CC BY
12
УДК 536.2.01, 536.21, 536.24
Передача и термализация упругой энергии в решетке и феномен тепловых «огненных шаров»
А.Э. Филиппов1'2, В.Л. Попов2
1 Донецкий физико-технический институт, Донецк, 83114, Украина 2 Берлинский технический университет, Берлин, 10623, Германия
Исследована численная модель кубической решетки с линейной упругостью и случайными источниками тепла на верхней и нижней границах. Рассмотрены способы визуализации кинетики проникновения энергии, а также записи истории событий в такой системе и получены некоторые общие результаты для двумерного и трехмерного случаев. Изучена природа формирования и распространения локализованных сгустков энергии, а также возникновения так называемого теплового сопротивления. Показано, что тепловое сопротивление на границах сред с различными параметрами может быть в частности использовано для эффективного отвода тепла и устранения побочных эффектов при исследовании трения в рамках модифицированной модели Томлинсона-Прандтля, в которой потери энергии обусловлены генерацией деформаций в подложке.
Ключевые слова: термализация, баллистическое распространение тепла, тепловое сопротивление
DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_4_54
Elastic energy transfer and thermalization in a lattice and the phenomenon of thermal fireballs
A.E. Filippov1,2 and V.L. Popov2
1 Donetsk Institute for Physics and Engineering, Donetsk, 83114, Ukraine 2 Technische Universität Berlin, Berlin, 10623, Germany
Here we present a numerical model of a cubic lattice with linear elasticity and random heat sources on the upper and lower boundaries. Methods for visualizing the kinetics of energy penetration and recording the history of events in such a system are considered, and some general results are obtained for the two- and three-dimensional cases. The origin and propagation of localized energy states, as well as the emergence of the so-called thermal resistance are studied. It is shown that thermal resistance at the interfaces of media with different parameters can be used for efficient heat removal and elimination of side effects in the study of friction within a modified Tomlinson-Prandtl model, in which energy losses are due to the generation of strains in the substrate.
Keywords: thermalization, ballistic heat transfer, thermal resistance
1. Введение
Исследование термализации механических систем восходит к известной проблеме Ферми-Пас -та-Улама, которые в 1953 г. пытались получить эргодическое поведение нелинейной цепочки упруго связанных атомов [1, 2]. Как оказалось, поведение такой системы гораздо сложнее и ее ис-
следование по-прежнему продолжается все последующие годы [3-6]. Одним из направлений исследований является использование на концах цепочки «странных» аттракторов типа Нозье-Гу-вера [7, 8], которые генерируют квазислучайное поведение с заданной температурой вместо источников случайных сил Ланжевена [9], что, как
© Филиппов А.Э., Попов В. Л., 2022
ожидается, позволяет перевести проблему из термодинамической в чисто динамическую [10]. Уже работа Ферми-Паста-Улама показала, что, хотя в системе и возникает распределение Максвелла-Больцмана по скоростям частиц в узлах цепочки, в ней по-прежнему сохраняются долгоживущие корреляции и нелинейные возбуждения. Это отчасти может быть связано с тем, что динамические аттракторы [7, 8] на ее концах недостаточно плотно заполняют фазовое пространство, а вся цепочка целиком образует единый аттрактор с большим числом степеней свободы [11].
Исследуя двумерный и трехмерный аналоги проблемы Ферми-Паста-Улама, мы обнаружили, что долгоживущие корреляции в этой системе проявляются в виде развития в системе областей повышенной температуры («огненных шаров»). Поскольку, как и в одномерном случае, открытым оставался вопрос, насколько существование таких возбуждений связано со специфическим заданием температуры на границах посредством аттракторов, не вполне заполняющих фазовое пространство, то представляло интерес вернуться к исследованию тонкой пространственной структуры процесса передачи тепла в рамках стандартного подхода, использующего генерацию тепла посредством источников Ланжевена. Результаты такого исследования изложены в настоящей работе.
2. Численная модель кубической решетки с линейной упругостью и случайными источниками тепла на верхней и нижней границах
Чтобы минимизировать число дополнительных допущений, рассмотрим численную модель системы упруго связанных узлов кубической решетки с линейной силой взаимодействия (закон Гука) ближайших и следующих за ними соседей, а в качестве резервуаров температуры — источники случайных сил Ланжевена. Будем предполагать, что в исходной (равновесной) конфигурации постоянная решетки a = 1. Для каждого из узлов с индексами J, k при взаимном смещении по отношению к ближайшим соседям ] ± 1, k вдоль произвольного направления х расстояние до них отклоняется на величину dXlJ■k=х^ - х]-±цс - a, а для следующих за ними (по диагонали) соседей — на величину dх2J■k=хд- х^ш - a [11-13]. Это порождает возвращающие силы, компоненты которых пропорциональны смещениям и равны соответственно =и =k2dх2jk, где для правиль-
ного воспроизведения коэффициента Пуассона о = 0.3 должно выполняться условие к2 = ^/2.
Суммируя по всем соседям, окружающим каждый узел решетки, получаем полную силу, действующую на него:
N ^
и = Х к]к + Х , (1)
п=1 п=1
где для кубической решетки число соседей первого и второго типа равно N = 6 и N = 12 соответственно, а для квадратной — N = 4 и N = 4. С учетом структуры сил (1) уравнения динамики данной системы имеют вид
д2х]к х
1П]к = ,
т к = Я, (2)
д 2 ZJk
т'к~дГ=/к.
Они должны быть дополнены граничными условиями, которые в отсутствие внешних воздействий могут быть формально записаны в виде
/к1ьошк1 = 0 /к 1ош^ = 0 /к 1ош^ = ^ (3)
Здесь выражение /Д'у2 |ь d обозначает ту компоненту действующей на пограничный узел силы, которая формально вычислена со стороны отсутствующего узла за пределами системы. Следует отметить, что внешняя простота уравнений (1)-(3) несколько обманчива и на деле подразумевает суммирование на каждом шаге по всем возможным (или отсутствующим) соседям в каждом из направлений решетки.
