Передаточные функции процесса теплообмена в аппарате воздушного охлаждения масла Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

Энергетика

УДК 621.3.078

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА В АППАРАТЕ ВОЗДУШНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ МАСЛА

С.В. Алимов1, Л.А. Мигачева2, А.Р. Титов3

1 ОАО «Газпром»

117997, ГСП-7, г. Москва, ул. Наметкина, 16

2 Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

3 ДОАО «Центрэнергогаз»

117630, г. Москва, ул. Обручева, 23, стр. 3

Рассмотрена математическая модель процесса теплообмена в аппарате воздушного охлаждения масла. Разработана линеаризованная структурная схема процесса теплообмена как объекта управления. Найдены передаточные функции объекта по отношению к изменениям объемного расхода охлаждающего воздуха и температур масла и воздуха на входе аппарата.

Ключевые слова: математическая модель, аппарат воздушного охлаждения масла, структурная схема, передаточная функция.

Функционирование аппаратов воздушного охлаждения (АВО) масла газоперекачивающих агрегатов происходит по принципу передачи излишнего тепла окружающей среде. Масло отдает теплоту стенке оребренной трубы теплообменника, которая охлаждается потоком холодного воздуха.

При математическом описании процессов теплообмена часто пользуются системой нелинейных уравнений Фурье [1] и рассматривают теплообменник как объект с распределенными параметрами [2]. Однако следует заметить, что поскольку систему управления АВО масла оснащают датчиком, измеряющим среднюю температуру масла на выходе теплообменника, то для синтеза системы совершенно не важно знать распределение температур по радиусу и длине трубки. Этот вывод позволяет перейти к рассмотрению процесса теплообмена в АВО масла как объекта с сосредоточенными параметрами и воспользоваться при выводе передаточных функций законами сохранения энергии и теплового баланса.

Процессы тепломассопереноса, протекающие в теплообменном аппарате, описываются системой нелинейных уравнений [3]

Сергей Викторович Алимов, первый заместитель начальника департамента по транспортировке, подземному хранению и использованию газа ОАО «Газпром».

Людмила Алексеевна Мигачева (к.т.н., доц.), доцент кафедры «Материаловедение и товарная экспертиза».

Андрей Римович Титов, заместитель генерального директора ДОАО «Центрэнергогаз».

^т

^РмСм (тм - Тм.вх ) + тмСм-^м + амрв« (Тм - ттр ) = 0;

йТ

тшрСшр- амКн (Тм - Ттр ) + аЛар (Ттр - Тв ) = 0; ^РвСв (Тв - Тв.вх ) = аЛар (ТшР - Тв X

где Gм и Gв - объемные расходы масла и воздуха; рм и рв - плотности масла и

воздуха; См и Св - удельные теплоемкости масла и воздуха; тм и т - массы масла и трубки; ам - коэффициент теплоотдачи от масла к стенке трубки теплообменника; ав - коэффициент теплоотдачи от стенки трубки к воздуху; Гвн и Гнар -внутренняя и наружная площади теплообмена; Тм и Те - средние значения температур масла и воздуха на выходе аппарата воздушного охлаждения; Тм ех и Тввх -средние значения температур масла и воздуха на входе аппарата воздушного охлаждения; Ттр - средняя температура трубки теплообменника; ї - время.

Первое и третье уравнения системы (1) отражают закон сохранения мощности тепловых потоков масла и воздуха соответственно. Второе уравнение представляет собой баланс тепла, подведенного к трубке, отданного воздуху и аккумулированному в материале теплообменника.

Входным управляющим воздействием в АВО масла является объемный расход воздуха G6, регулируемой координатой - средняя температура масла на выходе теплообменника Тм. К возмущающим воздействиям следует отнести изменения температур масла Тм ех и Те ех воздуха на входе аппарата воздушного охлаждения, а также вариацию объемного расхода масла Gм .

Система уравнений (1) показывает, что процесс теплообмена в АВО масла представляет собой нелинейный объект управления. Нелинейность определяется прежде всего перемножением переменных G6 и Т , Gм и Тм. Кроме того, известно, что коэффициенты теплоотдачи ам и ав являются нелинейными функциями скорости движения соответствующей среды, то есть функциями Gм и G6. Тем не менее для обоснованного синтеза системы управления АВО масла и выбора параметров регуляторов найдем линеаризованное представление процесса теплообмена как объекта управления. Предположим, что объемный расход Gм масла постоянен и в районе некоторой рабочей точки с параметрами Gв0, Тв0 и Те вх0 процесс характеризуется постоянными коэффициентами теплоотдачи. Тогда, переходя в (1) к приращениям, разлагая основные нелинейности в степенной ряд Тейлора и ограничиваясь первыми членами разложения, получим линеаризованную систему уравнений, описывающих динамику процесса теплообмена в аппарате воздушного охлаждения:

