CC BY
20
УДК 621.313.5; 621.365.9
К. И. Ким, К. К. Ким
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АСИНХРОННОЙ МАШИНЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА
Дата поступления: 16.11.2018 Решение о публикации: 15.12.2018
Аннотация
Цель: Решение вопроса о целесообразности учета ускорения для динамической устойчивости. Методы: Используется метод кусочно-линейной аппроксимации для представления действительной характеристики скорости вращения ротора. Результаты: Показано, что при расчете переходных процессов в асинхронной машине при переменной скорости ротора в формуле для вращающих моментов в качестве переменной следует брать ускорение вращения ротора. В этом случае действительная характеристика скорости представляется в виде кусочно-линейной аппроксимации. Устанавлено, что в переходных режимах появляется дополнительный вращающий момент, образованный свободными составляющими переходных токов, который достигает наибольшего значения в области высоких скоростей. Практическая значимость: Данная формула для максимального ускорения, при котором динамическая характеристика совпадает со статической, позволяет решить вопрос о целесообразности учета ускорения при исследовании динамической устойчивости машины, что имеет значительный практический интерес.
Ключевые слова: Переходный процесс, асинхронный двигатель, динамическая устойчивость.
Konstantin I. Kim, D. Eng. Sci., professor; *Konstantin K. Kim, D. Eng. Sci., professor, kimkk@ inbox.ru (Emperor Alexander I Petersburg State Transport University) TRANSIENT PROCESSES IN INDUCTION MOTOR UNDER VARIABLE SPEED OF SPINNING ROTOR
Summary
Objective: To solve the issue of acceleration allowance suitability for dynamic stability. Methods: We use a piecewise linear approximation method to represent the real characteristic of the rotor speed. Results: It was demonstrated that rotational acceleration should be taken for a variable in the formula for rotational moments when calculating transient processes in an asynchronous machine with variable speed. In this case the present speed characteristic takes the form of a piecewise line approximation. It was established, that an auxiliary rotary moment occurs under transient regimes. It is formed by transient current components and reaches its largest value in the range of high speeds. Practical importance: The formula in question is made for maximum acceleration, under which dynamic characteristic coincides with the static one. The given formula allows for the solution of acceleration allowance suitability issue when studying the machine dynamic stability, which is of practical interest.
Keywords: Transient process, induction motor, dynamic stability.
В расчетах переходных процессов в электроприводах с асинхронной машиной при необходимости определения движения ротора пользуются общеизвестной в теории установившегося режима формулой вращающих моментов. Ее применение, давая вполне удовлетворительные результаты во многих практических задачах, в ряде особых случаев оказывается недопустимым. К ним можно отнести режимы, в которых скорость вращения ротора резко изменяется, что обусловлено, например, относительно малым маховым моментом. Из-за больших значений постоянных времени обмоток возникающие после коммутации свободные токи затухают относительно медленно. В таких режимах как фазовое соотношение между статорным и роторным токами, так и значения последних значительно отличаются от полученных с помощью формул для установившегося режима, а использование указанной формулы моментов дает решение для скорости в первом приближении [1—4].
В литературных источниках, посвященных анализу таких режимов, основное внимание уделено вопросам определения переходных токов и вращающих моментов, причем характеристика скорости считается заведомо известной. Поэтому вопрос о скорости в переходных режимах представляет значительный практический интерес.
Для решения поставленной задачи необходимо исходить из общих дифференциальных уравнений переходного процесса, включающих в качестве одной из переменных скорость ротора. Эти уравнения для случая идеализированной трехфазной асинхронной машины с одной обмоткой на роторе в системе координат (Oaß, где ось 0а совпадает с магнитной осью фазы 0 А, ось 0ß сдвинута относительно 0а на 90 электрических градусов в пространстве), жестко связанной со статором, могут быть представлены следующим образом:
здесь ^ и 12 - обобщенные векторы токов статора и ротора соответственно;
X, Я2, Х2 - активные и индуктивные сопротивления статора и ротора соответственно; X - сопротивление взаимной индукции; ю - частота тока статора; и - обобщенный вектор напряжения; М, - момент сопротивления; Н - инерционная постоянная системы.
