Р1 = Р1
1 (ГО Г 1 у
где .Р0 — ачальная площадь поперечного сечения стержня. Уравнения (1) и (2) приводят к равенствам
Р = АУ0е"/1,
(3)
(4)
(2)
№ 10 2007
2. Квадруполь (рис. 2). В системе координат х,у все величины с индексами х и у имеют такой же смысл, как в случае диполя, направленного вдоль осей х и у , соответственно. В соответствии с постулатом Друкера глобальная неустойчивость [6] наступает при выполнении условия
с1Рхс!их+<ЗРХ1с1и,. = 01 (5)
где сЫ; = <Ик = ///е., / = х9у, суммирование по / не производить.
и?
Рис. 1
V А
р,
X
РуУ
Рис. 2
Соотношения (4) и (5) приводят к равенству
АУХл'х = (6)
Выполнение равенств гх = пх или е(. = иг означает появление локальной неустойчивости отдельных элементов. При одновременном е*т = пх и е; = « имеет место глобальная неустойчивость системы.
№ 10 2007
Условие (6) выполняется в конкретной точке траектории нагружения в пространстве деформаций. Связь с!гх и с1гу в процессе нагружения зависит от истории внешнего воздействия. При заданной функции /¥(/;1) происходит кинематическое (жесткое) нагруже-ние. Когда задается программа изменения Рх в зависимости от Ру, нагружение является силовым (мягким).
Пусть, например, история нагружения задается в пространстве сил (рис. 3). Установим связь с/ех и dгy с параметром нагружения а в соотношении Рх, = аРх.
На основании формулы (3)
а = АуУ^1х/(АМ1у). Кроме того, /. = 10. ехр е. . Поэтому (7) приводится к виду
аг
ехре, AXF0X ехр еу ' откуда получаем искомое соотношение
ехре
da п
dz
dz
J
(7)
В частном случае простого нагружения (а = const)
ае"'"1 (nx-Ex)d£x = AyFj'f' (пу-еу)dey ехре, AXF0X ехргу
Подстановка ¿/ег из этого соотношения в (б) приводит к условию глобальной неустойчивости квадруполя с учетом программы нагружения
(ехреу)2еГ' (пх-ех) AyFJm
= 0.
№ 10 2007
При обращении в нуль одной из двух разностей пх -ех или пу -еу происходит потеря устойчивости деформирования одного из двух элементов квадруполя. В свою очередь образующаяся в этот момент шейка приводит, вследствие нарушения однородности напряженно-деформированного состояния, через короткий промежуток деформирования к локальному разрушению. Таким образом, естественно взять за основу идущее в запас прочности предположение о том, что при е* = пх или £* = nv выходит из работы один из двух элементов квадруполя. Физически сказанное означает, что в энергетическом смысле система способна к догружению за счет несущей способности одного из двух оставшихся элементов, однако квадруполь продолжает воспринимать внешнее воздействие как диполь.
Представляет интерес изучение квадруполя при силах различных направлений (на рис. 2 Р — сжимающая сила, Ру > 0). Здесь условие потери устойчивости пластического деформирования имеет вид а = const)
ехр(еу)2еях-](пх-ех) ^ AyFJ0X ехр(ех)2(-е,)л'"1 (пу - е,) а2AxFJoy
В данном случае из-за ev<0 глобальная неустойчивость невозможна, возможна только локальная неустойчивость при е* = пх.
Состояние с а = 1 можно назвать «чистым сдвигом». При «чистом сдвиге» одинаковы по величине и различны по направлению силы, а не напряжения как при чистом сдвиге в сопротивлении материалов.
В случае квадруполя, оба элемента которого работают на сжатие (на рис. 2 Рх и Pv — сжимающие силы, Р(>0 и ^.>0) условие неустойчивости имеет вид (а - const)
ехр(е^)2 (-£х)я'"'| АуРоу10х ехр (гх)2[-г^г-\гу-г1у) «ЧЛА,
Поскольку здесь ех < 0 и гу < 0, то потеря пластической устойчивости материала невозможна.
Аналогом случая а = 1 при сжимающих силах Рх и Ру в континуальной модели является равномерное двухосное сжатие, когда материал также всегда устойчив [7].
3. Пространственная система диполей (рис. 4). Критерий устойчивости
(i = x,y,z) ^dPjdUf = 0 может быть представлен в форме
к + А.КАГ* (и, + ЛгКг£"'~' (*, - = 0. (8)
История нагружения в пространстве сил задается двумя параметрами а-Ру/Рх и Р = PJ Рх. Равенства
осе:* = AyF0/; ре;- = AtF„& ехР £v ехре, AxFm ехр £_,
приводят в частном случае простого нагружения к выражениям для производных
dzy = оЦД,^"'"' [пх -ejexpe,,
< AyF0X;-](ny-Ey)txре, '
№ 10 2007
¿е, К-е,)ехрег
У .. Р ,
-и
1П
! I 1 1 < I \ {
В случае пространственной системы диполей так же, как и для квадруполя, следует различать понятия локальной и глобальной неустойчивости. Например, для пространственной системы условием глобальной неустойчивости является (8), а локальная неустойчивость реализуется в момент исчерпания несущей способности каждого из трех элементов при выполнении любого из трех равенств е* = пх, е* = л , £* = пг.
