CC BY
8УДК 517.518.843
R.A. Neydorf
prospects of use of multiplicatively additive approximation for creation of mathematical models of dynamic objects
Don state technical university, 1 Gagarin sq., Rostov on Don, 344010, Russia
The method of the description of experimentally received dependences is investigated. It is called «cut-glue» approximation. The method is based on receiving local approximations of fragments of dependences, on their multiplicative allocation, and also on additive connection of the allocated fragments in unified analytical expression. The method differs in flexibility since it isn't limited by neither quantity of the approximated points, nor order of the approximating functions. The main difference of the «cut-glue» method from other methods of approximation consists in receiving unified and analytical function. Lack of a method is high algebraic complexity. It can limit its application at creation of the dynamic models used by online. In article is shown that this shortcoming doesn't lead to so considerable braking of calculations to exclude online use of model.
Keywords: experimental dependence, approximation function, multiplication, additivity, analytical function, dynamic model, online modeling.
DOI 10.15217^п1998984-9.2015.30.71
Введение
В работах [1-4] предложен, обоснован и подтвержден различными прикладными практическими расчетами новый метод экспериментального моделирования, ориентированный на самые сложные задачи, связанные с аппроксимацией кусочных зависимостей. Основу этого метода составляет мультипликативное «вырезание» фрагментов будущей математической модели исследуемой зависимости. Фрагменты «вырезаются» из функций, с высокой точностью аппроксимирующих локальные экспериментальные данные в некоторой ограниченной области. «Вырезание» осуществляется специальными вспомогательными функциями, которые с высокой точностью приближаются к единице в «вырезаемой» области, и практически равны нулю во всем остальном диапазоне их области определения, которой является вся числовая ось
Р.А. Нейдорф1
перспективы использования
мультипликативно-
аддитивной
аппроксимации
для построения математических моделей динамических объектов
Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, д. 1, г Ростов-на-Дону, 344010, Россия
Исследуется метод описания экспериментально полученных зависимостей. Он называется «cut-glue» аппроксимацией. Метод основан на получении локальных аппроксимаций фрагментов зависимостей, на их мультипликативном выделении, а также на аддитивном соединении выделенных фрагментов в единое аналитическое выражение. Метод отличается гибкостью, поскольку он не ограничен ни количеством аппроксимируемых точек, ни порядком аппроксимирующих функций. Основное отличие «cut-glue» метода от других методов аппроксимации состоит в получении единой и аналитической функции. Недостаток метода состоит в высокой алгебраической сложности. Это может ограничивать его применение при создании динамических моделей, используемых в онлайн режиме. В статье показано, что этот недостаток не приводит к настолько значительному торможению расчетов, чтобы исключить онлайн использование модели
Ключевые слова: экспериментальная зависимость, функция аппроксимации, мультипликативность, аддитивность, аналитическая функция, динамическая модель, онлайн моделирование.
[3, 4]. В результате умножения аппроксимирующей «вырезаемую» область функции на такую вспомогательную функцию формируется фрагмент, с высокой точностью описывающий эту область, и равный нулю во всем остальном диапазоне значений аргумента. Тогда сложение таких фрагментов, имеющих общие границы, дает аналитическое выражение, описывающее исследуемую зависимость в более широком диапазоне. Необходимо только, чтобы как специальная «вырезающая», так и аппроксимирующая функции были аналитическими. Описанная концептуально процедура и представляет собой метод "cut-glue"* аппроксимации.
В работах [1-4] автор последовательно развивал теорию "cut-glue" аппроксимации применительно к одномерным задачам. Исследовались свойства используемых
* От англ. («cut-glue» - «резать-клеить»)
1 Нейдорф Рудольф Анатолььевич, д-р техн.наук, профессор, каф. «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», e-mail: [email protected]
Neydorf Rudolf A., Dr Sci. (Eng.), Professor, Chair "Software computer technology and automated systems", e-mail: [email protected]
Дата поступления - 6 июля 2015 года Received 6 July 2015
функций и преобразований, а также на различных прикладных задачах проверялись выработанные теоретические положения. Дальнейшие исследования были направлены на построение теории сначала двумерной [5], а затем и общей n-мерной "cut-glue" аппроксимации [б]. Однако все эти исследования были связаны с построением исключительно алгебраических функций. Иными словами, решались задачи построения статических математических моделей (ММ). Возможность разработки динамических ММ подразумевалась, но такие примеры не рассматривались. В то же время, решение практических задач автоматического управления связано с построением и использованием именно динамических моделей управляемых объектов [7-14]. В связи с этим анализ возможностей применения "cut-glue" аппроксимации для построения динамических ММ актуален.