^мРмСм + амрвн )АТм - ^РмСм АТм

й АТ

т с ---------^-а Г АТ

тр тр м вн м

а Г АТ

й АТ

+ тмСм~йТ - амГв« АТтр = 0;

- а Г АТ -а Г АТ = 0;

в нар тр в нар в

рС(Т0 - Т 0)АG + (впрС + а Г )АТ - G 0р С АТ = а Г АТ

і в в У в0 в.вх0 ' в У 601 в в в нар' в 601 в в в.вх в нар ші

(2)

Заменяя операцию дифференцирования символом р = —, запишем (2) в опера-

йї

торной форме:

(т С р + G р С + а F )АТ - G р С АТ - а F АТ = 0;

V м м± мі мм м вн ' м м і м м м.вх м вн тр ’

(т С р + а F )АТ -а F АТ + аF АТ -а F АТ = 0; \ (3)

V тр тр± м вн ' тр м вн м в нар тр в нар в ’ V /

р С (Т0 - Т 0)АG + (G 0р С+ а F )АТ - G 0р С АТ = а F АТ .

і в в У в 0 в.вхо' в У в О/ в в в нар' в в О/ в в в.вх в нар тр

Системе (3) соответствует линеаризованная структурная схема процесса теплообмена как объекта управления (рис. 1).

Полученные уравнения позволяют найти передаточные функции процесса теплообмена по отношению к управляющему и возмущающим воздействиям. Применим принцип суперпозиции и положим в (3) АТв вх = 0, АТм вх = 0 :

Ав„

РвСв (Тв0 - Тв.вх0 )

(-)

а F

в нар

G 0р С + а F

в 0 * в в в нар

АТ

ве0рвСв

а ¥

в нар

АТ

1

т С р+а ¥ +а¥

тр тр± м вн в нар

АТ

в р С

м> м м

а.

¥вн

1

т мС мР + вм Рм См +ам ¥в

АТ

Рис. 1. Линеаризованная структурная схема процесса теплообмена как объекта управления

(т С р + в р С + а ¥ )АТ -а ¥ АТ = 0;

вн вн тр

(т С р + а ¥ )АТ -а ¥ АТ + а ¥ АТ -а¥ АТ = 0;

тр тр м вн тр м вн м в нар тр в нар в

р С (Т0 -Т 0)Ав + (в р С + а ¥ )АТ = а ¥ АТ .

0 . х0 0 нар нар тр

(4)

в в V в0 в.вх0 / в V в0гв в в нар / в в нар тр'

Система уравнений (4) позволяет найти передаточную функцию объекта по от-

ношению к управляющему воздействию Авв. Выразим из третьего уравнения (4) АТ :

АТ = -

а F

в нар

-АТ — рвСв(То Тв.вх0) ав в 0р С + а F тт в 0р С + а F в

0 нар 0 нар

и подставим эту промежуточную переменную во второе уравнение (4): (т С р + а F )АТ —аF АТ + а F АТ —

\ тр трг м вн у тр м вн м в нар тр

тр трг м вн / тр м вн м в нар тр

х2 F2

в нар

вв 0РвСв + авКнар Выразим из (5) АТтр :

АТ =

АТ

тр

авFнарРвCв (Тв0 Тв.вх0) ^ ~ '

-Ав = 0

(5)

вв 0РвСв + авКнар

а,, К.

тр /

т С р + а К + а К —

тр трг м вн в нар

АТ —

м

вв0РвСв + авКнар у авКнарРвСв (Тв0 — Тв.вх0 )

т С р + а К + а К —

тр тр м вн в нар

-Ав

в 0р С + а К

в 0 * в в в нар у

(вв0РвСв + авКнар )

Подставив это значение в первое уравнение системы (4), после несложных преобразований получим

ттр Стр тм См Р 2 +

т,Сш

а К + а К —-

м вн в нар

а2 К2

в нар

вв 0РвСв +авКна

+т С (в р С + а К )!р + (в р С +а К )х

тр тр \ мг м м м вн / \ мг м м м вн /

а К + а К —

м вн в нар

а2 К2

в нар

Л

вв0РвСв +авКн

—ак2 \ат =

м вн м

(6)

амКвнавКнарРвСв (Тв0 Тв.вх0 )

в в нар у

Ав.