Кроме того, для дальнейших приложений к тем случаям, когда система составлена из двух и более подсистем, как массы т^, так и коэффициенты упругости klJJ' и к2^ для узлов, принадлежащих разным пространственным областям системы, могут быть различны. Наконец, в случае контакта одной или нескольких границ с термостатом условия должны быть заменены на более реалистические, ненулевые, а именно: если температура термостата на данной границе Т отлична от нуля, то в простейшем случае ее следует заменить на случайный (вообще говоря, распределенный в пространстве) 5-коррелированный источник Ланжевена х, 2), который согласно флук-туационно-диссипативной теореме связан с температурой Т следующими соотношениями:
(4)
, х, у, 2)> = 0, {^(1, х, у, 2)!#', х', у', 2')) - ОЬ(1 - ¿')5( х - х')5( у - у')5( г - г'), где О = 2кБТ, кБ — постоянная Больцмана.
Уравнения движения узлов решетки имеют вид
т
т
т
5 2 х]к а2 - /д 5хзк -у-■>—- 51 + ^, х,к),
5 2 У,к а2 — /у 5у,к -у——- 51 + ^, у,к), (5)
522,к а2 5г,к -у-1— - 1 51 + %(*, 2]к).
В дальнейшем мы будем рассматривать такие задачи, для которых только верхние и нижние 5 слоев решетки ассоциированы с термостатами и, соответственно, имеют отличные от нуля случайные вклады Ф 0, причем для наглядности температура Т+ на верхней границе в 100 раз выше, чем на нижней: Т+ » Т-, а именно Т+ = 0.1 и Т_ = 0.001.
3. Предварительные результаты для двумерной системы
3.1. Способы визуализации кинетики проникновения энергии и общие результаты для двумерной системы
Несмотря на относительную простоту двумерной проблемы по сравнению с аналогичной в трех измерениях, визуализация кинетики проникновения тепла в ней представляет самостоятельную задачу. Дело в том, что типичные смещения частиц в узлах решетки, по сравнению с постоянной невозмущенной решетки, относительно невелики и их корреляция почти невидима, даже для увеличенных относительно небольших частей системы.
Для того чтобы визуализировать кинетику проникновения тепла, удобно использовать континуальные карты распределения кинетической и при необходимости потенциальной энергий, ассоциированных с каждым узлом решетки. Стандартное математическое обеспечение пакета МЛТЬЛБ позволяет это сделать для подвижной решетки, т. е. такой сетки, ячейки которой, в отличие от исходной невозмущенной решетки, не являются квадратными и быстро изменяются во времени.
В кинетике локальную температуру, ассоциированную с каждым телом многочастичной сис-
темы, принято связывать с его кинетической энергией, т.е. получаемые далее карты плотностей являются мгновенными распределениями энергий, а температуры получаются усреднениями по времени и\или ансамблю этих распределений. Однако для мезоскопической кинетики, рассматриваемой в настоящей работе, именно мгновенные распределения энергии (и их частично огрубленные профили, получаемые проекцией на отдельные плоскости в пространстве, или интегрированием вдоль некоторых направлений) представляют самостоятельный интерес.
Кинетическая энергия частицы в каждом узле локальна и имеет вид
ЕкЬ - -
т, [(р* )2 + (и У )2 + (V 2 )2]
2
(6)
В двух измерениях она редуцируется, соответственно, до Ек1П - т.[(р*)2 + (Ру)2]/2. Для дальнейшего также полезно определить потенциальную энергию узла, которая соответствует силам (1):
N , N
и} - X¿1,з„К,.)2/2 + X ¿2,,п(^,)72. (7)
п—1 п—1
Эта конструкция, вообще говоря, нелокальная и включает суммирование по всем ближайшим и следующим за ними соседям при соответствующих проекциях соединяющего с ними данный узел, вектора <1^, - {йх^, йуП,, }.
Типичное мгновенное распределение кинетической энергии показано на рис. 1 градациями яркости. Более яркие области соответствуют более высокой локальной температуре. Для удобства на карту плотности энергии наложено изображение мгновенной конфигурации решетки. Визуально оно почти неотличимо от равновесного даже для относительно небольшой системы. Увеличенный фрагмент изображения показан на вставке.
Здесь и далее размер системы в значительной степени ограничен удобством считывания как статических рисунков, так и видео, отображающих поведение системы в динамике. В частности, формирование после переходного процесса и выход на подвижный, но стационарный режим типичного распределения, показанного на рис. 1, представлены на видео [14]. Поскольку данная модель является концептуальной и не привязана к конкретному веществу, то выбор безразмерных параметров в основном определялся минимумом предположений и минимизацией компьютерного времени для визуализации получаемых результатов. Здесь и далее, если это не оговорено особо,
Рис. 1. Типичное мгновенное распределение кинетической энергии (более яркие области соответствуют более высокой локальной температуре; искривления мгновенной конфигурации решетки, показанной поверх карты, видны на увеличенной вставке) (а); усредненный вдоль горизонтальной оси мгновенный профиль температуры (б) (цветной в онлайн-версии)
они заданы следующим образом: 2к2 = к1 = 1, а = 1, Т+ = 0.1, Т_=0.001, т = 10, у=0.02.
Непосредственное наблюдение полученных распределений показывает, что в системе заметны возбуждения двух типов: круговые (сферические в трехмерном случае, как будет показано ниже) и волнообразные, движущиеся в основном в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Для визуализации этих движений удобно поверх карты плотности кинетической энергии построить векторное поле мгновенных смещений узлов решетки на каждом шаге счета.
В трехмерном случае это, по сути, векторы скоростей частиц VJ = (у*, Уу, V*}, начало которых совпадает с текущим положением данного узла, а длина равна абсолютному значению При репрезентативно большой системе, даже в более простом двумерном случае VJ = (УJ, Уу}, поле векторов Vj настолько плотное, что картина оказывается почти непрозрачной. Поэтому следует выбирать узлы реже и строить средние по нескольким соседним узлам. Результирующая картина до определенной степени соответствует континуальному полю скоростей системы, естественным образом связанному с континуальным полем плотности энергии.
На рис. 2 и из иллюстративного фильма [15] видно, что достаточно яркие локализованные пятна в основном перемещаются вверх и вниз в вертикальном направлении, тогда как линейные вол-
ны распространяются поперек градиента температуры в горизонтальных направлениях.
