CC BY
2
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 519.1
DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-47-69
Песочные паттерны на регулярном графе с вершинами степени восемь1
П. В. Гранин, Н. С. Калинин, А. С. Саакян
1
Гранин Павел Витальевич — Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: [email protected],
Калинин Никита Сергеевич — Гуандун-Технион (Шаньтоу, Китай); Технион (г. Хайфа, Израиль).
e-mail: [email protected]
Саакян Артур Суренович — Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург). e-mail: [email protected],
Система находится в критическом состоянии, если даже небольшое возмущение может привести к глобальным изменениям. Таковы, например, любые фазовые переходы: в воде, охлаждённой до нуля градусов, один центр кристаллизации быстро разрастается до большого кластера. Впервые концепцию самоорганизующейся критичности предложили Бэк, Тэнг и Вайзенфелд в 1987 году. В своей работе они описали систему, ставшую классической моделью самоорганизующейся критичности: на квадратной сетке в некоторых узлах лежат песчинки, суммарно конечное число. Если в одном из узлов лежит более трёх песчинок, происходит обвал: четыре песчинки из этого узла перераспределяется на соседние узлы, это может вызвать обвалы в них, потом в их соседях... Обвалы будут лавинообразно происходить до тех пор, пока система вновь не вернется в равновесное состояние, этот процесс называется релаксацией.
В настоящей статье представлены результаты экспериментального и теоретического исследования следующей задачи. Рассмотрим регулярный граф, вершинами которого являются точки плоскости, обе координаты которых целые, и каждая вершина соединена с 8 ближайшими вершинами. В точку (0,0) положим большое числе песчинок и произведём релаксацию. Результат релаксации имеет очевидную фрактальную структуру, видимую в компьютерных экспериментах, и части этой структуры могут быть описаны.
Мы классифицируем некоторые возникающие паттерны и предлагаем гипотезы о их устройстве (опираясь на похожие результаты для других регулярных графов). Доказаны оценки на среднее число песка в появляющихся паттернах.
Ключевые слова: песочные модели, экспериментальная математика.
Библиография: 15 названий.
Для цитирования:
Гранин, П. В., Калинин, Н. С., Саакян, А. С. Песочные паттерны на регулярном графе с вершинами степени восемь // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 47-69.
Аннотация
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 20-71-00007).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 519.1 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-47-69
Sandpile patterns on a regular graph of degree eight
P. V. Granin, N. S. Kalinin, A. S. Saakvan
Granin Pavel Vital'evich — Saint Petersburg State University (St. Petersburg). e-mail: [email protected],
Kalinin Nikita Sergeevich — Guangdong Technion Israel Institute of Technology (Shantou, China); Technion-Israel Institute of Technology (Haifa, Israel). e-mail: [email protected]
Saakyan Artur Surenovich — Saint Petersburg State University (St. Petersburg). e-mail: [email protected],
Abstract
The system is in critical condition if even a small disturbance can lead to global changes. These are, for example, any phase transitions: in water cooled to zero degrees, one crystallization center rapidly grows to a large cluster. The concept of self-organizing criticality was first proposed by Back, Tang and Weisenfeld in 1987. In their work, they described a system that has become a classic model of self-organizing criticality: on a square grid, in some nodes, there are grains of sand, a finite number in total. If there are more than three grains of sand in one of the nodes, a toppling occurs: four grains of sand from this node are redistributed to neighboring nodes, this can cause topplings in them, then in their neighbors... Collapses will occur in an avalanche-like manner until the system returns to an equilibrium state, this process is called relaxation.
This article presents the results of an experimental and theoretical study of the following problem. Consider a regular graph whose vertices are points in the plane, both coordinates of which are integers, and each vertex is connected to the 8 nearest vertices. Put a large number of grains of sand at the point (0,0) and relax. The relaxation result has an obvious fractal structure, visible in computer experiments, and parts of this structure can be described.
We classify some emerging patterns and propose hypotheses about their structure (based on similar results for other regular graphs). Estimates for the average number of sand in the emerging patterns are proved.
Keywords: sandpile models, experimental math.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
Granin, P. V., Kalinin, N. S., Saakyan, A. S. 2024. "Sandpile patterns on a regular graph of degree eight" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 47-69.
1. Общие определения, мотивация и план статьи
Работа посвящена изучению песочной модели на некотором регулярном графе. Приведем основные определения.
Определение 1. Состоянием песочной модели на графе С = (У,Е) будем называть функцию ф: V ^ Ъ>о. Мы интерпретируем ф(х) как количество песчинок в вершине х € V.
Если для х € V верно ф{х) > deg(ж) (число песчинок в вершине не менее степени вершины), то мм называем эту вершину нестабильной и разрешаем сделать в ней обвал. В результате такого обвала получается новое состояние ф' по следующему правилу:
Ф'(У) = Ф(у) - (1е^(у), если у = х, ф'(у) = ф(у) + 1, если (х, у) € Е,
ф' (у) = ф(у), иначе.
При обвале происходит перераспределение песка в графе — из нестабильной вершины в каждого соседа уходит по одной песчинке.
Состояние ф называется стабильным, если все вершины в графе являются стабильными, то есть для любой вершины х € V выполнено ф(х) < deg(ж).
