CC BY
28
УДК 523.11
ГАриповА Гузель Миннизиевна, аспирант кафедры теоретической физики и методики обучения физике Стерлитамакской государственной педагогической академии имени Зайнаб Биишевой. Автор 6 научных публикаций
пересмотр вакуольной модели: новые слагаемые в разложении до члена второго порядка
Данная работа представляет собой продолжение исследования [1], посвященного модели вакуоли Эйнштейна-Стросса в присутствии космологической константы. Использование методов теории возмущений позволило нам получить численное значение для отклонения светового луча в поле тяготения вплоть до третьего порядка величины М, что согласуется с более ранними работами Исхака [2].
ключевые слова: гравитационные линзы, вакуольная модель, конформный параметр.
Введение. В недавней работе [3] путем вычисления отклонения света для решения Маннхай-ма-Казанаса-де Ситтера в рамках вейлевой конформной гравитации (включающей, как известно, два параметра: космологическую константу Л и конформный параметр у, играющий значительную роль в области гало) нами была подтверждена состоятельность метода Риндлера-Исхака [4]. Этот метод дает именно такой вклад у, который был описан в теоретической литературе. Следующим шагом стало вычисление вклада Л, для чего была использована модель вакуоли Шварцшиль-да-де Ситтера [5]. Мы задались целью исследовать, каким будет влияние обоих параметров Л и у, исходя из соответствующих положений вейле-вой конформной гравитации.
Согласно принимаемой нами модели [5], галактики и скопления галактик (далее для краткости мы будем называть их линзами) погружены в вакуоль де Ситтера, размер которой значительно
превышает их собственные размеры. Существует некий граничный радиус вакуоли гъ, характеризующийся переходом от пространства-времени Шварцшильда-де Ситтера к фоновому пространству-времени Фридмана-Робертсона-Уолкера. Предполагается, что искривление траектории световых лучей имеет место исключительно внутри вакуоли, во внешней же области оно полностью отсутствует. Исхак и др. [5] показали, что влияние Л также ограничивается внутренней областью вакуоли, и вычислили верхний предел для этой величины, отличающийся от принятого в космологии значения всего на два порядка. Для линзы массы М и радиуса Я было получено значение отклонения света с точностью до второго порядка, включающее Л-член, который обуславливает отталкивание (- ЛЯгъ/6).
Наша цель - показать, что эти результаты верны, вычислив отклонение с точностью до третьего порядка. Исследуя вклад - ЛЯгъ/6,
© Гарипова ГМ., 2012
мы придем к другим, не менее интересным слагаемым. Кроме того, будет рассмотрено влияние конформного параметра на распространение света вблизи гравитационной линзы. Для этого применим новый подход к решению Маннхайма-Казанаса-де Ситтера в рамках вейлевой конформной гравитации.
Решение и схема приближения. Одним из наиболее изученных решений конформных полевых уравнений Вейля, которое содержит и космологическую константу Л, и конформный параметр у, является решение Маннхайма-Ка-занаса [6-8]. Вид метрики при О = с = 1 (подробнее см. [9]):
где М - масса центрального тела, Л и у -
йт2 = В (г2 - А (г)йг2 -- г2 (й02 + 8ш2 0 йф2) ,
В (г ) = А 1 (г) = 1 - + у г -Л г2,
г 3
(2.1)
(2.2)
= -и + 3Ми2 -^ (23)
2'
Пользуясь методами теории возмущений, мы получили решение этого уравнения методом Риндлера-Исхака [4] с точностью до слагаемого М3 и показали, каким образом в нем фигурируют Л и у [3].
В случае у = 0:
ь Л ги
4 М 2 М Л Ь 2 М Л Ь
+ -----+------------------+
ь
3
3
(2.4)
+ слагаемые порядка М2
константы. Принятое на данный момент значение Л = 1,29*10-56 см-2, а что касается у, то существует некоторая неопределенность касательно знака и численного значения этой величины [10]. В работе Маннхайма и Казанаса конформный параметр, вычисленный на основе кривых вращения плоскостей галактик, положителен и равен величине, обратной постоянной Хаббла. Согласно Пиро [11], он равен |у| ~ 10-33. Мы возьмем у = 3,06*10-30 см-1, хотя значение может быть и другим - это не должно влиять на примененный метод.
В нулевом геодезическом уравнении космологическая константа исчезает, и мы получаем:
т. е. локально-связующий член - 5пМ2Л/8 исчезает из окончательного выражения.
Возможно, это связано с тем, что локальная связь действительно нарушается. Ни оригинальный метод Риндлера-Исхака [4], ни его модификация для вакуольной модели [5] не оперируют с уравнением траектории первого порядка, в котором уже содержится космологическая константа. Они рассматривают дифференциальное уравнение второго порядка, где Л отсутствует и, следовательно, будто бы не влияет на распространение световых лучей, но затем учитывают эффект Л в определении угла отклонения. Таким образом, используя уравнение первого порядка, мы учитываем эффект космологической константы дважды.
Модификация оригинального метода Ринд-лера-Исхака для вакуольной модели служит цели зафиксировать эффект космологической константы, отсутствующей в уравнении траектории. Для обоснования этого утверждения мы оцениваем влияние конформного параметра у, который фигурирует в уравнении (2.3):
2М
Я
1 +
15пМ
16Я
■1
Я 3пМ 423М
---1--------1--------
2 4 32Я
. (2.5)
Данное выражение полностью согласуется с результатами, полученными Боденнером и Уиллом [12] с помощью методов теории возмущений. Во второй скобке все слагаемые положительны, т. е. положительный параметр у ослабляет, а отрицательный - усиливает искривление траектории в гравитационном поле вплоть до второго порядка М.
Эффектом конформного параметра вблизи Солнца можно пренебречь, тогда как для галактических скоплений этот эффект значительно
+
3
больше. Тот факт, что у проявляется лишь в тературе, но в нашей работе мы взглянули на больших масштабах, и ранее упоминался в ли- это с новой точки зрения.
Список литературы
1. Allen S.W. Resolving the Discrepancy between X-ray and Gravitational Lensing Mass Measurements for Clusters of Galaxies // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 296 (1998) 392 [astro-ph/9710217] [SPIRES].
2. Bhadra A., Sarkar K., Nandi K.K. Testing Gravity at the Second post-Newtonian Level through Gravitational Deflection of Massive Particles // Phys. Rev. D 75 (2007) 123004 [gr-qc/0610089] [SPIRES].
3. Light Bending in the Galactic Halo by Rindler-Ishak Method // jCAP 09 (2010) 004 [arXiv:0910.1112] [SPIRES].
4. Rindler W., Ishak M. The Contribution of the Cosmological Constant to the Relativistic Bending of Light Revisited // Phys. Rev. D 76 (2007) 043006 [arXiv:0709.2948] [SPIRES].
5. A New Independent Limit on the Cosmological Constant/Dark Energy from the Relativistic Bending of Light by Galaxies and Clusters of Galaxies // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 388 (2008) 1279 [arXiv:0710.4726] [SPIRES].
6. Mannheim P.D., Kazanas D. Exact Vacuum Solution to Conformal Weyl Gravity and Galactic Rotation Curves // Astrophys. J. 342 (1989) 635 [SPIRES].
7. Mannheim P.D. Are Galactic Rotation Curves Really Flat? // Astrophys. J. 479 (1997) 659 [astro-ph/9605085] [SPIRES].
8. Mannheim P.D. Alternatives to Dark Matter and Dark Energy // Prog. Part. Nucl. Phys. 56 (2006) 340 [astroph/0505266] [SPIRES].
9. Edery A. Paranjape M.B. Classical Tests for Weyl Gravity: Deflection of Light and Radar Echo Delay // Phys. Rev. D 58 (1998) 024011 [astro-ph/9708233] [SPIRES].
10. Нигматзянов И.И., Нанди К.К., Мигранов Н.Г. Мера объема для экзотической материи // Вестн. Помор. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2010. № 2. С. 104-108.
11. Pireaux S. Light Deflection in Weyl Gravity: Constraints on the Linear Parameter // Class. Quant. Grav. 21 (2004) 4317 [gr-qc/0408024] [SPIRES].
12. Bodenner J., Will C.M. Deflection of Light to Second Order: a Tool for Illustrating Principles of General Relativity // Am. J. Phys. 71 (2003) 770.
Garipova Guzel Minnizievna,
Postgraduate Student of the Sterlitamak State Pedagogical Academy named after Zainab Biisheva
THE VACUOLE MODEL REVISITED: NEW TERMS IN THE SECOND ORDER DEFLECTION OF LIGHT
The paper is an extension of a recent work [1] on the Einstein-Strauss vacuole model with a cosmological constant. We work out light deflection by considering perturbations up to order М3 and confirm the light bending obtained previously in their vacuole model by Ishak [2].
Key words: gravitational lenses, vacuole model, conformal parameter.
Контактная информация: e-mail: goldberg144@gmail.com
Рецензент - Матвеев В.И., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Института естественных наук и биомедицины Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова
