ПЛАНОВАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНОВОЙ ГИДРОДИНАМИКИ С ДИСПЕРСИОННЫМ СООТНОШЕНИЕМ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ. II. ЧЕТВЕРТЫЙ, ШЕСТОЙ И ВОСЬМОЙ ПОРЯДКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии, 2021, том 26, № 3, с. 4-25. © ФИЦ ИВТ, 2021 Computational Technologies, 2021, vol. 26, no. 3, pp. 4-25. © FRC ICT, 2021

ISSN 1560-7534 elSSN 2313-691X

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

D01:10.25743/ICT.2021.26.3.002

Плановая модель волновой гидродинамики с дисперсионным соотношением повышенной точности. II. Четвертый, шестой и восьмой порядки

Г. С. Хакимзянов1,2'*, 3. И. Федотова1, Д. Дутых3

1 Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, 630090, Новосибирск, Россия

2Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск, Россия 3Университет Савойя Монблан, Лаборатория прикладного анализа и математики, 73376, Шамбери, Франция

* Контактный автор: Хакимзянов Гаяз Салимович, e-mail: khak@ict .nsc .ru Поступила 12 марта 2021 г., доработана 30 апреля 2021 г., принята в печать 7 мая 2021 г.

Построена полностью нелинейная слабо дисперсионная модель волновой гидродинамики четвертого порядка длинноволновой аппроксимации. За скорость в модели взята усредненная по глубине горизонтальная составляющая скорости трехмерного течения. Учтена подвижность дна. Выполненная модификация модели обеспечивает шестой и восьмой порядки точности аппроксимации дисперсионного соотношения трехмерной модели потенциальных течений.

Ключевые слова: длинные поверхностные волны, нелинейно-дисперсионные уравнения, дисперсионное соотношение, фазовая скорость.

Цитирование: Хакимзянов Г.С., Федотова З.И., Дутых Д. Плановая модель волновой гидродинамики с дисперсионным соотношением повышенной точности. II. Четвертый, шестой и восьмой порядки. Вычислительные технологии. 2021; 26(3): i 25. D01:10.25743/ICT.2021.26.3.002.

Введение

Работоспособность нелинейно-дисперсионных (NLD) моделей гидродинамики убедительно продемонстрирована решением широкого круга задач о динамике длинных волн на воде, что отражено в многочисленных публикациях (см., например, обзоры [1-3]), где подчеркивается эффективность указанных моделей при расчете динамики волн средней длины, формирующихся в шельфовой зоне. Во многих программных системах, применяемых для решения практических задач, моделирование течений жидкости с поверхностными волнами основано на использовании NLD-моделей, имеющих точность 0(ß2), где ß = d/X — параметр дисперсии, d и А — характерные значения глубины акватории и длины волны.

Кроме параметра дисперсии для характеристики волн на воде часто используется еще один малый параметр — нелинейность а = a0/d, а0 — характерная амплитуда волн. Если при выводе NLD-модели ограничение на параметр нелинейности отсутствует, то ее называют полностью нелинейной NLD-моделыо, или сокращенно FNWD-моделью (Fully Nonlinear Weakly Dispersive) [4]. В моделях Буссинеска предполагается,

что a = 0(^2), и при выводе моделей второго порядка члены порядка 0(а^2) и выше отбрасываются. Такие модели называют слабо нелинейными слабо дисперсионными или WNWD-моделями (Weakly Nonlinear Weakly Dispersive), FNWD- и WNWD-модели различаются тем, что дисперсия первых нелинейна, тогда как у вторых дисперсионные члены линеаризованы по параметру а. Для оценки дисперсионных характеристик приближенных длинноволновых моделей прибегают к сравнению с соответствующими характеристиками модели трехмерного потенциального течения, которую сокращенно называют FNPF-моделыо (Fully Nonlinear Potential Flow) [3].

Для успешного моделирования волновых режимов в гаванях и прибрежных областях, где изменение формы волны происходит интенсивнее по сравнению с трансформацией волн вдали от берега, от моделей требуется более высокая, чем 0(^2), точность. Это обстоятельство послужило импульсом к построению Х 1.1)-.моделей с четвертым порядком (0(/j,4)) длинноволнового приближения, и, кроме того, стали активно развиваться подходы к конструированию NLD-моделей с дисперсионными уравнениями, аппроксимирующими аналогичное уравнение FNPF-модели с точностью 0(^6) и выше, Основы таких подходов заложены в [5, 6], Эти работы инициировали развитие нового вида NLD-моделей, особенность которых заключается в том, что точность вычисления отдельных характеристик, например фазовой скорости, превосходит порядок длинноволновой аппроксимации исходной модели. Практическая реализация идеи состоит в том, что для линеаризованной модели выписывается ее дисперсионное соотношение, имеющее вид дробно рациональной функции, свободные параметры которой подбираются так, чтобы получить наилучшее приближение к дисперсионному уравнению FNPF-модели, Упомянутые свободные параметры вводятся в Х 1.1)-.модель при ее модификации [6].

Впервые NLD-модель порядка 0(^4) для случая дна переменной формы выведена в работах [7, 8] путем разложения потенциала скорости в ряд по параметру дисперсии, при этом для дисперсионного соотношения обеспечена точность 0(^8). Выписанные уравнения имели громоздкий вид, поэтому для более обозримой записи авторам пришлось принять упрощающее соглашение о том, что а = О(^) (это условие является более слабым ограничением по сравнению с условием Буссинеска), В [7] для полученной модели построен численный алгоритм и проведены расчеты двух тестовых задач о трансформации длинной волны над полностью погруженным в воду препятствием. Сравнение результатов расчетов с известными экспериментальными данными показало прогнозируемую точность построенной модели.

Следующая по хронологии двумерная NLD-модель порядка 0(^4) была представлена в статье [9] для случая горизонтального дна. Чтобы получить для дисперсионного соотношения аппрокеимант Pade (4,4), обеспечивающий наилучшее приближение фазовой скорости FNPF-модели, авторы выбрали в качестве искомой переменной NLD-модели взвешенный потенциал скорости на двух различных глубинах. Приемлемый для практических расчетов вариант модели получен лишь при ограничении Буссинеска а = 0(^2). В [10] эта упрощенная модель использовалась и в случае неподвижного дна переменной формы. Выполненные расчеты эволюции волны над подводным порогом показали более высокую точность по сравнению с результатами, полученными с помощью модели порядка 0(/л2) [11]. Кроме того, анализ результатов расчетов показал, что для воспроизведения гармоник на мелководье необходим учет нелинейных членов,

В работе [12] выведена FNWD-модель порядка 0(^4), учитывающая подвижность дна, что позволило применить ее к решению задачи о генерации волн подводным ополз-

нем, В случае стационарного дна модель аналогична FNWD-модели из статьи [10]. Проведено сравнение численных результатов, полученных по этой модели, с результатами расчетов по многослойной модели [13] и ЗБ-модели потенциальных течений, показавшее хорошее согласие во всех случаях [12]. Подвижное дно рассмотрено также в статье [14], которая содержит вывод NLD-модели, имеющей лишь несущественные отличия от [12]. Соответствующая численная модель проверена на серии лабораторных экспериментов. Расчеты подтвердили, что модель порядка 0(^4) воспроизводит экспериментальные данные значительно точнее по сравнению с NLD-моделями порядка 0(^2).