Релаксацией называется выполнение обвалов в вершинах, пока эти обвалы возможны. Результат релаксации состояния ф будем обозначать ф°. Если существует конечная релаксация (а для состояний с конечным суммарным числом песчинок на связном бесконечном графе это всегда так), то состояние ф называется стабилизируемым или релаксируемым и определена функция числа обвалов, или одометр, и: V ^ для каждой вер шины х равная количеству обвалов в ж во время релаксации. Несложно показать [3], что число обвалов в вершине не зависит от порядка выполнения обвалов в вершинах. Из этого следует, что результат релаксации ф° не зависит от того, в каком порядке мы выполняли обвалы.
Иногда рассматривают песочные модели со «стоками» — выделенными вершинами графа, при попадании в которые песок «исчезает», или, что эквивалентно, в стоках запрещено делать обвалы. Наличие подобных вершин существенно для конечных графов, поскольку иначе процесс релаксации может не закончиться. Например, если суммарное количество песчинок во всех вершинах больше суммарной степени всех вершин. Нашим основным объектом изучения будет песочная модель на связном бесконечном графе (но с конечным суммарным числом песчинок), стоков в нашей модели не будет.
Определение 2. Для функции f: V ^ Z на графе О, определим, её дискретный лапласиан, следующим образом,:
Ас/(х)= £ (/(у) - /(х)) = £ /(у) - deg(x) • /(х).
у\(у,х)еЕ у\(у,х)еЕ
Обычно будет понятно о каком графе идёт речь, поэтому нижний индекс лапласиана мм будем опускать.
Если состояние ц стабилизируемо, то результат его релаксации г]° и одометр и любой релаксации связаны тождеством
Ух € V, 0 < г](х) + Аи(х) = 7]°(х) < deg(ж).
Для доказательства тождества достаточно для каждой вершины х рассмотреть количество прибывших в неё песчинок во время релаксации, и количество убывших из неё песчинок.
Предложение 1 (Принцип наименьшего действия, [4]). Если ц: V ^ Ъ>о и и>: V ^ ^>о удовлетворяют условию г)(х) + А-ш(х) < deg(x) для всяк ого х € V, тогда состояние ц стабилизируемо, и его одометр и удовлетворяет условию и < ад.
Рассмотрим граф — регулярный граф на вершинах Z2 степени 8, в котором точки (Ж1,Ж2) И (уьу2) соединены ребром тогда и только тогда, когда |ж1 — у ^ < 1 и |ж2 — у21 < 1.
Известно [16], что если в начало координат на пустой плоскости насыпать п песчинок и провести релаксацию, то полученная картинка растёт со скоростью у/п. Поэтому разумно сжать полученное состояние в п1/2 раз, и уже потом переходить к пределу.
Определение 3. Определим состояние : Z2 ^ Z>0 следующим образом:
1п(х1, х2) = п, если х1 = х2 = 0, 7га(ж1,ж2)=0, иначе.
Обозначим за вп результат, релаксации этого сост,ояния, то есть вп = 7°. Нашей основной мотивацией является описание вп (Рис. 1). Определим функцию : М2 ^ Z>0
8п(х) = 8п([п1/2х}),
где [х] означает ближайшую целую точку решётки. Если ближайших точек несколько, можно выбрать любую из них, и, поскольку множество
{х | п1/2х имеет несколько ближайших точек решётки}
имеет меру 0 на плоскости М2, то наш выбор не повлияет на слабую* сходимость, о которой далее пойдёт, речь.
Известно, что у ~8п есть предел в *-слабой топологии. Первые экспериментальные результаты про этот предел были получены в [12].
План статьи. Наша работа посвящена изучению паттернов на Рис. 1. В следующей секции мы обсудим известные результаты [9, 13, 10] для аналогичной картинки на регулярном графе степени 4 на Мы переносим методы этих статей на наш случай. Мы определяем множество конусов Гв, которое предположительно кодирует устройство паттернов, изучаем его экспериментально и теоретически. В конце статьи мы приводим гипотезы о устройстве Гв, которые мы наблюдаем на экспериментальных данных.
На Рис. 2 приведены области, замощённые повторяющимися паттернами, для каждой области - свой паттерн (детали ниже). Каждой области соответствует вершина конуса в Рис. 6 и паттерны для некоторых вершин указаны в Таблице 13.
Рис. 1: Результат релаксации состояния с 107 песчинок в начале координат. Оттенок серого отражает количество песка в вершине. Белому и чёрному цвету сопоставлено 0 и 7 песчинок
соответственно.
Рис. 2: Результат релаксации состояния с 107 песчинок в начале координат на Сэ с отмеченными областями с паттернами из Таблицы 13.
2. Существующие результаты для стандартной решётки
В статьях [9, 13, 10] рассматривается граф С4 = ,Е), вершины (х\,х2), (у\,у2) в нём соединены ребром тогда и только тогда, когда |жх — у\ | + |ж2 — у21 = 1.
Теорема 1. [13] В обозначениях предыдущей главы вп сходится слабо* к некоторой
Е (М2) пр и п ^ ж. Более того, выполняются следующие у слов ия: носитель лежит внутри некоторого круга, /М2 ¿х = 10 < < 3.
Мы наблюдаем, что аналогичный результат верен для графа и строго докажем это в другой статье (доказательство параллельно изложенному в [13]). В этой статье мы сосредоточимся на других аспектах задачи: частично опишем фрактальную структуру предела.
Предел для имеет фрактальную структуру, которая была хорошо описана. Для этого рассматривалось множество Г4 стабилизируемых вещественных симметричных матриц размера 2 х 2.
Определение 4. Матрица А называется стабилизируемой, если существует це-лозначная функция и: Z2 ^ Z такая, что
и(х) > 1 х* Ах, Аи(х) < 3 Ух € %2,
где А — дискретный лапласиан функции и на, графе С4.
