Периодический пограничный слой при большой амплитуде возмущений типа бегущей волны во внешнем течении Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

______ __

№1—2

УДК 532.526.013.2 532.526.5

ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ВО ВНЕШНЕМ ТЕЧЕНИИ

Р. В. Кречетников, И И. Липатов

Исследовано периодическое течение несжимаемой жидкости в двумерном нестационарном пограничном слое (ПС) на полубесконечной пластине, когда возмущение скорости во внешнем потенциальном потоке представляет собой бегущую волну. Решение получено с помощью численного метода, аналогичного Ш-

Изучены общие свойства данного типа течений, в частности, определена граница возникновения локальных зон отрыва в зависимости от волнового числа и амплитуды возмущения.

Рассмотрены режимы распространения малых длин волн и найдены соответствующие параметры подобия.

1. Введение и общая формулировка задачи. Нестационарный ПС при большой амплитуде возмущений во внешнем течении был рассмотрен во многих работах, но, в основном, задачи сводились к возмущениям типа стоячей волны [2], [3] или к наложению стоячей волны на равномерный поток [I]. Даже в случае |^|<1 при внешнем граничном условии типа Чу=ие\\ + Аховой) было обнаружено [1] появление рециркуляционных

зон на некотором расстоянии от носка пластины в течение периода колебаний Т = 2я/со. По поводу сформулированной в статье проблемы существует несколько противоречивых точек зрения.

В пользу отрыва ПС говорит, например, энергетическое рассмотрение в работе [4], согласно которому в случае бегущей волны, распространяющейся в направлении основного движения, напряжение Рейнольдса способствует переходу энергии от основного течения к возмущенному.

В то же время существует задача о нестационарном ПС на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания [5], поста-

новка которой аналогична рассматриваемой в плане периодичности внешних граничных условий по продольной координате х. Решение этой задачи говорит о возможности затягивания отрыва потока в зависимости от амплитуды и частоты колебаний цилиндра.

Целью нашего исследования было объединение свойств периодичности внешнего течения по продольной координате и по времени для определения влияния возмущений внешнего течения типа бегущих волн постоянной амплитуды или затухающих при х -» + оо волн на течение внутри ПС.

1.1 Постановка задачи в физических переменных (х, у, I, Ч1, р). В силу того, что периодичность (по времени) искомого решения предполагает процесс установления завершившимся I -» +оо, то задача становится краевой. Ее математическая формулировка имеет вид:

vp_- і «/_ч>-----------ш_ш_ _ v. ш—___1

yt у * ху х 1 уу v х ууу р ¥х >

j? = 0:vp; =vf-=0,

у = оо:Щу - Ue (l + X-e~bx cosА = А5с-соГ

(1)

Система координат выбрана так, что ее начало совпадает с пёредней кромкой пластины, ось х направлена вдоль нее, а ось j^-перпендикулярно оси х . При записи системы использованы следующие обозначения: Ч* — функция тока, р — давление, р — плотность, v — кинематическая вязкость, X — амплитуда, Ъ — коэффициент затухания, к — волновое число, со — частота.

Градиент давления, в силу (1), выражается следующей формулой:

где

/(л) = A,-e-&'x|(a~l)sinA + PcosA + ^e~b x [asin2A + $со$2/±\ + ^-е~ь'х |,

со/к со 1Ь

1.2 Преобразование переменных задачи. Дня численного и аналитиче-' ского исследования удобно преобразовать задачу к переменным Блазиуса (г), О по следующим формулам:

ґ=Ш, л = у^ие1\х, % = л](йх/ие , ЧІ(х,у,ї)= ^иех и ввести новую масштабную переменную = такую, что \ є [0,оо)

при £,е[о,л/2).

Тогда система (1) принимает вид:

Фтіпл + 2(р‘(рпп + 2^'^)-І5>!(Рлп -Фл^лН2^ = ^2/М,

Л = 0:ф = срп =0, г) = оо: ср^ -\ + Х-е~^х1а сое Д.

