Підхід до визначення концентрації залишкових напружень у тілах з пружними тунельними включеннями Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. ТЕХНОЛОГ1Я ТА УСТАТКУВАННЯ Л1СОВИРОБНИЧОГО КОМПЛЕКСУ

УДК 539.3

Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук; доц. 1.Я. Горбачевський, канд. техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв

П1ДХ1Д ДО ВИЗНАЧЕННЯ КОНЦЕНТРАЦН ЗАЛИШКОВИХ НАПРУЖЕНЬ У Т1ЛАХ З ПРУЖНИМИ ТУНЕЛЬНИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ

Запропоновано пiдхiд до визначення концетрацл напружень у пружних тiлах з ту-нельними чужорiдностями, якi шддаються попереднш механiчнiй обробцi за границю пружностi, а потiм звiльняються вщ зовнiшнiх зусиль. У рамках шдходу отримано в зам-кненому виглвд розв'язки задач для тш з одшею та взаeмодiючими чужорiдностями.

Ключовi слова: пружне тiло, податливе включення, системи включень, перемь щення, напруження, математичнi розрiзи, крайова задача, коефщент iнтенсивностi нап-ружень.

Розв'язуються задачi з визначення концентрацп напружень у безмежно-му пружному тiлi з тонкими податливими тунельними включениями пiсля по-передньо!' пластично!' його деформацií.

1зольоване пружне включення елiптичного перерiзу. Розглянемо без-межне пружне тiло, що мiстить податливе цилiндричне включення елштичного попереччя, яке жорстко спаяне з матрицею (тшом). Систему декартових координат Охуг виберемо таким чином, щоб вiсь 0у збiгалася з цилшдричною вiссю включення, а поперечний його перерiз описувався б так:

Тут 1 = а с, а i с - пiвосi (а > с). Нехай тшо на безмежносп пiддаeться до рiв-номiрно розподшених зусиль розтягу або стиску (витяжка або вальцювання), що спричиняють появу пластичних деформацш, пiсля чого вiдбуваeться розван-таження тша.

Позначимо через е та е1 середнi залишковi пластичнi деформацií у мат-рицi та включенш, а через - залишковi нормальнi напруження на поверхиi спаю. Вважатимемо, що розвантаження вiдбуваeться за законом Гука, i пiсля його заюнчення вiдсутнi розриви у тш. Це дае змогу прийняти таку умову су-мiсностi деформацiй [1]:

Тут: ыЧХх) - перемiщения точок на поверхш цилiндричноí порожнини в матри-цi, що мае форму включення, до берепв яко1 прикладеш напруження сСк); и¥\х) - перемщення точок поверхнi самого включення шд дiею СР. Якщо ви-разити «Р i «2) через С> i пiдставити в умову (2), то отримаемо рiвияния для знаходження невiдомих напружень С. Змщення «^2) можна визначити на ос-новi моделi Вiнклера для тонкого пружного включення

(1)

и11)(х) + и(Р(х) = (е — е1) • А(х), х < а.

(2)

и(2)(х) = --г = _2е--к(х). (3)

' ' 2^(1 + М) 201(1 + т) к>

Тут 01 i т - модуль зсуву й коефщент Пуассона для включения.

Щоб визиачити залежиiсть и(Р через а, зиесемо граиичиi умови з по-верхнi г = ±к(х) на площину симетрií х0у, користуючись тоикiстю включения. Виаслiдок приходимо до змшано!' крайово!' задачi для твпростору г > 0:

агг(х) = а^)(х), х е [-а, а], г = 0, и®(х) = 0, х е [-а, а], г = 0,

ахг(х) = ауг(х) = 0, г = 0. (4)

З урахуванням результата роботи [2] крайова задача (4) зводиться до сингулярного жегрального рiвняння

= р(1 -т)(1 -т) а^.,, < а (5)

I жг г - х (1+м)[(1 - 2т)-т(1 - 2т)е] о < а, ( )

де: О i т - модуль зсуву й коефiцieит Пуассона матрицц е = 0\/О < 1 - вiдносна жорстшсть включення. За теоремою Ешелбi [3], напруження а{Ц] е сталими, а тому розв'язок рiвняння (5) виразиться формулою

и1 =-1 -т)(1--а®..к(х),Ы < а. (6)