Если задавать симметричные матрицы 2 х 2 тремя параметрами следующим образом:
т,ь,с) = 1 («с - а)
то множество Г4 = {(а,Ь,с) | М4(а,Ь,с) € Г4} является объединением замкнутых конусов над ковром Аполлония, см. Рис. 3.
Рис. 3: Граница множества Г^. Оттенок серого в точке (а, Ь) € [0, 4] х [0, 4] отражает наибольшее с € [2, 3] такое, что (а, Ь, с) € Г^. Белый и чёрный цвет соответствуют значениям с = 2 и с = 3 соответственно.
Обозначим за Р4 множество троек чисел (а, Ь, с), соответствующих пикам конусов. Каждой тройке (а,Ъ, с) € Р4 соответствует область предела и на этой области предел будет выглядеть как периодичный паттерн, определяемый функцией вида А\2хгМ4(а,Ь, с)х + + Ь(адс)ж], где Ьа>ь>сх — некоторая линейная функция.
Классификация паттернов на С4 позволяет описать структуру единицы песочной группы на подходящих эллипсах [11]. При этом граница носителя 8до сих пор никак не описана, но есть оценки для похожих песочных моделей [2, 1]. Интересна связь песочных моделей с гармоническими функциями со значениями в окружности [15, 8], а также с тропическими кривыми [5, 7, 6].
3. Множество Г8 и его граница для регулярного графа С8
В дальнейшем мы рассматриваем только граф С$,.
2 х 2
о = ъ С Г Л) •
Константа 1/6 выбрана таким образом, чтобы получить удобную формулировку Теоремы
2.
Мы построим аналогичное множество Г стабилизируемых матриц и предъявим аналогичные гипотезы.
Определение 5. Будем называть матрицу А стабилизируемой, если существует функция и: Z2 ^ Ъ такая, что
и(х) > 1хгАх, Аи(х) < 7 Ух € Ъ2. (1)
Здесь и далее под А подразумевается Ас8, определённый в Разделе 1.
Пусть Г8 — множество вещественных симметричных стабилизируемых матриц 2 х 2.
Определение 6. Пусть д: Ъ2 ^ Ж, тогда за \д] будем обозначать функцию на Ъ2, определённую следующим образом
\д] (Х1, х2) = \д(Х1,Х2)] ,
\\
Лемма 1. А € Г8 тогда и только тогда, когда состояние А \дл] стабилизируем,о, где
дА(х) = ^х*Ах.
Доказательство. Пусть А € Г^, тогда существует и, удовлетворяющая Определению 5. Подставим в Предложение 1 ц = А \ дХ\,и1 = и — \ дХ\ , и сразу получим, что ц стабилизируемое состояние.
Пусть состояние А \ дХ\ стабилизируемо, пусть V — его одометр. Тогда функция и = \ ца\ подходит под условие Определения 5, а значит А € Г^ □
Определение 7. Рассмотрим порядок на матрицах: А < В тогда и только тогда, когда хьАх < хьВх для любого х.
Предложение 2. Если В € Г8 и А < В, то А € Г8.
Доказательство. В € Г значит состояние А \дв] стабилизируемо, то есть существует и: Ъ2 ^ Ъ>о такая, что 0 < А \дв] + Аи < 8. Но
А \дв] + Аи = А (\дв] +и) = А \дА] + А(и + \дв] — \дА]),
при этом \дв] — \дА] > 0, так как В > А, а значит состояние А \дХ\ релаксируемо по Пред-□
Определение 8. Определим множество Г8 = {(а, Ь, с) | М8(а, Ь, с) € Г8} с М3.
Предложение 3. Если ( а,Ь, с) € то для любых ф € [0, 2тт],г > 0 выполнено (а + геов(ф), Ь + гв'т(ф),с — г) € а также (а, Ь,с — г) € Г8-
Первое условие говорит о том, чт,о если (а,Ь, с) лежит в Г'8, то в Г8 лежит и граница конуса с вертикальной осью, углом ж/2 и вершиной (а, Ь, с). Второе условие гарантирует то, что вместе с точкой (а, Ь, с) лежит не только граница, но и весь конус.
Доказательство. Для начала вспомним результат Предложения 2, так что достаточно доказать, что для всякого х = (X\,X2) £ Z2 верно
tiс + а b \ tfс —г + а + rcos(<) b + rsin(<)
X I т I X X
(с + а b \ t(с —г + а + rcos(() 6 + rsin(() \ \ b с —а) > у b + rsin(ф) с —г —а — rcos(()J '
это равносильно
Заметить, что
b с — a J у 6 + rsin(() с —г —а — rcos(()/
x\(r — rcos(()) — 2xix2(r sin(()) + x2(г + rcos(()) > 0.
(^xi^l — cos(() ± x2л/l + cos (j = xf(1 — cos(()) ± 2xix2l sin(()| + x2(1 + cos(())'
а значит мы получили нужное неравенство.
Разберёмся со вторым утверждением, для него нам необходимо показать
t(с + а b \ t(с —г + а b \ x x > x ix,
У b с — а J у b с —г —а)
а это равносильно условию
x\r + > 0.