Постановка задачи
Выявленная ниша в области применения нового и эффективного метода аппроксимационного построения динамических ММ по экспериментальным данным обусловливает необходимость проведения ряда дополнительных исследований:
необходимо решить вопрос принципиальной применимости метода "cut-glue" аппроксимации при экспериментальном построении ММ динамики изучаемых объектов;
необходимо исследовать влияние времени осуществления вычислительных операций, необходимых для мультипликативно-аддитивной аппроксимации входящих в динамическую ММ алгебраических выражений, в частности, оценить возможность использования динамических ММ, содержащих выражения, полученнь ю "cut-glue" методом.
Математическая модель "cut-glue" аппроксимации
Согласно [1-4], одномерная «cut-glue» аппроксимация осуществляется представлением некоторой зависимости 1-го порядка аналитической функцией f(x), заданной аддитивным выражением следующего вида:
f(x) = Д f W = Д j М- Ax xi-i , xi ,Ei),
л(х, Xi-!, xi ,Sj ) =
xi-iW(x-xi-i)2+g2 -lxi-x+V(xi-x)
(2)
Xi-! )2 + S2 I-|(Xi - X)- + s'
Xt - x)2 + S2 ]
В работах [3, 4] исследованы свойства функции (2), которые обеспечивают ей выполнение мультипликативного «вырезания» любых участков аппроксимирующей функции ф,(х). Была показана возможность осуществления n-мерной "cut-glue" аппроксимации. При этом расширение постановки задачи не меняет ни структуры исходной математической модели метода (1), ни структуры функции (2), если аппроксимирующие функции участков ф,(х) представлены в явной форме.
До настоящего времени единственным полностью математически обоснованным и наиболее универсальным методом аппроксимации экспериментальных данных считается регрессионный анализ. При его применении основной формой представления выражения является степенной полином, который представляет собой математическое описание в явной форме. Поэтому, ориентируясь на использование для локальной аппроксимации участков регрессионного анализа, будем считать, что при использовании метода "cut-glue" мы будем иметь дело с функциями ф,(х), заданными явно.
Тогда справедлива формула, аналогичная (1)
и, и
f (X) = д... д 4
in =1 4=1
и, и1 , (X)= Д. Д j...г..л, (X)■
in =i i,=1
Пh(xj,J,XJ,,£) , j=1
(3)
реализующая аддитивное «склеивание» ИВФ I I (х) - фрагментов п-мерной зависимости, полученный мультипликативным "вырезанием" интервалов по всем п координатам. Как и в одномерном варианте интервалы "вырезаются" путем умножения п-мерной функции < ^(х), аппроксимирующей соответствующий п-мерный (фрагмент экспериментальных данных, на
(1) 1-МВФ A (x.,xJt i,X.,s), сконструированную для
Здесь функции f(x) под знаком суммы представляют собой математически "вырезанные" локальные модели склеиваемых участков. Эти функции названы «интервально выделенными» (ИВФ) [3, 4]. Функции f(x) "вырезаются" из аналитических функций ф (x), которые получаются аппроксимацией -го интервала экспериментально заданной зависимости. Наиболее эффективно аппроксимация осуществляется методами нелинейного регрессионного анализа [11-14]. Полученное на основе метода наименьших квадратов уравнение регрессии при соответствующем порядке аппроксимирующего полинома позволяет, обычно, с приемлемой точностью приблизиться к экспериментальным данным на выделенном участке.
Особую роль в "cut-glue" аппроксимации играют входящие в (1) специально сконструированные для этого метода одномерные «мультипликативно выделяющие» функции Л(х, Хм, x,, s), названные сначала МВФ [3, 4]. После обоснования n-мерной аппроксимации они стали называться 1-МВФ. Кроме основного аргумента х эти функции содержат "настроечные" параметры. Значения Хм и х, - суть левые и правые границы выделенных для локальной аппроксимации интервалов. Параметр s служит для настройки погрешности, вносимой 1-МВФ при мультипликативном "вырезании" из функции ф,(х) ее участка для аппроксимации ,-го интервала.
