Периодичность суммы непрерывных периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 2,1996

УДК 517.51

Периодичность суммы непрерывных периодических

функций

И. Л. Зинченко, С. Т. Сангаджиева

В работе полностью решен вопрос о том, когда сумма непрерывных периодических функций является периодической функцией.

Пусть x'\(t),..., xn(t) — непрерывные периодические функции с наименьшими положительными периодами и\,...,и>п соответственно и S(t) — x.i(t) + ... + xn(t). Изменив, в случае необходимости, порядок функций, можно считать, что функции x'i (t),..., хГл (t) имеют попарно соизмеримые периоды, функции xri+i(i),..., x,.1+r2(i) имеют попарно соизмеримые периоды, ..., функции xri+...+rbi+i(t), ...,xn+...+ri.{t) имеют попарно соизмеримые периоды, а периоды функций, входящих в разные группы, несоизмеримы. Положим

yi(t)=xl(t) + .:.+xri(t), • Vi{t) ~ arn+i(i) + ... +xn+r2(i),-

Vk{t) = Xrl+...+rk_1+l{t) + . ■ . + Xn+.,.+rk(t) .

Функции у\(/),...,yi;(t) являются периодическими. Кроме того, S(t) = x](t) + ... + xn(t) = yl(t) + ... + yk(t).

Теорема. Если все функции yi(t) s const или только одна из этих функций отличма от константы, то S(t) является периодической (функцией. Если по крайней мере две функции yi{t),yj{t) (г -ф. j} отличны, от константы, то S(t) не является периодической функцией.

Первая часть теоремы очевидна. Доказательство второй части вытекает из следующей леммы.

257

© Зинченко И. Л., Сангаджиева С. Т., 1996.

Лемма. Пусть х 1(/),..., — непрерывные периодические

функции с наименьшими положительными периодами ... ,ип. Если эти периоды попарно несоизмеримы, то функция. =

+ ... + £„(*) не является периодической. Доказательство. Запишем ряды Фурье для функций

~ / атехР(г" ■<-—' и>\

т

xn(t) ~ ^ а", ехр(г — mi).

m 71

Тогда почти периодической функции S(t) соответствует ряд Фурье (см.[1]):

S{t) ~ £ Ят еХР(': — mt) + • • • + а»г еХР^'

m m

причем в силу несоизмеримости периодов в выражении справа нет подобных членов (за исключением констант). Значит, S(t) имеет показатели Фурье щ т\,..., mn, где mi ф 0,..., тп ф- 0. Отношение любых двух из них не является рациональным числом. Значит, S(t) не является периодической функцией. Лемма доказана.

Литература

1. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953. 396 с.

Summary

Zinchenko I. L., Sangadjieva S. T. Periodicity of a sum of continuous periodic functions

In this work the necessary and sufficient condition for periodicity of a sum of continuous periodic functions is obtained.

Сыктывкарский университет Поступила 15.12.95