□
Предложение 4. Граница множества Г8 непрерывна. Доказательство. Для начала отметим, что непусто. Это так, поскольку (0,0,0) е Г,
(0,0,60) / г'8-
Пусть (ао, bo, Со) е Докажем, что множество
V(ao,bo,co) = {(а, ь, с) | с > Со, (а - ао)2 + (b - Ьо)2 < (с - со)2}
не пересекается с Г^. Множество V(a0,b0,c0) — эт0 открытый конус с углом п/2, направленный вверх по оси z, с вершиной (ао, Ьо, со). Пусть это те так и существует (х, у, z) Е V(a0,b0,c0) ^Г^. Тогда, по Предложению 3, во множестве Г8 цодиКОМ ДОЖИТ IKOHV'C
Л(х,у,г) = {( а, Ь, с) | с < z, (а - х)2 + (Ь - у)2 < (с - z)2}.
Но из (х,у, z) Е V(a0,b0,c0) следует, что (ао, Ьо, со) Е int Г^. В таком случае точка (ао, Ьо, со) не могла лежать на границе Г^, пришли к противоречию.
По аналогичным соображениям из условия (ао, Ьо, Со) е можно вывести, что открытый конус
Л(ао,Ьо,со) = {(а, ь, с) I с< Со, (а - ао)2 + (Ь - Ьо)2 < (с - со)2}
принадлежит множеству Г^.
Из этих двух фактов мы получаем, что для всяких (х, у) Е R2 существуют Zo,Zl Е R такие, что V z < Za (х,у, z) Е Г^ Vz > Z\ (х,у, z) Е ^.Определим го = sup{z | (х,у, z) Е Г^}. Попятно, что (х,у, го) Е более того, не существует z\ = го такого, что (х,у, z\) Е Пусть существует, пусть, не умаляя общности, zo < Z\, тогда множеству Tg принадлежит открытый конус
Л(х,у,г1) = {( а, Ь, с) i с < Z1, (а - х)2 + (Ь - у)2 < (с - z^2}.
Но (x,y,Zo) £ у с int Г§, приищи к противоречию с тем, что (x,y,Zo) £ 9Tg.
Таким образом мы показали, что У(х,у) £ М2 существует единственный z £ М такой, что (x,y,z) £ Также мы поняли, что если (x,y,z) £ 9Г§, то Л(х>у>г) п = 0 и
V(x,y,z) п9Г8 = 0, где и V(x,y,z) ~ открытые конусы с вершиной (x,y,z), направлен-
ные вниз и вверх по оси z соответственно.
Из этого следует, что граница множества Г8 непрерывна. □
Значит, для определения его границы достаточно проверять на принадлежность множеству Г8 только тройки рациональных чисел. Или, что равносильно, для определения структуры множества Ts достаточно проверять на принадлежность ему лишь рациональных матриц.
Алгоритм для определения принадлежности множеству Г8.
Определение 9. Будем называть функцию s на Z2 п-периодической, если s(x+у) = s(x) для всяких х £ Z2,y £ nZ2.
Лемма 2. Если коэффициенты А лежат в ^Z для п £ Z>0, то состояние А \qa\ 2п-периодическое.
Доказательство. Если у £ 2nZ2, тогда Ау £ 2Z2, так что
Теперь 2п-периодичность А \ца \ следует из 2п-периодичности Д( \ца \ — Яа) и того, что Адд — константа (это же лапласиан, хоть и дискретный, квадратичной функции). □
Лемма 3. Пусть и, V: Z2 ^ ^^ функцию -ш(ж) = шт{«(ж), у(х)}. Если для
некоторого х имеем -ш(ж) = и(х), то А-ш(ж) < Аи(х).
Аналогично, минимум из счётного множества дискретных супергармонических функций (если он поточечно существует) - тоже супергармоническая функция.
Лемма 4. п-пермо^мческое состояние ^: Z2 ^ Z>0 стабилизируемо тогда и только тогда, когда оно стабилизируемо на торе Тп = Z2/nZ2.
Доказательство. Пусть ^стабилизируемо на торе Тп с одометр ом ^продолжим V до п-периодической функции V на Z2 естественным образом. Легко видеть, что тогда ц + ау < 7, а значит ц стабилизируемо на Z2 по Предложению 1.
Теперь пусть ^стабилизируем о на Z2 с одометр ом -ш: Z2 ^ Z>o • Определим функцию
Z2 ^ Z>o следующим образом
Функция Ш будет п-периодической, а также будет удовлетворять условию ц + Аад < 7, это
следует из предыдущей леммы. Обозначим го спуск функции Ш на Тп, го удовлетворяет
ц + Атп "й < 7. Следовательно, по Предложению 1, состояние ц будет стабилизируемо на торе
Т □ ±п. □
Теперь мы знаем, что для того, чтобы посмотреть на структуру множества Гв, можно определять принадлежность ему только рациональных матриц. А это, как мы показали выше, алгоритмизуемая задача, так что мы написали программу, которая с некоторой точностью вычислила границу Г, проверяя для рациональных а, Ь, с релаксируемость соответствующего состояния на торе.
Из этого следует, что функция \qX\ — QA будет 2п-периодической. Теперь запишем
А \qA] = А(\qA] — qA) + AqÄ.
w(x) = шт{-ш(ж + у) | у £ nZ2}.
4. Периодичность Г8, оценка на среднее количество песка для стабилизируемых матриц
Теорема 2. Пусть А = М8(а,Ь, с), тогда среднее количество песка, в состоянии А
Доказательство. Для доказательства мы будем считать среднее количества песка в подграфе на вершинах Уп = [-п, п] х [-п, п] и устремим п к бесконечности. Обозначим общее количество песка на Уп за Бп.
Бп = £ А \дА\ (х) =
ХвУп ХвУп
\дл\ (у) - 8 \дл\ (х) .