В результате исследований, проведенных в [1, 2], окончательный вид структуры функции 1-МВФ был представлен, согласно [3, 4], довольно сложным дробно-радикальным выражением:
соответствующей 'координаты и для /-го на ней интервала. Умножение каждой аппроксимирующей функции осуществляется последовательно на все 1-МВФ каждой координаты.
В выражении (3), также, как и в [1-4] реализуется кусочный принцип выделения аппроксимирующего участка каждой многомерной функции < ' ¡п(х). Из структуры выражения (3) следует, что п-мерная «мультипликативно выделяющая» функция - п-МВФ задается выражением
n i \
1 (X, Xi-i, Xi ,?)=П A \xJ , j, Xj>£) ,
j=i
(4)
где xi-i' =(xlг_1,■-- Xi,-1,■--, X,
-1) и XiT=k
Применение "cut-glue" аппроксимации при математическом моделировании динамических объектов
Наиболее распространенной формой представления математических моделей динамических объектов является система дифференциальных уравнений в форме Коши
X (t ) = f (X(t), u(t)), i = 1m (5)
где x(t) - вектор состояния объекта; u(t) - вектор входных воздействий; f(x(t), u(t)) - алгебраические функции; m - порядок объекта.
Даже если математическую модель объекта получают аналитически, то чаще всего, либо функции f (x(t), u(t)) целиком, либо составляющие их отдельные функции разработчик модели вынужден получать экспериментально. В этом случае при сложном характере зависимости может возникнуть необходимость прибегнуть к "cut-glue" аппроксимации.
4
i=1
i=1
. -X
.., X
п
Рассмотрим пример, приведенный в [5]. В этой работе решалась задача двумерной «cut-glue» аппроксимации зависимости момента Mx относительно продольной оси x, возникающего при крене аэростата, от скорости его всплывания v и от величины крена а. При математическом моделировании движения аэростата этот момент входит в дифференциальное уравнение изменения угловой скорости вращения аэростата, возникающего при его всплывании при наличии крена
dwx (t) 1 / ч
—^ = — • Mx М + dt
Ix
I -1 (
) + у_ 2 wy (t) wz (t)+MU (va
Ix
2 ) ,(6)
Поскольку визуальная оценка дает только качественное представление о характере зависимости, проведено исследование различных разбиений поверхности на рисунке 1а на фрагменты и описание их локальными функциями. Исследование, в частности, показало, что зависимость момента от скорости является достаточно гладкой, и деления на участки по оси V не требуется. При этом изломанность зависимости от угла крена потребовала трех фрагментов. Поэтому схема деления поверхности Мх на фрагменты в соответствии с (3) имеет вид:
которое, в свою очередь, входит в систему уравнений Эйлера для свободно ориентированного в пространстве тела, используемую обычно как основу ММ движения воздушного судна [7].
Здесь Mx,y,z - угловые скорости вращения корпуса аэростата относительно соответствующих осей связанной системы координат; Ix,y,z - моменты инерции корпуса относительно тех же осей; Mu - управляющий момент. Таким образом, наряду со структурой уравнения Эйлера на динамику движения моделируемого воздушного судна и на закон управления им будет влиять структура и параметры зависимости Mx(v,a), и то, что в модели можно будет использовать единое алгебраическое выражение уже является существенным плюсом [8].
Следовательно, принципиальная возможность использования результатов "cut-glue" аппроксимации в математических моделях динамики очевидна (см. п. 1 "Постановки задачи").
Однако очевидная сложность выражения (3) с учетом сложности формулы (4), являющейся многократным произведением функций вида (2) делает актуальной оценку времени, необходимого для вычисления выражения Mx(v,a). Такая оценка становится еще более актуальной при использовании ММ в онлайн режиме, что, например, характерно для адаптивных систем автоматического управления [8].
В связи с этим рассмотрим результат решения задачи получения двумерной функции Mx(v,a), приведенной в [5].