3.2. Сечения вдоль линий (плоскостей) меньшей размерности и запись истории событий в системе
Качественного наблюдения векторного поля перемещений не вполне достаточно и желательно иметь более подробную информацию о развитии переноса энергии в системе. Такую информацию может дать запись истории ее движений, выраженной, например, в пространственно-временной карте эволюции распределения энергии. К сожалению, с учетом дополнительного измерения (времени t) даже для двумерной системы такая карта становится трехмерной, причем постоянно удлиняющейся вдоль измерения t.
В принципе, она допускает построение посредством поверхностей постоянного значения энергии, однако оказывается чрезмерно громоздкой для использования. Некоторое упрощение может быть достигнуто посредством ее сечений вдоль взаимно ортогональных плоскостей. Сечения поперек оси времени t не отличаются от мгновенных распределений энергии, полученных выше. Однако перпендикулярные им сечения одной из плоскостей с фиксированной вертикальной координатой х0 (т.е. постоянным индексом j = j0 = const) дают дополнительную и очень полез-
л ////¿^
■Л //Лл_,ss/s..
Vawsww !
S.V// , /л Л44 . f//ttt//S>.
sssv/^w444 '"""'чччччЖ^4 ^Л^е^л^л. л
'(!} -AVW// /w^W //¡WAV
'V/ s/'/ff^ ;...
//w/wi?
y/v4\\\\ ///
-V wv///// '''vw/.
•/ЛЛХ,Л>Л , v*-V, vv///-4
«VW- v^^-W/////// -y^—^VNN^ ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧУ/^/// V"^ It »/////Л
„VVKVa /л*Л\М !f/////f/h. ч „s^t/fy
ччччу" v^^w/tf/z/iyrmw^N ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧУ/^/// tw/w/»
Щ ХЛЧЧЧЧЧхЧ^^-^^///////, //// УЧЧЧЧУ f4>>^>>Vw'V/ ЧЧЧ\ЧЧЧЧЧЧЧЧ^^ АЧ\ //////AW
НКл\\ VW ^УЧЧЧЧЧЧКЧ^^Ы' \V/////// \-^.чч',л:ч\ЧЧ\\ЧУ w wv^-Vw 4\v4vy/ ' '' '^E^K, , Ч 1 ,;V/// W//////-' WW^Vy 444\\v<V//// VV V\\4\44Y/^
' ЧЧЧЧЧ\\ДУ V/ ЧЧЧЧЧЧч "ч«'///// I \4V№\\\\\V ч
лч^//////^ ЛЛЧ\\, ^///да/лу/Л'^/Л АЧ\Ч // ///¿/////ziV/V/,
_■-/ -__«V rr Ч v v ,>*/Ш//Ы/тжлг*г/ ^ ■ - HI HI- И- Mfcr »-----I
iV V/ Чччччч- „V^ *///// S ЧЧч^чхчЧЧЧУ
jw^/XY» - ' tat IM1 II '¥■ J" •
Рис. 2. Мгновенное распределение кинетической энергии и векторного поля скоростей (а). Более яркие области соответствуют более высокой локальной «температуре». Зеленая линия соответствует сечению, для которого построены мгновенные фазовая траектория (б) и фазовый портрет для отдельного узла решетки в ее середине (в). Выделенный фрагмент показывает окрестность всплеска энергии, в данный момент движущегося вниз (вокруг которого все скорости направлены вниз) (цветной в онлайн-версии)
ную информацию о переносе тепла возбуждениями вдоль вертикальной оси у во времени.
Кроме того, помимо непосредственного сечения плоскостью, можно также выполнить суммирование по всем слоям с различными координатами х, восстановив таким образом формирование профиля температуры Т(/,у), распространяющегося от нагретой поверхности вглубь пластины. Оба эти варианта получения информации могут быть выполнены и непосредственным построением пространственно-временной карты скоростей Ру (/, у) или кинетической энергии , у).
Результаты такого построения проиллюстрированы на рис. 3 и видео [16]. Там же изображен выделенный фрагмент плоскости (х,у), окружающий вертикальную прямую х0, вдоль которой выполнено построение профиля Т(/, у), карт скоростей ру (/, у) и энергии Е^к1П(/, у).
На пространственно-временной карте хорошо видно, как после некоторого переходного периода, при «включении» источников тепла на обеих границах, возле верхней, более теплой из них, начинают формироваться сгустки энергии, которые движутся вниз, в направлении более холодной границы. Навстречу им, с некоторым запозданием, формируются сгустки у нижней границы, которые поднимаются вверх. При достижении противоположных границ сгустки обоих типов отражаются. Постепенно этот процесс заполняет всю систему, приводя к формированию монотонного (в среднем почти однородного) профиля темпера-
туры с высотой. Как видно из прилагаемого видео, траектории сгустков на пространственно-временной карте выглядят прерывистыми, оттого что блуждающие также в ортогональном к оси y направлении сгустки перестают пересекать заданную линию j =j0 = const, для которой строится карта Efn(t, y).
3.3. Аттракторная природа стационарного поведения системы на больших временах и выход на равновесные распределения
Как было продемонстрировано ранее для одномерной цепочки, сохранение долговременной памяти о предыдущих состояниях системы и наличие в ней долгоживущих возбуждений, которые распространяются от одной границы до другой, неоднократно отражаясь, и т.п., связаны с тем, что вся цепочка целиком является «странным аттрактором» с большим числом степеней свободы [11]. Можно проверить, что это свойство сохраняется и для более реалистичной решетки более высокой размерности, чем чисто одномерная цепочка. В динамике это видно из прилагаемого видео [17], где положения и скорости узлов, принадлежащих цепочке атомов вдоль одной из кристаллических осей, спроецированы на общий фазовый портрет в осях {[Xj - Xj (t = 0)], vУ}. Важно отметить также, что это свойство сохраняется, хотя на границах системы здесь использованы источники Ланжевена вместо детерминированных динамических термостатов Нозе-Гувера.