Видно, что в этой сумме почти все члены сокращаются, остаются только значения около границы множества Уп. Для краткости обозначим /(а, Ь) = \дА\ (а, Ь). Таким образом
Яп = 3 ^ (/(-п - 1, 1) + /(п + 1, + №, -п - 1) + /(1 ,п + 1)) +
ге[-п+1,п-1]
+ 2 (/(-п - 1,п) + /(-п, п + 1) + /(п, п + 1) + /(п + 1, п)+ + /(п + 1, -п) + /(п, -п - 1) + ¡(-п, -п - 1) + ¡(-п - 1, -п)) + + (/(-п - 1, -п - 1) + /(—п - 1,п + 1) + ¡(п + 1, -п - 1) + ¡(п + 1,п + 1))- з £ (/(г,п) + №, -п) + /(п,г) + /(-п,г))-ге[-п+1,п-1]
- 5 (¡(п, п) + ¡(-п, п) + ¡(п, -п) + ¡(-п, -п)).
Вспомним, что нас интересует (2п+1)2 • Для начала отметим, что в выражении для Бп
п \ А\ А
предел не поменяется.
Также отметим, что цА(а, Ь) отличается от ца(а± 1, Ь± 1) лишь на линейный член по п. Так что если мы из всех членов в выражении для Бп, не находящихся под знаками суммирования, уберём ±1, то предел опять же не изменится. И в таком случае произойдёт много сокращений.
После этих умозаключений нас уже интересует предел (2п+1)2 > где
Б'п = 3 ^ (ча(-п - 1, г)+ яа(п + 1, Ь) + дА(Ь, -п - 1) + ^ ,п + 1)-
ге[-п+1,п-1]
- А( , п) - А( , - п) - А( п, ) - А(- п, ) .
А
дА(-п - 1, ^ - дА(-п, ¿) = 1 (( с + а)(-п - 1)2 + 2Ь(-п - 1)1 + (с - а)I2) -- ^ ((с + а)(-п)2 + 2Ъ(-п)г + (с -а) г2) = ^ ((с + а)(2п + 1) - 2Ы), дА(п + 1, í ) - дА(п, ^ = ^ {(с + а)(2п + 1) + 2Ы), , -п - 1) - ча(1 , -п) = 12 (( С - а)(2п + 1) - 2ы), , п + 1) - ча(1 , п) = 12 {(с - а)(2п + 1) + 2ы).
Теперь собираем это всё вместе и получаем
^ = 3 ^ 6 ((с + а)(2п + 1) + (с — а)(2п + 1)) = с(2п — 1)(2п + 1).
ге[-п+1,п-1]
Следовательно (2^+1)2 = с■ □
Следствие 1. Пусть а,Ь,с е 0>. Если с> 7, то М8(а, Ь, с) е Г8. Если с < 4, то М8(а, Ь, с) е Г8.
Доказательство. По Лемме 1 мы знаем, что нам надо проверить стабилизируемость состояния \<^1. При этом, так как А = Мв(а,Ь, с), и эти коэффициенты рациональные, то мы можем рассматривать стабилизируемость не на всём множестве Z2, а только на торе подхо-
степенью всех вершин 8.
Теперь первое утверждение совсем тривиально (при релаксации на торе общее число песка не меняется, значит, всегда будут вершины с более чем семью песчинками), необходимо разобраться со вторым. И он верен, так как если в состоянии на конечном связном графе песчинок
меньше, чем рёбер, то это состояние стабилизируемо. Этот факт доказан в диссертации [14]. □
Гипотеза. Результаты компьютерных вычислений указывают на более сильное свойство: если с > 6, то М8(а, Ь, с) е Г8-
Лемма 5. Ах2 = Ау2 = 6, Аху = Ах = Ау = А1 = 0.
Пусть к\,к2 е Z, А = М8(а, Ь, с), А = М8(а + 12кх,Ъ + 6к2, с). Тогда А \ = А \ Ча' 1 •
Г8
(а, Ь) е [0,12] х [0,6].
Доказательство.
А \яа> 1 = А А
А
— ((с + а + 12кг)х2 + 2(6 + 6к2)ху + (с — а — 12кх) у2) 1{(с + а)х2 + 2Ьху + (с — а) у2^ + (кгх2 + к2ху — кгу2) ([ ± („. .),- + 2+ ,.— .),')] + (.,> + к„, — к,-
А \дА\ +А(кгх2 + к2ху — кгу2^ = А \дА\ + 6кх +0 ■ к2 — 6к\ = А \дА\
□
5. Примеры паттернов, соответствующих видимым вершинам конусов в Г8
Мы провели следующие вычисления на компьютере: взяли все пары рациональных чисел (а, Ь) е [0,12] х [0,6] со знаменателем 256, и для каждой такой пары посчитали 8ир(с | Мв(а,Ь, с) е Гв} с точностью до 1/256. После этого, пользуясь периодичностью, эти данные продолжили на квадрат [0,12] х [0,12] по Предложению 5. Таким образом мы получили результат, отражённый на Рис. 4.
Рис. 4: Граница множества Гд. Оттенок серого в точке (а,Ь) € [0,12] х [0,12] отражает наибольшее с € [4, 6] такое, что (а, Ь, с) € Гд Белый и чёрный цвет соответствуют значениям с = 4 и с = 6 соответственно.
Предложение 6. Если с> 6 + уд то для вся ких а,Ь € М выполне но (а, Ь, с) € Г§.