В [15] построена FNWD-модель порядка 0(^2), дисперсионное соотношение которой является точным до 0(^4). Эта модель — модификация известной SGN-модели (Serre -Green-Naghdi), в статье [15] она названа mSGN-моделыо, Представляет интерес пополнение существующей иерархии [4, 16] NLD-моделей мелкой воды добавлением к ней новой NLD-модели с порядком длинноволнового приближения 0(^4). Учитывая преемственность моделей иерархии, при выводе применяют те же приемы, что и в случае базовой FNWD-модели порядка 0(^2) [4], и в частности, не используется предположение о потенциальности исходного ЗО-течения.

В отличие от упомянутых выше работ, в настоящей статье в качестве скорости в приближенной модели взято усреднение по глубине горизонтальной составляющей скорости трехмерного течения, а также учтена подвижность дна. Модель содержит функцию замыкания, которую можно определить, например, в случае потенциальных течений. Построенная FNWD-модель порядка 0(^4 ) приводится к компактному консервативному виду и инвариантна относительно преобразования Галилея. Как и в [15], она получена путем модификации формул для негидростатической части давления, при этом для модифицированной модели точность 0(^4) сохраняется, а порядок аппроксимации дисперсионного соотношения 3D FNPF-модели повышается до 0(^8). Представленную модель можно рассматривать как модификацию mSGN-модели из [15] с целью достижения более высокого порядка точности при решении задач волновой гидродинамики.

1. Уравнения ЕNЛ¥Б-модели повышенного порядка длинноволновой аппроксимации

Выведем К.\\\'П-.моде. п>. взяв в качестве отправной точки уравнения Эйлера, которые описывают течение идеальной несжимаемой жидкости в слое, ограниченном снизу подвижным дном у = — Ъ(х, I), а сверху — свободной границей у = ^(х,1), где Ь — время; х = (х\,х2)т — вектор горизонтальных координат в декартовой системе координат Охгх2у с направленной вертикально вверх осью Оу и координатной плоскостью Ох\х2, совпадающей с невозмущенной свободной поверхностью. Считаем, что ускорение свободного падения д и плотность жидкости р постоянны во всем слое,

В трехмерной постановке задачи требуется найти вектор скорости с компонентами иь и2, V, давление Р и функцию которые удовлетворяют системе уравнений

V ■ и + Vy = 0, (1)

Иt + (и ■ V)и + VИУ + 1 VP = 0, (2)

Уг + и -УУ + УУу + - Ру = -д, (3)

Р

краевым условиям на свободной границе

{щ + и -Уч - V)| У= = 0, (4)

Р 1 У= = 0 (5)

и условию непротекания через подвижное дно

{Ы + и -УН + У )| у=_н = 0, (6)

где И = {и1, и2)т — вектор горизонтальной составляющей скорости, V — ее вертикальная компонента,

У = (—, —) , У.И = ^ + 91'2

\дх1 дх2 /

дхл дх2

Л ^х2/ их1 ^х2

Для вывода искомых уравнений мелкой воды перейдем к безразмерным переменным, которые определим следующим образом:

X = X -=У Н = Н -=л 1= и = -И- 7 = --Л Р = —

У & & ао' Л ' ¿л/дй^ рдй

В новых переменных задача (1)-(6) имеет вид (далее опускаем черту над безразмерными величинами)

У ■ И + Уу = 0, (7)

И + {И ■ У)И + УИ + УР = 0, (8)

р2 {^ + И -УУ + УУу) + Ру + 1 = 0, (9)

{ащ + «И -Ут] - V)| У=ап = 0, (10)

Р 1 у=ап = 0, (11)

{Ы + И- УН + У)| У=_н = 0, (12)

где а = а0/А — параметр нелинейности, ^ = ¿/Л — параметр дисперсии, 1.1. Уравнение неразрывности ЕN\УВ- мо; ^е»11 и

В качестве вектора скорости в приближенной модели возьмем усредненную по толщине слоя горизонтальную составляющую скорости

и{М) = ^ / И{х, у, ¿) ¿у, (13)

где Н = а^ + Н — толщина жидкого слоя. Интегрируя по толщине жидкого слоя уравнение неразрывности (7) с учетом граничных условий (10), (12), получаем уравнение неразрывности К.\\\'П-.\1одолп:

Щ + У ■ {Ни) = 0. (14)

1.2. Уравнение движения ЕМ ЛУЮ-модел и

Для вывода уравнений движения К\'\\'П-.модели будем использовать разложение вектора И в ряд по степеням параметра ^2:

И = И0 + ^2И1 + /И + 0{^6), (15)

где вектор-функции И0, И1; И2 те зависят от у2. Считаем, что главный член И0 гори-

Ии

подставим разложение (15) в формулу (13)

1

ОСГ]

аг/

аг/

и =11 (Ио + ^2И1 + /И + 0{(Лу = Ио + ^ I ИкНу + 1 I И2(1 у + 0{^6)

н

н

н

_к _к

И0

И = и + ¡I2 и + ¡I4 и + 0{ц6),

-к

(16)

где

аг}

и = И1 - 11 И^у,

ац

и = И2 - - И2йу,

-к

-к

причем имеют место равенства

ац

I

к

аг/

П^у = 0,

Ч2(1у = 0.

(17)

к

Что касается вертикальной компоненты скорости, то ввиду множителя у2 перед круглой скобкой в (9) достаточно выписать ее лишь с точностью до членов порядка 0{/14). Интегрируя уравнение неразрывности (7) по вертикальной координате от -Н{х, ¿) до у и принимая во внимание условие непротекания (12), приходим к следующему выражению:

V {х,у, г) = Уо{х,у, г) + ^2У1{х,у, г) + 0{^4),

где -Н{х, ¿) <у< агц{х, ¿),

V)

-ОН - {у + Н) У ■ и,

(18)

(19)

V! = -У ■ J Пк1(, _к

^ def О _

О = т +-У.

(20)

(21)

Проинтегрируем уравнение движения трехмерной модели (8) по толщине слоя воды и применим динамическое условие для давления (11). Это дает следующее соотношение:

ац

ац

(и + {И- У)И + УИу^у + У РАу-Р

_к

■V

(*)

УН = 0,

у=_к

(22)

_к

у

которое далее будем почленно преобразовывать. При этом, где потребуется, будем использовать обозначение и = иг + р2 и2. Начнем с того, что в выражении (*) перейдем к переменным приближенной модели согласно формуле (16):

ац

ац

—Н

(*) Ау = у (в{и + ц2 и)+ ц2( и ^)и + р4( и ■V) и^¿у + 0(^6)

—Н

ац

= НИи + р2 [ (л и + ( и ^)и + /и2( и ■ V) и^(1у + 0(р6).

—Н

Используя свойство (17), получаем

ац ац

IИ Шу = Я у Шу — аИ'ч и

-Н -Н

ац

у=ац

-вк и

у=—н

—аБ'ц и

у=ац

-вк и

у=—н

ац / ац \

J (и ■V) ийу = П Шу VI и = 0.

-Н

-Н

Член с вертикальной компонентой V из уравнения (22), согласно формулам (16), (19), (20), приводит к выражению

ац

[ VИy¿у = ¡12вк и ^ — ИИ + Н(V ■ и))

ац

и

у=ац

Н

+ /у VI и1уйу + 0(,а6).