1.3 Нижнее граничное условие (х —» +со). При положительном и не равном нулю коэффициенте затухания Ъ нижним граничным условием будет решение Блазиуса: ф| _>+оо = Фв •

В случае Ъ = 0 в силу возможного наличия рециркуляционных зон появляется влияние вверх по потоку, что обусловливает необходимость постановки граничного условия при х —» +оо. Анализ показывает, что в этой области ПС имеет двухслойную структуру, аналогичную случаю £=0 [6]:

а) Внешняя область.

Переменные здесь имеют вид

2\х

1/2

У

, х = кх-Ш, ¥ = \і\иех\112

После подстановки в (1) получаем

1/2

, г) = оо; ^ =1 + ^.совД.

Представляя решение в виде

и=0

для нулевого и первого членов получаем уравнения (индекс для удобства располагаем снизу)

п = 0: а п = 1: а

00 О о

&1&Г\Г\ АГ|6ТГ|

8т;8цг\ £гі£тг| + 1эт£г|г| £г]Ятг|

+ £ тг| — 0 •

б) Внутренняя область. Переменные здесь имеют вид

со

2у

1/2

у, т-кх-Ш, Ч' = ї/в[2у/©],/2ф(^^,х).

После подстановки в (1) получаем:

■ФСК +%[ф^ф% -фсф%]+а[фтфсс -Ф;Ф<]+Ф< = /00>

Л = 0: ф = ф£ =0,

со

Л = 00: Ф = £

л=о-

Представляя решение в виде

Ф(т,5,0= И(^)-Фи(х»0.

л=-1

получаем ф = 0 и уравнение для и = 0:

1 0

-ФЖ + а

„о о т0„0 ФтФ^£ Ф^ФТ£

+ ФтС = /(*),

При постановке краевых условий на больших расстояниях ниже по течению от передней кромки учитывалось, что уравнения пограничного слоя не описывают неустойчивость типа волн Толлмина — Шлихтинга. Этот факт следует считать доказанным по крайней мере для возмущений малой амплитуды. Что касается возмущений конечной амплитуды, то в этом случае единственным механизмом, приводящим к возникновению особенностей (в определенном смысле к неустойчивости), является возникновение отрыва. В работе рассмотрены лишь режимы, соответствующие безотрывному обтеканию. При этом течение в ПС, хотя и содержит (или может содержать ) области возвратных токов, эти области ограничены по времени и по пространству. Предполагалось, что возникновение обратных токов на границе расчетной области оказывает лишь локальное воздействие на течение, так как нет механизмов, обеспечивающих распространение этого влияния вверх по потоку вне зоны возвратного течения.

2. Численный метод решения.

2.1 Аппроксимация производных по времени. При анализе систем вида (2) маршевыми по времени методами, как известно [1], возникает ряд сложностей. Поэтому для исключения каких-либо переходных процессов с

целью исследования установившегося периодического течения разложим искомое решение в ряд Фурье (с. с. — комплексно-сопряженная величина):

ф($>Л,') = ХфД^'п)'^"' ’ ф-и =с-с.ф„.

П——СО

Тогда система (2) принимает вид (рассматриваем только п > 0):

1 +0° 1 _ I |

Ф/щлл+2 -*Р/ПЛ + 2^'^У |ч>£Фт,л -ФлФ^т, )п

2 *

J=-<x>

-т-Е,2<9 «п =42/иЬ)»

11 = 0: ф„=фЛТ1=0,

г|=оо. ф^ -80л + — 6{ пе е

(3)

Здесь

/АЧ)=Х‘ -е-“[г(а-1)+р]+

х = кх, 8itj — символ Кронекера, а член |ф|фг|т1 ~ Фг|Ф|п) обозначает

п-ю гармонику выражения в скобках.