Доказательство. Произведённые вычисления показали, что для любых п,т € ^ выполнено 6 +__^ / г'
V 256 , 256 , 6 + 256/ € Г 8-
Допустим, что существует тройка (а,Ь,с) такая, что с > 6 + 128 и (а,Ь,с) € Г8- Возьмём п = [256 ■ а], т = [256 ■ Ь]. Обозначим Б = ((а, Ь) , (256, 216)) • Оденим & сверху:
Б <
п
а--
256
+
т
о--
256
= 2^ (1256 ■ а — п1 + 1256 ■ Ь — ш|) < ^.
По Предложению 3 из (а, Ь, с) € Г8 следует, что , 216, с — € Гд. При этом с — Б > 6 + 256) пришли к противоречию с имеющимися результатами вычислений. □
В ситуации с С 4 большую роль играли локальные максимумы на аналогичной картинке, они отвечали некоторым паттернам на областях в искомом пределе.
Также компьютер вычислил результат релаксации состояния, в котором в начале координат находится 107 песчинок, а в остальных вершинах песчинок нет, результат отражён на Рис. 1.
Из вычислений мы видим, какие тройки (а, Ь, с) будут точками локального максиму-ма(относительно с), а также какой паттерн будет им соответствовать.
Далее для обозначения вершины с 0 песчинок будем использовать □ , для 1 \ для 2 для 3 Ш, для 4 для 5 для 6 1Ш, для 7 И.
Составим таблицу из вершин и соответствующим им паттернам, см. Рис 13.
Теперь в этих паттернах отметим границу, то есть путь по вершинам с 6 или 7 песчинками. Такие пути разделяют область на повторяющиеся паттерны.
Рис. 5: Таблица 1
Мы взяли результат релаксации состояния с 107 песчинок в начале координат и отметили на нём области с паттернами из Таблицы 13, результат отражён на Рис. 2.
Заметим, что паттерны 13, 14, 15, 16 отличаются поворотом и зеркальной симметрией, аналогичным свойством обладают паттерны 9, 10, 11, 12. Рис. 6 даёт этому некоторое объяснение. Совпадают пары паттернов 4, 5 и 6, 7 (но разнятся между собой, хотя можно было бы предположить, что из симметрии Рис.6 они должны совпадать).
6. Гипотезы, основанные на экспериментальных фактах
По имеющемуся приближению множества Г мы построили трёхмерную модель этого множества. И это дало ощутимый толчок в постановке гипотез о фрактальной структуре этого множества. Эта модель, вместе с номерами конусов, соответствующими таблице выше, приведена на Рис. 6.
Ранее мы показали, что вместе с точкой (а, Ь, с) множество Г^ будет содержать и целый конус с вершиной в этой точке. Первое и одно из самых важный предположений (оно подтвер-
ждается компьютерными вычислениями, а также было строго доказано для ^4) — множество Г8 является объединением счётного числа конусов, и вершины этих конусов имеют некоторую фрактальную структуру, которую мы стремимся описать.
1 12
13 10 г 3 2
2 б 4 11
9 15
16 шш 3
Рис. 6: Зс1-модель множества Г§, номера соответствуют Таблице 13. Угол при вершинах всех конусов равен прямому, конус является поверхностью вращения вокруг вертикальной прямой. На изображении углы в вершинах конусов кажутся больше прямого, потому что мы смотрим "сверху".
По Рис. 4 и Рис. 6 видно, что «граница» конусов 4, 5, 6, 7 очень похожа на эллипс. В предположении, что это эллипс, мы сможем написать его уравнение. Сделаем это для конуса №7.
Гипотеза (Граница конуса №7).
ПредположилI, что граница конуса №7 эллипс, полученный при пересечении конуса с вершиной (6.75, 3, 5.25) и какой-то гиперплоскости. Мы можем понять, что это за гиперплоскость, поскольку мы можем, точно посчитать пересечения конусов 7 и 8 (зная, координаты, их вершин и то, что угол, при вершине конуса, прямой), а также, конусов 7 и 2, это точки (6.25, 3, 4.75) и (7.5, 3, 4, 5) соответственно. А эт,и две точки проходят через гиперплоскость х = 30 — 5г. Возникает, предположение, что в уравнение гиперплоскости не входит, у.
Таки,и образом, искомый эллипс это пересечение конуса, и гиперплоскости, то есть решение системы, уравнений:
(г — 5.25)2 = (х — 6.75)2 + (у — 3)2 х = 30 — 5^
Этот эллипс мы отметили на Рис. 7.
Аналогичным образом можно получить уравнение на границу конусов 4, 5, 6, мы ими в дальнейшем будем пользоваться, но выписывать не будем, иначе это будет слишком громоздко.
Теперь обратим внимание на область между конусами 5, 7, 8. Крупнее и с дополнительными обозначениями она изображена на Рис. 8.
На Рис. 8 уже отчётливо видна последовательность конусов, сходящихся к точке пересечения конусов 7 и 8 (точнее, к точке пересечения их границ-эллипсов), а именно к (45/7, 24/7, 33/7). Опишем, что это за последовательность. Первое предположение — все вершины конусов из этой последовательности лежат в гиперплоскости х — 3 = у.
Следующее предположение вытекает из некоторого построения. В оригинальных статьях (про 04) вершинам (а, Ь, с) сопоставлялись окружности на плоскости с центром (а, Ь) и радиусом с — 2, таким образом и получался ковёр Аполлония. Мы будем сопоставлять нашим
вершинам (а, Ь, с) окружности с центром (а, Ь) и радиусом с — 4. Иначе говоря, посмотрим па пересечение конусов с плоскостью с = 4.
