CC BY
30
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 004
Б01 10.21685/2072-3059-2017-1-1
В. И. Волчихин, А. И. Иванов, Д. В. Пащенко, Б. Б. Ахметов, С. Е. Вятчанин
ПЕРСПЕКТИВА СОЗДАНИЯ ЦИКЛИЧЕСКОЙ КОНТИНУАЛЬНО-КВАНТОВОЙ ХИ-КВАДРАТ МАШИНЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ НА МАЛЫХ ТЕСТОВЫХ ВЫБОРКАХ БИОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ДАННЫХ ИНОЙ ПРИРОДЫ
Аннотация.
Актуальность и цели. Рассматриваются предпосылки снижения размеров тестовой выборки хи-квадрат критерия Пирсона с 600 примеров до 20 примеров при сохранении его мощности. Актуальность задачи обусловлена тем, что при обучении и тестировании средств биометрической идентификации личности нет возможности использовать большие объемы обучающей и тестовой выборок.
Материалы и методы. Формализуются условия, при которых хи-квадрат критерий на малых выборках из непрерывного распределения значений становится дискретным распределением значений. Для нормального и равномерного закона распределения значений используются гистограммы с равномерными интервалами, имеющими точную привязку центральных интервалов гистограммы к вычисленному на тестовой выборке математическому ожиданию.
Результаты. Предложено усилить мощность хи-квадрат критерия до 22 раз за счет сглаживания гистограмм цифровым фильтром с окном скольжения в 9 отсчетов. Дается прогноз о том, что следующий усилитель мощности хи-квадрат критерия должен строиться в виде циклического континуально-квантового преобразователя, многократно решающего задачу для подвыборок меньшего объема. Дается оценка дополнительного усиления мощности хи-квадрат критерия за счет выявления и исследования дискретных состояний его распределения (выходного дискретного спектра хи-квадрат преобразования).
Выводы. Показано, что при 16 опытах синхронизованный по математическому ожиданию хи-квадрат критерий, построенный на гистограммах с шестью равными интервалами, имеет дискретный спектр вероятности значений, состоящий из 116 значимых линий. Вероятность появления каждой из линий зависит от входного закона распределения значений. Учет дискретного характера спектра хи-квадрат распределения может позволить дополнительно поднять мощности хи-квадрат критерия на один или два порядка.
Ключевые слова: континуально-квантовая хи-квадрат машина, критерий Пирсона, биометрия.
V. I. Volchikhin, A. I. Ivanov, D. V. Pashchenko, B. B. Akhmetov, S. E. Vyatchanin
THE PROSPECT OF CREATION OF A CYCLIC CONTINUAL-QUANTUM CHI-SQUARED MACHINE FOR CHECKING STATISTICAL HYPETHESES ON SMALL TEST SAMPLES OF BIOETRIC AND OTHER TYPES OF DATA
Abstract.
Background. The article considers preconditions for reducing sized of test samples of the Pearson's chi-squared test from 600 examples to 20 examples provided preservation of its capacity. The problem's topicality is caused by the fact that during learning and testing of personality biometric identification means it is not possible to use ;arge volumes of learning and testing samples.
Materials and methods. The study formalizes the conditions, at which the chi-squared test on small samples becomes a discerete distribution of values from a continuous distribution of values. For the normal and uniform law of values distribution the authors use histograms with uniform intervals having a precise binding of central intervals of a histogram to mathematical expectation, calculated on a test sample.
Results. It is offered to amplify the chi-squared test capacity 22 times by smoothing histograms with a digital filter with a slipping window of 9 readouts. The forecast is that the next chi-squared test capacity amplifier should be designed in the form of a cyclic continual-quantum converter that repeatedly solves the problem for smaller sub-samples. The article assesses an additional amplification of the chi-squared test capacity by revealing and studying discrete conditions of its distribution (an output discerte spectrum of the chi-squared conversion).
Conclusions. It is shown that in 16 experiments the chi-squared test, synchronized by mathematical expectation and built on histograms with 6 uniform intervals, has a discrete spectrum of value probability consisting of 116 significant lines. The occurrence probability of each line depends on the input value distribution law. Recording of the discrete prectrum of chi-squared distribution can make it possible to improve the chi-squared test capacity by one or two orders.
Key words: continual-quantum chi-squared machine, Pearson's chi-squared test, biometrics.
