Первичные структуры отношений Кулакова в микроэкономике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2003, вып. 11, с. 88-96

УДК 519: 658.1(075)

ПЕРВИЧНЫЕ СТРУКТУРЫ ОТНОШЕНИЙ КУЛАКОВА В МИКРОЭКОНОМИКЕ

М.А. Добренко, А.К. Гуц

In this article the Kulakov initial structures in microeconomics are considered. Early the Kulakov initial structures were applied to physics and sociology.

Общество - это социально-экономические отношения. Правильное описание структуры социальных и экономических отношений является и правильным описанием структуры общества. Из каких простейших структурных элементов, или «первоетруктур», складываются социально-экономические отношения? Задавая такой вопрос, мы во главу угла ставим не простейшие элементы, скажем, крестьяне, рабочие, управленцы и т.д., образующие общество, а простейшие структуры, составляющие в конечном итоге структуры и организацию всего общества и его экономики.

Поиск «первоетруктур» не в традиции западной науки. Тем не менее в 1970 году нобелевский лауреат И, Е, Тамм писал: «...более перспективно искать не исходную «первоматерию», а исходные «первоетруктуры» - такая переформулировка проблемы единства мира представляется нам несравненно более преимущественной и в логическом, и в естественно-научном отношении...». Он усматривал при этом необходимость отказа от наглядных представлений: «...Проблема отказа от «наглядности» вставала перед человеческим интеллектом и раньше. Так, уже пифагорейская традиция осознавала необходимость перехода от пластического Эйдоеа к чистому Логосу, однако «телесно-чувственная» природа греческой цивилизации помешала реализации этой программы - европейская наука в каком-то смысле унаследовала это бремя «наглядности», в несении которого есть своя прелесть» [1].

И.Е.Тамм высказал эту мысль в предисловии к книге своего ученика Ю.И.Кулакова, в которой «первоетруктуры» были найдены для описания физики и геометрии. Однако идеи Ю.И.Кулакова актуальны и для социологии, и для экономики.

© 2003 М.А. Добренко, А.К. Гуц

E-mail: mariadobrenko@yandex.ru, guts@univer.omsk.su Омский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11.

89

1. Теория систем отношений Ю.И. Кулакова

В теории Ю.И, Кулакова постулируется наличие одного или нескольких множеств Л4.IF.... элементов, между которыми определены отношения, обладающие двумя свойствами. Во-первых, некоторый набор этих отношений, выраженных в виде чисел, должен удовлетворять специальному уравнению, именуемому законом, и, во-вторых, в данном законе можно одни элементы заменять на другие по правилу, называемому фундаментальной симметрией.

В простейшем случае отношение - это вещественное число, сопоставляемое паре, тройке, четверке и т.д. элементов [1]. В качестве элементов могут выступать объекты любой природы: физические тела, индивиды социальной группы, мужчины и женщины, элементарные частицы и т.д., а в качестве отношений между элементами могут рассматриваться расстояния между телами (точками), родственные связи, отношения между полами, взаимодействия между частицами. Если ограничиваются одним множеством, то теория, которая строится, называется унарной системой фундаментальных отношений. В случае двух множеств соответствующая теория носит название бинарная система фундаментальных отношений. Мы будем использовать для систем фундаментальных отношений название системы Кулакова,

Каждая система отношений отличается от любой другой парой натуральных чисел (г, s), называемой рангом. Ю.И. Кулаков [1] и его ученик Г.Г. Михайличенко показали, что существует классификация систем отношений, и нашли соответствующие алгебраические формулы для всех рангов (г, s) (см. § 2.1).

Ю.И.Кулаков, Ю,С,Владимиров и их ученики, ограничивая свои исследования рамками физики, продемонстрировали, что каждая система бинарных отношений, описываемая очень простыми алгебраическими формулами, приводит после некоторых преобразований и выкладок к строго определенному физическому закону, например ко второму закону Ньютона, закону Ома или к той или иной геометрии (геометрии Евклида, геометрии Лобачевского и т.д.).

Успех теории систем отношений в физике заставляет подумать о возможности применения этой теории в социологии. Это имеет смысл сделать несмотря на то, что в XX веке существует предубеждение против перенесения методов естествознания на науки об обществе. Такое предубеждение удерживается, как правило, среди исследователей, которых называют узкими специалистами. Те же, кто более склонен к философским обобщениям, чаще пытаются увидеть за достижением в конкретной области знаний пути к получению новых результатов в других областях науки.