(вв0РвСв + авКнар )

Переходя в (6) к преобразованиям Лапласа и обозначая Тм (р) = Ь {АТм}, вв (р) = Ь {Авв} , найдем передаточную функцию процесса теплообмена по отношению к управляющему воздействию:

кп

Тм (р) =______________________

вв (р) а0 р2 + а1р + 1

(7)

где кв = -

а К а К р С

м вн в нар г в в /ггп гг1 \

—Г -г—ч V в0 в.вх0 у

в 0РвСв + авКнар

(в р С +а К )

вн

(

а2 К2

в нар

—а к2

м вн

m C m C

м м тр тр

і G p C + а F )

вн

а2 F1

в нар

а F + а F -

вн в нар

G 0p C + а F

в0 в в в нар J

-а2 F2

вн

m mC m

а2 F2

в нар

a -■

ам^н + авКар -> „ „

G0peCe + авКар J

+ ттрСтр іGMpMCM + ам^н )

і G p C + а F )

V Ml м м м вн J

а2 F2

в нар

а F + а F -

м вн в нар

G 0p C +а F

в0 в в в нар J

-а2 F2

м вн

Вид передаточной функции (7) показывает, что процесс охлаждения масла в аппарате воздушного охлаждения представляет собой динамическое звено второго порядка. Анализ корней знаменателя (7) во всем возможном диапазоне изменения параметров показывает, что эту передаточную функцию можно представить в виде двойного апериодического звена

где T,, -■

2a0

т

Г~2------ ’ Т22 Г~2----- '

11 +уа1 - 4а0 а1 -у]а1 - 4а0

Полагая в (3) АТв вх - 0, АОе - 0 , аналогичным образом найдем передаточную функцию WBsl (р) по отношению к возмущающему воздействию АТм ех:

Тм (P) -______________kG

G„ (P) (TnP + ,)(T22P + ,)

2a0

a0 -

W /( p) - Tm (P) - кв,(Ь0 P + ,)

в1 Тм.вх (P) a0P2 + a,P + ,

(В)

G p C

Ml M M

а2 F2

а F +а F-----------------------------------------в——---------

м вн в нар g p c + а F

в01 в в в нар J

іG p C +а F )

V мг м м м вн /

а2 F2

в нар

а F + а F -

м вн в нар

G 0p C +а F

в0 в в в нар J

b0 =-

ттрСтр

а2 F2

а F + а F---------------------------------в——-----------

м вн в нар s~~-i у^-ч 7-ї

G oPвCв + авКар

Формула (В) противоречит физическому смыслу процессов, протекающих в АВО. Действительно, при выводе передаточных функций предполагалось, что в аппарате осуществляется только конвективный теплообмен, а передача тепла теплопроводностью отсутствует. Поэтому при вариации температуры масла на входе трубки теплообменника температура на выходе может измениться только через время:

т-

L

тр

V

где Ум - средняя скорость движения масла по трубопроводу, Ьтр - длина трубки теплообменника.

Для исключения возникшего противоречия формулу (8) необходимо дополнить звеном запаздывания с постоянной времени т . При этом следует учесть, что при движении масла по трубке теплообменника за время т происходит его охлаждение. Предполагая, что изменение температуры происходит в соответствии с (8), найдем ее значение в момент времени t = т при скачкообразном виде рассматриваемого возмущения. Для этого воспользуемся таблицами обратных преобразований Лапласа [4]. Величина приращения температуры масла на выходе относительно исходной (существующей до приложения возмущающего воздействия) в момент времени т составит

ATм (т) - кв,(1 + СіЄт11 + С2eT22)ATм.вx, где Aтм ех - приращение температуры масла на входе в теплообменник,

т22 - b0

(9)

C1 -

b0 т11 т11 - т22

C2 -

т - т

т11 т22

С учетом (9) на выходе АВО сформируется температура масла в момент времени t - т . Дальнейшее изменение температуры будет происходить с учетом ненуле-

dт

вых начальных условий ATм (т) и —2 (т) (поскольку динамические свойства АВО

dt

описываются характеристическим полиномом второго порядка). При ступенчатом

dTM , ч

изменении температуры масла на входе начальное условие —2 (т) вычисляется по

dt

формуле

dTM

____м

dt

С

С

(т) - -кв,(—гe т11 + -fe T22)AT2

т2

С учетом ненулевых начальных условий можно записать уравнение движения рассматриваемого объекта управления:

(aop2 + a,p + ^ тм (p)

- кв1 (b0p + Г) тм.вх (p) - kв1b0^мвх (т) При подаче возмущения вида

aoA^ (т) p+a^M (т)+<

dTM

____м

dt

(т)

т (p) -

м.вх V-t /

AZ

(10)

последнее выражение после несложных преобразований примет вид

dT

aoA1.M (т)p2

тм (p) =-

alAIM (т)p + ao—rr(т)

dt

p + к Лт

tr в1 м.в;

( ao p 2

+ a1 p + 1 ) p

или

0

TM (p) = -

a0 ATm (7) 2

AT „

a1ATM(7) + a0 dTM AT „

AT, dt

p+Ki

^м.вх (p)-

а0 р + а Р +1

Допуская, что запаздывание дополняет динамическое звено, стоящее при Тмех (р), можно получить искомую передаточную функцию объекта по отношению к возмущению - изменению температуры масла на входе в теплообменник:

Wi( p) =

тм (Р)

T м.вх (p)

a0ATM (T) p2

AT „

aiATM (^), a dTM (T)

AT

p+Ki

a0 p + a1 p +1

(11)

Выражение (11) представляет собой приближенное решение, полученное в рамках сделанных предположений и допущений. Формула (11) требует уточнения, в частности, при другом виде Тмех (р), отличном от (10).

