CC BY
41
УДК 004.932
В. М. Мусалимов, П. П. Коваленко, С. Ю. Перепелкина
ПЕРЕЧИСЛИТЕЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ СКАНИРУЮЩЕЙ ЗОНДОВОЙ МИКРОСКОПИИ
Предложен новый метод классификации данных, полученных с помощью сканирующей зондовой микроскопии, на основе полиномов Морса и возможностей перечислительной комбинаторики.
Ключевые слова: классификация данных сканирующей зондовой микроскопии, полиномы Морса, перестановки.
Введение. Известно, что данные, получаемые с помощью сканирующей зондовой микроскопии (СЗМ), обрабатываются различными программами, в частности, FemtoScan Online, Gwyddion, SPIP и WSxM. Перечисленные программы применяют к получаемым данным СЗМ различные методы обработки сигналов и позволяют визуализировать их в том или ином виде. Существующие программы обработки данных направлены только на анализ сигналов и, как показали наши исследования, не позволяют решать задачу классификации технологических поверхностей. Международные системы классификации качества поверхностей, основанные на определении параметров шероховатости поверхности Ra и Rz, применимы только для микроизмерений и не позволяют однозначно классифицировать результаты измерений на нано-уровне, так как определяются не характеристики поверхности, а некоторая потенциальная функция, описывающая межатомное взаимодействие поверхности и зонда. Целью настоящей статьи является разработка методов анализа и классификации сигналов, получаемых при использовании систем мониторинга качества технологических поверхностей, включая средства сканирующей зондовой микроскопии, на основе достижений и возможностей перечислительной комбинаторики с использованием логики паттернов [1, 2].
Настоящая работа посвящена развитию топологического метода классификации информации, поступающей со средств мониторинга качества поверхностей, основанного на использовании полиномов Морса и возможностей перечислительной комбинаторики [3, 4].
Полиномы Морса можно описать следующей функцией:
P(х) = a0хи+1 + aixn + a2xn-1 +... + an, a, x e R .
Многочлен степени n +1 имеет n критических точек и n критических значений. Рассмотрим многочлены вида:
P (х) = xn+1 + a1 xn + a2 xn-1 +... + an, где ao = 1 — старший коэффициент.
Точка Xo называется критической для многочлена P (х) , если она является корнем его производной, P' (xo ) = 0. В критической точке касательная к графику многочлена горизонтальна. Значение многочлена в критической точке P (Xo) называется критическим. Многочлен P (х) называется морсовским, если все его:
— критические точки вещественны и различны;
— критические значения различны.
Каждому полиному Морса соответствует определенная числовая последовательность (перестановка) критических значений многочлена от наименьшего критического (номер 1) до наибольшего, номер которого зависит от количества критических точек и, следовательно, от
степени полинома. Перестановки, соответствующие полиномам Морса (пилообразные), называют типами этих полиномов [5].
Типом полинома Морса может являться только такая перестановка, последнее критическое значение которой меньше предыдущего. Таким образом, для полиномов с нечетной степенью п первый элемент перестановки должен быть меньше последующего, с четной п — больше. Исходя из вышеуказанного правила полиномы Морса можно разделить на две группы:
— если п нечетное (п = 1, 3, 5, 7 ...), то такие полиномы называются нечетными;
— если п четное (п = 2, 4, 6 ...), то такие полиномы называются четными.
Распределения порядковых номеров критических значений в перестановках. Рассмотрим полиномы Морса п = 5, они имеют три локальных минимума (Уь V2, V?) и два локальных максимума (Л1, Л2), чередующихся между собой.
Известно, что данный класс полиномов включает 16 возможных перестановок номеров экстремумов, определяемых по их положению на позиции того или иного локального минимума или максимума (табл. 1).