2. Формализация отношений

Рассмотрим два исходных абстрактных множества Л4 = {i.j. к.... }• и Т = {а, /3, у,,,}, Отношение между этими множествами есть отображение ф : Л4 х Т -У IR, Если і Є Лі и а Є Т. Значения отношения между элементом і и

90

М.А. Добренко, А.К. Гущ . Первичные структуры отношений...

элементом а представляется в виде формулы

аіа = ф(і,а). (1)

Другими словами, отношение между любым і и любым а характеризуется вещественным числом а,п.

Будем предполагать, что отношение ф является универсальным в том смысле, что существуют два натуральных числа г и s, такие, что найдется отображение Ф : IRrs —>• К, обладающее следующим свойством: для любого произ-

вольного набора из г элементов ii,... іг є А4 и

оц,..., as Є Т справедливо равенство

^ Qiiai ■ ■ ^ilCXs ^

Ф

^ ЩТСЧ aiTas J

0.

(2)

Пара чисел (г, s) называется рангом, рассматриваемой пары (А4Д-). В этом определении отчетливо видна постулируемая симметрия данного отношения: любой элемент і Є Лі может быть заменен на любой элемент из Л4, так же как и элементы из множества Т. Но при этом элементы из Л4 берут в количестве г, а из Т - s.

Рис. 1. Бинарная система отношений.

2.1. Классификация бинарных систем Кулакова

Для того чтобы найти классификацию бинарных систем отношений Кулакова, необходимо представить соотношение (1) в форме вещественной функции от двух вещественных переменных х, п С точки зрения математики, это означает, что Л4, Т рассматриваются как (гладкие) многообразия размерности соответственно m и п и на них вводятся локальные координаты

I г) _V гу . - (гу 1 гу П1 ^

J и 7 її ^ у •Л-’ 2 5 * * * 5 •І’ 2 )

\ а^Уа = (Уа,--,У2)-

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11.

91

В этих координатах формула (1) принимает вид

Оіа = Ф(Хі,-,Х?,УІ„-,Уа)- (3)

Выражение (3) подставляется в (2), и после достаточно кропотливых выкладок находится вид функций ф и Ф, Приведем итог этих исследований.

Классификация бинарных систем Кулакова, Если m размерность многообразия М, а п размерность многообразия Т, то ранг (г, s) связан с ними соотношениями: r = n + l,s = m + l.

• Не существует системы Кулакова ранга (1,1).

• Существуют системы Кулакова только ранга (г, г), г > 2,

(г — 1, г), г > 3 и (г + 1, г), г > 2,

• Существуют системы Кулакова ранга (2,4), (4,2),

• Все диагональные системы отношений с рангом (г, г) могут быть двух типов. Их ранги обозначают как (г, г) и (г, г; о). Для системы отношений ранга (г, г) закон в некоторых координатах записывается в виде

где отношения между элементами множеств М, Т

(4)

Г — 1

г'г > 2.

i=i

Системы отношений ранга (г, г; о) характеризуются законом

0 1 і

ф = 1 ^гіскі ■ ®ІЮт

1 Щгаі г аГ

(5)

(6)

где отношения между элементами множеств М, Т

ща = xQi + у“, г = 2;

г-2

Ща = Х°г + УІ + Y1 Х^’ Г>2-

1=1

(7)

92

М.А. Добренко, А.К. Гущ . Первичные структуры отношений...

Для систем отношений ранга (г + 1, г), г > 2, имеем

1 а,

Oj іаі ■ ■ ®iia г

ОДа 1 ■ ■ Одаг

Од+1аі air + Ittf

(8)

с отношением

г—1

ага = у°а + ^24у1а, г > 2;

i=i

для систем ранга (г — 1, г), г > 3,

(9).

с отношением

1 і 1

Ф = Од а і ОДаг ■ ■ ■ Щ\ат

O'ir-iai ОД _1 «2 г-2 ОД_іаГ

Oja — Яд г^3- 1=1

}) закон и отношения могут быть

1 ^гіаі ОДаг (од аі Щіа.2 )

ф = 1 ОДаг (оДаїОДаг) / \

1 ^гзаі ОДаг \^гзаі ^гз«2 J

1 6^4аі ЙД аг

(10)

(11)

(12)

и

а для системы (2,4) -

хЬА + уі

х] + у1 ’

і 1 1 1

ОДа і Од аг Од «з Од 04

ОДа і ОДаг ОДаз Од 04

'Даі ОДаї) ( ОДагОДаг) ( Од аз Од аз) ( Од 04 Од 04

(13)

(14)

гу,\ П Л- I гу 2

Уа ' ^і

х'І + УІ '

(15)

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11.