(1+т)[(1 -2т)-т(1 -2т)е] о ^ 11

Якщо пiдстaвити вирази (6) i (3) у сшвввдношення (2), то можна знайти, що напруження на межi "матриця-включення" е такими:

О) = 2е(1+т1)[(1 - 2т) -т(1 - 2т) е] (е - е) (7)

о (1 - 2т)-т(1 - 2т) е+21е(1 -т)(1 -т)

Опiсля знову повертаемося до крайово!' зaдaчi математично!' теорií трь щин (4), з яко1 визначаемо напруження аг та перемщення и1}1 у тiлi й на цш пiдстaвi знаходимо [4] коефщент iитенсивностi залишкових напружень (К1Н) КI за формулою

К =--0— Цш

(1 - т) х®а-0

[ща-х). ^ ). (8)

У нашому випадку вона набуде такого вигляду:

К,=_2(1 -т)(е1- е) 01__Ра.

(1 - 2т1) - т(1 - 2т)е+ц - т)(1 - т)

Користуючись формулою

_(з) I _ 2К1

(9)

1х=±(а-0) '

знаходимо зaлишковi напруження в мкцях нaйбiльшоí концентрaцií

=_4101(1 -т1)(е1 - е)_, (Ш)

х=±(а+0) (1 - 2т) -т1(1 - 2т) е+21е(1 -т)(1 -т1)

де р - радiус кривини поперечного перерiзу у вершинi включення.

Залишковi напруження в тiлi з перiодичною системою компланар-них включень складно! конф^рацп. Нехай у пружному безмежному тш, що пiддаеться пластичному деформуванню, мктиться в площинi хОу система перь одично (з перiодом d) розташованих однакових компланарних включень, кон-фцуращя яких описуеться залежнiстю

7 = ±^(х) = ±—• 1П 2Я1

1 + 008

1 — 008

d

Тут 1 =--1п

1 2яс

V . \

П \ ^ ) >2 ( Па л . d У 1—*2 ( ях

ра \ d ) ^2 ( яа d у 1—*2 ( ях

х < а.

(11)

Вибiр конфiгурацií включень у формi (11) забез-

1 + 8т (Ра/d) 1 — 8т (яа^)

печуе сталкть напружень у включеннях, незалежно вiд змiни d . Можна пере-конатися, що при d ® ¥ поперечнi перерiзи включень стають елiпсами, а при d ® 2а - прямокутниками розмiром 2а х 2с.

Пружш змiщения и72) у центральному включенш, за аналогiею з (3), ви-ражатимуться залежнiстю

42)(х) = -

с

.(к)

• Н1 (х), |х| < а.

(12)

2^(1 + т)

Розв'язання крайово! задачi для швпростору 7 > 0 з перюдичною системою ма-тематичних розрiзiв можна, з використанням результапв [2], звести до штег-рального рiвияния типу Прандтля з Пльбертовим ядром

du(1)

1 а-.*

Я — х) ""d

dt = —-

d (1—т) (1—т)

с

(к)

(1+т)[(1—2т)—т—2те\ с

х < а.

(13)

Його розв'язок з урахуванням консервативносп напружень с(к) i того, що

матиме такий вигляд:

« (1)(х) =

I Г ^

11(1—т) (1—т)

d

•dt =--,

1

С

(к)

--Н1(х), х < а.

(1+т)[(1—2т)—т(1—2те\ с

Якщо залежностi (12) i (14) шдставити в умову сумiсностi деформацш

и(1)(х) + и(2)(х) = (е — е1) • М (х),

то знайдемо, що

(14)

С

(к)

2е(1+т1)[(1—2т 1)—т(1—2т) е

•(е — е1).

(15)

с (1—2т 1)—т(1—2т)е+21 е—т)(1—т) Внаслiдок розв'язання iнтегрального рiвияния (13), з урахуванням вира-зу (11), отримаемо змiщения «(1) в тiлi пiсля попередньо! пластично! деформацц

г

\

у

а

а

uRx) =-"m)(1 "mi)(e - ei)--hi(x), Ixl < a. (16)

w (1 -2m)-mi(i-2m)e+2ie(i-m)(i-mi) Знання змщень uZ1 дае змогу обчислити К1Н KI

Г = a - tg (pa/d), то за формулою (9) можна знайти концентращю залишкових 12 (pa/d)

K =_2(1 -mi)(ei - e)Gi4Pa__Itg(pa/d) (1?)