Таблица 1
Распределение порядковых номеров критических значений
Порядковый номер экстремума
Локальный минимум или максимум
Распределения номеров критических значений
Перестановки
VI
13254 14352 15342 14253 15243
24153 23154 24351 25143 25341
34152 35241 35142 34251
45132 45231
Л1
II
13254 23154
14253 14352 24153 24351 34152 34251
15243 15342 25143 25341 35142 35241 45132 45231
У2
III
ч/Л/47
24153 23154 25143 34152 35142 45132
13254 14253 15243 35241 34251 45231
14352 15342 24351 25341
Л,
IV
ч/ХЛ7
45132 45231
15342 15243 25143 25341 35241 35142
13254 14352 14253 23154 24153 24351 34152 34251
У3
V
\Z\7V
24351 25341 35241 34251 45231
34152 35142 45132 14352 15342
14253 15243 24153 25143
13254 23154
I
Можно заметить, что полученные распределения несимметричны, при этом экстремумы I и V обладают одинаковыми распределениями. В свою очередь, распределения для экстре-
мумов II и IV идентичны. Отсюда можно сделать вывод, что распределения порядковых номеров в перестановках для нечетных полиномов симметричны относительно центрального экстремума.
Рассмотрим использование полиномов Морса п=5 в качестве базы перечислительной классификации данных, получаемых со средств мониторинга качества поверхностей.
На рис. 1 представлена основа перечислительной классификации данных с использованием полиномов Морса с пятью критическими точками (п=5): V1 — первый; V2 — второй; Vз — третий; Л1 — четвертый; Л2 — пятый подкласс. Для каждого подкласса указаны перестановки, которые могут входить в него. В рамках предлагаемой классификации эти перестановки будем называть типом. Каждый тип может принадлежать двум подклассам в зависимости от того, как он классифицируется — по положению наибольшего максимума (экстремума с порядковым номером 5) или минимума (экстремума 1). Для этого вычисляется среднее арифметическое всех значений (рис. 1, пунктир), составляющих классифицируемые данные. После этого определяются отклонения вершин и впадин от среднего значения, если отклонение впадины превышает отклонение выступа, классификация осуществляется по положению главной впадины, т.е. экстремума 1. Здесь возможны три варианта: экстремум 1 находится на позиции первой впадины V1, тогда он относится к первому подклассу; если экстремум находится на позиции второй впадины V то ко второму; в случае нахождения экстремума 1 на позиции Уз — к третьему.
VI® , Уз(У)
Рис. 1
Если отклонение вершины больше отклонения впадины, то выбор подкласса осуществляется по вершине, т.е. по положению экстремума 5: если он находится на позиции первого выступа Л1, имеет место четвертый подкласс, если на позиции Л2 — пятый.
Аналогичным образом формируются четыре подкласса четвертого класса, в котором имеются два выступа и две впадины.
Рассмотрим полиномы Морса с шестью критическими точками (п=6). Для данного класса имеется 61 перестановка. Каждый такой полином обладает тремя локальными минимумами VI, V2, Vз и тремя максимумами Л1, Л2, Л3. Аналогично полиномам пятого класса классификация производится по положению локального минимума (экстремума 1) или локального максимума (экстремума 6).
На рис. 2 представлены полиномы Морса, соответствующие полученным подклассам: VI — первый; V2 — второй; V3 — третий; Л1 — четвертый; Л2 — пятый; Л3 — шестой. В табл. 2 приведены подклассы с соответствующими им перестановками.
Таблица 2
Подклассы шестого класса
Первый Второй Третий Четвертый Пятый Шестой
214365 324165 325461 613254 216354 214365
215364 325164 326451 614253 216453 215364
215463 326154 425361 614352 316254 215463
216354 423165 426351 615243 316452 314265
216453 425163 435261 615342 326154 315264
314265 426153 436251 623154 326451 315462
315264 435162 524361 624153 416253 324165
315462 436152 526341 624351 416352 325461
316254 523164 534261 625143 426153 325164
316452 524163 536241 625341 426351 413265
413265 526143 546231 634152 436152 415263
415263 534162 624351 634251 436251 415362
415362 536142 625341 635142 516243 423165
416253 546132 634251 635241 516342 425361
416352 623154 635241 645132 526341 425163
513264 624153 645231 645231 526143 435261
514263 625143 536142 435162
514362 634152 536241 513264
516243 635142 546231 514263
516342 645132 546132 514362
613254 523164
614253 524163
614352 524361
615243 534162
615342 534261
Примеры перечислительной классификации сигналов в системах мониторинга качества поверхностей. Для решения задачи классификации сигналов в системах мониторинга качества поверхностей предлагается осуществлять пространственные преобразования сигналов и изображений, связанные с переходами от одномерного сигнала к набору его двумерных представлений и суммированием последних в единый образ. Данные преобразования выполняются по алгоритмам, описанным в работе [2]. В качестве классификаторов для полученных образов предлагается использовать полиномы Морса.