Н

Объединяя правые части трех последних соотношений, получаем

ац

[ (и + (И ^)И + VИу) йу

ац

ИВи + р4

( иг ■V) иг + V! и1у ¿у +0(^6). (23)

Н

Н

Преобразуем правую часть (23), выполняя интегрирование по частям и учитывая (20):

ац ац ац

/у=а^ С у=а^ Г

VI игу ¿у = (VI иг) — и^у = (VI иг) + (V ■ иг) и^у.

У=—Н] У=—Н ]

-Н -Н -Н

Подставляя полученное выражение в равенство (23) и принимая во внимание тождество

(иг ■V) иг + (V ■ иг) иг = V ■ (и 0 Пг), где операция 0 для двумерных векторов определена в [15], приходим к соотношению

ац

(**) = НИи + ¡I4 ! V ■ ( иг 0 иг) (1у + ¡л4^ иг)

-Н

У=(Щ У=—Н

в котором оператор V вынесем за знак интеграла:

ац

ац

V■ (и0 и^йу = V I иг0 иг &у — а((иг^г]) П^ ^ — ((иг^К)П^ (25)

Н

Н

Нам потребуются также формулы для вычисления V1 на дне и на свободной границе. Из (20) следует

У У

V = —V ■ ! и^у = — ! V ■ ик!у — ( иг ■ VII)

У=—Н

-Н

-Н

откуда

V

У=—Н

— ( иг ■ VII)

У=—Н

Для свободной границы имеем следующие равенства:

(26)

аг/

V

у=ац

— ^^ иг <1у — ( и ■ VII)

У=—Н

Н

аг/

У=ащ

—V ■ и^у + а( и ■ Vr^) + ( иг ^К) — ( иг ■ Vh)

] У=—Н

Н

У=—Н

Применив первое из соотношений (17), получаем

И

У=ащ

а( иг ■ Vr|)

У=ащ

(27)

Объединение выражений (23)-(25) с использованием формул (26), (27) и подстановка полученных результатов преобразований в уравнение (22) приводят к уравнению движения ГМ\¥Б-модели, в котором давление Р и вектор-функция Ч1 еще не выражены через переменные Н, и:

ац ац

ИВи + иг 0 и^у + V ! Р Ау — Р ЧК + 0(ц6) = 0. (28)

-Н -Н

Формулу для Р = Р (у) (здесь подчеркнута зависимость от вертикальной переменной у) получаем интегрированием уравнения движения ЗП-.модели (9):

ац

р(у) = —У + ыц + V2 (ц + И ■ УУ + (%.

(29)

(*)

Преобразуем подынтегральное выражение (29), используя представления (16), (18) и удерживая члены до порядка 0(р2) включительно:

(+) = DVo + ^^с + р2 + Чг ■ VVo + ] + 0(/и4).

Тогда

ац

ац

Р(у) = -у + а'П +/12 ИУа + ^ V / ^ + • + (У0У1 +0(»6)

Ро(у)

Р2(У)

где Ро(у) — гидростатическая составляющая давления; Р1(у), Р2(у) ~ дисперсионные добавки, при этом Р2 (у) зависит от те определенной пока вектор-функции и1; а выражение для Р1(у) представлено ранее в работах [4, 17], посвященных выводу ЕК\¥Б-модели второго порядка аппроксимации:

где

Р1(У) = - (Н - (у + К)) В* - (^ - )Л1,

К1 = Б (V • и) - (V • и)2, К2 = Б2К.

(30)

Р( )

Р

у=-Н

(ро(у) + р1(у) + р2 (у)) +0(ц6).

\ / у=-Н

Если в уравнение (28) подставить найденные выражения для давления и отбросить члены порядка 0(/16), то получим уравнение движения ЕК\¥Б-модели:

ац

и + (и • V)u + Н V• J и 0 и^у + V = Н V11,

-н

где р — интеграл от давления Р(у) в ЕК\¥Б-модели, р — давление на дне,

ац

Р = J pD(У)dУ,

-н

(31)

(32)

Р(у) = (Н - (у + К)) (1 -ц2В*) - ц2(Нт - + ^Р2(У),

(У + К)2

Н2

Р=Н - —Д1 + НР2) + ¡ЛаР2

у=-н

(33)

Систему уравнений (14), (31) будем называть 1-'.Х\\'1)-.\1о. кмыо повышенного порядка длинноволновой аппроксимации (или 1-'.Х\\'1)-.\1о. кмыо четвертого приближения). Она является естественным обобщением классической Я(1\-.модо. ш и совпадает с последней при игнорировании членов порядка 0(/14). Однако для замыкания выведенной модели необходимы дополнительные предположения о характере трехмерного течения, позволяющие определить вектор-функцию и1.

2. Замыкание модели

Если предположить, что исходное ЗБ-течение потенциально, то и1 имеет следующий вид [4]:

и

(Н , ,Лл (Н2 (у + К)2^

-1У - (у +

(у + К) а - ^ -

2

В,

(34)

где

А =(Аг , А2) 1 = — V(Dh) — ^ и^К, В = (Вг , В2) 1 = — V(V ■ и). (35)

иг

ления величин р и р, входящих в уравнение движения (31), а также конвективного интегрального члена. Вначале рассмотрим цепочку преобразований интеграла от Р2:

ац

ац ац

ац

Р2

(у)Лу = / {/ [DVl+Ul■VVo+(VoVl)c] <%уу = (у+К) +Чо+(VoVl)y] ¿у.

Н

—Н у

Н

Здесь использована формула интегрирования по частям. Для вывода приведенных ниже соотношений мы также применяли эту формулу, выносили операторы дифференцирования за знак интеграла и использовали свойство (17):

ац

(у + К) ^^¿у = ■ д2) — ОИ^ ■ дг) — О^И ■ дг) — a(Dr^)HVl

у=ац

Н

ОСГ]

(у + К) (и ■ VVo)dy = А ■ дг + 2В ■ д2

Н

ат]

I

—Н

где

у=ат]

(у + ^^^уАу = a(DV)HVl + (БК)^ ■ дг) — (V ■ и^К ■ дг + (V ■ и)^ ■ д2),

ац ац

/Н з Н 4 Г (

(у + К) и^у = — А + — В, д2 =1-

2 ик1у = £ А + * В. (36)

2

24 45

Н

Н

Подставляя полученные выражения в (32), получаем

Н2 2/ Н3 Н2 \ 4 Р = — — Кг + — К2) — V4

2

V(Dh) + 2(V ■ и^К ■ дг + Б (^К ■ дг) —

3 г 2

—(V ■ u)v ■ д2 + 2V(V ■ и) ■ д2 — ■ д2)

(37)

С помощью аналогичных приемов вычисляется дисперсионная добавка к давлению на дне:

Р2

У=—Н

ац

Н

DVl + иг ■ VVo + ^г)у ¿у = ■ дг) — V(V ■ и) ■ дг.