Если принять в (3) АТм вх = 0 , АGв = 0 , то можно найти передаточную функцию объекта по отношению к другому возмущающему воздействию - изменению входной температуры охлаждающего воздуха АТв вх :

Tm (p)

К

где К 2 = -

T„.„x (p) a0p + aip + 1

aMFeuaeFuapGe 0РвСв Ge 0PeCe + aeFuan

(12)

(G P C

\ мг M M

f

'aM Fm )

a, F„,

a2 F

в нар

\

~аЛар Ge РвСв +aeFHa

-a2 F2

вн

в 0г в^в ' wve^ нар J

Передаточные функции (7), (11) и (12) могут использоваться при синтезе

системы управления АВО масла, причем их адекватность реальному процессу подтверждается численным моделированием и результатами [5] экспериментов. Действительно, для АВО масла типа 06-10 с параметрами

G0 = 13,6 м3/с; G м = 0,0166 м3/с; р м = 843 кг/м3; рв = 1,1839 кг/м3;

См = 1670 Дж/кгК; Стр = 460 Дж/кгК; Св = 1005 Дж/кгК;

тм = 434 кг; ттр =1215 кг;

ам = 286 Вт/м2К; ав = 11 Вт/м2К;

Te0 = 36,83 °С; Teex0 = 25 °С;

Fm = 144 м2; FHap = 1135 м2

передаточная функция (7) примет вид

Рис. 2. График переходного процесса, построенный по передаточной функции (13)

e

и/( ) 0,1781 (13)

(р) =-------------2---------------. (13)

у 286,0733р2 + 50,1418 р +1

График, построенный по формуле (13), показывает, что время переходного процесса составляет 178,2 с (рис. 2).

Результаты эксперимента, проведенного на том же типе аппарата [5], свидетельствуют, что при отключении и последующем включении одного из вентиляторов АВО температура восстанавливается за 200 с. Погрешность расчетов по сравнению с экспериментальными данными составляет 10,9 %. Основная причина расхождений, по всей видимости, заключается в том, что эксперимент проводился при включении вентилятора на полную скорость, а передаточные функции получены в предположении малого отклонения величин от рабочей точки. Кроме того, результаты компьютерного моделирования не учитывают инерционность асинхронного электродвигателя привода вентилятора.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

2. Россеев Н.Н., Данилушкин И.А., Кузнецов П.К. Модель распределения температуры масла в аппарате воздушного охлаждения // Труды III Всероссийской научной конференции (29-31 мая 2006 г.). Ч. 2. Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. Матем. моделирование и краев. задачи. - Самара: СамГТУ, 2006. - С. 142-144.

3. Щербинин С.В. Информационно-измерительная и управляющая система аппаратов воздушного охлаждения газа // Дисс. ... к.т.н. - Уфа: Уфимск. гос. нефт. техн. ун-т, 2004. - 167 с.

4. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. - М.: Машиностроение, 1982. -504 с.

5. Россеев Н.Н. Создание энергоэффективной системы автоматического управления аппаратами воздушного охлаждения масла на основе частотно-регулируемого электропривода // Дисс. ... к.т.н. -Самара: СамГТУ, 2006. - 126 с.

Статья поступила в редакцию 9 ноября 2011 г.

TRANSFER FUNCTIONS OF HEAT EXCHANGING PROCESS

IN AIR-COOLING UNIT OF OIL

S. V. Alimov1, L.A. Migacheva2, A.R. Titov3

1 OAO «Gazprom»

16, Nametkina st., Moscow, GSP-7, 117997

2 Samara State Technical University

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

3 DOAO «Centrenergogaz»

3 str, 23, Obruchtva st., Moscow, 117630

The mathematical model of heat exchanging process in air-cooling unit of oil is considered. The linearized block diagram of heat exchanging process as object of control is developed. Transfer functions of object in relation to changes of the volume expense of cooling air and oil and air temperatures on a device input are found.

Key words: mathematical model, air-cooling unit of oil, block diagram, transfer function.

Sergey V. Alimov, First Deputy Head of Department of Transportation, Underground Storage and Utilization.

Lyudmila A. Migacheva (Ph.D. (Techn.)), Associate Professor.

Andrey R. Titov, Deputy General Director.