CC BY
31
Физико-математические науки
УДК 531.19
Сёмкин Сергей Викторович Смагин Виктор Павлович
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Россия. Владивосток
Для модели Изинга разбавленного магнетика построена зависимость намагниченности от концентрации примеси при нулевой температуре в приближении самосогласованного поля. Проведено сравнение полученной зависимости с перколяционной кривой решетки Бете.
Ключевые слова и словосочетания: фазовые переходы, перколяционная кривая, модель Изинга, решетка Бете.
Исследование фазовых переходов в разбавленных и неупорядоченных магнетиках является предметом теоретических и экспериментальных исследований уже на протяжении многих лет [5]. В работах [1-4] мы предложили классификацию самосогласованных методов расчета намагниченности и критических точек чистых и разбавленных магнетиков. Известно, что намагниченность в модели Изинга разбавленного ферромагнетика в нулевом внешнем магнитном поле и при нулевой температуре совпадает с перколяционной кривой решетки - вероятностью (в зависимости от концентрации магнитных атомов) того, что данный магнитный атом принадлежит бесконечному кластеру таких атомов [5]. В настоящей работе мы вычисляем намагниченность разбавленного по узлам изинговского магнетика с координационным числом решетки § при нулевой температуре. Эту намагниченность (в зависимости от концентрации магнитных атомов) мы сравниваем с известной перколяционной кривой решетки Бете [5]. Рассмотрим модель Изинга с разбавлением по узлам. Гамильтониан этой модели имеет вид:
где ст. - обычные изинговские переменные, определяющие ориентацию магнитного момента атома и принимающие значения +1 и -1; - обменный интеграл,
- пропорциональна внешнему магнитному полю.
Перколяционная кривая в приближении самосогласованного поля
(1)
233
Случайная переменная ^ может быть равна 0 и 1, ее среднее значение \ ¿Г;} = р определяет вероятность заполнения ¿-го узла изинговским «спи-ном»;суммирование в первой сумме проводится по всем упорядоченным парам соседних узлов, во второй сумме - по всем узлам решетки. Будем считать, что магнитные и немагнитные атомы размещены по узлам решетки случайно, без корреляции и не перемещаются под воздействием тепловых колебаний («вмороженные» примеси).
Согласно [1-4] одним из способов приближенного решения задачи с гамильтонианом типа (1) является следующий.
Рассмотрим кластер, состоящий из п атомов. Гамильтониан этого кластера выглядит так:
Г.. = - Г.":,- " - -.-I': - - .V, .1 " - . (2)
Суммирование в первом слагаемом этого выражения производится по парам входящих в кластер атомов, являющихся ближайшими соседями. Второе слагаемое в (2) описывает взаимодействие атомов кластера с их ближайшими соседями, не входящими в кластер, а третье слагаемое - с внешним полем. Поля обменного взаимодействия вычисляются для каждого атома кластера суммированием изинговских переменных (с учетом разбавления), соответствующих внешним атомам, соседним к данному.
Усредним величину по ансамблю с гамильтонианом (2), рассматривая «ги как постоянные, а затем усредним полученное выражение по совместной функции распределения полей обменного взаимодействия ' ■'. : . . Построив аналогичное выражение для другого кластера, содержащего п' п атомов, и приравнивая эти два выражения, получим уравнение:
-.т -.т , (3)
Дальнейший расчет зависит от того, в каком приближении рассматривать функцию распределения полей обменного взаимодействия И^У'^)-Простейшее приближение получим, если принять все /г|и постоянными величинами, равными где c¡i - число «внешних» соседей ¡-го атома, Ц. -характеризующий намагниченность параметр, определяющийся из решения самосогласованного уравнения (3). Для чистого (р = 1) магнетика, взяв п = 1 и м' = 2в этом приближении, получим:
= :::: ..-■::= --:-—, (4)
где М = (о) - средняя намагниченность на узел, 234
if = J/kT (к - постоянная Больцмана),
- координационное число решетки. Нетрудно показать, что приближение (4) есть не что иное, как известное приближение Бете [3; 5].
Рассмотрим теперь модель Изинга с разбавлением по узлам в случае, когда р ± L Рассуждая так же, как в случае неразбавленного магнетика, получим самосогласованное уравнение для определения намагниченности М [3]:
+ч - (1 -rtth№ -1)^+4+(5)
.