Проблема малых выборок биометрических данных
Проблема статистического описания малых выборок биометрических данных обусловлена тем, что вероятность появления событий и плотность распределения значений биометрических параметров являются непрерывными (континуальными). Для их достаточно точного описания нужно проводить большое число статистических экспериментов. Если же мы пытаемся сделать некоторый статистический вывод, опираясь на малую выборку биометрических данных, то возникает эффект квантования континуумов с неминуемой их дискретизацией. На рис. 1 представлено кусочно-ступенчатое описание (дискретное) описание упомянутых выше статистических континуумов.
Очевидно, что кусочно-ступенчатое приближение непрерывной функции порождает шумы квантования, амплитуда которых монотонно падает по мере увеличения данных в исходной тестовой выборке. Частота скачков шума квантования монотонно увеличивается по мере роста объема примеров в тестовой выборке.
рО
0.4
V )
\
/ -
/ / \
\
7- \ \
-0.2
(V )
/ \
1/ ка квага -ования данных
непрерывного распределения 1 1 1
-3
-2
Рис. 1. Приближение непрерывной нормальной плотности распределения значений гистограммой, содержащей 4 интервала (к = 4) для выборки из 15 примеров
Одним из самых популярных статистических критериев является хи-квадрат критерий [1, 2] Пирсона:
X
к
= N ■ Z
1-1
N - P,
N 1
P
(1)
где Ьг- - число опытов, попавших 7-й интервал гистограммы; р - ожидаемая теоретическая вероятность попадания в 7-й интервал гистограммы; к - число столбцов в гистограмме; N - число опытов в выборке.
Обычно хи-квадрат критерий оказывается достаточно мощным, когда тестовая выборка состоит из 200 и более примеров. В этом случае может быть использовано порядка 40 столбцов гистограммы (гоиМ(200/5) = к = 40 [2]). В биометрии [3-6] столь значительные выборки получить не удается. Пользователи воспринимают необходимость воспроизведения 200 рукописных образов как слишком утомительную задачу. Как правило, пользователь воспроизводит от 9 до 20 примеров своего рукописного образа. Желательно столь малую выборку использовать и для обучения средства идентификации личности, и для тестирования этого средства.
Если исходить из объема выборки в 20 примеров, то гистограмма должна иметь 4 столбца, как это показано на рис. 1. При этом крайний левый столбец гистограммы может начинаться с минимального значения, обнаруженного в выборке, а крайний правый столбец гистограммы может заканчиваться максимальным значением данных в использованной выборке. В этом случае ширина каждого столбца гистограммы составит
Av-
max(v) - min(v)
к
(2)
Популярность хи-квадрат критерия обусловлена тем, что в 1900 г. Пирсон дал аналитическое описание плотности распределения значений хи-квадрат критерия:
P(X ,т) =
1
m i
Г "2 -
-.m/2
Г(т/2)
exp
(3)
где Г(.) - гамма функция; т - число степеней свободы.
Число степеней свободы m в формуле (3) принято выбирать исходя из числа столбцов в гистограмме:
m = к - 3. (4)
В нашем случае к = 4, выражение (4) дает предельно низкое значение m = 1, что и свидетельствует о крайне низкой мощности хи-квадрат критерия для малых выборок биометрических данных.
Цифровое сглаживание гистограммы как способ повышения мощности хи-квадрат критерия на малых выборках
Мощность хи-квадрат критерия однозначно связана с числом столбцов гистограммы (4), попытаемся повысить мощность хи-квадрат критерия увеличив в 10 раз число столбцов гистограммы. Очевидно, что простое увеличение числа столбцов гистограммы приведет к нежелательному эффекту появления «пустых» столбцов, как это показано на рис. 2.
Рис. 2. Гистограмма данных и шум ошибки квантования непрерывного распределения данных при интервалах, взятых в 10 раз уже, чем стандартные рекомендации [2]
Из левой части рис. 2 видно, что гистограмма имеет очень много пустых столбцов, а ее форма стала не похожа на форму непрерывного распределения данных. Уменьшить амплитуду шума квантования и заполнить пустые интервалы столбцов гистограммы удается, если запустить сглаживающий цифровой фильтр [7-9]. Эта процедура приводит к появлению еще одной модификации хи-квадрат критерия со сглаживающим шумы квантования линейным усредняющим фильтром по скользящему окну с нечетным числом отсчетов. Программная реализация такого фильтра для окна сглаживания в 9 отсчетов занимает две строки в среде математического моделирования MatCAD:
i := 4,...,(/osi(g) - 4);
' := Si-4 + gi-3 + gi-2 + gi-1 + gi-0 + gi+1 + gi+2 + gi+3 + gi+4 (5) sgi := 9 ,
где gi - отсчеты гистограммы со слишком узкими столбцами; sgi - выходные отсчеты сглаживающего данные фильтра. Результаты работы сглаживающего фильтра приведены на рис. 3.