Следовательно,

2

, и'

р = н — —Кг + НП2) + V4

) + р4 дг) — v(v■ и) ■ д

(38)

г

Используя замыкающее соотношение (34) и обозначения (35), приходим к следующему выражению для интеграла в конвективном члене с коэффициентом ц4:

ап

/н3

и 0 и^у = М = -

1 У 180

-н

( ти Ш12 \ У Ш21 т22 )

где М — симметричная матрица,

т11 = 15А2 + 15НА1В1 + 4Н2В2 > 0,

т12 = т21 = 15А1А2 + 7.5Н (АВ + А2В1) + 4Н2ВХВ2, т22 = 15А2 + 15НА2В2 + 4Н2В\ > 0,

при ЭТОМ

Н5 2

det М = — (А1В2 - А2В1 )2 > 0. 48

Таким образом, в случае потенциальности трехмерного течения уравнение движения (31) упрощается и принимает вид

и + (и-У)и + Н V-М + V = Н УК. (39)

Для случая подвижного дна К.\\\'П-.модель повышенного порядка аппроксимации (14), (37)-(39) выведена впервые. Уравнения этой модели инвариантны относительно преобразования Галилея. Это следует из того, что в уравнениях К .\\\'П-.модели присутствуют только полные производные по времени (21). Отличительной особенностью представленной модели, по сравнению с Я(1\-.моде.чыо [15], является наличие в конвективных членах производных высокого (третьего) порядка по пространственным переменным. Наивысший (пятый) порядок производных имеют члены, содержащиеся в выражениях для Vр, При этом присутствуют как частные производные пятого порядка только по пространственным переменным, так и смешанные производные пятого порядка, в которых дифференцирование по времени производится лишь один раз. Построенную модель будем называть Я(1\ 1-.моде.чыо.

2.1. Б С N4- модель для горизонтального дна

Для случая К(х, {) = <1 = сошt > 0 уравнение движения (39) существенно упрощается, хотя порядок старших производных сохраняется и в этом случае. С учетом введенных ранее обозначений получаем следующий вид этого уравнения:

4

щ + (и- У)и + ^ V

Н

Н5 45

и) 0 и))

где

Н2 Н3 Н5 — -ц2 — (V- щ + и- и) - (V- и)2) -ц4 (V- и)У- (—и)) -

Р=у - ц -у [V и + и ■ V(V - и) - (V ■ и)^ - ц

— Н 5 / Н 5 \ / / Н 5 \ \

■ и>12 +V ■ V(V ■ и>),+и ■ nV' (« V(V ■и)))

+ ^ = 0, (40)

/Н5

Умножая уравнение (14) на и, а уравнение (40) наЯи складывая результаты, приходим к записи уравнения движения в консервативной форме:

( —и), + V ■

Н 5 / \

Ни 0 и + ц4 — (ч^ ■ и) 0 V(V ■ и))

+ Vp = 0.

(41)

Таким образом, оба уравнения — неразрывности (14) и движения (41) — оказываются записанными в консервативной форме, чем обеспечивается выполнение законов сохранения массы и полного импульса.

2.2. Дисперсионные свойства SGN4-мoдeли

Линейный вариант уравнений (14), (40), записанных в размерных переменных, имеет следующий вид:

й2 А4

Г]г + й V■ и = 0, и + gVV — у V (V ■ и) - 45V V ■ ( V (V ■ и)

0.

(42)

Найдем дисперсионное соотношение, соответствующее системе (42), Для этого рассмотрим решения этой системы в виде гармоник

г](х, Ь) = а0е

—г (шЬ—к-х)

и

иое

—г (шЬ—кХ

(43)

где а0 = 0 и и0 = 0 — амплитуды гармоник; к = (к\, к2) — волновой век тор, к = 0; ш — волновая частота. Подставляя гармоники в систему (42), получаем дисперсионное соотношение

сМ

( —ш д к\ —ш

к1в, 2

3

1 + к2Л ^ — ^ |к|2)

45

V

(А2 (14 \ д к2 —ш кгк^ -3 — 45|к|2^

ш

2

й2 * 411

3 45 |к

(А2 & 4

ГГ 45

\

из которого следует, что

Ш1(к) = 0,

ш

22Лк)

с0|к|2

def

1 + \(А |к|)2 — 45(Л |к|)4

|к|2)

(44)

где с0 = \J~gd, £ = ¿1 к | = 2^, При £ > = л/7.5) + 4.5^5 ~ 4.2 дробно-рациональная функция д(^) становится отрицательной и корни дисперсионного уравнения (44) принимают мнимые значения ш2,3(к) = ± г^/1 £?(£)|. Следовательно, для таких волновых

ехр(^/1¿?(£)| Если в решении задачи присутствуют короткие волны (£ > £*), то они будут расти, приводя к неустойчивости. Отметим, что в численных расчетах волны малой длины, сравнимой с размером шага сетки, возникают даже в том случае, когда в длинноволновой модели наличие коротких волн теоретически исключается условием ц2 ^ 1.

— 1/2

(к) =

ш(к)

Ч —IО

е< е*, е> е*.

(45)

2

0

2

cj(gd)l!

0.8

0.6

0.4

0.2

1 1

1 \ ч -

- 1

2

Ш

Рис. 1. Зависимость модуля ср вектора фазовой скорости от длины волны Л в моделях FNPF (!) и SGN4 (2)

Fig. 1. Dependence of the phase velocity cp on the wavelength Л in the FNPF (!) and SGN4 (2) models

На рис. 1 линия 2 изображает модуль вектора фазовой скорости (45) как функции от длины волны Л = 2^/| к Здесь же изображен (линия 1) модуль фазовой скорости "эталонной" ЕХРЕ-модели

fta.nh£ \1/2

СР) fnpf (К) — Co I--- I

(46)

Видно, что о наследовании 8СХ4-моделыо дисперсионных свойств "эталонной" модели можно говорить лишь при Л/с1 > 4, т. е. при ^ < 0.25. При ббльших значениях ^ отклонение .пинии 2 от "эталонной" увеличивается. ХЬБ-модели с подобным поведением корней дисперсионного соотношения па коротких волнах описаны в работах |7, 18—20|, Эти модели, как правило, представляют лишь теоретический интерес. Дня практического применения в области длинноволновой гидродинамики требуется их модификация дня улучшения дисперсионных свойств.

0

2

4

6

3. Модификация Э в N4-мод ели

Выполним модификацию уравнения движения (39) таким образом, чтобы 8СХ4-модель (14), (39) стана корректной, а порядок аппроксимации дисперсионного соотношения повысился до 0(/16). Под корректностью здесь понимаем отсутствие растущих гармоник вида (43), что выполняется, когда ш является действительным числом

к

что были сделаны в статье |15|,

3.1. Модификация формул для давления

Из уравнения (39) следуют соотношения

def

Io :— ut + (u ■ V) u + V ( H - h)

0(v2),

I d— I I1 Io

1 / — j з H j 2 \ / h \

HV(НГД1 + T^) - + R2) Vh

H3

H

H 2

0(V4),

(47)

(48)

которые будем применять для преобразования производных, содержащих дифференцирование по времени. Преобразование заключается в том, что в формулах (37), (38) производная от скорости по времени в членах порядка 0(/12) заменяется правой частью выражения

и ^ и + 0(114), (49)

а в членах порядка 0(/14) — другого выражения:

и ^ и -^о + 0(12), (50)

где ¡0 и ¡г — числовые параметры, от значений которых зависят дисперсионные свойства модифицированной модели,

В формулах для давления (37), (38) слагаемые порядка 0(/12) содержат производные с дифференцированием скорости по времени в членах Кг и К2, определенных формулами (30), Согласно (49), эти члены заменяются правыми частями следующих выражений:

Я ^ Кг II + 0(14),

П2 ^ К2 -№ •ук + 0(14),

поэтому

И3 И 2 И3 И 2 /И 3 И 2 \

— Кг + —К2 ^ —Яг + —К2 - ¡г(—V • I: + — I: • УК) + 0(^4),

И 2 И 2 / И 2 \

—Кг + ИК2 ^ — Кг + ИК2 - А (у V • 1г + —1г • УК) + 0(/А,4). (51)

В формулах (37), (38) в слагаемых, имеющих порядок 0(/14), дифференцирование скорости по времени встречается в смешанных производных, содержащихся в членах И(УК • (г), И(У • (г) и И(У • (2), Они могут быть заменены, согласно (50) и определению (21), правыми частями выражений

Б(УК • (г) ^ Б(УК • (г) -¡оУК • (г + 0(12), (52)

(г) ^ (г) -¡оУ^ (г + 0(12), (53)

Ц2) ^ (2) (2 + 0(12), (54)

в которых использованы следующие аналоги формул (35) и (36):

из и4 и4 и5

(1 = — А+— ВВ, (2 = — А+— 13, А = -У(1о УК)-(У^ )УК, В = -У(УЛо).

