CC BY
2УДК 681.51 Е. А. Шеленок
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ: БАЗОВЫЕ ПРИНЦИПЫ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Шеленок Е. А. - д-р техн. наук, доцент кафедры «Автоматика и системотехника» (ТСГУ), e-mail: 007141@pnu.edu.ra
Представлен обзор известных методов построения периодических систем управления с использованием специального динамического блока - генератора периодических сигналов. Обозначены основные задачи и направления развития методов разработки указанного класса автоматических систем.
Ключевые слова: периодическая система управления, генератор периодических сигналов, нелинейное периодическое управление.
Введение
Среди всего многообразия проблем современной теории автоматического управления можно выделить особый класс задач, связанных с вопросами анализа и синтеза так называемых систем управления циклического действия или периодических систем управления (ПСУ). Выделение подобных систем управления в обособленный класс связано с тем, что при их разработке решается одна из важных фундаментальных проблем автоматического управления - периодическое управление по выходу (periodic output regulation).
Актуальность и важность данной проблемы обуславливается ее практической значимостью, поскольку большое количество технологических циклов производственной сферы связано с решением задач циклического (повторяющегося) характера. К классу ПСУ можно отнести большое количество автоматических систем: системы управления роботами-манипуляторами, предназначенными для выполнения однотипных повторяющихся операций (сборочные манипуляторы, манипуляторы для автоматической сварки, роботы-манипуляторы для лазерной, плазменной и термической резки металлов, краны-манипуляторы); системы управления модулями подачи резца токарных металлообрабатывающих станков с числовым программным управлением; системы управления вибрационными установками и стендами; системы оптического сканирования; системы активной виброзащиты и другие.
© Шеленок Е. А., 2023
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-29-00246, ://rscf.ru/proj ect/23 -29-00246/
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
Базовый принцип периодического управления
Метод периодического управления (repetitive control) относится к разделам теории управления, посвященным изучению проблем слежения выходов динамических систем за циклически изменяющимся эталонными сигналами с определенным (известными или неизвестным) периодом. В более точной формулировке можно сказать, что, с одной стороны, указанный метод позволяет строить работоспособные динамические системы, отслеживающие произвольные периодические задающие воздействия. С другой стороны, периодическое управление позволяет осуществлять компенсацию неизвестных гармонических и квазигармонических возмущений, действующих на систему. Сочетая эти две способности периодические системы управления обеспечивают высокую точность отработки командных сигналов (что позволяет повысить качество функционирования систем) при относительно несложной технической реализации и невысокой зависимости от физических параметров управляемых динамических объектов.
Свое название периодические системы управления получили благодаря наличию в контуре регулирования специального блока - так называемого периодического интегратора (П-интегратора) или генератора периодических сигналов (ГПС), с помощью которого осуществляется адаптация системы к внешним и внутренним периодическим воздействиям. Анализ литературы показывает, что исторически первыми работами, затрагивающими проблему периодического управления, являются публикации советского ученого В. С. Закса [1, 2] (1980 г., 1981 г.). В данных работах был предложен прецизионный регулятор в виде замкнутого контура с положительной обратной связью и блоком транспортного запаздывания, позволивший построить следящую систему с памятью в цепи обратной связи. Важной особенностью предложенного решения являлось повышение точности регулирования в системах с повторяющимся характером внешних возмущений без необходимости применения дополнительных мер парирования влияния последних на систему.
Также в 1981 г. японские исследователи T. Inoue, M. Nakano, T. Kubo, S. Matsumoto и H. Baba [3] предложили метод повышения тоности регулирования в системе управления источником питания магнитного контура протонного синхротрона. Методика построения базировалась на использовании в прямом канале системы управления замкнутого контура с блоком запаздывания. Отличительной особенностью этой системы от предыдущей было иное конструктивное исполнение блока адаптации к периодическому задающему воздействию. Термины «периодическая система управления» (repetitive control system) и «генератор периодических сигналов» (generator for periodic signals) впервые были введены в работе исследователей Токийского технологического института S. Hara, T. Omata, M. Nakano [4] в 1985 г. Здесь с использованием принципа внутренней модели и методов фильтров Калмана был рассмотрен синтез периодических регуляторов для линейных и нелинейных объектов с применением различных структур генераторов периодических сигналов. В 1988 г. теми же исследователями в работе [5] были обобщены ранее полученные результаты, проведены дополнительные исследования устойчивости автоматических систем с генератором периодических сигналов, а также предложена модификация периодической системы управления.