Так как в случае появления возвратных течений необходимо правильно учитывать зоны зависимости и влияния, то нужно заложить информацию об этом в аппроксимацию производных по % . В этом случае ряд Фурье для производной ф| (аналогично ф| ) принимает вид:

Ф£

П--со

, ч - 2п _ 2 л ^ +со /

Ей

о о \т=-со

-1т1

-ША:

_1_

2я

(4)

/я=-оо о тФ О

1 М —X

271 Ы1

+00

т=-х>

т^п

1{т - п)

+ в\п{и -*м)

так как

аналогично

о М/,_,

2 тс

2тс Г ) / \ ^

I ЫУ"-"><*=2>'<р

О '=1

еЦт—п)(\ _еКт-п)Ц_1

і(т-п)

где I)' — оператор дифференцирования по направлению £, на интервале времени (/,•_!,?;), ґо =0, Гдг = 2п. Используя два вида аппроксимации для £>*, выражение (4) можно переписать в форме:

[ріІ= Е^т^Ф,

т=-оо

где X)1 є(о,*1)и(г2,Гз)и..., І)2

2*;^ ег(т-лз)/'2к-1 _е»(«-и)*2к-2

Пт,#! = X

Я1*И &=1

2пі(т-п)

Пп.п ~

ґ2£-1 ~~12к-2 . 2я

= Е

2/^ еі(т-п)12\ _ еі{т-п)12\.\ *2/-/2/-1

2 пі(т-п)

2ж

тФп /=1

Тогда окончательный вид системы для и-й гармоники ( п > 0):

+00

2 .

У

+ 00 +00 / \

х{ £[Фи-уЧП ЕІіи.«£)1+У^«'С>2((Рт-

у=—оо т=-оо

'Фи-./'П +^т,п^ }фотг|^ —гиФлл=^ /лОО»

т=-<»

Л — 0: ф„=фті=0!

А

■ —і 2

Л = =о: Фті=б0>я+^б1>и-е'р,г/ае и.

(40

(5)

2.2 Квазилинеаризацш. Общая форма линеаризованного уравнения (штрих обозначает призводную по ті):

Фи ^пФя “*"^«Фп сиФи фп + сіп /) фи+еи£)ф;г+елі) Фи - /и • (6)

Уравнение (6) аппроксимировалось схемой второго порядка точности по л

гом по г|: Аг| = 0,05 и по ^ = 0,03 . Решение проводилось в два этапа.

На первом этапе зоны зависимости и влияния не учитывались и для аппроксимации производной по £, использовался левый уголок. Все гармоники в данной точке % определялись последовательно до появления сходимости с заданной точностью. В каждой точке определялись

гармоник) в момент Г = 0 и интервалы ее знакопостоянства с тем, чтобы на втором этапе правильно учитывать зоны зависимости и влияния с помощью соответствующей аппроксимации производной по Ь,. Также возможны другие подходы к правильному учету зон зависимости и влияния. Например, существует метод, основанный на аналогии трехмерного стационарного ПС двумерному нестационарному [7].

На первом этапе коэффициенты выражаются формулами:

и первого — по \ и решалось на сетке [о, 1 о], £е 0, —-0.1 с ша-

N

направление скорости

{И — число рассчитываемых

п=-И

М

а на втором этапе:

т=-п

I _ 2 n , _ 2n

e\ =-гй'ЙХ^я,;Ф^ ’ el =-T^'fe)Sv«.y<l,«-y

7=0 ^ 7=0

7л=^/Л0-||;ф«-7ф}-

7=1

2и и-1 2« и-1

y^J($n-j ^Ая.уФ/и Е^/я.уФда

y=l m=-n 7=1 m=~n

Все суммы, в которых верхний предел меньше или равен нижнему, заменяются нулем.

Решение нелинейной задачи зависит от количества рассчитываемых гармоник. Проведенные численные эксперименты показали, что решение быстро сходится с ростом числа гармоник, и для всех приведенных случаев относительная разница между вариантами, сооветствовавшими семи и

восьми гармоникам, не превышала 10~6.