1 (1 -2mi)-mi(1 -2m)e + 21e(1 -m)(i-mi) \ (pa/d) ' (

Якщо для конф^урацп (ii) радаус заокруглення у вершиш рiвний

a tg (paid) ,

Pi = t ' то за формул(

12 (pa/d)

напружень у тiлi бшя включень

о®\ =-1 Gi(1 -mi)(ei - e)-. (i8)

ix=±(a+o) (i-2m1)-m1(i-2m)e+2i1e(i-m)(i-m1)

Залишковi напруження в тiлi з перюдичною системою паралельних включень складно! конф^рацп. Нехай у пружному безмежному тш, що шд-даеться механiчнiй обробщ на нескiнченностi, мiститься система перюдично (з перiодом d) розташованих вздовж осi 0z тунельних включень, площини симет-рií яких е паралельш. Для того, щоб напруження всередиш включень були нез-мшними, будемо вимагати, щоб конф^уращя включень описувалася так:

z = ±h 2(x) = ±—d— arctg 2p12

де 12 = ~p~' arctg ^sh ^ '2pa jj. При d контур (19) стае елiптичним, а при

d ® 0 - прямокутником розмiром 2a х 2c.

Пружш змiшення uZ2) у центральному включенш виражатимуться через контактнi напруження sZJ-1 на межi роздшу:

s(k)

uZ2)(x) = ■ h 2 (x), x < a. (20)

2Gi(i+mi)

Якщо використати працю [2], то крайову задачу для простору з перюдичною системою паралельних плоских математичних розрiзiв зведемо до жегрально-го ршняння щодо uZ1

idul'ch f М^Л dt =__d (1 -m) (1 -mi)__; x < a. (2i)

-a dt I d ) 2(1+mi)[(i-2mi)-mi(i-2m)e] g 11 v '

Оскшьки s((Z) = const, а j" h2(t)' cth ^2p(^ x) j - dt = -~h, то з рiвняння (2i) знайдемо невiдому функщю uZ1:

uj)(x) =-12(1 -m)(1 -mi)--s^' h2(x), \x\ < a. (22)

v' (i+mi)[(i-2—i)-mi(i-2m)e] g w 11 v '

Використовуючи умову сумiсностi деформацiй

UJXx) + uZ2)(x) = (e - ei) • h 2 (x) та залежностi (20) i (22), виразимо напруження of) так: о® _ 2e(i + mi)[(i - 2m) -mi(1 - 2m) e]

g (1 - 2mi) - mi(i - 2m) e+2^e(i - m)(i -mi)

Тодi обчислюемо перемiщення u(i) у тiлi

•(e - ei). (23)

u«(x) =-2^2e(i-m)(i-mi)(e-ei)--,x £ fl. (24)

(i - 2mi)-mi(i - 2m) e+2ie(i-m)(i-mi)

та К1Н K.

2(i - m i)(ei - e)Gi4Pa Ith (2nafd) Kj —-- I-

(i-2mi)-mi(i-2m)e + 21>e(i-m)(i-mi) V (2najd)

p2 = — • ■, вiдтак можна обчислити концентрацiю залишкових напру-

Для конфiгурацií (i9) радiус заокруглення у вершинах x = ±a дорiвнюе a th (2pa/d) ' ' (2pa/d) жень у тiлi б1ля включень

о®] =_412 Gi(i-mi)(ei- e)_. (25)

±(a+°) (i - 2mi) -mi(i - 2m) e+2i2e(i -m)(i -mi)

Висновки. Маючи формули для обчислення напружень у включениях St) та напружень о(3) у мкцях найбiльшоí концентрацií, можна за допомогою критерiíв мiцностi дослiджувати мщнкть i працездатнiсть тал, що мктять по-датливi чужорiдностi, якщо тала пiддавалися попередньому пластичному де-формуванню.

Лггература

1. Андрейкiв O.G. Залишков1 напруження в металах бшя включень шсля пластичного де-формування / О.С. Андрейкв, М.М. Стадник, 1.Я. Горбачевський // Доповщ АН УРСР. - Сер.:

A. - К., i98i. - № 2. - С. 42-44.

2. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках /

B.В. Панасюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. - К. : Вид-во "Наук. думка", i976. - 444 с.