Из рис. 3 видно, что форма восстановленной гистограммы хорошо повторяет форму непрерывного распределения данных, шум ошибок квантова-
ния существенно снизился. Все это приводит к значительному росту мощности сглаженного хи-квадрат критерия.
Рис. 3. Восстановленная сглаживанием гистограмма с числом столбцов, в 10 раз больше, чем стандартные рекомендации и соответствующий ей шум квантования
Очевидно, что мощность любого статистического критерия монотонно увеличивается с ростом размеров тестовой выборки. Для того чтобы оценить скорость роста мощности, воспользуемся численным экспериментом и будем подавать на хи-квадрат преобразователь нормальные и равномерные данные. Очевидно, что в этой ситуации будут возникать ошибки первого и второго рода. Для оценки мощности статистических критериев удобна так называемая точка равновероятных ошибок:
P = P2 = P
ЕЕ •
(6)
На рис. 4 отображены функции понижения равновероятных ошибок в логарифмической шкале для обычных гистограмм, состоящих из 6 столбцов и сглаженных гистограмм, имеющих примерно 60 непустых столбцов (рис. 3).
Рис. 4. Мощность хи-квадрат критерия в логарифмической шкале равновероятных ошибок
Из рис. 4 следует, что мощность хи-квадрат критерия со сглаживанием при выборке в 30 примеров оказывается примерно в 22 раза выше, чем тот же
критерий дает без сглаживания. То есть при 30 примерах сглаженного хи-квадрат критерия вероятности ошибок PEE будут такими же, как при 660 примерах обычного хи-квадрат критерия без сглаживания. Сглаживая данные цифровым фильтром (5), мы получили весьма и весьма эффективный усилитель мощности хи-квадрат критерия.
Наблюдение дискретного выходного спектра хи-квадрат преобразований на малых выборках
Из приведенного выше материала следует, что вроде бы из ничего мы получили машину, существенно усилившую мощность хи-квадрат критерий. Машина примерно в 10 раз увеличивает число столбцов гистограммы, что приводит к увеличению числа степеней свободы с m = 3 (для 6 столбцов) до величины m = 60 - 3 =57 по формуле (4). Это примерная оценка, не соответствующая действительности. На самом деле наблюдается существенно меньший рост числа степеней свободы, кроме того, величина m перестает быть целой, она становится дробной (размерность пространства сглаженного хи-квадрат функционала оказывается фрактальной).
Тем не менее общая тенденция монотонного роста числа степеней свободы при росте числа столбцов гистограммы сохраняется. Это приводит к иллюзии возможности создания хи-квадрат машины с неограниченной мощностью путем бесконечного увеличения числа столбцов в гистограмме. Такая попытка была предпринята и привела к обнаружению дискретного характера спектра состояний хи-квадрат критерия [10-12]. Для того чтобы убедиться в дискретном характере спектра состояний, следует принять специальные меры синхронизации столбцов гистограммы с математическим ожиданием исследуемого закона распределения значений. При анализе симметричных законов распределения необходимо для нечетных k = 3, 5, 7, ... математическое ожидание контролируемых данных размещать в центре центрального столбца гистограммы. Если же используется четное число столбцов гистограммы k = 2, 4, 6, ., то математическое ожидание контролируемых данных следует размещать строго между двумя центральными столбцами гистограммы. В этом случае выходной спектр хи-квадрат преобразования становится дискретным, как это показано на рис. 5.
Так, для 9 опытов хи-квадрат функционал с гистограммой из 4 столбиков в интервале значений % от 0,0 до 11,0 дает 18 спектральных линий разной интенсивности для нормального и равномерного законов распределения значений. Между спектральными линиями иных состояний не возникает, а интенсивность каждой спектральной линии можно достаточно точно оценить на большой выборке данных.