Рис. 3. Мгновенное распределение Е^п(х, у) (а); фрагмент, содержащий вертикальную ось, вдоль которой строятся профили энергий и скоростей (б); профиль температуры (синяя кривая) и мгновенной энергии (в); пространственно-временная карта Е)п^, у) (г); профиль мгновенной энергии, соответствующий крайнему справа сечению карты Е)ш(Г, у) (д); карта Уу (^, у) (е); профиль мгновенной скорости (ж) (цветной в онлайн-версии)
Следует подчеркнуть, что, хотя номинально совокупность атомов, принадлежащих одной оси, составляет «одномерную цепочку» (см. соответствующие фрагменты экрана в [17]), на деле каждый из них связан с окружением в пространстве и является частью системы большей размерности. Тем не менее, как и раньше, накапливаемая системой плотность состояний неравномерно заполняет фазовое пространство, оставляя области с низкой плотностью заполнения. В этом можно убедиться, аккумулировав соответствующую плотность за достаточное время, существенно превышающее характерные времена отражения возбуждений от границ системы. Важно подчеркнуть, что заполнение фазового пространства существенно зависит от того, каким образом производится усреднение. Поскольку формально использованный здесь закон Гука для упругости линеен, то можно ожидать, что при одновременном усреднении как по времени, так и по ансамблю узлов решетки система на больших временах окажется эргодической.
Действительно, в этом случае получается гладкое распределение, показанное на рис. 4, а. Для его накопления суммирование производилось по всей цепочке атомов, принадлежащих плоскости с фиксированной глубиной. Интересно отметить, что выход распределения на практически стационарное в этом случае происходит за довольно короткое время (порядка нескольких периодов отражения возбуждений от верхней и нижней границы ¿реГюД То же самое происходит и с установлением стационарного профиля температур, усредненного вдоль горизонтального направления. Это видно также и из видео [18].
Вместе с тем сохранение тонкой структуры пространственно-временной диаграммы (рис. 3) и отчетливое повторение почти одинаковых конфигураций на временах на несколько порядков больших характерного периода отражений t» ^ег говорят о том, что фазовая плотность, построенная для одного произвольного атома внутри системы, должна быть более структурированной. Действительно, суммируя вклады, получаемые
Рис. 4. Плотность состояний на фазовом портрете, аккумулированная для одного узла (а) и усредненная по всей цепочке узлов вдоль оси х (б) за тот же период времени. Тонкая структура часто повторяющихся движений за несколько периодов отражения видна в промежуточном (зеленом) поясе плотности на фрагменте (а) и отсутствует в случае (б) (цветной в онлайн-версии)
через интервалы, близкие к периоду отражений, получаем фазовый портрет (рис. 4, б). На нем хорошо разделены по меньшей мере три области: 1) гладкий максимум плотности при малых отклонениях от равновесия (связанный с передаваемым от границ внутрь системы гауссовым шумом); 2) отдельные петли от крайне редких аномально больших отклонений и 3) многочисленные «ветви» плотности состояний, соответствующие относительно редко встречающимся, но все же повторяющимся событиям (показаны зеленым цветом на рис. 4).
Те же корреляции можно увидеть из показанных на рис. 5 частотной Е^"1 (ш) и смешанной Е^ 1П(ю, чу) корреляционных функций. Двумерное преобразование Фурье карты Е^ (г, у) имеет вид
ЕУ 1П(®, Чу)
= 2" Л ЕУ™ (, у )ехр[Ш + ЩуУ ]. (8)
2п г,7
В частности, видно, что вычисленная на больших временах одномерная корреляционная функция
Ек1>)= 2"^Ек1П(г, У = У у )ехр[/шг ]
имеет два хорошо выраженных максимума и сохраняет информацию о периоде отражений, тогда как двумерная функция Е^к1П(ю, чу) имеет симметричные лучи, связанные с квазипериодическим прохождением через данный атом возбуждений вверх и вниз по системе.
3.4. Роль различных коэффициентов упругости и масс в узлах решетки
К настоящему моменту мы накопили достаточно сведений о свойствах модели в ее общем
виде и можем использовать некоторые ее возможности для извлечения на ее базе некоторой дополнительной информации. Прежде всего, модель достаточно устойчива и допускает значительные (на несколько порядков) вариации коэффициентов упругости и масс, расположенных в узлах решетки. Удобно проделать то и другое параллельно, т.е. сохранив на верхней и нижней границах те же температуры и расположив рядом (и даже в контакте друг с другом) по две различные системы. В качестве примера такие комбинации подсистем с разными коэффициентами упругости и массами показаны на рис. 6 и 7 соответственно (см. также на видео [19, 20]).
Легко заметить, что, несмотря на непосредственный контакт между подсистемами (реально взаимодействующими через пограничные атомы), в обоих случаях возникает хорошо видимая граница между ними. В особенности резко она проявляется в случае контакта подсистем разной жесткости на рис. 6. На том же рисунке хорошо видно, что сгустки энергии в системах разной жесткости имеют разный характерный размер.
Связанный с разной жесткостью системы результат можно было ожидать, поскольку чем жестче система, тем она менее толерантна к градиентам распределения плотностей, в том числе и к локализованным всплескам кинетической энергии (температуры). Это хорошо согласуется с аналогичными свойствами зародышей при фазовых переходах [21], в теории которых жесткость системы де-факто определяется пространственной дисперсией взаимодействия и в нижайшем приближении отображается коэффициентами с при градиентных членах разложения свободной энергии:
Рис. 5. Зависимость энергии (а) и скорости от времени (б), пространственно-временные (в, д), а также временные (г) и корреляционные функции (е), построенные по соответствующим зависимостям энергии и скорости (цветной в онлайн-версии)
Ф[Ф] = \ [с(УФ)2/2 + ^ (Ф)]. (9)
г
Разложение (9) «локально» лишь номинально, поскольку градиенты как по способу численного вычисления, так и по своему появлению при аналитическом выводе функционала Гинзбурга-Ландау [22] отражают пространственную дисперсию взаимодействий в системе и происходят из нелокального потенциала взаимодействия (любого числа, а не только ближайших) соседей и(гу, гу). В кинетике фазовых переходов добавка к энергии с(Уф)2/2 играет важную роль при упорядочении пространственно распределенных флуктуаций ф(г), поскольку автоматически создает потенциальный барьер вокруг сколь угодно значимой (мезоско-пической) флуктуации. В результате всякий фазовый переход оказывается, вообще говоря, флук-туационно-индуцированным переходом 1-го рода и идет через зародышеобразование [21].
В рассматриваемой здесь системе пространственное расширение всякого всплеска кинетической энергии порождает упругие деформации решетки, что, по сути, эквивалентно стрикционной самоблокировке зародышей [23], характерный размер которых как раз определяется балансом упругой энергии и выгодой от упорядочения поля ф внутри зародышей. Поскольку мы рассматриваем относительно умеренные температуры (при которых решетка не плавится), то процесс «заро-дышеобразования» блокируется на этой стадии и их характерный размер в стационарной стадии сохраняется, т.е. система достигает некоторого динамического равновесия с постоянно возникающими и схлопывающимися областями аномально быстро движущихся атомов, окруженными барьерами потенциальной энергии
иу = I Куп (<ку )2/2+I ку саг2" у )2/2.
п=1 п =1
Рис. 6. Типичные распределения Еу1 для большего (слева) и меньшего коэффициентов упругости к^к* = 5, полученные параллельно при прочих равных условиях и изображенные в стандартной цветовой гамме МЛТЬЛВ. Граница между реально контактирующими системами прочерчена крайне резко (цветной в онлайн-версии)
Рис. 7. То же, что и на рис. 6, полученное для разных масс т/т* = 5 в узлах решетки. Хорошо видны взаимные проникновения от более тяжелой (и соответственно, прогретой) «фазы» справа налево и частично — наоборот (цветной в онлайн-версии)
Движение каждого узла решетки можно в некотором смысле рассматривать как колебания гармонического осциллятора вокруг равновесия в потенциальной яме, образованной его соседями, так что при слабых возмущениях его кинетическая Еук1П = ту[(Vх)2 + (уу)2 + (V7)2]/2 и потенциальная и энергии примерно равны. Учитывая это, для проверки вышесказанного удобно построить карту разности плотностей Е]у1П - и у. В стандартной цветовой гамме МЛТЬЛВ такие слабо возмущенные области будут «равнинами» зеленого цвета, локализованные всплески Е^]1П — красного, а потенциальные барьеры и у — синего. Поскольку взаимное перекрытие может несколько искажать эту картину в Е]1П - и , полезно так-
же дополнить наложением на нее контурной карты мгновенного потенциального рельефа иу. Этот способ визуализации использован на рис. 6-9.
Понимание аналогии со стрикционной блокировкой зародышей помогает в частности проверить то, что округлые (сферические в 3Б) всплески плотности Е]1П не являются артефактом моделирования на дискретной решетке. Для этого было проведено моделирование системы с очень большими коэффициентами упругости кх 2.уп »1. Как и ожидалось, это порождает огромный вклад потенциальной энергии. В системе возникают гигантские по площади (объему) всплески тепла с широкими и гладкими краями, включающими большое число элементарных ячеек каждый. Учи-
Рис. 8. То же, что и на рис. 6 и 7, для последовательного соединения систем разной жесткости к*/к = 5. Тепловое сопротивление границы видно непосредственно. Справа точками показан текущий профиль температур с характерными неоднородностями из-за флуктуаций плотности при относительно малых размерах системы и сглаженный профиль (кривая с выраженной ступенькой) для наглядности (цветной в онлайн-версии)
Рис. 9. То же, что и на рис. 8, для подсистем с разными массами т/т* = 5 (цветной в онлайн-версии)
тывая однако, что в этом случае на вычислительной сетке приемлемых размеров число таких всплесков становится статистически нерепрезентативно малым (особенно в 3Б случае), выше и далее мы ограничились системами с относительно малыми по величине, хотя уже вполне гладкими максимумами энергии Е^111.
Куда более безразличной система оказывается к массам частиц. В той же аналогии с теорией фазовых переходов различие в инертности частиц при фиксированной интенсивности (температуре Т) источников на границах входит лишь в локальную форму разложения
^(ф) = (Т - ^о)ф72 + °(ФК)..., где к > 3. (10)
Благодаря этому, граница между подсистемами с разными массами в узлах оказывается «полупрозрачной». Вместе с тем при наличии диссипации большая инертность приводит к большим
относительным смещениям атомов в ячейках и более регулярному транспорту энергии в целом. В результате сгустки тепла проникают вниз быстрее и на вертикальной границе между подсистемами возникает локальный градиент температуры. Благодаря полупрозрачности границы возникает и транспорт с правой половины составной системы в левую, что особенно хорошо заметно на видео [24, 25].
3.5. Тепловое сопротивление на линиях (плоскостях) соприкосновения подсистем с различными параметрами
Даже при частичной прозрачности граница между подсистемами способна задерживать транспорт энергии между ними, а, кроме того, делать его анизотропным. Естественным продолжением предыдущего численного эксперимента с двумя
****** gj^ ^ Jt w* * J* ?
•SB"* *** ■ AAfcKÖ***^^^
X i ft л* "1: ПТ1 тТТ
-•""«S fJPtm* n» "^.iTj^l
' *gttt чр00 F* ^ tu» ™ Ч& ь
ли м
t. rtr / лК та i r Is - I
J** * ~ % * f л* > * ч 5. i
xu > * ToSSL , * JF*^ xö - , - 4 ¿T у '
4» . •
S V ,
it* t
OU S >¿5
S V1
à
* 4 ,
i . » T' 4 4
»• »и,
M ^ ♦
m
r т
в t •• * t
_____« I
V t * ** » J
тТТ* * 3 л
"ЫГ С 4 Л**!
* ' # ' ХЮ ¿л
¿л „ с
. , у с „
~ * .* % , ~_______~**^*
* г* '
_____..i
^kin
Рис. 10. Типичная карта плотности энергии E^' для последовательно соединенных квадратной и гексагональной решеток. Граница раздела помечена светло-синей цепочкой атомов. В областях максимумов кинетической энергии хорошо заметны изображения разных решеток, наложенные поверх карты плотности E k'n (цветной в онлайн-версии)
параллельно составленными подсистемами является последовательное их расположение вдоль направления разницы между горячей и холодной границами. На рис. 8, 9 суммированы результаты такого исследования, полученные для последовательно подключенных пластин с разными жест-костями и массами атомов в узлах соответственно.
Помимо уже упомянутого в предыдущем подразделе различия в характерных радиусах всплесков температуры и/или в скорости транспорта энергии в вертикальном направлении, наиболее показательным является образование ступеньки в стационарном профиле температуры T(y) в зависимости от вертикальной координаты у. Полученные результаты хорошо иллюстрируют природу явления, которое феноменологически именуется «тепловым сопротивлением» границы [26].