Построенный метод позволяет рассчитывать течения с учетом зон зависимости и влияния при наличии рециркуляционных течений, которые не нарушают справедливость уравнений ПС, так как, несмотря на появление на поверхности пластины точки с нулевым или отрицательным трением, решение уравнений нестационарного ПС ведет себя регулярно, и иерархическая концепция Прандтля не нарушается. Поэтому в отличие от стационарных задач, появление точки нулевого трения не следует отождествлять с возникновением отрыва.

3. Исследование характеристик предотрывного течения. При равном нулю коэффициенте затухания решение задачи (2) определяется только двумя безразмерными параметрами — (а, А,). Нашей целью является определение области изменения указанных параметров, в которой течение внутри ПС остается безотрывным. Критерием отрыва в нестационарном случае может служить так называемый критерий MRS [8], [9]: нестационарный отрыв потока происходит внутри ПС в точке одновременного обращения в нуль величин трения и продольной составляющей вектора скорости в системе координат, связанной с этой точкой (точкой разрушения ПС). Однако в отличие от стационарного течения, эта точка лежит внутри ПС, а не на обтекаемой поверхности.

В данном случае для анализа предотрывных характеристик течения в ПС воспользуемся критериями Гольдштейна и Вонга.

Согласно критерию Гольдштейна отрыв нестационарного ПС происходит при появлениии особенности в распределении гидродинамических функций внутри ПС, например, при обращении вертикальной составляющей скорости в бесконечность в окрестности внешней границы ПС.

В соответствии сп. 1.2 отношение вертикальной составляющей скорости и амплитуды ее продольной составляющей имеет вид:

£ = -

Яе

-1/2

иех

Справедливость приближения ПС нарушается, когда е > 8о°° 1.

Критерий Вонга был построен на основании аналогии трехмерного стационарного ПС двумерному нестационарному [7]: отрыв ПС происходит при появлении предельных «линий тока» в плоскости (х, /), которые описываются уравнением:

сЕ

ей

иск

(к

5м ди

' и\— п+—Ду + ...»—Ау . ду ду

■\у=0

ди

В силу ТОГО, ЧТО ------------= = IIе

ду

ио

УХ

1/2

Фт,П’

Ау =

УХ

тг.

1/2

Л

у-* О

\х

ТГа

1/2

уравнение «линии тока» в указанной плоскости принимает вид: с1х

— = С^Алф^^, где величина иеАг\ является постоянной во всей области течения.

4. Результаты численного анализа.

4.1 Общие свойства течения. Для случая к= 0, соответсвующего стоячим волнам, наложенным на равномерный поток, основные результаты были получены в работе [1]. Во-первых, существует точка на оси х, отстоящая от передней кромки на некотором расстоянии хс, в которой впервые трение на пластине обращается в нуль. Соответственно при х > хс течение является возвратным. Во-вторых, увеличение амплитуды А. приводит к уменьшению хс и, кроме того, амплитуда скорости возвратного течения в данной точке х увеличивается.

В случае не равного нулю волнового числа к в данной работе были рассмотрены следующие ситуации возмущений внешнего граничного условия:

а) Бегущие волны постоянной амплитуды: фл =1 + А,0со8А, а = 1, Ад = 0,75.

На рис. 1, 2 изображены профили продольной скорости в пограничном слое для моментов времени ^=тг/2, ?2 ~п’ Ц-Ъп/2 при

а = 1 в точках % = 1,31 и % = 5,15 соответственно. Можно видеть, что об-

Рис. 1

ласть возвратных токов перидически возникает и исчезает с течением времени. При этом для профиля скорости при £ = 5,15 характерны области, где существенно влиние вязкости — вблизи поверхности и вблизи внешней границы, где при данных значениях паметров располагается критический слой, а также промежуточная область, для которой характерно эквидистантное изменение скорости со временем при неизменной форме профиля.