Сделав в выражениях (37), (38) замены (51)—(54), получим следующие модифицированные формулы для давления:

/ — 3 — 2 \ , .

рт = Р + !2Рг ( — У^ 1г + — 1г •УК) +^¡0 (УК • (г-У^ ((^ +0(16),

И2

Рш =Р + 12Рг (— У • 1г + И 1г •УК) (г + 0(16).

Используя новые выражения для давления и отбрасывая в них остаточные члены, получаем следующий вид модифицированного уравнения движения (39):

и + (и ■ У)и + ^ V-М + ^ = % УК.

н н н

Учитывая порядок малости (47), (48) величин 1о и II, можно утверждать, что выполненная модификация фактически означает включение в уравнение движения (39) новых слагаемых, имеющих порядок 0(/16) и не изменяющих четвертого порядка длинноволнового приближения Я(1\ 1-.\юде. ш. Эта новая модель четвертого порядка является модификацией Я(1\ 1-.\юде. ш и обобщением тЯСХ-.моде. ш второго порядка из [15]. Поэтому будем называть 66 1пЯ(1.\ 1-.МО. 1С. 1ЫО.

3.2. Дисперсионные свойства т8СМ4-модели

Для изучения дисперсионных свойств модифицированной тЯ(1\ 1-.\юде. ш выпишем ее линейный аналог, используя параметры Во = ¡о/45 и В1 = -¡¡1/3. Линеаризованное уравнение неразрывности останется таким же, как в системе (42), а уравнение движения примет вид

и + дУг] - ¿2У (В1 + 3) V- и + В1 дАг]

+

+ й4У

В - 45) (V-и*)) +ВодУ-(у (Ап))

где А г] = V ■ (V??). Корпи дисперсионного соотношения линеаризованной системы 1пЯ(1.\ 1-ураг,не1пп"1 выражаются следующим образом:

/ \ 2 Ф12[ 1 + В1 (ф|)2 + Во (<1 |к|)4)

Ш1(к) = 0, (ш2,з(к)]

1 + (В1 + 3) (<1 |к|)2 + ^Во + 3В1 - 45) (ф|)4

Во В1

корни ш2,3 являются вещественными числами:

Во > 0, В1 > 0, Во + 3В1 - 45 > 0. (55)

Тогда модуль фазовой скорости определяется следующей формулой:

(\ 1/2

1 + В1 2 + Во 4 1/2

1 + (В, + 3) е + (Во +1В, - 45) е) ■ (56)

Эта формула будет использоваться для оценки дисперсионных свойств тЯ(1\ 1-.\юде. ш путем сравнения свойств фазовой скорости (56) и скорости (46) "эталонной" КХТ'К-модели (линия 1 на рис. 2). Для "эталонной" модели выполняются свойства изотропности, монотонности и предельное свойство фазовой скорости [4, 15]. Желательно, чтобы эти свойства сохранялись и в приближенной тЯ(1\ 1-.\юде. ш.

0

Рис. 2. Зависимость модуля ср фазовой скорости от длины волны Л в моделях FNPF (1); SGN [151 (2); mSGN [15]*(3); mSGN4 при Во = 1/945 Вх = 1/9 (4); mSGN4 при Во = 0, В\ = 2/21 (5). Правый рисунок (б) является увеличенным фрагментом левого (а) для диапазона коротких волн

Fig. 2. Dependence of the phase velocity cp on the wavelength Л in the models: FNPF (1); SGN [15] (2); mSGN [15] (3); mSGN4 with Во = 1/945, Bx = 1/9 (4); mSGN4 with Во = 0, B\ = 2/21 (5). The right figure (6) is an enlarged fragment of the left one (a) for the short wavelength range

Свойство изотропности означает, что модуль вектора фазовой скорости не зависит от направления волнового вектора к и определяется лишь длиной волны. Из формулы (56) видно, что это свойство наследуется т8СХ4-моде,лыо,

Под свойством монотонности подразумевается |4, 15| рост модуля фазовой скорости при увеличении длины волны, т. е. свойство отставания коротких волн при своем движении от длинных. Из формулы (56), записанной в виде зависимости от длины волны А = 2ж /I к |, следует, что

d 4gn2d3

~TTCV, mSGN4(A) = —-

1 + {B> + I) f + (B° + - ¿) ^

-2

3А3°р, тЭОМ4(А)

£ = 2ъ<1/\ а(0 = (в0 - ВХ(ВХ - 1)) е4 - ^{Вг - ^- 1.

Анализ поведения функции рассматриваемой как квадратичная функция от пе-

ременной показывает, что при условиях (55) выполнение неравенства а(^) < 0 при всех £ £ [0 , то) эквивалентно следующим ограничениям на значения коэффициентов:

0 <Во <в1(б1 - ^, Вг > 1. (57)

Таким образом, в области параметров (57) т8СХ4-моде,ль наследует свойство монотонности '"эталонной" модели, поэтому далее будем считать, что значения параметров В0 и Вг принадлежат числовым интервалам, определенным неравенствами (57),

Предельное свойство, которым обладает "эталонная" ЕХРЕ-модель (см. линию 1 па рис, 2), означает, что фазовая скорость стремится к пулю при уменьшении длины волны. Из формулы (56) следует, что

ИтсР)т8см4( А) = со ( -г )

" \во + зв - 45/

ЧБо + - А.

Тогда предельное свойство наследуется т8СК4-моделыо только при во = 0, Для этого значения Во условию (57) удовлетворяет, например, аппрокеимант Рас1ё (2,4), который приближает квадрат "эталонной" скорости (46) с точностью 0(£6), т. е. разложения этих

степень £6, а коэффициенты при различаются:

с^ГОРРСЪ) _ _ 1 о 2 4 17 « 62 „ , ^ ,

^ = ~ = 1 - 3е + 15^ - + 2835 ^ + ^ ' (58)

2

^ -- е2

( )

?= -3 21 1- (Рааё (2,4)) =

Во=О, В!=21 1 + -£2 +--£4

21 7? + 105 ^

1 2 17 241

= 1 - ч2 + — е4 - — е6 + е8 + о (е10). (59)

15^ -15^ 11025 ^ ; 1 ;

Таким образом, т8СК4-модель при Во = 0 В1 = 2/21 обладает следующим свойством: хотя уравнения этой приближенной модели аппроксимируют трехмерные уравнения с точностью 0(/14) при ^ ^ 0, тем не менее дисперсионное соотношение и фазовая

0( 6)