4. Однонаправленный материал. Однонаправленный материал, нагружаемый вдоль волокон, в частном случае двухэлементной модели изображен вверху на рис. 5. Условие глобальной неустойчивости йР- О имеет вид
= (9)
где 8 = 1п (/ /10) — деформация ансамбля волокон, одинаковая по всем волокнам; г — номер волокна.
Достижение равенства Е* = пы означает выход из работы слабого звена. Затем, по мере увеличения деформации, волокна теряют последовательно устойчивость вплоть до достижения равенства г* = л8ир, когда в момент йР- 0 наступает глобальная неустойчивость всей системы волокон.
Таким образом, если растягиваемый сплошной образец рассматривать на макроуровне как пучок продольных волокон, то шейкообразование оказывается процессом локализации, начинающимся в точке материала, где п. = пы . Положение указанной точки определяется статистической неоднородностью свойств материала. Заметим, что разброс коэффициентов А. в уравнении состояния (1) не оказывает влияния на величины £*п(- и е* .
Сила, удерживаемая системой волокон, определяется по формуле
2007
№10
Р
I I
АО
е =£
/\а а
I
/ 10
í =£
2 о °
Рис. 5
Среднее напряжение в поперечном сечении однонаправленной модели
1
(а)
Формула
1
(Ю)
дает возможность определить постоянные континуальной модели материала.
Примерами многослойных композиций являются биметаллы, для которых формулы (9) и (10). позволяют объяснить экспериментальные данные [8].
Например, в случае двухэлементной модели при - Г20- Р0; А] = Аг = А0; пх = 0,2 ;
= 0,6 оказывается е* = 0,36 . .На рис. б при указанных параметрах кривая 1 представляет собой характеристику волокна с п2, кривая 2 — аналогичная характеристика волокна с п{, а кривая 3 построена для системы двух волокон (верхняя схема на рис. 5).
При анализе работы, системы волокон необходимо учитывать, что характеристика
3 отражает реальную картину только до 8*
пы = пх, т.е. до момента потери локальной
устойчивости волокна с наименьшей пластичностью. В указанный момент в соответствии с предложенной в п. 2 схемой волокно с пх выходит из работы.
В результате усилие, выдерживаемое всей системой, падает до значения, которое в состоянии выдержать работоспособное волокно при данном уровне деформации е* = 0,2, Процесс деформирования сетки, в частности, двухэлементной модели, оказывается скачкообразным, квантованным и развивается по схеме, изображенной на рис. 7. Естествен-
№ 10 2007
но, что реализация прерывистой диаграммы деформирования сетки возможна только в условиях жесткого нагружения.
г/Гар0)
П П п с П
Чпх "£иР
Рис. 6
! /
/1
/ ' / i
/ 1
Невозможность достижения в реальном процессе теоретической пластичности, в рассматриваемом примере £* = 0,36 , приводит к постановке задачи оптимизации в механике сетчатых материалов.
Именно при проектировании формоизменения сетчатых материалов целесообразно исходить из принципа равной устойчивости, который может быть сформулирован следующим образом: реализация пластичности сетчатого материала возможна в наилучшей степени при сочетании параметров, соответствующем одновременному наступлению локальной и глобальной неустойчивости.
Например, в случае пх—пг^п локальная и глобальная неустойчивости реализуются одновременно. В этом смысле одноосное растяжение сплошного стержня вплоть до образования шейки при п = const по всему объему материала удовлетворяет требованию равной устойчивости.
В сетчатом материале при различных л. обеспечение принципа равной устойчивости может достигаться за счет выбора соответствующих исходных размеров волокон.
№10
2007
Например, в случае двухэлементной модели (рис. 5) можно рассмотреть несколько проектов создания системы волокон.
Пример 1. Предположим, что в условиях предыдущей задачи длина одного волокна отличается от длины другого. Именно у волокна с п{ - 0,2 /10 = /0, а у волокна с пг = 0,6 /20 < /0 (средняя расчетная схема на рис. 5). Условие глобальной устойчивости
такой системы имеет вид
^ I
1 1040
е,+
^ /
20 20
ЛеГ' (лг-е2)</е2=0.
При А = А2 = Ай, ^Ло = = ^о сила> удерживаемая системой определяется по фор-
муле
Р / (АР0) = е;'1 / ехр(е, + г'±2 ) / ехр е2.