Структура функции Mx(v,a),
полученной двумерной «cut-glue» аппроксимацией
Такая зависимость получена, исследована и описана методами регрессионного анализа в работе [12], но построенная модель оказалась весьма приближенной, вследствие ограниченности возможностей регрессионного описания ломаных зависимостей, которые были проанализированы в [2-4]. Экспериментальная модель двумерной зависимости Mx от v и а показана на рисунке 1а. Визуально видно, что известными методами невозможно достаточно точно описать всю зависимость одной функцией двух переменных, поскольку прослеживается резкий излом поверхности, обусловленный срывом обтекающего корпус аэростата потока воздуха при определенных сочетаниях v и а. Крупная сетка на рисунке 1 построена на узлах точек экспериментального замера момента при данном сочетании параметров. Жирная линия, проходящая в средине поверхности сверху вниз и справа налево - линия излома.
jy2 (x1 ,x2 ) = Mh,i2 (v?4 i1 = 1 i2 = 1,223 ,
(7)
Таким образом, оказалось, что наилучшим, исходя из соотношения точности описания и количества фрагментов, является разбиение моделируемой поверхности на три участка. Левый (от края до жирной линии излома характеристики) имеет 5x4 = 20 точек. Средний содержит 5x3 = 15 точек. Третий фрагмент включает резкий изгиб вверх при больших скоростях (6-7,5 м/с) и представляет собой винтообразную полосу. Это обусловливает трудность его точного описания. Поэтому он состоит всего из 5x2 = 10 точек.
Такая схема аппроксимации исходной точечной зависимости Мх показана на рисунке 2. Векторы факторов V и аТ показывают размещение значений Мх по строкам и столбцам, соответственно. Прямоугольниками выделены подвекторы а, и подматрицы Мх,.
1 • 15 30 60 1 75 1 *> 1
983 -236147 -431390 -529969 -178982 -44862 270835 2.5
2569 -546013 -1045596 -1349183 -417405 -45007 770212 4
3946 -839253 -1682134 -2155510 -706919 -209132 1068567 V 5
5559 -1233855 -2510022 -2987631 -982388 -240801 1532347 6
8460 -1888138 -3908593 -4757871 -1610197 -372639 2453876 ,7.5.;
Рисунок 2. Матричная схема разбиения исходной матрицы Мх на подматрицы Мх, участков
В соответствии с размерностью каждого участка выбраны порядки аппроксимирующих полиномов: 4-й (15 членов полного полинома), 3-й (10 членов полного полинома) и 2-й (6 членов полного полинома) [15]. Соответственно получено три уравнения регрессии:
Мх(у,а) = ¿10 + Ьи - у + Ь12-а + ЬП2 • V •« + ¿ш • у2 + ¿122 • а2 +
+ ¿>1112 • V2 • а + &Ц22 -У-а2 +¿1111 -у3+Ь12П -а3+¿11122 • V2 - а2 +
+ ¿>11112 -а+ Ьт22 -у-а3+Ьти -V4+Ьт22 -а4; (8-1) м2 (у, а) = ¿20 + ¿21 ' у + ¿22
• СС + ¿212 " V • + ¿211 • V + ¿222 ' а + + ¿2112 •"^•« + ¿>2122 ■а + Ь2\\\ '^+¿2222 ';(8-2) Мъ{у,а) = ¿з0 + ¿31 • V + ¿32 сс + ¿312 - у-а + ¿311 • V2 + ¿322 ■ .(8-3)
Индексация коэффициентов в формулах начинается с номера фрагмента. Далее следует перечисление номеров переменных V = х1 и а = х2, участвующих в построении соответствующего члена полинома через перемножение. Численные значения коэффициентов для выделенных участков сведены в таблицу.
Рисунок 1. Исходная экспериментальная (а) и аппроксимированная кусочная (b) модели Mx
Таблица. Численные значения коэффициентов, полученные для выделенныхучастков.