Составим перечислительную классификацию нанотопографии, полученной при сканировании поверхности твердого тела из золота (рис. 3, а—рис. 6, а) на установке „Капоеёиса1;ог".
Произведем кумулятивное суммирование по строкам и столбцам матрицы данных измерений. При суммировании по столбцам дальнейшая работа осуществляется с последней строкой полученной кумулятивной матрицы, а при суммировании по строкам анализируется ее последний столбец, так как эти строка и столбец содержат все строки и столбцы исходной матрицы.
а) б) в)
600 400 200 0
-200 -400
%
100
60
ух 10 , нм
20
хх 10 , нм
а)
г, нм 400 0
-400 300
300
ух 10 , нм
хх10 , нм
а)
г, нм
100 0
ух 10 , нм
100
40 2
20 хх 10 , нм
класс 5 подкласс 5
тип перестановки 24153 Рис. 3 б)
®
класс 4 подкласс 1
тип перестановки 4132
в)
класс 6 подкласс 3
тип перестановки 215463 Рис. 4
класс 5 подкласс 1
тип перестановки 14352
класс 6 подкласс 4
тип перестановки 62534
класс 5 подкласс 2
тип перестановки 24153
Рис. 5
г, нм
0
0
0
На рис. 3, б—рис. 6, б представлена аппроксимированная кумулятивная сумма элементов в столбцах матрицы исходных данных. Экстремумы полученной функции пронумерованы в порядке возрастания критических значений, определен тип перестановки. Такая же операция осуществлена в отношении кумулятивной суммы по строкам исходной матрицы (рис. 3, в—рис. 6, в).
а)
г, нм 4000
0
-4000
-8000 100
80
60
2 40 20■ yx 102, нм 20
0
20
40
60
80
100
xx 10 , нм
®
класс 5 подкласс 1
тип перестановки 15342
класс 5 подкласс 4
тип перестановки 25341
Рис. 6
Аналогичным образом классифицируются другие имеющиеся нанотопографии, полученные при сканировании поверхностей твердых тел из различных материалов с использованием СЗМ.
Заключение. В работе предложен метод перечислительной классификации информации, получаемой при сканировании поверхностей твердых тел с использованием средств сканирующей зондовой микроскопии. Исследованы перечислительные особенности полиномов Морса, на которых базируется предлагаемый метод. Приведены примеры классификации данных СЗМ с использованием разработанного метода. На основе перечислительного метода могут быть написаны подпрограммы к существующим программам обработки данных СЗМ, допускающим использование пользовательских модулей.
список литературы
1. Коваленко П. П. Перечислительные методы и цифровые технологии классификации сигналов в системах мониторинга качества поверхностей. Автореф. дис. ... канд. техн. наук. СПб, 2011.
2. Коваленко П. П., Мусалимов В. М. Прямая и обратная задачи паттернизации сигналов и изображений // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. № 1. С. 38—45.
3. Мусалимов В. М., Хамидуллина Л. Т., Коваленко П. П. Прикладные задачи перечислительной комбинаторики: Учеб. пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. 69 с.
4. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика / Пер. с англ.; под ред. В. Е. Тараканова. М.: Наука, 1990. 504 с.
5. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦМНО, 2004. 144 с.
Виктор Михайлович Мусалимов —
Павел Павлович Коваленко
Светлана Юрьевна Перепелкина
Рекомендована кафедрой мехатроники
Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: [email protected] канд. техн. наук; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатроники; E-mail: [email protected] Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра мехатро-ники; старший преподаватель; E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 29.02.12 г.