Деформация второго волокна дается соотношением
'/„ехрв О
е2 = 1п
Д
/-
120 20 /
Выберем начальную длину второго волокна на основе принципа равной устойчивос-
ти, т.е. положим е.
771 и £2
п2 .Тогда получим /20 //0 = (ехр^ -1)/(ехр/72 -1) = 0,269.
На рис. 6 показан график (кривая 4) зависимости силы от деформации е, = £ = 1п (///0), имеющий экстремум в точке е* = пы.
Вывод, который можно сделать по этому примеру, сводится к следующему. За счет уменьшения длины второго волокна сила, удерживаемая системой волокон, увеличилась на 10%, выигрыш в массе составил 37% при пластичности е* = пы = 0,2. Заметим, что в пластичности по средней схеме на рис. 5 по сравнению с верхней схемой потеря отсутствует, так как по верхней схеме при этом же значении £* происходит локальная потеря устойчивости одного из волокон, нарушающая работоспособность всей системы.
Пример 2. Оставим теперь исходную длину второго волокна равной /0 (нижняя схема на рис. 5), а начальную длину первого волокна выберем с помощью принципа равной устойчивости. При этом оказывается /10 = /0(ехря2 — 1) /(ехр /7, — 1) = 3,72/0, проигрыш в массе по сравнению с верхней схемой на рис. 5 составляет 136%. Сила (кривая 5 на рис. 6) увеличилась так же, как и в предыдущем примере, на 10%, пластичность всей системы увеличилась до £* = и5ир =0,6. Таким образом, можно сделать вывод о том, что увеличение ресурса пластичности сетчатых материалов возможно за счет изменения длин волокон, но сопряжено со значительными затратами материала.
ПримерЗ. Подстроим теперь систему волокон по принципу равной устойчивости под выполнение равенств £* = щ; г*г = п2; е* = пор,, где
£, = 1п
яор1 = 0,36 — значение деформации, являющееся оптимальным в том смысле, что при этом
значении схема, изображенная вверху на рис. 5, теряет глобальную устойчивость.
№ 10 2007
Оказывается, что при значениях /ш//0 = ехр(л 4-1)/ехр(и,-1) = 1,96 ; /20//0 = = ехр(я -1) / ехр(я2 -1) - 05 527 потеря в массе по сравнению с верхней расчетной схемой на рис. 5 составила 25%, сила (кривая б на рис. 6) снова увеличилась на 10%, но пластичность системы стала оптимальной в указанном выше смысле.
4. Ортогональный материал. Рассмотрим плоскую ортогональную сетку, нагружаемую растягивающими силами Рх и Р вдоль волокон длиной 1Х и соответственно.
Здесь
рх = 7 £ ■; Ру = 7 Е АЛ^у ; ^ =1Ж; = 'А,
1х 1у
и критерий устойчивости имеет вид
^ЕЛЛ^Г' О* - е,)+¿¡^а^/';^ (п,у - е,.) = о. (11)
При в* = /?,'"г начинается выход из строя одного из волокон, ориентированных вдоль оси х. Аналогично равенство е* = п1^ означает слабое звено в системе волокон, направленных вдоль у . При е* - л™р все волокна, направленные вдоль оси л, теряют устойчивость. Аналогично условие е* = означает выход из работы всех волокон, ориентированных вдоль оси у .
Обобщение проведенного рассмотрения плоской сетки на трехмерный случай приводит к условию глобальной неустойчивости
(12)
Особенностью работы пространственной системы является возможность, в зависимости от распределения разрыва волокон по плоскостям. В результате отслаивания материала по плоскостям, что характерно для конструктивно анизотропных сред, пространственная сетка может последовательно превратиться в плоскую, а затем в однонаправленную систему волокон.
Величина левой части критериев (11) и (12) в произвольный момент нагружения может служить мерой запаса устойчивости материала по Друкеру, а значения коэффициентов и. можно рассматривать как квантовые уровни деформаций, определяющие несущую способность материала.
5. Несущая способность армированного материала. На рис. 8 показана расчетная схема листа, армированного волокнами в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
При равномерном распределении сил Рх и Ру вдоль кромок листа напряженное и деформированное состояние является однородным. В условиях двухстороннего приложения сил задача устойчивости волокна в матрице осложняется из-за неодноосного напряженного состояния, обусловленного поперечными напряжениями.
В дальнейшем будем приближенно считать, что волокна находятся в одноосном НС. Такое предположение оправдано при соизмеримых между собой силах Рх и Ру вследствие значительного превышения площади боковой поверхности волокна по сравнению с площадью его поперечного сечения.