В этом контексте самостоятельный интерес представляет также рассмотрение, помимо кубической (квадратной в 2D), решеток другой симметрии. Нами было выполнено расширение сим-метрий решеток для гексагональной и состоящей из сот «honeycomb» (как у графена [27]) решеток.
В частности, были выполнены численные эксперименты по прохождению тепловых возбуждений через границу между квадратной и гексагональной решетками. Типичная карта плотности энергии Ejm приведена на рис. 10. Поверх нее хорошо видны решетки разной симметрии (особенно в областях максимумов энергии Ejin). Эти численные эксперименты были выполнены для решеток разной симметрии, но имеющих одинаковые массы mj и коэффициенты упругости k1>2jn
в обеих частях системы. Они показывают, что симметрии решеток не влияют существенно на трансфер тепла через границу. Видно, в частности, что после достижения стационарного процесса, за исключением, может быть, несущественных деталей, распределения плотности сверху и снизу от границы практически одинаковы.
3.6. Тепловое сопротивление и проблема Томлинсона-Прандтля
Тепловое сопротивление на границах сред с различными параметрами может быть, в частности, использовано для эффективного отвода тепла и устранения побочных эффектов при исследовании трения, обусловленного потерями энергии на генерацию деформаций в подложке. Рассмотрим для примера стандартный случай с трением наконечника атомного силового микроскопа, условно показанный на рис. 11.
В рамках модели Томлинсона-Прандтля [2830] система (5) должна быть дополнена уравнениями движения наконечника:
M
d 2 X
dt2
M
= £ F' + K (Vxt - ( X - Xt=o)) - yVx + С x (t ),
d 2Y dt2
= X +к (y=o - y ) -yVy + С y (t ), (11)
M
d 2 Z dt2
= X FZ -yvz+С z (t ),
где Еех1=К(Ух'4 - (X - Х=0)) — приложенная к наконечнику массы М внешняя сила с коэффициентом
k
k
k
Рис. 11. Мгновенное изображение процесса в рамках модели Томлинсона-Прандтля. Рассеяние энергии, положение наконечника и границы с «тепловым сопротивлением» (штриховые линии) (а), зависимость вертикальной и горизонтальной сил (б), а также скорости Vx от координаты x (в) (цветной в онлайн-версии)
упругости K, а силы S Fk описывают суммарное
k
взаимодействие с атомами подложки.
В рамках феноменологического подхода эти уравнения подробно исследовались при различных предположениях об источниках случайных сил и природе пропорциональных скорости
yVx,y,z, или других диссипативных потерь [30, 31]. Особую проблему здесь составляет то, что если связать характерные «пилообразные» зависимости силы трения от времени или пройденного расстояния с периодом атомарно-плоской кристаллической решетки, то, как правило, они во много раз (иногда даже порядков) отличаются от наблюдаемых в эксперименте [31, 32]. Последнее делает по-прежнему актуальным поиск альтернативных причин возникновения stick-slip поведения. В частности, представляет самостоятельный интерес рассмотреть подобную задачу в тех случаях, когда диссипативные потери не постулируются заранее, а возникают непосредственно в динамике, при учете взаимодействия трущегося тела с подложкой, т.е. тот случай, когда собственные вклады в шумы Cxyz(t) и потери у Vxyz пренебрежи-
мо малы, тогда как все потери рассеиваются термостатами, связанными с подложкой, равно как и «внешние» шумы порождаются этим взаимодействием.
Заранее понятно, что рассеяние «удаленным» термостатом не решает общую проблему происхождения диссипации. Но это позволяет подробно рассмотреть механизм рассеяния энергии движущегося тела, равно как и обратное воздействие на него колебаний решетки. Вычислительная трудность состоит в том, что при численном моделировании система с большим числом степеней свободы не может быть очень протяженной. Это особенно важно при необходимости обеспечить достаточно репрезентативный продолжительный проход наконечника вдоль нее, чтобы получить ожидаемое в модели Томлинсона-Прандтля stickslip поведение [30-32].
Отражаемые от дна и краев ограниченной решетки волны являются артефактом моделирования и могут существенно исказить результаты, равно как и искусственные диссипативные потери внутри нее. Для их устранения удобно использовать эффект «теплового сопротивления». Пред-
Рис. 12. Мгновенное распределение плотности энергии JEkin(x/,у/, zj), показанное поверхностями постоянного уровня £kin(x/, у/, zj) = const (a); сечение того же трехмерного распределения плоскостью Zj = const с наложенным на него мгновенным изображением решетки (б) (цветной в онлайн-версии)
ставим себе, что исследуемая подсистема с пренебрежимо малыми собственными потерями и шумами вложена внутрь окружения, решетка которого имеет в 5 раз больший коэффициент упругости к и на 3 порядка большие собственные потери у. Границы такого окружения изображены на рис. 11 горизонтальными и вертикальными штриховыми линиями. Исходя из предыдущего, можно ожидать, что возбуждения, создаваемые движущимся по поверхности телом, будут свободно проникать внутрь такого окружения и адсорбироваться им, почти не возвращаясь обратно к их источнику.
Результаты моделирования такой системы суммированы на рис. 11, где показана типичная конфигурация возбуждений. На фрагментах (б) и (в) соответственно приведены зависимости от координаты X=Х(0 измеряемой силы трения = ^ех!=К(Ух(- (Х-Х=0)) и характерной для Бйск-БНр эффекта переменной скорости V = У(?).
Как хорошо видно из видео [33], пологим максимумам V(t) соответствует максимальная же интенсивность излучения энергии £у1П, показанной в фильме и на рисунке картой плотности. Из карты хорошо видно, как в динамике развивается процесс становления стационарного состояния после первоначального приведения наконечника в контакт с поверхностью и как распространяющиеся по системе волны поглощаются окружением, сконструированным с использованием эффекта «теплового сопротивления».