Рис. 7: Области из Рис. 6 и Рис. 4 с отмеченным эллипсом границей конуса №7
Рис. 8: Область между конусами 5, 7, 8
На Рисунке 9 изображены такие окружности для всех конусов из Таблицы 13, а также окружности для некоторых конусов, находящихся между конусами номер 1, 2, 3, 12. На рисунке отмечены точки А, В, С, И, их координаты равны (6, 4), (7, 3), (6, 2), (5, 3) соответственно. Окружности, соответствующие конусам №1 имеют черный цвет и проходят через точки А, С. Окружности, соответствующие конусам №2 — синий цвет и проходят через В, И. Окружности, соответствующие конусам №3 фиолетовый цвет, они находятся в углах первой области. Окружности для №4, №5 — оранжевый цвет, проходят через В, И. Окружности для №6, №7 — зелёный цвет, проходят через А, С. Окружность для №8 проходит через все четыре точки. Окружности для №9, №10, №11, №12 красный цвет, проходят через пары точек (С, И), (А, И), (С, В), (А, В) соответственно. Окружности для №13, №14, №15, №16 имеют светло-зелёный цвет.
Обозначим за С(х,у)(г) окружность с центром (х, у) и радиусом г. Пусть Е5 = С(6,з.75)(1.25), Е7 = С(6.75,3)(1.25), Е8 = С(6 3)(1) — это окружности, сопоставленные вершинам конусов 5, 7, 8.
Рис. 9: Окружности, получаемые пересечением некоторых конусов плоскостью с = 4, на областях [3, 9] х [0, 6] и [7.4, 9] х [4.2,5.8] соответственно.
Гипотеза. Пусть искомая последовательность вершин конусов — это {(а^, с^Можно считать, что (а0 ,Ъ0 ,с0) = (6, 3, 5), это вершина конуса 8.
Пока что мы предположили, что а^ — 3 = Ь^, и что (а^, ^ ) ^ (а^, Ь^ ) = (45/7, 24/7, 33/7). Теперь обозначим Р^ = С(а.) (с^ — 4), Рж = С(аж) (с^> — 4). Отметим, что Е8 = Р0.
Окружности Е5 и Е8 пересекаются в точке (7, 3) (конечно есть ещё одна точка пересечения, она скорее относится к фрактальной структуре участка между конусами 5, 6, 10, и сейчас мы ей заниматься не будем). Окружности Е7 и Е8 пересекаются в точке (6,4). И компьютерные вычисления позволяют нам предположить, что для всякого $ £ N окружности Е5 и Р^ пересекаются в точке (7, 3), а окружности Е7 и Р^ — в точке (6, 4). На Рис. 10 изображены эти окружности.
Также в поддержку этого предположения выступает то, что окружность Р^ в некотором смысле оказывается предельной для последовательности {Р^}^Эта окружность тоже проходит через точки (7, 3), (6,4). Более то го, Р^ касает ся Е5 и Е7 в этих точках, но это не удивительно, поскольку точка (аж ) лежит на границе двух конусов, а значит и касается двух соответствующих окружностей.
Для полного описания этой последовательности нам осталось понять, какие радиусы этих окружностей, либо какие у них центры. Однако нам не удалось получить формулу для радиусов или центров, зависящую от
Также интересно себя ведут окружности, соответствующие сходящейся последовательности к пересечению конусов 2 и 7, со стороны конуса 12. На Рис. 11 изображена область множества Г^ между конусами 2, 7, 12. Окружности, соответствующие этим конусам, изображены на Рис. 12.
Рис. 10: Окружности, соответствующие конусам из Рис. 8.
Рис. 11: Область между конусами 2, 7, 12
Гипотеза. Последовательность окружностей ^^ представленная на Рис. 12, описывается следующим образом: Qi = С(х.где
15 1 ( 3 \2 3 1 ( 3 \2 1
xi =---• - , rцi = 3 +--, ri = 8 — xi = - • - +—.
i 2 2 V 2г + 3/ ' 2г + 3' i i 2 V 2г + 3/ 2
При этом окружность, соответствующая конусу 12, совпадает с Qо■
Или, другими словами, во множестве Г8 лежит последовательность конусов с вершинами {(х1 ,Уг,Г{ + 4)}°=о- Соответствующие некоторым из этих вершин паттерны, вместе с границей, проведённой по вершинам с количеством песчинок 6 или 7, представлены в Таблице 6.
Теперь мы сменим границу на прямоугольную и отметим красным и синим цветом участки на паттерне вершины совпадающий с внутренней частью паттерна вершины Ц—х- Соответствующие рисунки отражены в Таблице 6.
№
(а, Ь, с)
паттерн, или же Ше оскиткЛег мх) расположение
(0, 0, 6), (6, 0, 6)
(3, 3, 6), (9,3, 6)
(3, 0, 5), (9, 0, 5)
(0, 2.25, 5.25), (6, 2.25, 5.25)
(0, 3.75, 5.25), (6, 3.75, 5.25)
(5.25, 3, 5.25) (11.25, 3, 5.25)
(6.75, 3, 5.25) (0.75, 3, 5.25)
(6, 3, 5) (0, 3, 5)
(5, 2, 5) (11, 2, 5)
10
(5, 4, 5), (11, 4,5)
11
(7, 2, 5), (1,2, 5)
12
(7, 4, 5), (1, 4, 5)
13
(4.5, 4.5, 4.5) (10.5, 4.5, 4.5)
14
(7.5, 4.5, 4.5) (1.5, 4.5, 4.5)
15
16
(7.5, 1.5, 4.5) (1.5, 1.5, 4.5)
(4.5, 1.5, 4.5) (10.5, 1.5, 4.5)
Рис. 13: Таблица с паттернами для самых высоких пиков конусов.
