CC BY
31
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86)
ФИЗИКА
УДК 130.145
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ В НЕВЫРОЖДЕННОЙ ДВУХФОТОННОЙ МОДЕЛИ ТАВИСА — КАММИНГСА1
© 2011 Е.К. Башкиров, М.С. Мастюгин2
Исследовано влияние диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание состояний двух атомов в различных начальных W-состояниях в модели Тависа — Каммингса с вырожденными двухфотонными переходами. Показано, что диполь-дипольное взаимодействие между атомами приводит к стабилизации атомного перепутывания.
Ключевые слова: двухатомная модель, невырожденные двухфотонные переходы, диполь-дипольное взаимодействие, атом-атомное перепутывание
Введение
Перепутанные состояния играют фундаментальную роль во всех эффективных протоколах физики квантовых вычислений и квантовой информатики. В последние годы предложены многочисленные схемы генерации перепутанных состояний в двух и многочастичных системах [1] Среди них системы двухуровневых атомов, взаимодействующих с электромагнитными полями в резонаторах. Однако возникающие в таких системах атомные перепутанные состояния оказываются нестабильными за счет осцилляций Раби. В результате в таких системах периодически происходят как исчезновения, так и восстановления атомного перепутывания. В квантовой информатике такие эффекты получили названия мгновенной смерти и рождения перепутывания. Недавно в работе [2] на примере двухатомной модели с невырожденным двухфотонным взаимодействием было исследовано влияние прямого диполь-дипольного взаимодействия на динамику атомного перепутыва-ния. В качестве начальных перепутанных состояний системы "атом+поле" были использованы белловские состояния. При этом авторы показали, что эффект мгновенной смерти перепутывания заметно ослабляется или полностью сводится на нет для определенных перепутанных беловских начальных состояний системы за счет включения диполь-дипольного взаимодействия. В нашей работе [3] найден точное
1 Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 годы по лоту "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области оптики, лазерной физики и лазерных технологий", шифр "2010—1.1—122—084" (номер государственного контракта 14.740.11.0063).
2Башкиров Евгений Константинович (bash@ssu.samara.ru), Мастюгин Михаил Сергеевич (mast12basket@rambler.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
решение для оператора эволюции модели Тависа — Каммингса с невырожденными двухфотонными переходами, с помощью которого легко может быть найдена временная волновая функция полной системы при любом начальном состоянии. Поэтому представляет интерес продолжить начатые в [2] исследования влияния диполь-дипольного взаимодействия на динамику атомного перепутывания и для других начальных перепутанных состояний атом-полевой системы. В настоящей работе в качестве начальных состояний нами выбраны ^-перепутанные состояния. Такой выбор обусловлен тем, что именно такие атом-полевые перепутанные состояния привлекают в последнее время особое внимание в связи с задачами разработки квантовых протоколов передачи информации. В последнее время предложено также большое число возможных схем генерации таких перепутанных состояний [4].
1. Модель
Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома, резонансно взаимодействующих с двухмодовым квантовым электромагнитным полем в идеальном резонаторе посредством невырожденных двухфотонных переходов, при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия между атомами. В представлении взаимодействия и приближении вращающейся волны гамильтониан такой модели можно представить в виде:
Н = (0+0+ К + К+а1а2) + Ю(Я+ К- + К+ К-),
(1)
¿=1
где а+ и а^ — операторы рождения и уничтожения фотонов '-той резонаторной моды (' = 1,2, К+ и К- — повышающий и понижающий оператор в г-м атоме (г = 1, 2), д — константа взаимодействия атомов с полем и О — константа прямого диполь-дипольного взаимодействия атомов.
Обозначим через | +) и | —) возбужденное и основное состояние двухуровневого атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида | а, в) =1 а) I в), где а, в = +, —. Атом-полевая система в идеальном резонаторе обладает унитарной динамикой, которая в представлении взаимодействия описывается оператором эволюции вида иI(Ь) = вхр—гН^/Н). Если система, включающая атомы и поле, находится в начальный момент времени в чистом состоянии, то ее вектор состояния в любой момент времени в представлении взаимодействия может быть представлен в виде
1Щ)) = и (*)|*}(0).
(2)
В двухатомном базисез | +, +), | +, —), | —, +), | —, —) оператор эволюции и1 (Ь) для рассматриваемой модели может быть записан как [3]
и (Ь)
/ и11 и 12 и13 и14 \
и21 и22 и23 и24
и31 и32 и33 и34
V и41 и42 и43 и44 /
(3)
Здесь
А А
и 11 = 1 + 20,10,2— а+1 а+2, и 14 = 20102— 0102, Л Л
АА
и.41 = 20+0+ — 0+0+, и44 = 1 + 20+0+ — 0102, Л Л
В в
и 12 = и1з = 0102 — , и21 = из1 = у0+0+,
ВВ
и24 = из4 = — 0102, и42 = и.з = 0+0+ —, 0 0
и22 = изз =
6ХР^ 1 2 + ^ { [1 - ехр(гдвг)]а + 20 ехр(«д(За + 0)Ь] + 0[1 + ехр(гд0£)]) 40 I 2 J
и2з = из2 =
ехр [—1 § (а + 0)^1 г д ч
—^-^-— [1 - ехр(гд0£)]а - 20 ехр(г|(За + 0)t] + 0[1 + ехр(гд0£)] \
4и 2
А = ехр
где
сч т*) +V 81п1т ^ 1
да,
-1т*
В = ехр -«2 (а + 0)^ [1 - ехр(гд0£)]
а = —, Л = 2(01020+10+2+0+10+20102), 0 = ^8(01020+10+2 + 0+10+20102) + а2. д
2. Вычисление параметра перепутывания и обсуждение результатов
Предположим, что атом-полевая система приготовлена в начальный момент времени в перепутанном состоянии ^-типа вида
|Ф(0)> = 0|+, -; 0,0) + Ь\-, +; 0,0) + с-, -; 1,1), (4)
где |п1,п2> — двухмодовое полевое состояние с определенным числом фотонов в каждой из мод и коэффициенты удовлетворяют условию нормировки |0| 2 + |Ь| 2 +
+ |с|2 = 1.
Используя соотношения (2)—(4), можно представить временную волновую функцию системы в в виде
|*(*)> = Х1+, -; 0,0) + Х2-, +;0,0) + Хз-, -; 1,1), (5)
где
Во о
Х1 = (и22)о,о 0 + (и2з)о,о Ь + с,
0о,о
и
Б,
Х2 = (и2з)о,о а + (и2з)о,о Ь + —^ с
XI =
Б
^0,0
0,0 Б0,0 ,
а + Ь + (1 + 2——) с.
^0,0
б0,0 б0,0
Здесь мы ввели обозначение БП1,П2 = (п1|(п2|Б|п!)|п1), где Б - произвольный оператор, зависящий от переменных поля.
Информация относительно перепутывания состояний атомов содержится в редуцированной атомной матрице плотности рл(Ь), которая может быть получена при усреднении полной матрицы плотности системы "атомы+поле" рлр (¿) = = |Ф(Ь))(Ф(Ь)| по переменным резонаторного поля
рл(Ь) = Ттр рлр(Ь).
(6)
В двуатомном базисе |+, +), |+, —), —, +), —, —) редуцированная матрица плотности (6) может быть записана в виде
(7)
0 0 0 0
= 0 |Х1|2 Х1 Х| 0
рл = 0 Х2Х? |Х212 0
\ 0 0 0 |Хз|2 )
Для количественной оценки степени перепутывания двух двухуровневых атомов воспользуемся критерием перепутанности двух кубитов Вуутерса [5]. Для редуцированной атомной матрицы плотности (7) соответствующий параметр пере-путывания дается выражением
С(рл) = 2 тах{0, Х1Х2Ц. (8)
Рассмотрим также другое начальное перепутанное состояние ^-типа:
|Ф(0)) = а|+, +; 0,0) + Ь|+, —; 1,1) + с—, +; 1,1). (9)
В этом случае временная волновая функция системы может быть записана в виде
|*(*)> = Х1|+, +; 0,0) + X2|+, —; 1,1) + Х3 — , +; 1,1) + Х41—, —; 2, 2), (10)
где
Х
•АМ) + Б1,1
(1 + 2-11) а +
Л
1,1
ь +
Б
1,1
1,1
1,1
Х2 =
Х3 =
Б
б
1,1 а +(и22 )1,1 ь +(и2з)1,1 С, а + (и2з)МЬ + (и22 )1,1С,
б1,1 Б1,1
1,1
V 4 А1,1 , 2 Б1,1 , 2 Б1,1
Х4 = 4 -— а + 2 -— Ь + 2 —— с. Л1,1 б1,1 б1,1
В двухатомном базисе соответствующая начальному состоянию (9) редуцированная атомная матрица плотности есть
Рл =
( |Х112 0
0 0
0 0 0 \
|Х2|2 Х2Х3 0
Х3Х2* |Хз |2 0
0 0 |Х4|2 )
(11)
C(pA) 1
C(pA) 1
Рис. 1. Временная зависимость параметра перепутывания C(pa) для двухатомной системы с начальным состоянием (4) и значениями коэффициентов: a = b = c = = 1/%/3 (а) и a = \J'2/3, b = c = 1/%/3. Параметр диполь-дипольного взаимодействия а = Q/g = 4 (сплошные линии) и а = Q/g = 0 (штриховые линии)
C(pA) 1
C(pA) 1
Рис. 2. Временная зависимость параметра перепутывания C(pa) для двухатомной системы с начальным состоянием (9) и значениями коэффициентов: a = b = c = = 1/а/3 (а) и a = 0, b = c = 1/%/2. Параметр диполь-дипольного взаимодействия а = Q/g = 10 (сплошные линии) и а = Q/g = 0 (штриховые линии)
gt
gt
2
2
3
а
gt
gt
2
2
3
а
Параметр перепутывания для рассматриваемого случая есть
C(pa) = 2 max{0, |Х2Хз| - |XiX4\}. (12)
Результаты численного моделирования параметра перепутывания для начальных состояний двухатомной системы вида (4) и (9) представлены на рис. 1, 2. Из рисунков хорошо видно, что для обоих начальных состояний эффект мгновенной смерти перепутывания атомов отсутствует, в отличие от начальных белловских состояний [2], однако имеют место осцилляции параметра перепутывания. При этом диполь-дипольное взаимодействие приводит во всех случаях к значительной стабилизация атом-атомного перепутывания. Другой механизм стабилизации атомного перепутывания, связанный с наличием внешнего классического электромагнитного поля, будет рассмотрен для двухатомной модели с невырожденными двухфотонными переходами в нашей следующей работе.
Литература
[1] Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambrige: Cambrige University Press, 2000. 814 p.
[2] Zhang G-feng, Chen Zi-yu. The entanglement character between atoms in the non-degenerate two photons Tavis — Cummings model // Optics Communications. 2007. Vol. 275. P. 274-277.
[3] Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Phys. Lett. 2006. V. 3. № 3. P. 145-150.
[4] Schumacker D., Westmoreland M.D. Quantum Processes, Systems, and Information, New York: Oxford University Press, 2010. 469 p.
[5] Wootters W.K. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. № 10. P. 2245-2248.
Поступила в редакцию 4/////2011; в окончательном варианте — 4//Л/2011.
ENTANGLEMENT IN NONDEGENERATE TWO-PHOTON TAVIS — CUMMINGS MODEL
© 2011 E.K. Bashkirov, M.S. Mastyugin3
The influence of dipole-dipole interaction on the entanglement between two atoms with different initial W-like states in Tavis — Cummings model with degenerate two-photon transitions has been investigated. The results show that the dipole-dipole interaction leads to the stabilization of atomic entanglement.
Key words: two-atom model, nondegenerate two-photon transitions, dipole-dipole interaction, atom-atom entanglement.
Paper received 4/Л7/2011. Paper accepted 4/Л/2011.
3Bashkirov Evgeniy Konstantinovich (bashSssu.samara.ru), Mastyugin Mihail Sergeevich (mast12basketSrambler.ru), the Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