0 = R2i 2 + X 2 ^ 2 2 2 dt
(1)
Анализ уравнений (1) проведем таким способом, при котором оказалось бы возможным получить решение для скорости, не раскрывая выражения моментов нагрузки. Для большинства режимов, при рассмотрении которых может возникнуть необходимость учета ускорения (например, режим разгона двигателя при пуске, внезапное приложение нагрузки, переход в область сверхсинхронной скорости), этот способ оказывается вполне допустимым. Его сущность заключается в представлении действительной характеристики скорости в виде кусочно-линейной аппроксимации.
Положив, что ю = ю0 + Ш и Я = 0, нетрудно получить уравнения, характеризующие движение ротора. Для п участка их можно записать так:
an =
U2ml(l - a)ps-pt HX[
x
X ■
К (t) + h'n
Б1П
Sn0t -~t
On 2
К" (t) + к
соб
sn0t
dF'n (t) dt
= spt cos
Snot -^t2
On 2
- ^t =
Mc H
(2)
К (t) dt
= sptsin
Sn0t
nt2
где о - полный коэффициент рассеяния; Н'п и Н'П - коэффициенты, учитывающие начальные условия; р - коэффициент затухания обмотки ротора при замкнутой статорной; Е (0) = 0; ЕЩ (0) = 0.
Величины Н'п и Н"п определяются из условия непрерывности вращающих моментов и их производных на границе участков.
Решение уравнений (2) относительно ускорения возможно лишь приближенными методами, например методом последовательных интервалов. Однако возникающие при этом технические трудности, которые увеличиваются с возрастанием начального скольжения (?п0), заставляют искать более совершенного решения.
Подробное исследование показывает, что при допущении вполне определенных условий относительно продолжительности участка, на основании уравнений (2) можно получить приемлемое для инженерных расчетов решение вопроса [5-10].
Предположим, что величина участка определяется из формулы
п
3 a
Тогда выполняется соотношение
Ral + (Q - H)an + (N - Mс) = 0
причем коэффициенты R, Q и N находятся таким образом:
R = 0,35 Mn ot¿
t2 -
4t
6 - 2kz
p(1 + k2) p2(1 + k2)2
+
-Pt
+ ■
242
P2(1 + k2)
V
6k —
k y
„ 0,83R
Q = --0,58Mn0
sin sn0t - (6 - 2k )cos sn0t 2(1 - k 2)t
t
-0,5t2 +
k p(1 + k 2)
2 - 6k2
-pt
kp2(1 + k2)2 p2(1 + k2)
242
X
X
o
(6 - 2k ) x sin sn0t +
6k--
. k y
c0s sn 0t
(4)
N = Mn0{1 -г"pt[S'n sin Sn0t + b"n cos Sn0t]}. Здесь Mn0 - статический момент при sn0; 8'n и b"n - коэффициенты, учиты-
sn 0
вающие разность переходных и статических моментов при s 0; k = —^.
n0 p
Уравнение (3) характеризует механические переходные процессы. Практически оно справедливо и в тех случаях, когда условие постоянства ускорения в пределах данного участка, строго говоря, не выполняется, в частности, когда
a
где спт < с0т.
В таких случаях ускорение можно рассматривать в качестве параметра, как это делается относительно скорости в обычных расчетах переходных процессов.
Уравнение (3) целесообразнее всего решить тригонометрическим способом. При этом, как показывает анализ ряда конкретных примеров, действительное значение ускорения возможно получить с помощью следующих формул:
=± ¡ЁЖtg ф, tg9=2VR( N - M)
R2
Q - h
(5)
N - Mc ^Q - H
при отрицательном-- и ±
R R
_ N - M ф . 2y¡R(N - Mc)
an = _ --tg—, sinФ = —--(6)
"IR B2 * Q - H
N - Mc ^Q - H
при положительном-- и ±-.