Это уравнение переходит в (4) при р = L и имеет при h = 0 ненулевое решение при условии К > Кс,
где КГ») = lln^, L (6)
= 1/(17 —'1) - перколяционный порог решетки Бете [5].
Заметим, что хотя уравнения (5) дают точное решение для модели Изинга на решетке Бете при р = 1 и точное значение перколяционного порога рс для этой решетки, их все же нельзя рассматривать как точное решение задачи Изинга для разбавленного магнетика на решетке Бете.
Зависимость намагниченности при нулевой температуре (К ->■ «>) и нулевом внешнем поле (Л = О) от концентрации является, как известно, вероятностью того, что некоторый магнитный атом принадлежит бесконечному кластеру И*(р) [5]. Эта функция находится из решения уравнения
= ::■..;;.■■. ' (7)
На рисунке 1 показаны графики функции IV (р) для Ц = Ъ (кривая 1) и для § = 4 (кривая 3).
Для решетки Бете перколяционная кривая Ж00(р) может быть вычислена точно [5]. Для построения этой кривой можно использовать метод производящей функции, как в [5], но тот же результат может быть получен и из простых комбинаторных соображений. Обозначим V вероятность того, что выбранный случайно узел решетки Бете разбавленного магнетика не принадлежит бесконечному кластеру магнитных атомов. Очевидно, что V связано с Ш0(р) простым соотношением:
235
Введем вероятность 1 того, что узел решетки, у которого по крайней мере один соседний узел заполнен магнитным атомом, не принадлежит бесконечному кластеру. Тогда
Первое слагаемое в этом выражении - вероятность того, что данный узел не занят магнитным атомом. Второе - вероятность того, что в узле находится магнитный атом, но все соседние узлы не принадлежат бесконечному кластеру.
Рис. 1. Графики функции
Рассматривая теперь один из узлов, соседних к данному, можно записать следующее соотношение для вероятности
Уравнение (10) имеет тривиальное решение £ = 1. Исключив этот корень, получим
Из уравнений (8) и (9) получим выражение И^. (р) через 2":
'■:.■■ =:--■". (12)
Уравнения (10) - (12) дают решение задачи о нахождении перколяци-онной кривой Ид (р) для решетки Бете. Графики функций (р) для I? = 3 и = 4 приведены на рис. 1 (кривые 2 и 4 соответственно). Функция обладает следующими свойствами. Она не равна нулю только в интервале рс < р < 1, где рс = - 1)> и монотонно возрастает до 1 с ростом р. При р = Рс функция И/0 (р) имеет конечную производную, которую можно определить из (11) и (12). Дифференцируя эти уравнения по р и исключив производную от 2, получим (с учетом того, что при р = рс 2 = 1): 236
(13)
Вернемся теперь к функции И7(р), определяемой уравнениями (7). Как видно из рис. 1, эта функция близка к Ид (р ); с ростом ¡2 различие между ними уменьшается. Однако наблюдается различие в поведении этих функций вблизи Рр. Покажем, что при р = ре производная функции IV (р) (в отличие от производной (р)) бесконечна. Обозначим в (7) у = црх и разложим все гиперболические тангенсы в (7) до второго ненулевого члена вблизи у = О. В результате получим, что вблизи р = рс
где - т-е- ™ О) - Ре)
1. Сёмкин, С.В. Использование метода усреднения по полям взаимодействия для построения ренормгруппового преобразования фиксированного масштаба / С.В. Сёмкин, В.П. Смагин // Физика твердого тела. - 2013. - Т. 55. - Вып. 5. - С. 892 - 895.
2. Сёмкин, С.В. Методы получения самосогласованных уравнений для изинговского магнетика / С.В. Сёмкин, В.П. Смагин // Изв. вузов. Физика. - 2013. - Т. 56. - Вып. 2. - С. 9 - 14.
3. Семкин, С.В. Метод среднего поля и метод усреднения по обменным полям для кластеров магнитных атомов / С.В. Сёмкин,
B.П. Смагин // Территория новых возможностей. Вестник Владивостокского государственного университета экономики и сервиса. - 2012. -№3(16). - С. 266-270.
4. Семкин, С.В. Одномерная цепочка изинговских спинов /
C.В. Сёмкин, В.П. Смагин // Территория новых возможностей. Вестник Владивостокского государственного университета экономики и сервиса. - 2013. - №3(16). - С. 266-270.
5. Займан, Дж. Модели беспорядка: Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем / Дж. Займан // Мир. - М., 1982. - 591 с.