В соответствии с принципом внутренней модели, для обеспечения асимптотического слежения за внешним периодическим командным сигналом (или точной компенсации внешнего воздействия) необходимо ввести генератор этого сигнала в контур устойчивой замкнутой системы управления. При этом базовая структура такого устройства будет определяться способом генерации внешнего отслеживаемого (или компенсируемого) сигнала. Например, при ступенчатом входном сигнале в контуре системы управления должен присутствовать блок с передаточной функцией 1 (s - комплексная переменная
преобразования Лапласа). Если в качестве задающего воздействия рассмотреть синусоидальный сигнал sin(®t), то передаточная функция модели, генерирующей значения полюсов такого воздействия, будет иметь вид ———-. В пери-
5 + Ю
одических системах управления некоторый обобщенный командный сигнал r(t) представляется в виде гармонического воздействия с периодом T: r(t) = r(t + kT), k = const - любое целое число. Этот тип сигнала, в отличие от постоянного ступенчатого воздействия или простой синусоидальной функции, может иметь бесконечное число гармоник. Хорошо известно, что сигнал r(t) можно представить в виде разложения в ряд Фурье:
+œ
) = Z Г exp( jœkt),
k=-<ю
1 t
где rk = — Jr(t)exp(~jfàTkt)dt - коэффициенты Фурье для одного периода сиг-
T о
нала r(t); соТ = В этом случае блок, позволяющий сгенерировать (или повторить) внешний периодический сигнал, можно представить в виде передаточной функции W(s), которая должна содержать все возможные полюса воспроизводимого сигнала:
W (5) = - 1
•П( 5 + k 2ю— )
k=Л '
54
к=
Представленная модель содержит бесконечное количество полюсов в силу того, что неизвестный внешний периодический сигнал, который требуется воспроизвести, в общем случае содержит бесконечное число гармоник. Исходя из этих соображений любой циклический сигнал с периодом Т может быть сгенерирован динамическим блоком, представленным на рис. 1 [5], на вход которого подается начальная функция, совпадающая с одним периодом воспроизводимого сигнала. На выходе блока при этом будет сформирован периодический сигнал, состоящий из бесконечного повторения поданных на вход начальных функций. Иначе говоря, представленный блок позволяет сгенерировать последующие значения сигнала на основании информации о его предыдущих изменениях.
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
Рис. 1. Генератор периодических сигналов [212]
Таким образом, следуя классическому «правилу внутренней модели», можно заключить, что наличие генерирующего блока (рис. 1.1) в структуре замкнутой системе управления обеспечит асимптотически точное отслеживание любого периодического воздействия. Предложенная структура ГПС в дальнейшем получила широкое распространение и, в настоящее время, повсеместно используется разработчиками современных систем управления.
Необходимо отметить важную особенность использования ГПС: генератор обеспечивает точное слежение за требуемым периодическим сигналом только в том случае, когда система управления содержит устойчивый, полностью управляемые и полностью наблюдаемый динамический объект. Если же в системе присутствует объект с произвольным распределением корней его характеристического уравнения, то предложенное решение не всегда будет обеспечивать заявленный результат, поскольку в данной ситуации необходимо дополнительно обеспечивать устойчивость замкнутой системы в целом.
Модификации генератора периодических сигналов и методы разработки периодических систем управления
В работе [6] в качестве возможного решения задачи построения экспоненциально устойчивой периодической системы была предложена модификация структуры ГПС (рис. 1) за счет сглаживающего фильтра Gfs), последовательно подключенного к звену запаздывания (рис. 2). Полученная схема, названная модифицированной схемой периодического управления (modified repetitive control), позволила обеспечить устойчивость замкнутой системы управления неустойчивым линейным объектом, но определила дополнительные ограничения применения ГПС. В частности, модифицированная структура генератора уже не являлась универсальной внутренней моделью для генерации произвольного периодического сигнала.
Рис. 2. Модифицированный ГПС Это обусловлено тем, что в зависимости от полосы пропускания фильтра,
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
происходит смещение полюсов далеко влево от мнимой оси комплексной полуплоскости для высоких частот. Тем не менее, являясь минимальной модификацией от исходного варианта ГПС, предложенная структура позволяет обеспечить устойчивое функционирование систем управления некоторыми классами линейных объектов. Как и в предыдущем случае схема модифицированного периодического управления широко используется при разработке современных систем управления [7 - 14].
В работах А. А. Никольского [7 - 10] для модификации ГПС также используется сглаживающий фильтр. Однако вместо его последовательного подключения к звену запаздывания применяется их параллельное соединение
Рис. 3. Генератор периодических сигналов со сглаживающим фильтром
Подобная структура ГПС за счет разработанной процедуры расчета параметров фильтра Gfs) позволила обеспечить устойчивое функционирование системы при действии на нее внешнего периодического сигнала высокой частоты. Предложенный способ реализации ГПС позволил разработать итерационные структуры двухканальных электроприводов, предназначенных для воспроизведения точных повторяющихся движений при точении некруглых деталей.
Еще одним хорошо известным способом обеспечения устойчивого функционирования циклических систем управления является их дискретизация, позволяющая перейти к цифровой реализации схемы периодического управления (digital repetitive control scheme) [15]. В этом случае исключается присутствие бесконечного числа гармоник в генерируемом периодическом сигнале, поскольку максимальная значимая частота, будет ограничиваться частотой дискретизации элементов системы. Используя рассуждения для построения ГПС в непрерывном времени можно заключить, что любой циклический сигнал периода N (здесь подразумевается, что период изменения цифрового сигнала составляет N шагов дискретизации непрерывного сигнала) может быть сгенерирован с помощью N-шагового блока цифрового запаздывания, охваченного положительной обратной связью (рис. 4).
(рис. 3).
►
Gf(s)<
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
Рис. 4. Дискретный 1 '1К'
В отличие от непрерывной реализации дискретный ГПС содержит N полюсов, расположенных на комплексной плоскости в круге единичного радиуса, линейная комбинация которых может генерировать любой N-периодиче-ский дискретный сигнал.
Все рассмотренные выше структуры ГПС являются базовыми для построения периодических систем управления различными динамическими объектами. Однако, следует отметить, что применение в основном контуре управления только лишь одного ГПС (или его модификаций) ограничивается случаями построения систем для объектов, математические модели которых представлены линейными дифференциальными уравнениями или допускают линеаризацию моделей. Однако зачастую разработка автоматических систем сопряжена с необходимостью управления объектами, математические модели которых содержат существенные нелинейности, существенные нестационарные параметры, имеют произвольное распределение корней характеристических многочленов, позволяют проводить измерения только выходных сигналов и т.д.
В этих случаях для придания требуемых свойств управляемому объекту (обеспечение его устойчивости, компенсации нелинейных и/или нестационарных зависимостей и т.д.) требуется применять дополнительные меры. В некоторых наиболее простых ситуациях, в структуре системы управления могут использоваться параллельные или последовательные корректирующие устройства [7-10]. В более общих случаях применяются методы нелинейного периодического управления (nonlinear repetitive control), суть которых состоит в одновременном использовании ГПС, обеспечивающего адаптацию системы к внешним и внутренним периодическим изменения, и некоторого аналитически синтезированного закона управления, гарантирующего устойчивость замкнутой системы. Именно такой подход присущ почти всем современным исследованиям в области периодических систем управления.
Так в работе [16] разработан метод построения устойчивых периодических систем управления, в которых на входе линейного объекта присутствует нелинейность, удовлетворяющая секторному ограничению. В [17] предлагаются и исследуются нелинейные схемы периодического управления, в которых ГПС аппроксимируется определенной конечномерной системой. Авторами работы [18] на основе метода функций Ляпунова проводится анализ устойчивости нелинейно возмущенного линейного динамического объекта. В [19, 20] рассмотрена возможность использования двухрелейного регулятора,
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
позволяющего сформировать на выходе системы периодический сигнал заданной амплитуды и частоты. В работе [21] решена задача управления периодическими режимами параметрически неопределенного объекта с использованием робастного подхода к синтезу регулятора. Также известны концепция динамического фазового анализа [22] и пассивного периодического регулятора
[23], применительно к синтезу непрерывных и дискретных систем управления циклического действия. Применение периодической фильтрации в робастных системах управления технологическими процессами рассмотрено в работе
[24]. Работа [25] посвящена решению задачи построения системы адаптивного периодического управления, на которую действуют циклические возмущения с переменной частотой. В [26] разработана стратегия асинхронного периодического управления системой с переключениями. В работе [27] предложена интегральная схема управления скользящим режимом для неопределенных динамических систем при наличии согласованных неопределенностей, внешних возмущений и ограниченных по норме нелинейностей.
1. Несмотря на способность ГПС воспроизводить внешние периодические сигналы с целью обеспечения их точного отслеживания и/или компенсации, применение данного контура при построении замкнутых систем управления, в общем случае, оказывается недостаточным: дополнительно требуется обеспечить устойчивость разрабатываемой системы управления. Таким образом, для синтеза любой периодической системы сначала необходимо решить проблему устойчивости системы, а затем с помощью ГПС обеспечить адаптацию к периодическим воздействиям на систему. При этом не каждое решение, обеспечивающее устойчивость системы, будет означать точное отслеживание/компенсацию периодических сигналов (рис. 5).
2. Поиск решений задач обеспечения устойчивости разрабатываемых систем управления целесообразно осуществлять, в соответствии с методом нелинейного периодического управления, на основании некоторых аналитических процедур синтеза динамической обратной связи, гарантирующей требуемые свойства управляемых динамических объектов (обеспечение устойчивости, компенсация нелинейных зависимостей и т.д.).
Выводы
Рис. 5. Вложенность задач разработки периодических систем управления
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
3. Практически все современные исследователи в области автоматических систем периодического управления являются иностранными учеными и используют в качестве инструмента синтеза нелинейных алгоритмов систем управления метод функций Ляпунова. Однако задачи синтеза динамический обратной связи для периодических систем нелинейного управления могут быть решены с использованием другого не менее эффективного подхода. В частности, в работах [28 - 36] показана возможность разработки адаптивных, робастных и комбинированных алгоритмов ПСУ с использованием критерий гиперустойчивости.
Библиографические ссылки
1. А. с. 723510 СССР. Система автоматического регулирования / В.С. Закс // Бюл. 1980. - № 11. - С. 193.
2. Закс В.С. Об одной возможности повышения точности регулирования в следящих линейных системах циклического действия // Автоматика и телемеханика. - 1981. - № 1. - С. 170-174.
3. Inoue T., Nakano M., Kubo T., Matsumoto S., Baba H. High Accuracy Control of a Proton Synchrotron Magnet Power Supply // IFAC Proceedings Volumes.
- 1981. - Vol. 14, Issue 2. - pp. 3137-3142.
4. Hara S., Omata T., Nakano M. Synthesis of Repetitive Control Systems and Its Application // 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control. - 1985. -pp.1387-1392.
5. Hara S., Yamamoto Y., Omata T., NakanoM. Repetitive Control System: A New Type Servo System for Periodic Exogenous Signals // IEEE Transactionson Automatic Control. - 1988. - Vol. 33, No. 7. - pp. 659-668.
6. Yamamoto Y. Learning Control and Related Problems in Infinite-Dimensional Systems // Essays on Control. Perspectives in the Theory and its Applications. Vol. 14. Progress in Systems and Control Theory. - Boston, USA: Birkhau-ser, 1993. - pp. 191-222.
7. Никольский А.А. Высокоточные многоконтурные самообучающиеся ме-хатронные системы с пьезокомпенсаторами для станков некруглого точения // Электричество. - 2012. - № 8. - С. 52-57.
8. Никольский А.А. Точные самообучающиеся электроприводы станков некруглого точения. - М.: Адвансед солюшнз, 2016. - 220 с.
9. Никольский А.А. Устойчивость самообучающихся электроприводов подачи металлорежущих станков и точность процессов самообучения // Электричество. - 2007. - № 5. - С. 38-45.
10. Никольский А.А., Бычкова Е.В. Разработка самообучающихся двухка-нальных электроприводов с линеаризованными пьезокомпенсаторами в точном канале // Электричество. - 2010. - № 10. - С. 44-50.
11. Guo C., Zhong L., Zhao J., Gao G., Huang Y. First-Order and High-Order Repetitive Control for Single-Phase Grid-Connected Inverter // Complexity. - 2020.
- Vol. 2020.
12. Na J., Ren X., Costa-Castello R., Guo Y. Repetitive control of servo sys-
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
tems with time delays // Robotics and Autonomous Systems. - 2014. - Vol. 62, Issue 3. - pp. 319-329.
13. Weiss G. Repetitive Control Systems: Old and New Ideas // Systems and Control in the Twenty-First Century. Vol. 22. Systems & Control: Foundations & Applications. - Boston, USA: Birkhauser, 1997. - pp. 389-404.
14. Yao W.S., TsaiM.C., Yamamoto Y. Implementation of repetitive controller for rejection of position-based periodic disturbances // Control Engineering Practice. - 2013. - Vol. 21, Issue 9. - pp. 1226-1237.
15. Tomizuka M., Tsao T., Chew K. Discrete-Time Domain Analysis and Synthesis of Repetitive Controllers // 1988 American Control Conference. - 1988. - pp. 860-866.
16. Lin Y.H., Chung C.C., Hung T.H. On Robust Stability of Nonlinear Repetitive Control System: Factorization Approach // Proceedings of the 1991 American Control Conference, Boston, USA, 1991. - pp. 2646-2647.
17. Ghosh J., Paden B. Nonlinear repetitive control // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2000. - Vol. 45, No. 5. - pp. 949-954.
18. Owens D.H., Li L. M., Banks S.P. Multi-Periodic Repetitive Control System: a Lyapunov Stability Analysis for MIMO Systems // International Journal of Control. -- 2004. - Vol. 77, No. 5. - pp. 504-515.
19. Aguilar L.T., Boiko I., Fridman L., Iriarte R. Generating Self-Excited Oscillations via Two-Relay Controller // IEEE Transactionson Automatic Control. -2009. - Vol.54, No. 2. - pp. 416-420.
20. Aguilar L.T., Boiko I., Fridman L., Iriarte R. Self-Oscillations in Dynamic Systems. A New Methodology via Two-Relay Controllers. - Switzerland: Springer International Publishing, 2015.
21. Zhang Z., Serrani A. Adaptive Robust Output Regulation of Uncertain Linear Periodic Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2009. - Vol. 54, No. 2. - pp. 266-278.
22. Almer S., Jonsson U. Dynamic Phasor Analysis of Periodic Systems // IEEE Transactionson Automatic Control. - 2009. - Vol. 54, No. 8. - pp. 2007-2012.
23. Costa-Castello R., Wang D., Grino R. A Passive Repetitive Controller for Discrete-Time Finite-Frequence Positive-Real Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2009. - Vol. 54, No. 4. - pp. 800-804.
24. Nikolova N.G. Examination of a repetitive process control system // IOP Conference Series: Material Science and Engineering. - 2019. - 618. 012013.
25. Kurniawan E., Cao Z., Man Z. Adaptive Repetitive Control of System Subject to Periodic Disturbance with Time-Varying Frequency // 2011 First International Conference on Informatics and Computational Intelligence. - 2011. - pp. 185-190.
26. Ma G., Liu X., Pagilla P.R., Ge S.S. Asynchronous repetitive control of switched systems via periodic event-based dynamic output feedback // IMA Journal of Mathematical Control and Information. - 2020. - Vol. 37, Issue 2. - pp. 644-673.
27. Toujeni N., Chaouki M., Gasmi M. Repetitive Control based on Integral Sliding Mode Control of Matched Uncertain Systems // International Journal of Advanced Computer Science and Applications. - 2020. - Vol. 9, No. 12. - pp. 446-
28. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Комбинированные алгоритмы системы робастно-периодического управления нелинейным объектом с
455.
ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 2 (69)
запаздыванием // Информатика и системы управления. - 2009. - № 3 (21). - С. 125-135.
29. Еремин Е.Л., Теличенко Д.А., Шеленок Е.А. Циклический режим в системе робастного управления манипулятором Барретта // Вестник Тихоокеанского государственного уни-верситета. - 2010. - № 3 (18). - С. 23-32.
30. Годяев А.И., Еремин Е.Л., Шеленок Е.А. Имитационная модель системы периодического управления электродинамическим вибростендом // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. - 2012. - № 1 (25), часть 2. - С. 257-261.
31. Еремин Е.Л., Шеленок Е.А. Система адаптивного виброгашения вынужденных колебаний // Датчики и системы. - 2014. - № 5. - С. 16-22.
32. Eremin E.L., Shelenok E.A. Adaptive periodic servo-system for nonlinear control-affine objects // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2017 - Volume 53, Issue 2. - pp. 151-158.
33. Еремин Е.Л., Шеленок Е.А. Комбинированная адаптивная система управления структурно и параметрически неопределенным нелинейным объектом // Проблемы управления. - 2016. - № 3. - С. 23-31.
34. Eremin E.L., Shelenok E.A. Robust control for one class of multivariable dynamic plants // Automation and Remote Control. - 2017. - Vol. 78, No. 6. - pp. 1046-1058.
35. Eremin E.L., Shelenok E.A. Nonlinear robust control system for an unsteady nonaffine dynamic plant with a delay // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2017 - Volume 53, Is-sue 2. - P. 151-158.
36. Eremin E.L., Nikiforova L.V., Shelenok E.A. Combined Nonlinear System of Control of a Structurally-Parametrically Uncertain No-naffine Plant with State Delay and Neutral Type Delay // Automation and Remote Control. - 2021. - Vol. 82, No. 12. - pp. 2192-2203.
Title: Repetitive Control Systems: Basic Principles and Well-Known Solutions Authors' affiliation:
Shelenok E. A. - Pacific National University, Khabarovsk, Russian Federation.
Abstract: The review of well-known methods for development of the repetitive control systems with the help of a special dynamic unit - the generator for periodic signals is presented. The main problems and possible development trends of this class of control systems are pointed out.
Keywords: repetitive control system, generator for periodic signals, nonlinear repetitive control.