RR
В соответствии с уравнением (3) выражение для вращающих электромагнитных моментов можно представить в виде
M = AM" +Mn. (7)
2
Здесь член АМп = Яап + Qan + N - Мп представляет дополнительный момент, который образуется свободными составляющими переходных токов. Он достигает наибольшего значения в области высоких скоростей, а при малых скоростях незначителен. Так, в режиме разгона двигателя при р = 0,05 и
а = в пределах 1 < s < 0,45 динамическая характеристика моментов прак-10п
тически совпадает со статической. При более значительных коэффициентах затухания и при ускорениях, меньших, чем указанное, эти пределы увеличиваются. При внезапном приложении нагрузки дополнительный момент, вообще говоря, может приобрести некоторое значение и при скольжениях, больших, чем в режиме разгона. В таких случаях этот момент образуется главным образом за счет свободных токов, возникающих в области больших скоростей.
Таким образом, определение ускорения и переходных моментов, которое составляет наиболее важную и вместе с тем сложную задачу при исследовании указанных режимов, сведено к расчету величин R, N и Q. Как видно из выражений (4), он выполняется весьма просто. Одновременно заметим, что величины 5 'п и 5 "п с достаточной точностью могут быть найдены из условия равенства вращающих моментов в одной и той же точке, получаемых по формуле (7) при п и п - 1.
При исследовании переходных процессов при переменной скорости естественно возникает вопрос о максимальном значении ускорения, при котором динамическая характеристика моментов практически совпадает со статической. Очевидно, при ускорениях, меньших, чем указанное, машина сохраняет статические свойства. Данное ускорение может быть названо граничным.
В силу вышеизложенного условия совпадения рассмотренных характеристик на различных участках будут неодинаковыми. Поэтому при
определении граничных ускорений необходимо исходить из наиболее характерных точек. В качестве последних, как показывает анализ ряда задач, могут быть выбраны точки, соответствующие максимальным значениям моментов.
В режиме внезапного увеличения механической нагрузки время tm, при котором момент приобретает максимальное значение, удовлетворяет следующему уравнению:
Р^т + 2,5
1 -8
"Р'т
- и
- [(Р + ат
^ а 2 Л —t 2 т
\
+
у
+(Р - Мт )ССВ ( а2£ ]] + 0,25 РП 8-ptm [р ВШ
V
У
- атС°8
^ а 2 Л —t 2 т
\
у
а2
—t ~ т
= 0
(8)
На основе большого количества расчетных данных, полученных из уравнения (8) при различных ускорениях и коэффициентах затухания, можно сделать вывод, что при практически возможных значениях параметров машины величина tm с достаточной точностью может быть определена по формуле
т=0,94
Из нее можно заключить, что с увеличением ускорения точка максимума моментов смещается в сторону больших скольжений, так что характеристика моментов в области б < Бт получает более пологий вид.
Максимальные значения моментов (динамическая устойчивость) определяется из соотношения
М„
и2т1(1 -а)
_ т1
Х1(1 + к2)
к - 0,25(1 + к)8
"Р'т
1,25а
пр(1 + к2)
(4к - 2(1 - к-
6к (к +1) - 2 Р(1 + к2)
+
(9)
+8
~Р'т,
6к (к +1) - 2 Р(1 + к2)
S0tm -
6к (к -1) - 2Я. Р(1 + к2) "
вШsotm
из которого следует, что величина Мт зависит не только от ускорения, но и от таких величин как коэффициент затухания обмотки ротора и начальное скольжение. Численные расчеты, выполненные на основе (9), позволяют прийти к следующим выводам:
1) с возрастанием активного сопротивления обмотки ротора максимальный момент уменьшается;
2) на величину максимального момента влияет начальное скольжение, причем это влияние тем больше, чем меньше активное сопротивление ротора;
3) при малых ускорениях начальное скольжение можно не учитывать;
4) при прочих равных условиях с возрастанием ускорения динамическая устойчивость повышается.