На рис. 3 представлены профили продольной скорости для стоячей волны при а = 0 в точке £ = 1,31. Результаты для этого случая совпали с полученными в работе [1].

Хотя задачи для стоячей и бегущей волн отличаются, можно отметить качественное подобие профилей скорости при одинаковых значениях скорости на внешней границе пограничного слоя. Этот факт, по-видимому, объясняется сравнительно слабой

нелинейностью уравнений для состояний, далеких от возникновения отрыва. В случае стоячей волны соответствующие результаты получены в работе [1], где результаты решения нелинейной задачи сравнивались с решениями линейных задач при разном количестве приближений.

На рис. 4 изображена зависимость поверхностного трения ср^ ^ от

продольной координаты и времени в случае а = 1. Вычисление трения производилось по формуле повышенного порядка точности:

Рис. 4

На рис. 5 представлена картина линий тока, свидетельствующая о наличии рециркуляционных зон при а = 1, Ло = 0,75. Кроме того, расчеты

показали полное отсутствие зон возвратных течений при амплитуде возмущения около 0,6 для а = 1 по сравнению со случаем а = 0.

б) Затухающие бегущие волны:

срл = 1 + А,о-е~^’*со8Д при а = 1, р = 1, А0 = 0,5.

На рис. 6 показано распределение трения на поверхности пластины, которое естественно отличается от распределения в случае незатухающих волн на больших рас-Рис. 5 стояниях от передней кромки.

Рис. 6

4.2 Характеристики предотрывного течения (р = 0). Свидетельством безотрывного характера течения в случае а = 1, А.0 = 0,75 служит график, полученный в соответствии с критерием Вонга и изображенный на рис. 7. Использование этого критерия в расчетах для семейства параметров (а, А,) позволило получить зависимость а(Х), отделяющую области безотрывного (между кривыми) и отрывного течений (рис. 8). Иллюстрация предот-

рывного состояния представлена на рис. 9 ( Х0 = 0,75), где можно выделить образование предельных линий тока.

Как видно из графика а(х), определяющего границу режимов отрывного течения (рис. 8 ), при уменьшении длины волны (увеличении волнового числа к) для фиксированного © отрыв ПС происходит при меньших амплитудах X. Аналогичный эффект проявляется при увеличении (О для фиксированного к. Также подтверждается очевидная не-симметрия уравнения (2) отно-

Рис. 7

сительно преобразования

а-»-а при его конечных значениях и симметрия при

|а| —> ао .

5. Влияние возмущений с малыми длинами волн. Рассмотренные выше режимы течения в пограничном слое характеризовались конечными длинами волн (длина бегущей во внешнем потоке волны предполагалсь сравнимой с характерной длиной, на которой развивается по-

Рис. 9

граничный слой). Очевидно, что возможны и другие режимы распространения волн с малыми длинами и фазовыми скоростями, отличающимися от скорости набегающего потока.

Для простоты предположим, что нестационарные изменения скорости внешнего течения характерны для области, расположенной на некотором расстояния I от передней кромки. Рассмотрим возмущенное течение в ламинарном пограничном слое в этой области.

Предполагается, что характерный продольный размер этой области течения мал, поскольку мала длина волны возмущений. Вместе с тем минимальный продольный масштаб может отличаться от длины волны. Поскольку мы в первую очередь интересуемся процессами предотрывного течения, то на малой длине приходится вводить в рассмотрение пристеночную область, в которой влияние сил вязкости и сил инерции имеет одинаковый порядок величины. В невозмущенном пограничном слое продольная скорость в пристеночной области может быть представлена в следующем виде

и -у/ъ, е = Ке~"1/2, Яе = р11е //ц .

Тогда условие одинаковости влияния сил вязкости и инерции имеет вид у-а*"3.