На рис, 2 линия 5 изображает модуль вектора фазовой скорости (59), Если сравнить эту линию с разрывной линией 2 на рис, 1, то видим, что выполненная модификация улучшает дисперсионные свойства Я(1\ 1-.\юде. ш на коротких волнах. Более того, эта модификация улучшает и дисперсионные свойства Я(1\- и тЯСМ-моделей второго длинноволнового приближения (сравни линию 5 на рис, 2 с линиями 2 и 3), исследованных в [15]. В стандартной Я(1\-.моде. ш имеет место второй порядок точности для фазовой скорости (линия 2 на рис. 2)

Ср, ЭСN(0 1 _ 1 с2 1 ^4

? := ~ = 1 - -4 +9

Ч) 1 и__¿2 3 9

-

1 - к2 + к4 + о (е6). (60)

1+о ^

В 1пЯ(1.\-.\1о. |е. 1н второго длинноволнового приближения порядок аппроксимации дисперсионного соотношения может быть повышен до четвертого. Линия 3 на рис. 2 получена при использовании в линеаризованной тЯСХ-.моде. ш аппрокеиманта Рас1ё (2,2)

?= ^^ = 1 - -е2 + ^ - 75^ + о(е8). (61)

Со 1 + 2 ¿2 - 15 75

При Во = 0 предельное свойство фазовой скорости т8СМ4-модели не выполняется, поэтому дисперсионные свойства этой модели на коротких волнах будут отличаться от свойств КХЧ 'К-.моде. ш. Однако на длинных волнах модуль фазовой скорости (56) может очень хорошо приближать эталонные значения (46) даже при Во = 0. Так, при значениях Во = 1/945, В1 = 1/9, удовлетворяющих условиям (57), для квадрата скорости (56) получается аппрокеимант Рас1ё (4,4)

mSGN4 (е)

1 + - £2 + — £4 d-f9' 945' (Pade(4,4))

> Б1 = 9 1 + ^ £2 + — £4

4 £2 + ^

9s 63

= 1 - -е2 + — е4 - — е6 + —е8 + о (е10), (62)

15^ 315^ 2835 ^ ; ' 1 ;

приближающий "эталонную" скорость с точностью 0(£8) (см, линию 4 на рис, 2),

Таким образом, при указанных значениях параметров сама тЯ(1.\ 1-.\юде. п> имеет четвертый порядок длинноволновой аппроксимации, а дисперсионное соотношение получается восьмого порядка точности на длинных волнах. Разумеется, погрешность возрастает на коротких волнах, но эта погрешность будет меньше, чем для тЯОХ-.моде. ш второго длинноволнового приближения (сравни линии 4 и 3 на рис, 2), В частности, для тЯСК4-моделн при 50 = 1/945, 51 = 1/9 и тЯСМ-моделп с модулем фазовой скорости, определяемым по формуле (61), имеют место следующие соотношения:

шэдN4(А) = 1 < = т3рм(А)

С0

в0=-i- в1=I л/-5 V6 А^0 Со

945 > -01 9

Отметим, что говорить о порядке аппроксимации, сравнивая ряды (59) или (62) с (58), можно лишь для сходящихся рядов с учетом того, что степенной ряд для гиперболического тангенса сходится при £ < ^/2, (2,4)-аппрокеимант Рас1е можно представить в виде степенного ряда (59) только при £2 < (л/2445 — 45) /2, а (4,4)-аппрокеимант Рас1е в виде (62) — при £2 < (л/259 — 14), Таким образом, представления (58), (59), (62) справедливы одновременно лишь при сравнительно небольших значениях параметра дисперсии

\/^259 — 14 . , ^ < -^Ц--« 0.23. (63)

При нарушении условия (63) нет оснований говорить о порядке аппроксимации, сравнивая ряды (58), (59), (62), Однако для больших, чем в (63), значений ^ можно сравнивать непосредственно модули фазовых скоростей, не прибегая к разложению в степенные ряды. Заметим, что выводы, основанные на таких сравнениях, зависят [15] от длины промежутка [0, ] параметра дисперсии па котором вычисляется отклонение, Как и в [15], для вычисления максимальных отклонений использовалась равномерная норма.

2

с

0

Максимальные отклонения фазовых скоростей, определенных соотношениями (60), (61), (59) и (62), от эталонной скорости (46) на отрезке [0,^г]

Maximal deviations of the phase velocities determined by relations (60), (61), (59) and (62) from

the "reference" velocity (46) in the interval [0, ]

Модель /J.r

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 4.0

SGN 1.4 ■ 10-3 1.3 ■ 10-2 8.0 ■ 10-2 1.3 ■ 10-1 1.5 ■ 10-1 1.5 ■ 10-1

mSGN 1.5 ■ 10-5 5.3 ■ 10-4 1.6 ■ 10-2 6.6 ■ 10-2 1.4 ■ 10-1 2.1 ■ 10-1

inSGXi (Fade (2,4)) 1.0 ■ 10-7 1.3 ■ 10-5 1.8 ■ 10-3 1.8 ■ 10-2 5.3 ■ 10-2 7.7 ■ 10-2

inSGXi (Fade (4,4)) 3.7 ■ 10-10 2.0 ■ 10-7 1.5 ■ 10-4 4.2 ■ 10-3 2.8 ■ 10-2 7.3 ■ 10-2

Из графиков рис, 2, о и приведенных в таблице значений максимальных отклонений фазовых скоростей становится очевидным, что при ßr < 1 (A/d > 1) наилучший результат получается для tnSGX l-.моде.ш с аппрокеимантом Padé (4,4), Для коротких волн это преимущество становится менее значительным. Более того, например, при ßr = 16 для этой модели величина максимального отклонения составляет 1.6 • 10-1, а для модели mSGN4 (Padé (2,4)) — 8.0 • 10-2, т. е, меньше. При этом же ßr = 16 максимальное отклонение фазовой скорости SGN-модели от "эталонной" скорости равно 1.5 • 10-1, Из графиков рис, 2, б видно, что наиболее предпочтительной в области очень коротких волн является tnSGX 1-.\юде.п> с аппрокеимантом Padé (2,4), Разумеется, такие короткие волны не обязаны воспроизводиться NLD-моделями мелкой воды, что следует из условий их вывода. Однако свойства моделей в области коротких волн необходимо учитывать при конструировании численных алгоритмов [15],

Заключение

В статье представлена новая полностью нелинейная дисперсионная (FNWD) модель мелкой воды четвертого порядка точности (SGX l-.моде. п>). обобщающая известную SGN-модель (Serre-Green-Naghdi) второго порядка и расширяющая существующую иерархическую цепочку моделей мелкой воды [4, 16] в сторону повышения порядка длинноволновой аппроксимации, В известных публикациях, посвященных разработке нелинейно-дисперсионных (NLD) моделей четвертого порядка точности, в качестве вектора скорости выбиралась горизонтальная составляющая вектора скорости трехмерной (FNPF) модели потенциальных течений на некоторой поверхности, расположенной между дном и свободной границей, В итоге получалась очень громоздкая форма уравнений. Кроме того, для этих моделей не выполняются законы сохранения массы и импульса, В представленной здесь SGX l-.моде. ш. учитывающей подвижность дна, используется усредненная по толщине жидкого слоя скорость, для выведенной модели выполняется закон сохранения массы, а закон сохранения полного импульса выполняется в случае горизонтального неподвижного дна, ее уравнения инвариантны относительно преобразования Галилея и записываются в компактной форме, аналогичной записи уравнений газовой динамики с иеточниковыми членами.