93

2.2. Эталоны системы отношений Кулакова

Запишем закон Ф для системы отношений ранга (г, s) в виде

Ф(ща, (ikfjj,,,, (ij,у) = 0. (16)

Потребуем, чтобы уравнение (16) было разрешимо относительно любого из rs аргументов, т.е. чтобы его можно было всегда записать в виде

Ща — /га(®г/Ц ■■■; ®’ka-, ^k/З і ■■■)■

(17)

Выберем в множествах Л4, Т соответственно по г ^ 1 hs~1 элементов и назовем их эталонными, или образующими базис системы фундаментальных отношений. Пусть это элементы из множества Л4 и /3,7,... из множества Т.

Тогда для неэталонных элементов і и а формулу (17) можно переписать в виде

fia (Щ/3

, О, j/y ...,

Q’ka-, Q’ja-, ■■■; О’к'у-

• 1 QjP J 0-J7;

(4.18)

где в первой группе аргументов находятся бинарные отношения элемента і со всеми s — 1 эталонными элементами множества Т. во второй группе выделены бинарные отношения элемента а со всеми г — 1 эталонными элементами множества М. Наконец, в третьей группе сосредоточены бинарные отношения эталонных элементов друг е другом. Введем обозначения

х\ = aij3, х* = оІ7, = •,

У а — ака-> У а — %'а; ■■■> У а — "■

Другими словами, мы вводим координаты для неэталонных элементов і, а относительно зафиксированного базиса эталонных элементов в множестве М.хТ. Считая отношения между эталонными постоянными (известными) для данного базиса, перепишем формулу (18) в виде

JiaWi,

гу °

I Л

1 Уа1

(19)

Таким образом, бинарное отношение между любыми элементами і. а является функцией, определенной в некоторой области D координатного пространства II?' “ 2. Числа m = s- l нп = г-1- это размерности соответственно «многообразий» Л4 и Т.

2.3. Первичные структуры гендерной социологии и психологии межличностных взаимодействий

В книге [3] было продемонстрировано, как первоетруктуры Кулакова описывают гендерные отношения и межличностные взаимодействия индивидов. Многие формулы социометрики и психометрики являются иным выражением формул, полученных в классификации систем отношений Кулакова.

94

М.А. Добренко, А.К. Гущ . Первичные структуры отношений...

3. Первичные структуры микроэкономики

Покажем, как теория Ю,И,Кулакова может быть применена к описанию микроэкономических отношений,

3.1. Выручка предприятия

Предположим, что имеется некоторое множество М = {i,j, к,,,,} предприятий-производителей некоторого товара и множество Т = {а,/3,у,,,,} групп покупателей этого товара. Группа покупателей - это локализованная группа покупателей, те. население деревни, поселка, микрорайона, города.

Отношение «производитель-группа покупателей» - это отображение ф : Л4 х Т -У IR, Мы примем, что это микроэкономическое отношение является структурой Кулакова рода (2,2), В таком случае

{ і х\

1 « ->• Уа,

и в силу (5)

аісх = ф(і,а) = x]yla. (20)

Если принять, что х] - это цена на товар i^o производителя, а - количество (в потенциале) товара, приобретаемого a-й группой покупателей, то формула (20) есть не что иное, как выручка i^o предприятия от продажи своего товара П-ІІ группе покупателей.

Универсальность данной первоетруктуры состоит в предположении, что пары производителей и пары групп покупателей могут заменяться на любые другие аналогичные пары. Выделение пары производителей, по существу, представляет требование отсутствия монополии какого-либо производителя на товарном рынке. Пара групп покупателей - это отсутствие на рынке диктата одной группы покупателей (монопсония).

Таким образом, микроэкономическая структура Кулакова ранга (2, 2) описывает формулу выручки предприятия-производителя, работающего в условиях идеального рынка,

3.2. Потенциальная потребность в товаре

Рассмотрим теперь структуру Кулакова ранга (3,3), Для нее

Г і —>• Хі = (х®, х])

\ а^Уа = (у°,Уа);

и в силу (7)

“й = Ф(і, а) = ,і“ + у? + х\у\.