Увеличение числа опытов и числа столбцов гистограммы приводит к росту числа обнаруживаемых спектральных линий. Так, для 16 опытов и 6 столбцов гистограммы спектр хи-квадрат функционала в том же интервале увеличивается до 116 линий (рис. 6).
Дискретный характер спектра хи-квадрат функционалов позволяет создать циклическую машину, дополнительно усиливающую мощность статистического критерия. Эта возможность обусловлена тем, что полная выборка,
состоящая из 21 примера, может быть представлена большим числом ( C^f ) неповторяющихся подвыборок из 16 примеров:
i21l Г16 16 " С21 " 116 )
21!
16! (21 -16)!
- = 20 349.
(7)
О is спектре олбца г 1 9 опытов ттьныз; ттттнитт
1 4 ex пстогр аммы
1
1 ,1 1. 1
о:
/I1 \\\Ч
Ö СО Ö Ö 40
—| со 1г_1 ог> •=« ^ •=« Г i ri
о со г-1 -+
10
Рис. 5. Дискретные спектры конечного числа состояний хи-квадрат распределений нормального закона (толстые бледные линии) и равномерного закона (тонкие темные линии)
Рис. 6. Дискретный спектр состояний хи-квадрат критерия, получившийся при увеличении числа опытов (с 9 до 16) и при увеличении числа столбцов гистограммы (с 4 до 6)
Последнее означает, что мы можем проделать 20 349 опытов и построить спектр, состоящий из 116 линий, как это показано на рис. 6. Если при этом мы получим спектр, близкий к спектру нормального закона распределений (бледные толстые линии), то будет подтверждена гипотеза нормальности. Если спектр будет близок к спектру равномерного закона (тонкие темные линии), то будет подтверждена гипотеза равномерности. Плавный переход от одного спектра к другому будет соответствовать смеси нормального и равномерного распределений в разных пропорциях.
Следует также отметить, что кроме подвыборок, состоящих из 16 отсчетов, могут быть использованы и другие подвыборки с меньшим числом отсчетов. При этом происходит быстрое снижение числа опытов
С21 > С21 > C21 > С21 > C21 , однако каждая из таких подвыборок дает свой спектр и позволяет получить дополнительную информацию. Суммарное число опытов, полученных на монотонно растущих выборках, составляет при-
17 18 19 20
мерно 37 % от стартового числа (С21 + C21 + C21 + C21 = 7 546). Иная ситуация происходит при монотонном уменьшении размеров подвыборки, например, переход от подвыборок из 16 примеров к подвыборкам из 15 примеров приводит к появлению 54 264 дополнительных опытов, однако при этом спектр выходных состояний хи-квадрат функционалов упрощается. Наблюдаются две тенденции, компенсирующие взаимное влияние. Рост размеров подвыборки приводит к снижению числа опытов, однако при этом усложняется спектр выходных состояний. Необходимо решать задачу оптимизации.
Заключение
Принципы, изложенные в данной статье, позволяют создать вторую континуально-квантовую циклическую машину, способную выполнять порядка 70 000 циклов, постепенно уточняя принимаемое статистическое решение до заранее заданного значения вероятностей ошибок. Какова будет мощность такой машины, пока неизвестно, однако эта мощность, видимо, будет много выше первой нециклической машины, сглаживающей гистограмму хи-квадрат функционалов, речь о которой шла в первой части статьи. Предположительно, с использованием первой и второй машин может быть создана программа, позволяющая на малых тестовых выборках биометрических данных обеспечивать вероятность ошибок первого и второго рода много ниже, чем лучшие из всех существующих на сегодня статистических критериев.
Принципиальным преимуществом циклических континуально-квантовых машин является то, что они позволяют не только подтвердить или опровергнуть какую-либо статистическую гипотезу, но и указать линейную комбинацию (параметры смеси) двух проверяемых законов распределения, дающую спектр наиболее близкий к обнаруженному. Для описания и настройки нового типа континуально-квантовых циклических машин вполне достаточно уже накопленных знаний (достаточно отказаться от гипотезы непрерывности спектра хи-квадрат функционалов и подобных им преобразований).
Библиографический список
1. Кобзарь, А. И. Прикладная математическая статистика для инженеров и научных работников / А. И. Кобзарь. - М. : Физматлит, 2006. - 816 с.
2. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Ч. I. Критерии типа х2. Госстандарт России. - М., 2001. - 140 с.