При выводе SG\ l-.моде. ш применялись те же приемы, что и при получении базовой FNWD-модели второго порядка [4], частным случаем которой является SGN-модель, Использовалось разложение основных гидродинамических величин по степеням параметра дисперсии ^ ив уравнениях Эйлера, описывающих трехмерное течение жидкости со свободной границей, удерживались слагаемые до порядка 0(ß4) включительно. Потенциальность исходного трехмерного течения не предполагалась, однако для замыкания модели требовалось условие "квазипотенциальности" [4] трехмерного течения.

Дисперсионное соотношение SGX l-.моде. ш имеет четвертый порядок точности в области длинных волн, но неудовлетворительно передает поведение коротких волн. Поэтому потребовалась модификация этой модели, состоящая в преобразовании формул для негидростатической составляющей давления, В результате модификации получена двухпараметричеекая tnSGX 1-.\юде.п> также четвертого порядка длинноволнового приближения, но с удовлетворительной аппроксимацией дисперсионного соотношения FNPF-модели в области коротких волн. Более того, на длинных волнах в зависимости от выбранных параметров достигнута повышенная точность аппроксимации: 0(ß6) при использовании аппрокеиманта Padé (2,4) и 0(ß8) — Padé (4,4), Анализ отклонений значе-

ний фазовой скорости tnSG.X 1-.\юде. ш от значений "эталонной" скорости FNPF-модели во всем диапазоне длин волн показал, что наиболее предпочтительной является mSGN4-модель со значениями параметров, соответствующими аппрокеиманту Pade (2,4),

Во введении перечислены работы, посвященные выводу NLD-моделей повышенной точности. Проведенные авторами этих работ пробные расчеты [7, 11, 12, 14] показывают перспективность применения NLD-моделей четвертого порядка точности. Однако сдерживающим фактором для их широкого использования при решении прикладных задач является существенное отставание уровня развития численных методов решения NLD-уравнений от уровня разработки самих моделей. Авторы настоящей работы намерены использовать для решения задач в рамках tnSG.X 1-.\юде.ш обобщение метода расщепления — достаточно обоснованного и исследованного [4, 21-23] метода численного решения практических задач в рамках SGN-модели второго длинноволнового приближения.

Благодарности. Результаты получены при выполнении работы по теме "Разработка и исследование новых элементов вычислительной технологии решения фундаментальных и прикладных задач аэро-, гидро- и волновой динамики" государственного задания ФИЦ ИВТ, Работа поддержана Национальным исследовательским агенством Франции в рамках программы "Инвестиции в будущее" (№ ANR-18-EURE-0016 — Solar Academy), Авторы выражают глубокую признательность анонимному рецензенту за ценные замечания и советы по улучшению стиля представления материала статьи.

Список литературы

fl] Madsen Р.А., Fuhrman D.R. High-order Boussinesq-tvpe modelling of nonlinear wave phenomena in deep and shallow water. Advances in Coastal and Ocean Engineering. 2010; (11):245—285.

[2] Brocchini M. A reasoned overview on Boussinesq-tvpe models: The interplay between physics, mathematics and numerics. Proceedings of Royal Society of London. A. 2013; 469(2160) :20130496.

[3] Kirby J.T. Boussinesq models and their application to coastal processes across a wide range of scales. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. 2016; 142(6):03116005.

[4] Khakimzyanov G., Dutykh D., Fedotova Z., Gusev O. Dispersive shallow water waves. Theory, modelling, and numerical methods. Lecture Notes in Geosvstems Mathematics and Computing. Basel, Birkhauser; 2020: 284.

[5] Witting J.M. A unified model for the evolution of nonlinear water waves. Journal of Computational Physics. 1984; 56(2):203-236.

[6] Madsen P. A., Murray R., S0rensen O.R. A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics. Coastal Engineering. 1991; (15):371—388.

[7] Madsen P.A., Banijamali В., Schaffer H.A., S0rensen O.R. Boussinesq type equations with high order accuracy in dispersion and nonlinearitv. Coastal Engineering. 1996; (25) :95—108.

[8] Madsen P.A., Schaffer H.A. Higher order Boussinesq-tvpe equations for surface gravity waves: Derivation and analysis. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. A. 1998; (356):3123—3181.

[9] Gobbi M.F., Kirby J.T., Wei G. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 2. Extension to O(fc^)4. Journal of Fluid Mechanics. 2000; (405):181-210.

[10] Gobbi M.F., Kirby J.T. Wave evolution over submerged sills: Tests of a high-order Boussinesq model. Coastal Engineering. 1999; (37):57-96.

[11] Wei G., Kirby J.T., Grilli S.T., Subramanya R. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 1. Highly nonlinear unsteady waves. Journal of Fluid Mechanics. 1995; (294):71—92.

[12] Ataie-Ashtiani В., Najafi-Jilani A. A higher-order Boussinesq-tvpe model with moving bottom boundary: Applications to submarine landslide tsunami waves. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2007; (53):1019-1048.

[13] Lynett P., Liu PL-F. A multi-layer approach to wave modeling. Proceedings of Royal Society of London. A. 2004; (460):2637-2669.

[14] Zhou H., Teng M. Extended fourth-order depth-integrated model for water waves and currents generated by submarine landslides. Journal of Engineering Mechanics. 2010; 136(4):506-516.

[15] Хакимзянов Г.С., Федотова З.И., Дутых Д. Плановая модель гидродинамики с дисперсионным соотношением повышенной точности. Вычислительные технологии. 2020; 25(5): 17 il. D01:10.25743/ICT.2020.25.5.003.

[16] Шокин Ю.И., Федотова З.И., Хакимзянов Г.С. Иерархия моделей гидродинамики длинных поверхностных волн. Доклады Академии наук. 2015; 462(2):168-172.

[17] Федотова З.И., Хакимзянов Г.С. Базовая нелинейно-дисперсионная модель гидродинамики длинных поверхностных волн. Вычислительные технологии. 2014; 19(6):77-93.

[18] Benjamin Т.В., Bona J.L., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. A. 1972; (272):47-78*

[19] Peregrine D.H. Long waves on a beach. Journal of Fluid Mechanics. 1967; (27):815-827.

[20] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир; 1977: 622.

[21] Fedotova Z.I., Khakimzyanov G.S. Characteristics of finite-difference methods for dispersive shallow water equations. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2016; 31(3):149-158.

[22] Федотова З.И., Хакимзянов Г.С., Гусев О.И., Шокина Н.Ю. История развития и анализ численных методов решения нелинейно-дисперсионных уравнений гидродинамики. II. Двумерные модели. Вычислительные технологии. 2017; 22(5):73-109.

[23] Khakimzyanov G., Dutykh D., Gusev О., Shokina N. Dispersive shallow water wave modelling. Part II: Numerical simulation on a globally flat space. Communications in Computational Physics. 2018; 23(l):30-92.

Вычислительные технологии, 2021, том 26, № 3, с. 4-25. © ФИЦ ИВТ, 2021 ISSN 1560-7534

Computational Technologies, 2021, vol. 26, no. 3, pp. 4-25. © FRC ICT, 2021 elSSN 2313-691X

MATHEMATICAL MODELLING

..................DOI: 10.25743/ICT. 2021.26.3.002

Two-dimensional model of wave hydrodynamics with high accuracy dispersion

relation. II. Fourth, sixth and eighth orders

Khakimzyanov Gayaz S.1'2'*, Fedotova Zinaida I.1, Dutykh Denys3

1Federal Research Center for Information and Computational Technologies, 630090, Novosibirsk, Russia

2

3University of Grenoble Alpes, University of Savoie Mont Blanc, CNRS, LAMA, Chambery, France

*

Received March 12, 2021, revised April 30, 2021, accepted May 7, 2021.