(21)

Теперь мы примем, что х® = (rt)i - объем товаров, требующих замены (потребленных или отслуживших свой срок); х] = (bt)i - среднее количество товара,

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 11.

95

приобретаемое одним покупателем в период i; y°a = (k)a, есть изменение потребности (потенциального спроса) на товар за счет воздействия различных факторов (рекламы, появления новых товаров-субститутов, социально-экономической политики и др,); у} = (mt)a - изменение количества покупателей в группе а.

В таком случае формула (21) примет вид

аіа = ф(і, а) = (rt)i + (k)a + (bt)i(mt)a, (22)

и описывает она потенциальную потребность в товаре в период t. Данная формула известна в микроэкономике [2, с,57],

Теперь, говоря об универсальности данной первоетруктуры, мы должны представлять себе, что речь идет о более сложной симметрии троек производителей и троек групп покупателей, означающей более развитую систему конкуренции, антимонополии и антиолигополии.

Производитель і характеризуется парой чисел ((rt)j, (bt)i), Экономический смысл этих данных оговаривался выше. Очевидно, что подобные экономические показатели обязано иметь серьезное предприятие-производитель для того, чтобы успешно продавать свой товар.

Группа покупателей а характеризуется парой чисел ((/t)a, (щ)а))- Очевидно, что речь идет о большом количестве групп покупателей, I.K. деятельность предприятий-производителей, описанных в данной структуре, для того чтобы быть успешной, должна быть направлена на большое количество групп покупателей.

3.3. Финансировавание предприятия с помощью заемного капитала

Рассмотрим теперь структуру Кулакова ранга (4,2), Имеем

Г І —ї Хі = х\

\ а^Уа = {УІ;УІ;УІ)

и в сиду (4,7)

_ _ хЫ + уї

Uіа 1,ч

Щ + У а

Осталось обнаружить эту структуру в экономике. Известно, однако, что фирма-заемщик при кредитном финансировании получает особое преимущество, которое называется «левиридж-эффект», или действие финансового рычага.

Исходным пунктом действия эффекта является процентная ставка за кредит I и общая рентабельность капитала активов П \. вычисляемая по формуле

П + I • зс СС + зс

(24)

где П - прибыль за рассматриваемый период, СС, ЗС - соответственно собственные и заемные средства (капитал) за тот же период [2, с,340],

96

М.А. Добренко, А.К. Гущ . Первичные структуры отношений...

Положим

= Ra, х] = ЗС, =І,УІ = п, //;; = ГГ.

Тогда формулы (24), (23) преобразуются одна в другу.

Таким образом, кредитор і характеризуется числом ЗС, т.е. предоставляемым кредитом, а предприятие (фирма-заемщик) а - числами (J, П,ГГ). То, что ставка за кредит I является характеристикой предприятия, а не кредитора, объясняется тем, что от самой фирмы зависит, берет ли она кредит на предложенных условиях, или не берет.

Обратим внимание на естественность фундаментальной симметрии в данном случае. Она требует инвариантности отношения (23) между кредиторами и предприятиями относительно замены пар кредиторов и четверок предприятий. Наличие двух кредиторов дает возможность выбора для предприятия (у кого брать, на каких условиях), а существование четырех фирм-заемщиков обеспечивает само существование кредита как формы бизнеса.

Как видим, все структуры Кулакова присутствуют в микроэкономике.

4. Заключение

Какой смысл в том, что структуры Кулакова проявляют себя в физике, социологии, психологии и экономике, т.е. во многих значимых разделах знаний человека? Об этом исчерпывающе сказал И.Е.Тамм, слова которого приведены в начале статьи. Говоря же на менее строгом языке, можно сказать, что Конструктор, создавая мир, в его основу заложил не атомы или элементарные частицы, а первичные структуры - эталоны, по которым строится абсолютно все, что есть в этом мире. Иначе говоря, все состоит не из атомов, а из пер-воетруктур.

Литература

1. Кулаков Ю.И., Владимиров Ю.С., Карнаухов А.В. Введение в теорию физических структур и бинарную геометрофизику. М.: Архимед, 1992.

2. Кузин Б., Юрьев В., Шахдинаров Г. Методы и модели управления фирмой. СПб.: Питер, 2001.

3. Гуц А.К., Лаптев А.А., Коробицын В.В., Паутова Л.А., Фролова Ю.В. Математические модели социальных смет,ем,: Учебное пособие. Омск: ОмГУ, 2000. 256 с.