3. Нейросетевая защита персональных биометрических данных / Ю. К. Язов, В. И. Волчихин, А. И. Иванов, В. А. Фунтиков, И. Г. Назаров ; под ред. Ю. К. Язова. - М. : Радиотехника, 2012. - 157 с.
4. Руководство по биометрии : пер. с англ. / Руд Болл, Джонатан Х. Коннел, Шарат Панканти, Налини К. Ратха, Сеньор У. Эндрю. - М. : Техносфера, 2007. - 368 с.
5. Ахметов, Б. С. Алгоритмы тестирования биометрико-нейросетевых механизмов защиты информации / Б. С. Ахметов, В. И. Волчихин, А. И. Иванов, А. Ю. Малыгин. - Казахстан, Алматы : КазНТУ им. Сатпаева, 2013. - 152 с. -URL: http:// portal.kazntu.kz/files/publicate/2014-01-04-11940.pdf
6. Технология использования больших нейронных сетей для преобразования нечетких биометрических данных в код ключа доступа : моногр. / Б. С. Ахметов, А. И. Иванов, В. А. Фунтиков, А. В. Безяев, А. Ю. Малыгин. - Казахстан, Алматы : Изд-во LEM, 2014. - 144 c. - URL: http://portal.kazntu.kz/files/publicate/2014-06-27-11940.pdf)
7. Серикова, Н. И. Биометрическая статистика: сглаживание гистограмм, построенных на малой обучающей выборке / Н. И. Серикова, А. И. Иванов, С. В. Качалин // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М. Ф. Решетнева. - 2014. - № 3 (55). - С. 146-150.
8. Серикова, Н. И. Оценка правдоподобия гипотезы о нормальном распределении по критерию Джини для сглаженных гистограмм, построенных на малых тестовых выборках / Н. И. Серикова, А. И. Иванов, Ю. И. Серикова // Вопросы радиоэлектроники. Сер.: СОИУ. - 2015. - Вып. 1. - С. 85-94.
9. Ахметов, Б. С. Алгоритм искусственного повышения числа степеней свободы при анализе биометрических данных по критерию согласия хи-квадрат / Б. С. Ах-метов, А. И. Иванов, Н. И. Серикова, В. А. Фунтиков // Вестник национальной академии наук Республики Казахстан. - 2014. - № 5. - С. 28-34.
10. Иванов, А. И. Квантовые компьютеры: прошлое, настоящее, будущее /
A. И. Иванов // Защита информации. INSAID. - 2015. - № 2. - С. 29-32.
11. Ахметов, Б. Б. Дискретный характер закона распределения хи-квадрат критерия для малых тестовых выборок / Б. С. Ахметов, А. И. Иванов, Н. И. Серикова,
B. А. Фунтиков // Вестник Национальной академии наук Республики Казахстан. -Алматы. - 2015. - № 1. - С. 17-25.
12. Волчихин, В. И. Моделирование подсистемы загрузки данных наземной системы контроля авиационных радиолокационных комплексов с использованием аппарата сетей Петри / В. И. Волчихин, Д. В. Пащенко, Д. А. Трокоз // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. -№ 3. - С. 37-48.
References
1. Kobzar' A. I. Prikladnaya matematicheskaya statistika dlya inzhenerov i nauchnykh rabotnikov [Applied mathematics and statistics for engineerings and researchers]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 816 p.
2. R 50.1.037-2002 Rekomendatsii po standartizatsii. Prikladnaya statistika. Pravila proverki soglasiya opytnogo raspredeleniya s teoreticheskim. Ch. I. Kriterii tipa x2. Gosstandart Rossii [Standardization recommendations. Applied statistics. Rules for checking accordance between experimental and theoretical distribution. Part 1. Criteria of X2 type. State standard of Russia]. Moscow, 2001, 140 p.
3. Yazov Yu. K., Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Funtikov V. A., Nazarov I. G. Ney-rosetevaya zashchita personal'nykh biometricheskikh dannykh [Neural-network protection pf personal biometric data]. Moscow: Radiotekhnika, 2012, 157 p.
4. Boll R., Konnel Dzhonatan Kh., Pankanti Sharat, Ratkha Nalini K., Sen'or U. Endryu Rukovodstvo po biometrii: per. s angl. [Guide on biometrics: translation from English]. Moscow: Tekhnosfera, 2007, 368 p.