3
4
5
6
7
8
9
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. I. Alevy and S. Mkrtchvan. The limit shape of the leaky abelian sandpile model // arXiv preprint arXiv:2010.01946, 2020.
2. A. Bou-Rabee. A shape theorem for exploding sandpiles. // arXiv preprint arXiv:2102.04422, 2021.
3. D. Dhar. Self-organized critical state of sandpile automaton models // Phvs. Rev. Lett., 64(14):1613-1616, 1990.
4. A. Fey, L. Levine, and Y. Peres. Growth rates and explosions in sandpiles //J. Stat. Phvs., 138(1-3):143-159, 2010.
5. N. Kalinin and M. Shkolnikov. Tropical curves in sandpiles // Comptes Rendus Mathématique, 354(2):125-130, 2016.
6. N. Kalinin and M. Shkolnikov. Introduction to tropical series and wave dynamic on them // Discrete k, Continuous Dynamical Svstems-A, 38(6):2843-2865, 2018.
7. N. Kalinin and M. Shkolnikov. Sandpile solitons via smoothing of superharmonic functions. Communications in Mathematical Physics, 378(3) :1649-1675, 2020.
8. M. Lang and M. Shkolnikov. Harmonic dynamics of the abelian sandpile // Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(8):2821-2830, 2019.
9. L. Levine, W. Pegden, and С. K. Smart. Apollonian structure in the Abelian sandpile // Geom. Funct. Anal., 26(l):306-336, 2016.
10. L. Levine, W. Pegden, and С. K. Smart. The Apollonian structure of integer superharmonic matrices // Ann. of Math. (2), 186(l):l-67, 2017.
11. A. Melchionna. The sandpile identity element on an ellipse // arXiv preprint arXiv:2007.05792, 2020.
12. S. Ostojic. Patterns formed by addition of grains to only one site of an abelian sandpile // Phvsica A: Statistical Mechanics and its Applications, 318(1):187-199, 2003.
13. W. Pegden and С. K. Smart. Convergence of the Abelian sandpile // Duke Math. J., 162(4):627-642, 2013.
14. D. Rossin. Propriétés combinatoires de certaines familles d'automates cellulaires // PhD thesis, Ph. D. Thesis, École Polytechnique, 2000.
15. K. Schmidt and E. Verbitskiv. Abelian sandpiles and the harmonie model // Communications in Mathematical Physics, 292(3):721 759. 2009.
16. Aliev, A.A., Kalinin, N.S. Convergence of a sandpile on a triangular lattice under rescaling // Matematicheskii Sbornik.- 2023.- vol. 214.- iss. 12.- pp. 3-25.
REFERENCES
1. Alevv, I. k, Mkrtchvan, S. 2020, "The limit shape of the leaky abelian sandpile model", arXiv preprint arXiv:2010.0194-6.
2. Bou-Rabee. А. 2021, "A shape theorem for exploding sandpiles", arXiv preprint arXiv:2102.0U22.
3. Dhar, D. 1990, "Self-organized critical state of sandpile automaton models", Phys. Rev. Lett., 64(14):1613-1616.
4. Fey, A., Levine, L. к Peres, Y. 2010, "Growth rates and explosions in sandpiles", J. Stat. Phys., 138(1-3):143-159.
5. Kalinin, N. к Shkolnikov, M. 2016, "Tropical curves in sandpiles", Comptes Rendus Mathématique, 354(2):125-130.
6. Kalinin, N. к Shkolnikov, M. 2018, "Introduction to tropical series and wave dynamic on them", Discrete & Continuous Dynamical Systems-A, 38(6):2843-2865.
7. Kalinin, N. к Shkolnikov, M. 2020, "Sandpile solitons via smoothing of superharmonic functions", Communications in Mathematical Physics, 378(3) :1649-1675.
8. Lang, M. к Shkolnikov, M. 2019, "Harmonic dynamics of the abelian sandpile", Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(8):2821-2830.
9. Levine, L., Pegden, W. к Smart, С. K. 2016, "Apollonian structure in the Abelian sandpile", Geom. Funct. Anal, 26(l):306-336.
10. Levine, L., Pegden, W. к Smart, С. K. 2017, "The Apollonian structure of integer superharmonic matrices", Ann. of Math., (2), 186(l):l-67.
11. Melchionna, A. 2020, "The sandpile identity element on an ellipse", arXiv preprint arXiv:2007.05792.
12. Ostojic, S. 2003, "Patterns formed by addition of grains to only one site of an abelian sandpile", Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 318(1):187-199.
13. Pegden, W. к Smart, С. K. 2013, "Convergence of the Abelian sandpile", Duke Math. ,J., 162(4):627-642.
14. Rossin, D. 2000, "Propriétés combinatoires de certaines familles d'automates cellulaires", PhD thesis, Ph. D. Thesis, Ecole Polytechnique.
15. Schmidt, К. к Verbitskiv, E. 2009, "Abelian sandpiles and the harmonic model", Communications in Mathematical Physics, 292(3):721 759.
16. Aliev, A. A., Kalinin, N. S. 2023, "Convergence of a sandpile on a triangular lattice under rescaling", Sbornik: Mathematics, vol. 214, iss. 12, pp. 3—25.
Получено: 05.10.2023 Принято в печать: 04.09.2024