3.7. Трехмерная кубическая решетка и тепловые «огненные шары»
В завершение рассмотрим поведение трехмерной системы. К сожалению, даже сама по себе дискретная 3Б-решетка, будучи нарисована на плоскости под произвольным углом, оказывается почти непрозрачной даже для ничтожно малого числа атомов (порядка 15) вдоль каждой из ее сторон. Еще сложнее обстоит дело с изображением плотности E/1П, тем более в динамике. Едва ли не единственным способом оказывается отображение матрицы Ekm(x/, у/, zj) ее поверхностями постоянной величины Ekin(x/, у/, zj) = const. Именно этот способ использован для подготовки рис. 12. В трехмерном случае мгновенная статическая картина оказывается относительно нерепрезентативной и куда больше информации содержится на соответствующем ей видео [34]. Но даже в динамике значительная часть информации о распределении плотности Ekin под поверхностью Ekm(xj, у/, z/) = const и сопутствующими ей искажениями решетки все же теряется.
Основным результатом трехмерного моделирования является представление того, как развивается процесс в пространстве, а именно, как у «плоского» нагретого термостата появляются «выступы» с повышенной температурой, отрываются от него и, двигаясь в среднем вниз, постепенно изотропизуются, превращаясь в «огненные шары», достигают нижней границы, нагревают ее, «отражаются» и т.п.
4. Заключение
В заключение кратко обобщим основные результаты. В настоящей работе была построена численная модель кубической решетки с линейной упругостью и случайными источниками тепла на верхней и нижней границах, где в качестве резервуаров температуры использованы источники случайных сил Ланжевена.
Несмотря на относительную простоту формально поставленной проблемы, визуализация кинетики проникновения тепла в нее представляет самостоятельную задачу. Это связано с тем, что типичные смещения частиц в узлах решетки, по сравнению с постоянной невозмущенной решетки, относительно невелики и их корреляция почти невидима, даже для небольших частей системы. Поэтому чтобы визуализировать кинетику проникновения тепла, были использованы континуальные карты кинетической и потенциальной энергии, ассоциированной с каждым узлом решетки. Это удается сделать для подвижной сетки, ячейки которой, в отличие от исходной невозмущенной решетки, не являются квадратными и быстро изменяются во времени.
Непосредственное наблюдение полученных распределений показывает, что в системе заметны возбуждения двух типов: круговые (сферические в трехмерном случае) и волнообразные, движущиеся в основном в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Для визуализации этих движений поверх карты плотности кинетической энергии было построено коррелированное с нею векторное поле мгновенных смещений узлов решетки. Полезную информацию дает также запись истории движений системы посредством пространственно-временной карты эволюции распределения энергии. Такие карты оказались достаточно наглядными для пространственных сечений вдоль взаимно ортогональных плоскостей, тогда как сечения поперек оси времени не отличаются от мгновенных распределений энергии.
В частности, на пространственно-временных картах хорошо видно, как после некоторого переходного периода, при «включении» источников тепла на обеих границах, возле верхней, более теплой из них, начинают формироваться сгустки энергии, которые движутся вниз, в направлении более холодной границы. Навстречу им, с некоторым запозданием, формируются сгустки у нижней границы, которые поднимаются вверх. При достижении противоположных границ сгустки обоих типов отражаются. Постепенно этот про-
цесс заполняет всю систему, приводя к формированию стационарного профиля температуры с высотой.
Важным с точки зрения приложений является возможность варьировать коэффициенты упругости и массы, расположенные в узлах решетки, и составлять различные комбинации расположенных поперечно или продольно по отношению к градиенту температуры подсистем. Было замечено что, несмотря на непосредственный контакт между подсистемами разной жесткости, реально взаимодействующими через пограничные атомы, возникает хорошо видимая граница между ними. В результате, несмотря на частичную прозрачность, граница между подсистемами способна задерживать транспорт энергии между ними, а кроме того, делать его анизотропным, что соответствует экспериментально наблюдаемому «тепловому сопротивлению границы».
Показано, что тепловое сопротивление на границах сред с различными параметрами может быть, в частности, использовано для эффективного отвода тепла и устранения побочных эффектов при исследовании трения, обусловленного потерями энергии на генерацию деформаций в подложке. Было исследовано, как в динамике развивается процесс становления стационарного состояния после первоначального приведения наконечника в контакт с поверхностью и как распространяющиеся по системе волны поглощаются окружением, сконструированным с использованием эффекта «теплового сопротивления».
В завершение было рассмотрено поведение трехмерной системы. Поведение сгустков тепла в такой системе до определенной степени напоминает конвекцию, однако таковой не является, поскольку переноса вещества не происходит. На больших временах система устойчиво притягивается к стационарному процессу с взаимными потоками локализованных всплесков и волн тепла во всех направлениях, а также с равновесным распределением температуры в среднем.
Важно отметить, что, как уже упоминалось выше, многие результаты, полученные для систем низших размерностей 2Б и Ш, могут быть непосредственно перенесены на трехмерный случай. Это может быть сделано двумя способами: либо посредством вычисления средних вдоль одной или двух осей (когда это необходимо для профилей температур, например), либо отображением сечений плотности плоскостями, или же вдоль выбранной линии внутри нее.
В частности, такое сечение представлено на рис. 12 и видео [34]. Помимо установления связи со всеми предыдущими результатами, такие сечения имеют и утилитарную цель, позволяя на практике извлечь всю ту же информацию о трехмерной системе, как та, что была получена о системах более низкой размерности.
Наконец, следует прокомментировать ограничение, связанное с линейностью использованного здесь взаимодействия. Во множестве предыдущих работ, моделирующих упругие системы подобного рода, мы использовали нелинейное взаимодействие с двухъямным потенциалом (см. [12] и ссылки в ней), которое задает равновесное расстояние между узлами решетки. Вместе с тем оставался открытым вопрос о том, насколько появление локализованных возбуждений обусловлено конкретной (достаточно произвольной) формой нелинейности. Поэтому в настоящей работе было решено оставить взаимодействие формально линейным, но таким, что каждый атом движется в квадратичном потенциале и притягивается к равновесию, самосогласованно определяемому положением всех его соседей. С учетом граничных условий возникает коллективный эффект, когда такое взаимодействие де-факто срабатывает как нелинейное, а каждый локальный всплеск плотности кинетической энергии оказывается окруженным потенциальным барьером, созданным самосогласованными искажениями решетки на его периферии. Такие барьеры также могут быть визуализированы и выглядят как кольца (сферические слои), окружающие яркие всплески кинетической энергии.