№ участка Значения индексов в уравнениях (14) и значения соответствующих коэффициентов регрессии Ь
1 Индекс Ь 10 11 12 112 111 122
Значение Ь ю CD СО с? ю CD СО ОО со ОО LO 1 ю т-Н ю CD 2 тН СО OJ 3 CD 1 СО ОО ^
Индекс Ь 1112 1122 1111 1222 11122 11112
Значение Ь 3 CD тН С^ OJ ОО 5? £ ЯР от г- ОО ОО со 3 ю оо от £ со ОО LO 1 ОО ОО 2
Индекс Ь 11222 11111 12222
Значение Ь 3 от 1 3 CD 3 Ю ю т-Н ^ г-СО о
2 Индекс Ь 20 21 22 212 211 222
Значение Ь г- CD 2 О ю 00 со & со ю OJ со CD СО т-Н % S ОТ 8 0 о 0 OJ 3 ОО
Индекс Ь 2112 2122 2111 2222
Значение Ь 3 CD 3 со от ОО со со ю г^ 2 2 ОО т-Н 3 от со от от 1
3 Индекс Ь 30 31 32 312 311 322
Значение Ь со CD 1 СО ОО <8 g Oj 3 CD СО ОТ ю Ю ^ CD СО С^ ОО ОО CD § т-Н от от 1Л Ю
«вырезания» из трех уравнений (8) трех ИВФ фрагментов формируются четыре 1-МВФ аппроксимируемых участков: по оси для Xi = v - A(xi, 2.5, 7.5, 0.001); по оси для X2 = а -X(X2, 0, 45, 0.001), X(X2, 45, 75, 0.001), Л(х2, 75, 90, 0.001).
Тогда, согласно (3), «cut-glue» аппроксимирующая точечную зависимость рисунка 1а функция, будет иметь следующий вид:
MCGÄ (v, a)
Mx(y,a\ ^{a, 0,45,0.001)+ v,a)-Ä2 (x2,45,75,0.001) +
Полученные уравнения (8) показали в границах аппроксимируемых участков вполне ожидаемое, но допустимое нарастание относительных погрешностей: 5M1max = 0.035, 5M2max = 0.056 и 5Msmax = 0.119. Поэтому уравнения (8-1, 2, 3) взяты в качестве локальных аппроксимирующих функций (pij (*1s) для превращения в ИВФ с использованием 2-МВФ и последующего аддитивного склеивания. При выбранных структурах функций (3) и 2-МВФ (4) настроечными параметрами двумерной «cut-glue» аппроксимации являются краевые значения участков, выбраны выше при их регрессионном описании, и параметр точности «вырезания» £, выбранный равным 0,001. Для оси X1 = v диапазон: ve[2,5;7,5], поэтому для всех фрагментов используется функция (2) с краевыми значениями xw = 2,5 и X11 = 7,5. По оси X2 = а для трех интервалов выбраны три пары краевых значений: (0,45);(45,75);(75,90). Поэтому для
+ м2(-
(9)
На рисунке 1b контурной 3D-моделью показан результат "cut-glue" аппроксимации (9). Она с приемлемой точностью воспроизводит форму экспериментальной зависимости на рисунке 1а. Анализ относительной погрешности конечного варианта «cut-glue» аппроксимации по уравнению (9) показал, что ее наибольшее значение составляет 0.109, т.е. меньше наибольшей погрешности 5M3max = 0.119 на третьем участке регрессионной аппроксимации. Такой феномен объясняется усреднением погрешностей аппроксимации одной и той же кривой на общих границах участков при аддитивном "склеивании". За границами аппроксимируемого участка ve[2,5;7,5], ае[0;90], MCGA(v,a) = 0. Поэтому на рисунке 1b, построенном в несколько большем диапазоне, виден небольшой «бортик» на нулевом уровне.
Исследование вычислительной сложности функции, полученной двумерной «cut-glue» аппроксимацией
Безусловно полная аддитивная форма (9) при подстановке в каждое из ее трех слагаемых аппроксимирующих функций M/(v,a) из (8) и сложных дробно-радикальных функций 1-МВФ вида (2) с переменными краевыми аргументами а, а также умножение всей суммы на 1-МВФ с переменными краевыми аргументами v обусловливает громоздкость аппроксимирующего выражения. Для оценки вычислительной сложности функции (9) поставлен вычислительный эксперимент по оценке времени вычисления значения MCGA(v,a). Интерфейсное окно программы оценки среднего времени вычислений суммы в скобках уравнения (9) представлено на рисунке 3.