3. Eshelby J.N. Elastic inclusion and inhomogeneities / J.N. Eshelby // Progress in Solid Mechanics. - i96i. - Vol. 2. - Pp. 88-i40.

4. Стадник М.М. Определение напряженно-деформированного состояния в теле с системой упругих туннельных включений / М.М. Стадник, И.Я. Горбачевский. - Львов : Изд-во ФМИ АН УССР. - i986. - Препринт АН УССР № ii0. - 52 с.

Стадник М.М, Горбачевский И.Я. Подход к определению концентрации остаточных напряжений в телах с упругими туннельными включениями

Предложен поход к определению концентрации напряжений в упругих телах с туннельными чужеродностями, что поддаются предварительной механической обработке за предел текучести, после чего освобождаются от внешних усилий. В пределах подхода получены в замкнутом виде решения задач для тел с изолированным или взаимодействующими включениями.

Ключевые слова: упругое тело, податливое включение, системы включений, перемещение, математические разрезы, граничная задача, коэффициент интенсивности напряжений.

Stadnyk M.M., Horbachevskyy I. Ya. Approach to the determination of the concentration of residual stresses in bodies with elastic tunnel inclusions

An approach to the determination of residual stress concentration in elastic solids with tunnel inhomogeneities that have been under pre-plastic deformation is proposed. The closed form solutions of problems for bodies with isolated and interacting inclusions were obtained.

Keywords: elastic body, non-rigid inclusion, systems of inclusions, displacements, mathematical slits, boundary problem, stress intensity factors.

УДК 535.343.2 Проф. З.П. Чорнш, д-р фЬз.-мат. наук; ст. викл. 1.Б. Шрко;

доц. В.М. Салапак, канд. фю.-мат. наук; асист. М.В. Дячук; доц. О.Р. Онуфрiв, канд. фЬ.-мат. наук - НЛТУ Украгни, м. Львiв

К1НЕТИКА НАРОСТАННЯ ЦЕНТР1В ЗАБАРВЛЕННЯ В ЮННИХ КРИСТАЛАХ. IV. F-ЦЕНТРИ В КРИСТАЛАХ CAF2-O2-

Дослщжено радiацшнi параметри крист^в CaF2-O2", опромшених юшзуючою ра-дiацiею за Т=350 о К. Розраховано кшетику наростання (F-O^-комплементарних пар центрш забарвлення та ïx граничну концентращю у кристалл Показано, що гранична концентрация F-центрiв в 25-30 разш вища поршняно з граничною концентращею FA-центрш i в 4 рази вища за граничну концентрацию МА+-центрш.

Ключовi слова: кристали, центри забарвлення, радiацiя.

Вступ. Радiацiйнi властивостi кристалiв флюорилв, легованих киснем, iнтенсивно дослiджували протягом останнх 50 pokíb [1-5]. Оскiльки структура генерованих радiацieю центрiв забарвлення залежить вiд температури, за яко1 опромшюеться кристал, такi дослвдження здiйснювали за низьких температур або за кшнатно!' температури. У цш роботi дослщження зосередженi на специфь цi переб^у радiацiйних процесiв за температур, вищих за кшнатну температуру.

1. Радiацiйнi процеси в кристалах CaF2-O2-

Кисень входить у гратку кристала у вигляда О2--iонiв замiщення [5, 6, 7]. Надлишковий негативний заряд домшкового iона компенсуе позитивно заря-джена вакансия ¡она фтору, яка утворюе з юном кнсню домшково-вакаисшний диполь (ДВД) типу © Ш, де © - юн кисню, g. вакаиск фтору. За Т < 150 К

ДВД нерухомi в гратщ кристала флюорита [6], в обласп температур Т=150-300 К iснуе ротащя ДВД [6], а за T > 300 K - 1х термодисощащя:

Змiна структури дорадiацiйних дефектав обумовлюе змiну в структурi цен^в забарвлення в процесi нагрiву кристала:

• за T < 150 K радiацiйнi процеси описуються таким píbh^hh^m [7]:

• в обласи температур Т=150-300 К утворення цен^в забарвлення npoTÍKae за

схемою [8]: