CC BY
41
УДК 535.14
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ АТОМОВ, ИНДУЦИРОВАННОЕ ДВУХМОДОВЫМ ТЕПЛОВЫМ ШУМОМ, ПРИ НАЛИЧИИ ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И АТОМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ
Е. К. Башкиров, Е. Г. Мангулова
Самарский государственный университет,
Россия, 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
E-mails: [email protected], [email protected]
Рассмотрено перепутывание двух двухуровневых атомов с невырожденными двухфотонными переходами, взаимодействующих с тепловым двухмодовым полем в идеальном резонаторе. Показана возможность значительного увеличения степени атомного перепутывания при наличии атомной когерентности и прямого диполь-дипольного взаимодействия атомов.
Ключевые слова: атомное перепутывание, тепловое двухмодовое поле, диполъ-диполъное взаимодействие, атомная когерентность.
Введение. Проблема описания динамики кубитов, взаимодействующих с электромагнитными полями, является одной из наиболее актуальных проблем современной физики квантовых вычислений. Такие системы активно изучаются как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения в целом ряде экспериментальных установок: одноатомных мазерах и лазерах, ионах в резонаторах и магнитных ловушках, сверхпроводящих системах на джозефсоновских переходах, квантовых точках и других искусственных микрообъектах [1]. Такие исследования позволили создать прообразы квантовых компьютеров, работающих пока на отдельных кубитах. Дальнейший прогресс в данной области требует исследования новых физических устройств, которые можно использовать в качестве логических элементов квантовых компьютеров, для выбора оптимальных режимов работы таких систем, в том числе наиболее эффективных схем генерации и контроля перепутывания состояний кубитов, а также особенностей их релаксации. Для приложений в физике квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни, однако в реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное неперепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей квантовых вычислений. Поэтому с практической точки зрения основная задача при получении и использовании атомных перепутанных состояний заключается в том, чтобы минимизировать влияние шума. Недавно в целом ряде работ была высказана идея о том, что в некоторых случаях диссипация и шум могут, напротив, являться источником перепутывания. В частности, была показана возможность генерации перепутывания атомных систем в резонаторах, индуцированных тепловым шумом. В
Евгений Константинович Башкиров (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. общей и теоретической физики. Екатерина Геннадьевна Мангулова, студент, каф. общей и теоретической физики.
работе [2] было показано, что одномодовый тепловой шум может индуцировать атом-атомное иерепутывание в системе двух двухуровневых атомов в идеальном резонаторе. Позднее аналогичное поведение было обнаружено и для атомов с многофотонными переходами [3,4]. При этом было показано, что при двухфотонном взаимодействии атомов с тепловым полем степень пе-репутывания атомных состояний может значительно превосходить соответствующую величину для однофотонного взаимодействия. Позднее в целом ряде работ исследовались особенности генерации атомного перепутывания в различных обобщениях двухатомной модели Тависа—Каммингса для резона-торного поля в тепловом состоянии (см. ссылки в работе [5]).
Недавно на примере системы двух атомов, взаимодействующих как с одномодовым [9], так и с двухмодовым тепловым полем [10], было показано,что степень перепутывания атомов сильно зависит от их начального состояния. Показано, что при наличии атомной когерентности степень атомного перепутывания может заметно возрастать, а также, что степенью атомного перепутывания можно управлять, изменяя относительные фазы и амплитуды поляризованных атомов. При этом авторы не учли диполь-дипольного взаимодействия атомов. Вместе с тем в ряде работ показано, что диполь-дипольное взаимодействие может существенно увеличить степень атомного перепутывания [6-8].
В нашей работе [11] было рассмотрено влияние атомной когерентности на степень атомного перепутывания в невырожденной двухмодовой модели Тависа-Каммингса при наличии диполь-дипольного взаимодействия атомов в случае высоких степеней теплового шума (высокой температуры резонатора). При этом было показано, что при наличии диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности возможна генерации высокой степени перепутывания атомов, на порядок превосходящей степень перепутывания без учета указанных механизмов. В настоящей работе мы исследуем влияние диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности на атомное пе-репутывание в случае низких температур резонатора. Рассмотрение такого случая представляет также интерес и в связи с тем, что в экспериментах с одноатомными мазерами и лазерами резонаторы охлаждаются до температур порядка 0,5 К. В этом случае среднее число число тепловых фотонов составляет менее 0,05.
1. Модель и её точное решение. Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома, резонансно взаимодействующих с двухмодовым квантовым электромагнитным полем в идеальном резонаторе посредством невырожденных двухфотонных переходов при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия между атомами. В представлении взаимодействия гамильтониан такой модели можно представить в виде
2
Н = Нд а1аг) + Щ Щ), (1)
г=1
где а^ и ^ —операторы рождения и уничтожения фотонов ^’-той резонатор-
ной моды и = 1,2), и — повышающий и понижающий оператор в г-том атоме (г = 1,2), д — константа невырожденного двухфотонного взаимодействия атомов с полем и П — константа прямого диполь-дипольного взаимодействия атомов.
Обозначим через |+) и |—) возбужденное и основное состояния двухуровневого атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида |а, /3) = |ск)|/3), где а, /3 = +, —. Атом-полевая система в идеальном резонаторе обладает унитарной динамикой, которая в представлении взаимодействия описывается оператором эволюции вида и(і) = ехр(—гШ/К) . Если система, включающая атомы и поле, находится в начальный момент времени в чистом состоянии, то ее вектор состояния в любой момент времени в представлении взаимодействия может быть представлен в виде |Ф(і)} = [/(і)|Ф}(0). В двухатомном базисе |+,+), |+, —), | —, +), |—, —) оператор эволюции II(і) для модели с гамильтонианом (1) может быть записан как
т =
/С/и и 12 и 13 С/і4\
С/21 С/22 С/23 и24
и31 С/32 с/зз и34
Ки41 и42 с/43 С/44/
Здесь
А
А
_А
и и = 1 + 2аіа2—, 17и = 2аіа2—аіаг, С/41 = 2а^а^—а+іа+2
Л
Л
^4
1144 = 1 2а^Сі^2 1^2;
Л
в в
С^24 = С/34 = -дСЦа2, С/42 = С/43 = а1^а2^)
(2)
В В , ,
и 12 = С/із = и21 = С/31 = -0-«1 «2 !
С^22 — С/33 —
ехр [—г|(а + 0)і]
С^23 — С/32 —
х |[1 — ехр(г$0і)]а + 20 ехр (За + 0)^ + 0[1 + ехр{ідвї)] |, ехр [—г| (а + 0)і]
40
х |[1 — ехр(г$0і)]а — 20ехр(За + 0)^ + 0[ 1 + ехр(г$0і)] |,
где
А = ехр
В = ехр
с°й ( уі) + 8ІП ) [> - 1,
—г|(а + 0)і [1 — ехр(г$0і)]
и а = Г2/с/, Л = 2(а1а2а^а^ + 0^0^0102), 0 = 8(01020^а^0102) + а2.
Пусть в начальный момент времени резонаторное поле находится в двухмодовом тепловом состоянии
рИ°) = ЕЕ Р1 (П1)р2 (П2) |^1, П2) (П1, П21,
П1 П2
где Рг(щ) = п™г/(1 + rii)ni и iii — среднее число тепловых фотонов в г-той моде, а атомы в когерентных атомных состояниях вида
|Ф1 (0)) = cos$11“Ь) + е%ч>1 sin6>i|—), |Фг(0)) = cos02|+) + е%ч>2 sin6>2| —)-
Здесь 0\ и в2 обозначают амплитуды поляризованных атомов и Lp\ и ср2 — относительные фазы состояний двух атомов. Начальная атомная матрица плотности атомов можем быть тогда записана в виде
Ра(0) =
где
(рп{ 0) ріг(0) Різ(0) Рм(0)\
Pl2(®) Р22(0) Р2з(0) р2А(0)
Рїз(0) Ргз(°) Рзз(0) Р34(0)
\Рм(0) Р24(0) Рз4 (®) Р44(0)/
Ри(0) = COS2 01 COS2 02, Ріг(0) = COS2 0\ COS 02 sin (>2Є~гір2,
Різ(0) = COS 01 sin 01 COS2 в2Є~%Ч>1, Pm(0) = COS 01 sin 01 COS 02 sn^e-*^1^2),
P22(0) = cos2 0i sin2 02, Ргз(О) = cos 0i sin 0i cos 02 sin ,
Рзз(о) = sin2 01 COS2 02, P24(0) = COS01 sin0i sin2 02Є_г¥,:1,
P34 (0) = sin2 01 cos 02 sin 02e—г<і°2, p44 (0) = 1 - pi 1 (0) - p22 (0) - рзз (0).
Для вычисления критерия перепутанности атомов необходимо найти редуцированную атомную матрицу плотности
pA(t) =TrFU(t)pF(0) (g) pa(0)U+(t).
В результате с использованием явного вида оператора эволюции (2) для атомной матрицы плотности получаем
PA(t) =
(Pll Pl2 Pl3 Pl4\
Pl2 Р22 Р23 Р2А
РіЗ Р23 РЗЗ Р34
\Рі4 Р24 Р34 Р44/
(3)
Явный вид матричных элементов в (3) не приведен здесь из-за их слишком громоздкого вида.
2. Обсуждение результатов. Для определения степени атом-атомного пе-репутывания будем использовать параметр Переса Хородецких [1], который определяется как е = где ^“—отрицательные собственные зна-
чения частично транспонированной по переменным одного кубита (атома) матрицы (3). Для неперепутанных состояний е = 0. Для перепутанных состояний 0 < е ^ 1. Максимальной степени перепутывания соответствует значение £ = 1.
Результаты численного моделирования временной зависимости параметра перепутывания для различных значений параметров модели представлено на рис. 1 и 2. На рис. 1, а, б показано временное поведение перепутывания для двухмодового теплового моля с малым средним числом фотонов в модах П1=П2 = 0,01 без учета диполь-дипольного взаимодействия атомов в отсутствии (рис. 1, а) и при наличии атомной когерентности (рис. 1, б, в). На рис. 1,
Рис. 1. Временная зависимость параметра перепутывания для параметров модели: а) а = = 0,01 = 7г/2, 02 = 0; б) а = 0, 0\ = 7г/4, 02 = 7г/4; в) а = 0,01 = 7г/4, $2 = —7г/4 , г) а = 0,1,01 = = 7г/2, $2 = 0, д)а = 0,1,01 = тг/4,02 = 7г/4, е) а = 0,1,01 = 7г/4,02 = — 7г/4; фазы поляризованных атомов у>1 = = 0 и среднее число тепловых фотонов в модах п\ = П2 — 0,01
Рис. 2. Временная зависимость параметра перепутывания для параметров модели: а) п\ = = П2 = 1, ос = 0,1, 0\ = 7г/4, 02 = 7г/4 и А(р = 0,б7г (линия 1), А(р = 0,7п (линия 2), А<р = тг (линия 3); б, а) п\ = П2 = 0,01, 0\ = тг/2, 02 = 0, (р\ = (р2 = 0 и а = 0 (линия 1), а = 0,01 (линия 2), а = 0,1 (линия 3); в) п\ = П2 = 0,01, 0\ = 7г/4, 02 = 7г/4, = у?2 = 0 и о: = 0,01 (линия 1), а = 0,1
(линия 2); г) пх = П2 = 0,01, 0\ = 7г/4, 02 = —7Г/4, ^1 = ^2 = 0 и а = 0,01 (линия 1), а = 0,1
(линия 2)
г, е представлены аналогичные графики для перепутывания при наличии диполь-дипольного взаимодействия с константой диполь-дипольного взаимодействия a = 0,/g = 0,1. На рис. 2 показана зависимость степени перепутывания атомов от относительных фаз Aip = (pi — поляризованных атомов для модели с Hi = П2 = 1 и а = 0,1. Из рисунков хорошо видно, что выбор определенного начального состояния атомов (степени атомной когерентности или поляризации атомов) позволяет осуществлять эффективный контроль за степенью их перепутывания. На рис. 2, б, г показана зависимость степени перепутывания атомов от константы прямого диполь-дипольного взаимодействия для некогерентного (рис. 2, б) и различных когерентных начальных состояний атомов (рис. 2, в, г). Из рисунков хорошо видно, что для любых начальных состояний атомов наличие диполь-дипольного взаимодействия приводит к увеличению степени перепутывания атомов. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно включить, уменьшая относительное расстояние между атомами в резонаторе. Причем расстояние между атомами в резонаторе можно легко контролировать. В настоящее время в современных магнитных ловушках Пауля охлаждённые ионы могут быть заперты на расстояниях порядка длины волны излучения. В этом случае параметр диполь-дипольного взаимодействия становится сравнимым с константой диполь-фотонного взаимодействия. В результате такие экспериментальные установки могут быть использованы для генерации значительной степени перепутывания атомов даже при наличии шума. Сравнение результатов, полученных нами для модели с невырожденными двухфотонными переходами, с соответствующими результатами для моделей с однофотонными переходами [8, 9] показывает, что для некоторых начальных состояний атомов в случае нелинейной модели может быть получена значительно более высокая степень атомного перепутывания.
3. Заключение. Таким образом, нами исследовано влияние атомной когерентности и диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание двух атомов, взаимодействующих со слабым двухмодовым тепловым полем в идеальном резонаторе. При этом показано, что указанные механизмы могут использоваться для эффективного контроля за степенью перепутанности кубитов, необходимого при квантовой обработке информации.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (государственное задание 2.2459.2011).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. В. Schumacher, М. D. Westmoreland, Quantum Processes, Systems, and Information. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. xii+469 pp.
2. M. S. Kim, J, Lee, D. Ahn, P. L. Knight, “Entanglement induced by a single-mode heat environment”// Phys. Rev. A, 2002. Vol. 65, no. 4, 040101 (R). 4 pp., arXiv: quant-ph/0109052.
3. L. Zhou, H. S. Song, С. Li, “Entanglement induced by a single-mode thermal field and the criteria for entanglement”// J. Opt. B: Quantum, Semiclass. Opt., 2002. Vol. 4, no. 6. Pp. 425-429.
4. E. K. Bashkirov, “Entanglement induced by the two-mode thermal noise” // Laser Phys. Lett., 2006. Vol. 3, no. 3. Pp. 145-150, arXiv: quant-ph/0508188.
5. E. К. Башкиров, М. П. Ступацкая, “Перепутывание двух атомов, взаимодействующих с тепловым электромагнитным полем” // Компьютерная оптика, 2011. Т. 35,
№2. С. 243-249. [Е. К. Bashkirov, М. P. Stupatskaya, “Entanglement of two atoms interacting with a thermal electromagnetic field” // Komp’yutemaya optika, 2011. Vol. 35, no. 2. Pp. 243-249].
6. L. S. Aguiar, P. P. Munhoz, A. Vidiella-Barranca, J.A. Roversi, “The entanglement of two dipole dipole coupled atoms in a cavity interacting with a thermal field” // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 2005. Vol. 7, no. 12. Pp. S769-S771.
7. X.-P. Liao, M.-F. Fang, J.-W. Cai, X.-J. Zheng, “The entanglement of two dipole dipole coupled atoms interacting with a thermal field via a two-photon process” // Chinese Phys. B, 2008. Vol. 17, no. 6. Pp. 2137-2142.
8. E. K. Bashkirov, M. P. Stupatskaya, “The entanglement of two dipole-dipole coupled atoms induced by nondegenerate two-mode thermal noise”// Laser Phys., 2009. Vol. 19, no. 3. Pp. 525-530.
9. Y.-H. Hu, M.-F. Fang, C.-L. Jiang, K. Zeng, “Coherence-enhanced entanglement between two atoms at high temperature” // Chinese Phys. B, 2008. Vol. 17, no. 5. Pp. 1784-1790.
10. Y.-H. Hu, M.-F. Fang, “Coherence-enhanced entanglement induced by a two-mode thermal field” // Commun. Theor. Phys., 2010. Vol. 54, no. 3. Pp. 421-426.
11. E. K. Bashkirov, M. S. Mastuygin, The influence of dipole-dipole interaction on entanglement in nondegenerate two-photon Tavis-Cummings model with atomic coherence, 2012. 10 pp., arXiv: 1210.3685 [quant-ph]
Поступила в редакцию 13/XI/2012; в окончательном варианте — 27/III/2013.
MSC: 81V80, 94A17
ENTANGLEMENT INDUCED BY TWO-MODE THERMAL NOISE TAKING INTO ACCOUNT THE DIPOLE-DIPOLE INTERACTION AND ATOMIC COHERENCE
E. K. Bashkirov, E. G. Mangulova
Samara State University,
1, Academician Pavlov St., Samara, 443011, Russia.
E-mails: [email protected], [email protected]
The entanglement of two two-level atoms with the nondegenerate two-photon transitions interacting with two-mode thermal field in lossless cavity has been considered. The possibility of entanglement degree growth in the presence of an atomic coherence and direct dipole-dipole interaction of atoms has been derived.
Key words: atomic entanglement, two-mode thermal field, dipole-dipole interaction, atomic coherence.
Original article submitted 13/XI/2012; revision submitted 27/111/2013.
Eugene K. Bashkirov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of General and Theoretical Physics. Ekaterina G. Mangulova, Student, Dept, of General and Theoretical Physics.