■Л Time tests for Cut-Glue approximation function
Parameters of test array Count elements (of double type) Count tests
Parameters of A function e(ep)
Multiplicatively cutting function:
1000 10000
mi
Avarage calculation time (ms):
0,00100000
((x - xl + ' ((x - х1)л2 + ерл2)} * (хг - x + ' ((хг - х)л2 + ерл2))) / (4 * 1 (((х - х!)л2 + ерл2) * ((хг - х)л2 + ерл2)))
Parameters of approximation functions
se xl хг function
TIM Is a о 45 i*xAZ+[^^79TLOA4)*xA^-90,536*xA3-((5p36SnOA4}*xA2}*xA24-({2SpSl*xA2}%A3}*x4-12p9O4*x*xA3-CIp553*lOA3}*xA4+Op674*xA4-9p338*lOA5
Т2М Is g « 75 1!>А4№-(2,ОЧ0А5ГнА2-а434Ч0А4ГиА2-а5О2ЧОА7№»^^ S
Т3(х) Is Ъ 75 90 (2,749-10л6}-н+(5,59*10лЗГк^Р,326-10л4Ги-и^(1,845-10л4)*нл2-475,599*иА2 J
T4M IS sjü 90 2,749*10A6
Add function Delete function
Function viewer:
(8,40б:+:10л5)*х-(5л3б8*10л4)*х+(1л251*10л4)*х*х-(2,612*10л5)*хл2+(4,3б1*10л3)*хл2-
((2,21*10л3)*хл2)*х-945г433*х*хл2+(3,379*10л4)*хл3-98,536*хл3-((5,368*10л4)*хл2)*хл2+((28,81*хл2)*хл3)*х +12г9м*х*хл3-(1,553*10л3)*хл4+0,674*хл4-9г338*10л5
[ 22.36.44 [ 22.39.37 [22.40.15 [ 22.40.53 [ 22.41.30 [ 22.42.00 [ 22.42.21 [ 22.43.06 [ 22.43.24 [ 22.43.44 [ 22.44.02 [ 22.44.23 [ 22.44.38 [ 22.44.53 [ 22.45.08 [ 22.45.32 [ 22.45.45 [ 22.45.59 [22.46.13 [ 22.46.26 [ 22.46.44 [ 22.46.59 [22.47.11 [ 22.47.21 [22.47.31
] 2.017 ] 1.995 ] 1.991 ] 1.999 ] 2.003 ] 0.984 ] 0.983 ] 0.981 ] 0.981 ] 0.982 ] 0.713 ] 0.714 ] 0.712 ] 0.713 ] 0.712 ] 0.555 ] 0.553 ] 0.555 ] 0.554 ] 0.554 ] 0.369 ] 0.369 ] 0.369 ] 0.368 ] 0.36В
Рисунок 3. Интерфейсное окно программы оценки времени вычисления выражения (9)
В интерфейсном окне представлены данные тестирования времени последовательного вычисления значений ИВФ Mi(v,a), M2(v,a) и M3(v,a), из (8), умноженных на 1-МВФ, а также «склеенной» функции MCGA(v,a) в тысяче случайно выбранных значений v и а для каждой функции. Тест повторялся 10 тысяч раз, а в правом окне в квадратных скобках приведено время совершения расчета и средняя для десятитысячной выборки длительность тысячи вычислений. Сначала идут строки значений времени решения тысячи полных задач, затем - времени выполнения каждой аддитивной составляющей в выражении (9). На оценку каждого значения отведено 5 тестов по 10000 замеров. Значения времени приведены в миллисекундах.
Из этих данных, в частности, видно, что среднее время вычисления функции MCGA(v,a), построенной по методу "cut-glue" аппроксимации, чуть более 2 микросекунд. Вычисления производились на компьютере с процессором Intel (R) Core (TM) i5-3550 CPU @ 3,3 GHz. Такие ресурсные показатели не оставляют сомнений в том, что предложенный способ аппроксимации вполне пригоден для использования его результатов в динамических моделях, а также для онлайн использования.
Заключение
1) Проведенные в дополнение к уже опубликованным результаты исследования показали эффективность и перспективность исходной парадигмы метода «cut-glue» аппроксимации, т.к. метод позволяет получить математическое описание сложной нелинейной и даже кусочной зависимости любого порядка в виде единой непрерывно дифференцируемой функции с любой допускаемой исходными данными точностью приближения.
2) Несмотря на внешнюю громоздкость аналитической записи результата «cut-glue» аппроксимации, возможности современной микропроцессорной электроники вполне позволяют применять основанные на ней математические модели для использования в бортовых измерительных и управляющих устройствах.
3) Метод «cut-glue» аппроксимации имеет очевидные перспективы развития в направлении более строгой алгоритмизация и разработки универсальных средств программной поддержки процедуры применения, а также оценки точности и структурно-параметрической оптимизации мультипликативных инструментов и аппроксимируемой зависимости.
Литература
1 Нейдорф Р.А. Построение математических моделей 'cut&glue' аппроксимацией экспериментальных данных // Труды 4-го Между-народного научного семинара «Системный анализ, управление и обработка информации», п. Дивноморское, 29 сентября - 3 октября 2013 г. / Под общ. ред. Р.А. Нейдорфа. Ростов-н/Д: ДГТУ, 2013, С. 109-118.
2. Нейдорф Р.А. Экспериментально-аналитическая идентификация математических моделей летательных аппаратов аэростатного типа методом «cut-glue" аппроксимации // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26. Сб. пленарных докладов и лекций XXVI Междунар. науч. конф. / под общ. ред. А.А. Большакова. Саратов: СГТУ, 2013; Нижний Новгород: НГТУ, 2013; Ангарск: АГТА, 2013; Иркутск: ИГУ, 2013. С. 3-15.
3. Нейдорф Р.А. Аппроксимационное построение математических моделей по точечным экспериментальным данным методом «cut-glue" // Вестник ДГТУ.
2014. Т. 14. № 1(75). С. 45-58.
4. Neydorf R., "Cut-Glue" Approximation in Problems on Static and Dynamic Mathematical Model Development," // Paper of Proceedings of the ASME 2014 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, November 14-20, 2014, Montreal, Quebec, Canada, IMECE2014, IMECE2014-37236.
5. Neydorf R. Bivariate "Cut-Glue" Approximation of Strongly Nonlinear Mathematical Models Based on Experimental Data // SAE Technical Paper 2015-01-0039,
2015. DOI: 10.4271/2015-01-0039.
6. Нейдорф Р.А. Мультипликативно-аддитивный метод экспериментального построения математических моделей // Известия МГТУ «МАМИ». 2015. Т. 3. № 2(24). С. 21-31.
7. Пшихопов В.Х. Гайдук А.Р., Нейдорф Р.А. [и др.]. Система позиционно-траекторного управления роботизированной воздухоплавательной платформой: математическая модель // Мехатроника, автоматизация и управление. 2013, № 6.
8. Пшихопов В.Х., Медведев М.Ю., Нейдорф Р.А. [и др.]. Система позиционно-траекторного управления роботизированной воздухоплавательной платформой: алгоритмы управления // Мехатроника, автоматизация и управление. 2013. № 7.
9. Pshikhopov V., Medvedev M., Neydorf R., Krukhmalev V., Kostjukov V., GaidukA., Voloshin V. Impact of the Feeder Aerodynamics Characteristics on the Power of Control Actions in Steady and Transient Regimes. // SAE Technical Paper 2012-01-2112. DOI: 10.4271/201201-2112.
10. Pshikhopov V., Medvedev M., Gaiduk A., Neydorf R., Fedorenko R., and Krukhmalev V. Mathematical Model of Robot on Base of Airship // Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control. 2013.
11. Neydorf R. and Sigida Y. Identification of Traction and Power Characteristics of Air-Screw Propulsors in Mathematical Description of Airship // SAE Technical Paper 2014-01-2134, 2014. DOI: 10.4271/2014-01-2134.
12. Neydorf R., Sigida Y., Voloshin V. and Chen Y. Stability Analysis of the MAAT Feeder Airship During Ascent and Descent with Wind Disturbances // SAE Technical Paper 2013-01-2111, 2013. DOI: 10.4271/2013-01-2111.
13. Нейдорф Р.А., Сигида Ю.Л. Математическая модель зависимости силовых воздействий среды от условий полета при вертикальном спуске аэростата // ММТТ-26. Сб. трудов XXVI Междунар. науч. конф. в 10 т. Т. 9. Секция 11 / под общ. ред. А.А. Большакова. Нижний Новгород: НГТУ, 2013.
14. Нейдорф Р.А., Сигида Ю.Л. Математическое описание моментных воздействий среды полета на высотный аэростат в возмущенном состоянии // Труды 4-го Международного научного семинара Системный анализ, управление и обработка информации. п. Дивноморское, 29 сентября - 3 октября 2013 г. Под общ. ред. Р.А. Нейдорфа. Ростов-н/Д: ДГТУ, 2013. С. 126-131.
15. John O. Rawlings, Sastry G. Pantula, David A. Dickey. Applied Regression Analysis: A Research Tool, Second Edition. 1998.