Для определения характерного размера в общем случае имеем длину волны и длину, определяемую как расстояние конвективного распространения возмущений, если характерное время пропорционально обратной частоте волны

*1 ~ 1 / к; х2 ~ и / со; х2 / х\ ~ ик / ю.

Отношение этих масштабов в общем случае мало и имеет конечный порядок только в случае, если фазовая скорость волны совпадает по порядку величины со скоростью в пристеночной области ( критический слой совпадает с пристеночной областью). Ниже рассматриваются режимы, для которых критический слой не совпадает с пристеночным слоем. Следовательно^ характерной тогда является длина х2 . Таким образом, оказывается, что длина области пристеночного течения много меньше, чем длина волны. В этом случае градиент давления будет меняться по времени и не будет в первом приближении зависеть от продольной координаты. Для функций в пристеночной области имеем следующие оценки

м~оГ1/2, и~ сГ1/2, *~со~3/2.

Теперь можно оценить отношение градиента давления и конвективных членов в уравнении продольного импульса

др/дхХк_

иди/дх е,1/2

Следовательно, при конечной величине параметра подобия П в пристеночной области влияние сил вязкости, сил инерции и градиента давления, индуцированного волной, будет одинаково по порядку величины. При малой величине параметра подобия П имеем дело с линейными возмущениями. Почти очевидно, что существуют предельные значения параметра подобия, при котором еще не возникает локальных зон отрывного течения. Для определения конкретных величин необходимо получить численное решение следующей краевой задачи

Можно показать, что при больших значениях продольной координаты влияние нелинейных конвективных членов будет несущественным. Поэтому особенность в решении может возникнуть лишь при конечных значениях продольной координаты.

Показано, что воздействие бегущих волн во внешнем потоке с конечными амплитудами может приводить к образованию зон отрыва в пограничном слое. Возникновение таких зон может оказывать существенное влияние на процессы ламинарно-турбулентного перехода и в определенных условиях вызывать его [4].

1. D и с k P. W. A numerical method for treating time — periodic boundary layers // J. Fluid Mech. — 1989. Vol. 204.

2. D u с к P. W., В о d о n у i R. J. Oscillatory flow over a semiinfinite flat plate at low Reynolds numbers // Computers & Fluids. — 1988. Vol. 16, No 3.

3. Алексин В. А., Кудряков А. М. Нестационарный двумерный пограничный слой. Институт проблем механики АН СССР. — Препринт № 452, — 1990.

4. L i п С. С. Some physical aspects of the stability of parallel flows // Proc. Nat. Acad. Sci., Wash. — 1954, 40.

5. Кравцова М. А., Рубан А. И. О нестационарном пограничном слое на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания // Ученые записки ЦАГИ. — 1985. Т. 16, № 6.

Щ(^У\А) = ау\,

д2их дщ dv}

):=V^T2 ’ я =°

ду( дх\ °У\

дщ(хх,ю,Ц)

—-— -------— = а,

где

х = /(1 + аГ3/2Х]), у-1г&~Х12у\, t = lU~^(£>~Xt\,

u(x,y,t) = ие of112щ ObJMl) + •••> v(x,y,t) = Uee<oV2vl {хх,ух ,tx) + ....

ЛИТЕРАТУРА

6. P e d 1 e y T. J. Two-dimensional boundary layers in a free stream which oscillates without reversing// J. Fluid Mech. — 1972. Vol. 55, part 2.

7. W a n g K. C. On the current controversy about unsteady separation // Numerical and physical aspects of aerodynamic flows. — 1982. Vol. 1.

8. M o o r e F. K. On the separation of the unsteady laminar boundary layer // Boundary Layer Research/ ed. H.Gortler. — Berlin: — 1958, Springer — Verlag.

9. R o 11 N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point // Quart. Appl. Math. — 1956. Vol. 13, № 4.

PyKonucb nocmynwta 4/VI 1998 z