5. Akhmetov B. S., Volchikhin V. I., Ivanov A. I., Malygin A. Yu. Algoritmy testirovani-ya biometriko-neyrosetevykh mekhanizmov zashchity informatsii [Algorithms of biometric-neural network data protection mechansism testing]. Kazakhstan, Almaty: KazNTU im. Satpaeva, 2013, 152 p. Available at: http:// portal.kazntu.kz/ files/publicate/2014-01-04-11940.pdf
6. Akhmetov B. S., Ivanov A. I., Funtikov V. A., Bezyaev A. V., Malygin A. Yu. Tekhnologiya ispol'zovaniya bol'shikh neyronnykh setey dlya preobrazovaniya nechet-kikh biometricheskikh dannykh v kod klyucha dostupa: monogr. [Application of large neural networks for fuzzy biometric data conversion into access key code: monograph].
.Kazakhstan, Almaty: Izd-vo LEM, 2014, 144 p. Available at: http://portal. kazntu.kz/files/publicate/2014-06-27-11940.pdf)
7. Serikova N. I., Ivanov A. I., Kachalin S. V. Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aero-kosmicheskogo universiteta im. akademika M. F. Reshetneva [Bulletin fo Siberia State Aerospace University named after academician M.F. Reshetnev]. 2014, no. 3 (55), pp. 146-150.
8. Serikova N. I., Ivanov A. I., Serikova Yu. I. Voprosy radioelektroniki. Ser.: SOIU [Problems of radio electronics. Series: SOIU]. 2015, iss. 1, pp. 85-94.
9. Akhmetov B. S., Ivanov A. I., Serikova N. I., Funtikov V. A. Vestnik natsional'noy akademii nauk Respubliki Kazakhstan [Bulletin of the National Academy of Sciences of the republic of Kazakhstan]. 2014, no. 5, pp. 28-34.
10. Ivanov A. I. Zashchita informatsii. INSAID [Data protection: INSAID]. 2015, no. 2, pp. 29-32.
11. Akhmetov B. B., Ivanov A. I., Serikova N. I., Funtikov V. A. Vestnik Natsional'noy akademii nauk Respubliki Kazakhstan [Bulletin of the National Academy of Sciences of the republic of Kazakhstan]. Almaty, 2015, no. 1, pp. 17-25.
12. Volchikhin V. I., Pashchenko D. V., Trokoz D. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2010, no. 3, pp. 37-48.
Волчихин Владимир Иванович Volchikhin Vladimir Ivanovich
доктор технических наук, профессор, Doctor of engineering sciences, professor,
президент Пензенского государственного President of Penza State University
университета (Россия, г. Пенза, (40 Krasnaya street, Penza, Russia) ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Иванов Александр Иванович доктор технических наук, доцент, начальник лаборатории биометрических и нейросетевых технологий, Пензенский научно -исследовательский электротехнический институт (Россия, г. Пенза, ул. Советская, 9)
E-mail: [email protected]
Пащенко Дмитрий Владимирович доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной техники, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Ахметов Берик Бахытжанович
кандидат технических наук, профессор, вице-президент Международного Казахско-Турецкого университета имени Х. А. Ясави (Казахстан, г. Туркестан, пр. Б. Саттарханова)
E-mail: [email protected]
Ivanov Aleksandr Ivanovich Doctor of engineering sciences, associate professor, head of the laboratory of biometric and neural network technologies, Penza Research Institute of Electrical Engineering (9 Sovetskaya street, Penza, Russia)
Pashchenko Dmitriy Vladimirovich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of computer engineering, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Akhmetov Berik Bakhytzhanovich Candidate of engineering sciences, professor, vice-president of Hodja Ahmet Yassawi International Kazakh-Turkish University (B. Sattarkhanova avenue, Turkestan, Kazakhstan)
Перспектива создания циклической континуально-квантовой хи-квадрат машины для проверки статистических гипотез на малых тестовых выборках биометрических данных и данных иной природы /
В. И. Волчихин, А. И. Иванов, Д. В. Пащенко, Б. Б. Ахметов, С. Е. Вятчанин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические
науки. - 2017. - № 1 (41). - С. 5-15. DOI 10.21685/2072-3059-2017-1-1
Вятчанин Сергей Евгеньевич доцент, начальник кафедры радио-и космической связи факультета военного обучения, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Vjatchanin Sergej Evgenyevich Associate professor, head of sub-department
of radio and satellite communications, Faculty of Military Education, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 004