Условие глобальной неустойчивости рассмотрим по критерию (5), где ^ = Ру = отуР^+а^; и и а/у — напряжения в матрице
и волокне в направлениях осей х и у соответственно; Ртх и Р/х,Рту и Р^ —площади поперечных сечений матрицы и волокна, ортогональные к осям х и у , соответственно.
Указанное условие с учетом несжимаемости материала может быть представлено в форме
№10
2007
Утп [с1отхс1гх + с1втус1гу - отхс!г1 - отус!г\) + У/о (с1о ,хс1гх + ¿а-
о/хс^е2х - о- О,
(13)
где Уто = Ртхо1хо = Ртуо1т — объем матрицы; УГо = Р)хо1хп = РГт1т — объем волокон, при
/О
/хо хо
/уоуо
нимаемый без нарушения общности одинаковым в направлениях х и у .
Заметим, что в соотношении (13) первое слагаемое представляет собой вклад от матрицы [9], а второе — от волокна. Конфигурация критерия (13) соответствует схеме параллельного соединения элементов армированного материала, т. е. в рассматриваемом варианте несущая способность изучается по схеме тела Фойхта, когда деформации ед. и Еу принимаются одинаковыми для волокна и матрицы в направлениях осей х и у} соответственно.
Примем уравнение состояния матрицы в виде [5]
(14)
где ае — эквивалентное напряжение, — эквивалентное приращение деформаций. По уравнениям (13) и (14) получаем
К.
¿аМг-аЛг2.
4а3 -За2 - За+ 4
+
4(1-а + а2)3/2 +У/0 [А;/Г\п/х-гх)с1г] + Л^ГЧ =
(15)
где а = стт>. / ашг — коэффициент, характеризующий отношение напряжений в континуальной части.
Связь между деформациями при параллельном соединении волокна и матрицы может быть определена напряжениями в континуальной части армированного материала [9]
¿/е. =
(2-а)г?£,
2-Л
¿г.. =
а + а' (2а-1)«?ее
(16)
2л/1-а + а: Поэтому условие (15) преобразуется к виду
К
(2-а):
+У
4*е
" 4а3 - За2 - За+ 4
4(1-а + а:
(2а-1):
где
Соотношения (16) и (18) приводят к равенствам
2а-1
/А,
'А
а
(17)
(18)
№10
2007
Г = ре, = /
Ч 1
f 2л/1-а + сх2 dlx 2-а !..
Уъ
Р
h—
f Р
Рис.
■ критическое значение определяемые, в свою
Следовательно, для того, чтобы найти по критерию (17) Г\ -параметра Одквиста, необходимо знать три величины /х,/у и а очередь, историей нагружения.
При наличии связи (19) два других дополнительных условия могут быть получены различными путями в зависимости от способа нагружения. При мягком способе нагружения два необходимых соотношения задаются уравнениями равновесия в направлениях осей х и у , соответственно. При жестком нагружении задаются скорости ух = с11х /¿й" и V = еПу /Л, где I — параметр нагружения.
Кроме критерия глобальной неустойчивости (17), границы несущей способности армированного материала определяются по критериям локальной неустойчивости матрицы: первое слагаемое в (17) — и глобальной неустойчивости сетчатого каркаса: второе слагаемое в (17), а также по критериям локальной неустойчивости волокон, сформулированным выше.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2.
3.
Б у н а к о в В. À., Протасов В, Д. Сетчатые композитные конструкции // Механика и научно-технический прогресс. Т. 4. Приложение механики к задачам технологии. — М.: Наука, 1988. — С. 273—286. Р г a g е г W. Introduction to structural optimization. Udine: Springer — Verlag Wien - N. Y. — 1974. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. — М,: Мир, 1977. — 109 с. У с ю к и н В. И. Строительная механика конструкций космической техники. — М.: Машиностроение, 1988. — 390 с.
Drucker D. С. On the postulate of stability of material in the mechanics of continua //Докл. на 2-м Всесоюзн. съезде по теорет. и приют, механике. — М., 29 января - 5 февраля 1964. - Друкер Д. О постулате устойчивости материала в механике сплошной среды // Механика. Период.сб.переводов иностр.сггатей. 1964. — № 3. — С. 115—128. M а л ин и н H. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М,: Машиностроение, 1975. — 398 с. Романов К. И. К вопросу об исследовании устойчивости двухосного пластического растяжения II Известия вузов. Машиностроение. — 1979. — № 10. — С. 18—20.
Романов К. И. Устойчивость материала по Друкеру//ПММ. — 2001. — Т. 65. — Вып. 1. — С. 157—164. Томенко Ю. С., Навроцкий И. В., Д о л ж е н к о в Ф. Е. Деформация многослойных сталей при статическом растяжении // Известия АН СССР. Металлы. — 1970. — № 3. — С. 119—325. Д е л ь Е Д. Технологическая механика. — М.: Машиностроение, 1978. — 174 с.