Используя выражение (9) и учитывая изложенное в выводе 3), можно получить следующее выражение для граничных ускорений:
а = 0,24р2. (10)
Таким образом, с изменением коэффициента затухания обмотки ротора граничное условие меняется по параболическому закону. Формула обладает значительной общностью. Она может быть использована во всех задачах, связанных с учетом изменения скорости ротора.
С целью проверки полученных результатов было выполнено экспериментальное рассмотрение следующих режимов: включение машины на систему напряжений прямой последовательности фаз, внезапное увеличение механической нагрузки. Сравнение экспериментальных данных (осциллограммы скорости) с расчетными показало, что результаты, полученные с помощью формул (3)—(6), достаточно хорошо совпадают с действительными.
Следовательно, изложенный метод расчета переходных процессов при своей относительной простоте дает вполне удовлетворительные для практических целей результаты. С его помощью рассматриваются переходные электромагнитные и механические процессы в их взаимной связи.
Формулы (3)-(7), лежащие в основании метода, позволяют одновременно определить как вращающий момент, так и скорость ротора. Эти формулы вместе с выражением для граничных ускорений (10) дают возможность в каждом конкретном случае решить вопрос о целесообразности учета ускорения, не производя подробного расчета характеристик. Расчет динамической устойчивости двигателя, согласно (9), не представляет затруднений.
Метод может быть использован при анализе переходных процессов как в машинах нормальной конструкции, так и в некоторых типах специальных машин, например в двигателях с глубокими пазами, в области, где необходимо учитывать изменение скорости. Апериодическая составляющая статорного тока незначительна, благодаря чему эффект вытеснения тока в указанной области практически не играет роли.
Библиографический список
1. Ким К. И. Переходные процессы в асинхронной машине / К. И. Ким, К. К. Ким. -СПб. : ОМ-Пресс, 2013. - 90 с.
2. Ким К. К. Системы электродвижения с использованием магнитного подвеса и сверхпроводимости / К. К. Ким. - М. : Учеб.-метод. центр по образованию на ж.-д. транспорте, 2007. - 360 с.
3. Ким К. К. Математическая модель асинхронной машины для вибрационных исследований / К. К. Ким, Е. Б. Зазыбина // Мир транспорта. - 2015. - Т. 13, № 3. - С. 6-19.
4. Кузнецов А. А. Переходные процессы в линейных электрических цепях : учеб. пособие / А. А. Кузнецов, А. В. Пономарев, А. Ю. Тэттэр. - Омск : Омск. гос. ун-т путей сообщения, 2014. - 103 с.
5. Титова Т. С. Повышение энергетической эффективности электрического подвижного состава переменного тока / Т. С. Титова, А. М. Евстафьев, А. Н. Сычугов // Электротехника. - 2017. - № 10. - С. 46-52.
6. Титова Т. С. Энергоэффективные системы вспомогательного электропривода электрического подвижного состава / Т. С. Титова, А. М. Евстафьев // Транспорт Российской Федерации. - 2017. - № 5 (72). - С. 60-63.
7. Титова Т. С. Инновационные системы управления электрического подвижного состава / Т. С. Титова, А. М. Евстафьев // Железнодорожный транспорт. - 2017. - № 11. -С. 54-59.
8. Евстафьев А. М. Перспективы развития интеллектуальных бортовых систем управления электрического подвижного состава / А. М. Евстафьев // Электроника и электрооборудование транспорта. - 2014. - № 2. - С. 29-34.