Помимо этого, нами было выполнено и моделирование передачи тепла в рамках молекулярно-динамического подхода. Было обнаружено, что если эффективная температура системы достаточно низка, то взаимодействующие частицы спонтанно образуют кристаллическую решетку, по которой движутся нелинейные возбуждения, осуществляющие баллистический перенос энергии без взаимного изменения положений частиц в окрестностях их локальных положений равновесия. Однако при достаточно высокой температуре частицы способны покидать эти положения и перенос энергии обеспечивается в том числе и посредством буквального баллистического полета частиц.
В результате картина существенно обогащается. В ней оказываются возможными как дополнительные эффекты агрегации частиц разного сорта
и кристаллизации фрагментов, которые движутся как целое в относительно аморфной среде, так и по-прежнему существующие эффекты «поверхностного теплового сопротивления» и т.п. Мы планируем опубликовать эти результаты в одном из последующих выпусков данного журнала. Некоторые предварительные результаты в данном направлении можно видеть в недавней работе [35].
Литература
1. Fermi E., Pasta J., Ulam S., Tsingou M. Studies of Nonlinear Problems // Los Alamos Report-1955. -Los Alamos, 1940.
2. Fermi E., Pasta J., Ulam S., Tsingou M. The Many-body Problem // An Encyclopedia of Exactly Solved Models in One Dimension / Ed. by D.C. Mattis. - Singapore: World Scientific, 1993.
3. Gavrilov S.N., Krivtsov A.M. Thermal equilibration in a one-dimensional damped harmonic crystal // Phys. Rev. E. - 1993. - V. 100. - P. 022117.
4. Podolskaya E.A., Krivtsov A.M., Kuzkin V.A. Discrete thermomechanics: From thermal echo to ballistic resonance (а review) // Mech. Control Solids Struct. -2022. - V. 501-533.
5. Berinskii I.E., Kuzkin V.A. Equilibration of energies in a two-dimensional harmonic graphene lattice // Philos. Trans. R. Soc. A. - 2020. - V. 378(2162). -P. 20190114.
6. Соколов А.А., Кривцов А.М., Müller W.H. Локализованные тепловые возмущения в одномерном гармоническом кристалле: решения уравнения аномальной теплопроводности // Физ. мезомех. -2017. - Т. 20. - № 3. - С. 63-68. - https://doi.org/ 10.24411/1683-805X-2017-00027
7. Nos'e S. A molecular dynamics method for simulations in the canonical ensemble // J. Chem. Phys. -1984. - V. 81. - P. 511.
8. Hoover W.G. Canonical dynamics: Equilibrium phasespace distributions // Phys. Rev. A. - 1985. - V. 31. -P. 1695.
9. Langevin P. Sur la théorie du mouvement brownien [On the theory of Brownian motion] // Acad. Sci. Paris. - 1908. - V. 146. - P. 530-533.
10. Lepri S., Livi R., Politi A. Heat conduction in chains of nonlinear oscillator // Phys. Rev. Lett. - 1997. -V. 78. - P. 1896.
11. Fillipov A.E., Hu B., Li B., Zeltser A. Energy transport between two attractors connected by a Fermi-Pasta-Ulam chain // J. Phys. A. Math. Gen. - 1998. -V. 31. - P. 7719-7728.
12. Filippov A.E., Gorb S.N. Combined Discrete and Continual Approaches in Biological Modelling. - Springer, 2020.
13. Heepe L., Filippov A.E., Kovalev A.E., Gorb S.N. Visualization of wave propagation and fine structure in
frictional motion of unconstrained soft microstructur-ed tapes // Tribology Lett. - 2017. - V. 65. - P. 1-10.
14. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 1. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.34373.73448
15. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 2. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.12563.35362
16. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 3. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.19274.24007
17. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 4. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.13874.07367
18. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 5. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.34006.73283
19. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 6. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.12196.35207
20. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 7. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.25618.12489
21. Ivanchenko Yu.M., Lisyansky A.A., Filippov A.E. Fluctuation Effects in Systems with Competing Interactions. - Kiev: Naukova Dumka, 1989.
22. Filippov A.E. Fluctuating field near spinodal // Phys. Lett. A. - 1998. - V. 243. - P. 229-235.
23. Zeltser A.S., Soboleva T.K., Filippov A.E. Automatic blocking of the nucleation and universality of kinetic phenomena at first order phase transitions // JETP. -1995. - V. 81. - P. 193-201.
24. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 8. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.18907.23844
25. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 9. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.15551.79526
26. Swartz E.T., PohlR.O. Thermal boundary resistance // Rev. Mod. Phys. - 1989. - V. 61. - P. 605.
27. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene // Nat. Mater. - 2007. - V. 6. - P. 183-191.
28. Tomlinson G.A. A molecular theory of friction // Philos. Mag. - 1929. - V. 7. - P. 905.
29. Prandtl L. Ein Gedankenmodell zur kinetischen Theorie der festen Körper // J. Appl. Math. Mech. - 1928. -V. 8. - P. 85-106.
30. Popov V.L. The Prandtl-Tomlinson Model for Dry Friction // Contact Mechanics and Friction. - Berlin: Springer, 2017. - P. 173-192.
31. Filippov A.E., Popov V.L. Fractal Tomlinson model for mesoscopic friction: From microscopic velocity-dependent damping to macroscopic Coulomb friction // Phys. Rev. E. - 2007. - V. 75. - P. 027103.
32. Filippov A.E., Klafter J., Urbakh M. Friction through dynamical formation and rupture of molecular bonds // Phys. Rev. Lett. - 2004. - V. 75. - P. 135503.
33. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 10. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.28973.56808
34. Filippov A.E., Popov V.L. Transfer and thermalization of elastic energy in a lattice and the phenomenon of thermal "fireballs": Video 11. - http://dx.doi.org/10. 13140/RG.2.2.22262.68161
35. Beygelzimer Y., Filippov A.E., Kulagin R., Estrin Y. Turbulent shear flow of solids // arXiv:2111.05148. -2021.
Поступила в редакцию 18.02.2022 г., после доработки 23.05.2022 г., принята к публикации 23.05.2022 г.
Сведения об авторах
Филиппов Александр Эльвинович, д.ф.-м.н., проф., гнс ДФТИ, filippov_ae@yahoo.com
Попов Валентин Леонидович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. Берлинского технического университета, v.popov@tu-berlin.de