24

/. c. xakmm3iih0b, 3. ii. (i>e:n>i\>im. /f. . (vrw.v

Abstract

In the numerical simulation of medium-length surface waves in the framework of nonlinear dispersive (NLD) models, an increased accuracy of reproducing the characteristics of the simulated processes is required. A number of works (Kirbv (2016), e.g.) describe approaches to improve the known NLD-models. In particular, NLD-models of the fourth order of the long-wave approximation have been proposed and, based on a comparison of numerical results with experimental data, their high accuracy has been demonstrated (Ataie-Ashtiani and Najafi-Jilani (2007); Zhou and Teng (2010)). In these new models, the horizontal component of the velocity vector of the three-dimensional (FNPF-) model of potential flows at a certain surface located between the bottom and the free boundary was chosen as the velocity vector. The result was a very cumbersome form of equations. In addition, the laws of conservation of mass and momentum do not hold for these models.

The main result of this work is the derivation of a two-parameter fully nonlinear weakly dispersive (mSGN4) model of the fourth order of the long-wave approximation, which is a generalization of the well-known Serre- Green - Naghdi (SGN) second order model. In the derivation, the velocity averaged over the thickness of the liquid layer was used. The assumption about the potentiality of the three-dimensional flow was used only at the stage of closing the model. The movement of the bottom is taken into account. For the derived model, the law of conservation of mass is satisfied, and the law of conservation of total momentum is satisfied in the case of a horizontal stationary bottom. The equations of the mSGN4-model are invariant under the Galilean transformation and are presented in a compact form similar to the equations of gas dynamics.

The dispersion relation of the mSGN4-model has the fourth order of accuracy in the long wave region and satisfactorily approximates the dispersion relation of the FNPF-model in the short wave region. Moreover, with a special choice of the values of the model parameters, an increased accuracy of approximating the dispersion relation of the FNPF-model at long waves (sixth or eighth order) is achieved. Analysis of the deviations of the values of the phase velocity of the mSGN4 model from the values of the "reference" speed of the FNPF model in the entire wavelength range showed that the most preferable is the mSGN4 model with the parameter values corresponding to the Pad'e approximant (2,4).

Keywords: long surface waves, nonlinear dispersive equations, dispersion relation, phase velocity.

Citation: Khakimzvanov G.S., Fedotova Z.I., Dutvkh D. Two-dimensional model of wave hydrodynamics with high accuracy dispersion relation. II. Fourth, sixth and eighth orders. Computational Technologies. 2021; 20(3): i 25. D01:10.25743/ICT.2021.26.3.002. (In Russ.)

Acknowledgements. The results were obtained within the framework of the theme "Development and research of computational technologies for solving fundamental and applied problems of aero-, hydro- and wave dynamics" of the state task of the Federal Research Center for Information and Computational Technologies. This work has been supported by the French National Research Agency, through Investments for Future Program (ref. ANR-18-EURE0016 — Solar Academy). The authors would like to thank the anonymous Referee for helping us to shape this manuscript.

References

1. Madsen P.A., Fuhrman D.R. High-order Boussinesq-type modelling of nonlinear wave phenomena in deep and shallow water. Advances in Coastal and Ocean Engineering. 2010; (ll):245-285.

2. Brocchini M. A reasoned overview on Boussinesq-type models: The interplay between physics, mathematics and numerics. Proceedings of Royal Society of London. A. 2013; 469(2160):20130496.

3. Kirby J.T. Boussinesq models and their application to coastal processes across a wide range of scales. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. 2016; 142(6):03116005.

4. Khakimzyanov G., Dutykh D., Fedotova Z., Gusev O. Dispersive shallow water waves. Theory, modelling, and numerical methods. Lecture Notes in Geosystems Mathematics and Computing. Basel, Birkhauser; 2020: 284.

5. Witting J.M. A unified model for the evolution of nonlinear water waves. Journal of Computational Physics. 1984; 56(2):203-236.

6. Madsen P.A., Murray R., S0rensen O.R. A new form of the Boussinesq equations with improved

linear dispersion characteristics. Coastal Engineering. 1991; (15):371-388.

0

high order accuracy in dispersion and nonlinearity. Coastal Engineering. 1996; (25):95-108.

8. Madsen P.A., Schaffer H.A. Higher order Boussinesq-type equations for surface gravity waves: Derivation and analysis. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. A. 1998; (356):3123-3181.

9. Gobbi M.F., Kirby J.T., Wei G. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 2. Extension to O(kh)4. Journal of Fluid Mechanics. 2000; (405):181-210.

10. Gobbi M.F., Kirby J.T. Wave evolution over submerged sills: Tests of a high-order Boussinesq model. Coastal Engineering. 1999; (37):57-96.

11. Wei G., Kirby J.T., Grilli S.T., Subramanya R. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part I. Highly nonlinear unsteady waves. Journal of Fluid Mechanics. 1995; (294):71-92.

12. Ataie-Ashtiani B., Najafi-Jilani A. A higher-order Boussinesq-type model with moving bottom boundary: Applications to submarine landslide tsunami waves. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2007; (53):1019-1048.

13. Lynett P., Liu PL-F. A multi-layer approach to wave modeling. Proceedings of Royal Society of London. A. 2004; (460):2637-2669.

14. Zhou H., Teng M. Extended fourth-order depth-integrated model for water waves and currents generated by submarine landslides. Journal of Engineering Mechanics. 2010; 136(4):506-516.

15. Khakimzyanov G.S., Fedotova Z.I., Dutykh D. Two-dimensional model of wave hydrodynamics with high accuracy dispersion relation. Computational Technologies. 2020; 25(5): 17 II. DOI: 10.25743/ICT.2020.25.5.003. (In Russ.)

16. Shokin Yu.I., Fedotova Z.I., Khakimzyanov G.S. Hierarchy of nonlinear models of the hydrodynamics of long surface waves. Doklady Physics. 2015; 60(5):224-228.

17. Fedotova Z.I., Khakimzyanov G.S. The basic nonlinear-dispersive hydrodynamic model of long surface waves. Computational Technologies. 2014; 19(6):77-93. (In Russ.)

18. Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. A. 1972; (272):47-78.

19. Peregrine D.H. Long waves on a beach. Journal of Fluid Mechanics. 1967; (27):815-827.

20. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York: John Wiley & Sons Inc.; 1974: 636.

21. Fedotova Z.I., Khakimzyanov G.S. Characteristics of finite-difference methods for dispersive shallow water equations. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2016; 31(3):149-158.

22. Fedotova Z.I., Khakimzyanov G.S., Gusev O.I., Shokina N.Yu. History of the development and analysis of numerical methods for solving nonlinear dispersive equations of hydrodynamics. II. Two-dimensional models. Computational Technologies. 2017; 22(5):73-109. (In Russ.)

23. Khakimzyanov G., Dutykh D., Gusev O., Shokina N. Dispersive shallow water wave modelling. Part II: Numerical simulation on a globally flat space. Communications in Computational Physics. 2018; 23(l):30-92.