9. Евстафьев А. М. Переход к цифровому управлению тяговым приводом электрического подвижного состава / А. М. Евстафьев // Электроника и электрооборудование транспорта. - 2010. - № 4. - С. 24-28.
10. Евстафьев А. М. Выбор топологии схем тягового привода электрического подвижного состава / А. М. Евстафьев // Изв. Петерб. гос. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2010. - Вып. 3 (24). - С. 89-98.
References
1. Kim K. I. & Kim K. K. Perekhodniye protsessy v asynkhronnoy mashine [Transient processes in asynchronous machine]. Saint Petersburg, OM-Press Publ., 2013, 90 p. (In Russian)
2. Kim K. K. Sistemy elektrodvizheniya s ispolzovaniyem magnitnogo podvesa i sverkh-provodimosty [Electric propulsion systems with the use of magnetic levitation and superconductivity]. Moscow, Uchebno-metodychesky tsentr po obrazovanyju na zheleznom transporte [Railway educational training center] Publ., 2007, 360 p. (In Russian)
3. Kim K. K. & Zazybina E. B. Matematicheskaya model asynkhronnoy mashiny dlya vi-bratsionnykh issledovaniy [Mathematical model of asynchronous machine for vibration testing]. Mir transporta [The world of transport], 2015, vol. 13, no. 3, pp. 6-19. (In Russian)
4. Kuznetsov А. А., Ponomarev A. V. & Tetter A. Y. Perekhodniye protsessy v lineinykh elektricheskykh tsepyakh [Transient processes in linear electric circuits]. Uchebnoye posobiye [Tutorial]. Omsk, Omsk State Transport University Publ., 2014, 103 p. (In Russian)
5. Titova T. S., Evstafiyev A. M. & Sychugov A. N. Povysheniye energeticheskoy effek-tivnosty elektricheskogo podvizhnogo sostava peremennogo toka [Energy efficiency improvement of an alternating-current electric stock]. Elektrotekhnika [Electrical engineering], 2017, no. 10, pp. 46-52. (In Russian)
6. Titova T. S. & Evstafiyev A. M. Energoeffektivniye sistemy vspomogatelnogo elektrop-rivoda elektricheskogo podvizhnogo sostava [Power efficient systems of an auxiliary electric motor drive for the electric stock]. Transport Rossiyskoy Federatsii [Transport of the Russian Federation], 2017, no. 5 (72), pp. 60-63. (In Russian)
7. Titova T. S. & Evstafiyev A. M. Innovatsionniye sistemy upravleniya elektricheskogo podvizhnogo sostava [Innovative systems for the electric stock operation]. Zheleznodorozhniy transport [Railroad transport], 2017, no. 11, pp. 54-59. (In Russian)
8. Evstafiyev A. M. Perspektivy razvitiya intellektualnykh bortovykh system upravleniya elektricheskogo podvizhnogo sostava [Development prospects of smart on-board control systems design for the electric stock]. Elektronika i elektrooborudovaniye transporta [Electronic engineering and electrical equipment for transport], 2014, no. 2, pp. 29-34. (In Russian)
9. Evstafiyev A. M. Perekhod k tsifrovomu upravleniyu tyagovym privodom elektricheskogo podvizhnogo sostava [Transition to digital control of the electric stock pulling drive]. Elektronika i elektrooborudovaniye transporta [Electronic engineering and electrical equipment for transport], 2010, no. 4, pp. 24-28. (In Russian)
10. Evstafiyev A. M. Vybor topologii skhem tyagovogo privoda elektricheskogo podvizhnogo sostava [Circuit layout selection for the electric stock pulling drive]. Izvestiya Peterburgskogo universiteta putey soobshcheniya [Proceedings of Petersburg State Transport University]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2010, issue 3 (24), pp. 89-98. (In Russian)
КИМ Константин Иванович - д-р техн. наук, профессор; *КИМ Константин Константинович -д-р техн. наук, профессор, kimkk@inbox.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).
