CC BY
20
УДК 372.851 DOI: 10.31862/2218-8711-2021-1-109-119
ББК 74.489
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ТЕКСТОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В РАЗВИТИИ КУЛЬТУРЫ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ
EDUCATIONAL VALUE OF MATHEMATICAL TEXT PROBLEMS WHILE DEVELOPING STUDENTS' CULTURE OF THINKING
Кислякова Мария Андреевна
Старший преподаватель кафедры математики и информационных технологий, Тихоокеанский государственный университет E-mail: rabota2486@yandex.ru
Kislyakova Maria A.
Senior lecturer at the Department of mathematics and information technology, Pacific national University E-mail: rabota2486@yandex.ru
Малыхина Ольга Акимовна
Доцент кафедры математики и информационных технологий, Тихоокеанский государственный университет, кандидат педагогических наук E-mail: malolga15@mail.ru
Malykhina Olga
Assistant Professor at the Department of mathematics and information technology, Pacific national University, PhD in Education E-mail: malolga15@mail.ru
Аннотация. Авторы статьи поднимают вопрос формирования культуры мышления учащихся при изучении математики как важную задачу математического образования. В статье рассмотрены подходы к определению культуры мышления с позиции философии и психологии. Обосновано, что именно педагогический потенциал математических дисциплин
Abstract. The authors of the article raise the issue of forming the culture of thinking in students while studying mathematics as an important task of mathematical education. The article considers approaches to defining the culture of thinking from the perspective of philosophy and psychology. It is proved that the pedagogical potential of mathematical
Ф 1 Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License The content is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
© Кислякова М. А., Малыхина О. А., 2021
направлен на развитие культуры мышления подрастающего человека. В качество основного средства развития культуры мышления выступает решение текстовых математических задач, которые исторически доказали свою эффективность и значимость. Приведены критерии отбора текстовых математических задач, способствующих развитию культуры мышления учащихся.
disciplines is aimed at developing the culture of thinking of the young. The main means of developing the culture of thinking are text tasks that have historically proven their effectiveness. Examples of mathematical problems that contribute to the development of the culture of thinking are given.
Ключевые слова: культура мышления, методика обучения математике, текстовые задачи.
Keywords: culture of thinking, methods of teaching mathematics, text problems.
Вы не можете заставить людей мыслить -но побудить их к этому вы можете.
Фран А. Даш
Одной из задач, стоящих перед учителем математики, является проблема развития мыслительных способностей учащихся. Как научить ребенка мыслить? Как научить его мыслить культурно? В работе «Знание и мышление» Э. В. Ильенков отмечает: «Вся проблема заключается в том, чтобы построить процесс усвоения знаний так, чтобы он одновременно был процессом воспитания ума и способности мыслить» [1, с. 155].
Какой же ум воспитывает математика? Что значит культурно мыслить? Что имеют в виду, когда говорят о «культуре мышления» человека?
В самом общем смысле под культурой мышления понимают «результат целенаправленного воздействия на процесс выполнения субъектом мыслительных операций с целью получить эффективные решения проблемных ситуаций» [2, с. 34].
В. Г. Галушко пишет: «культура мышления - одна из наиболее подвижных частей философской культуры личности, изменяющейся под воздействием социальных условий». Это действительно так, особенно в периоды информационных, культурных, политических и научных революций [3].
Культуру мышления отличает целевая составляющая: воспринятое - проанализировать, убедиться в его достоверности, учесть достоинства и недостатки в рамках конкретной теории, вскрыть возможные ошибки, дать субъективную оценку, обнаружить возможный скрытый смысл. Культура мышления свидетельствует о высокой степени объективности выведенного знания, обобщений, о способности личности преодолевать умозрительные клише [3]. Понятие «культура мышления» часто характеризуется такими свойствами мышления, как критичность, последовательность, широта и глубина [1].
В целом культура мышления говорит о степени и уровне интеллектуального развития человека, о мере соответствия его мыслительных способностей принципам, законам и правилам мышления [4; 5].
Говоря о целенаправленном формировании культуры мышления у обучающихся, обратимся к современной гуманистической теории интеллектуального воспитания, разработанной в работах Л. И. Боженковой, Э. Г. Гельфман, М. А. Холодной.
Интеллектуальное воспитание - это такая форма организации образовательного процесса, которая позволяет создать условия для совершенствования интеллектуальных возможностей каждого ученика на основе обогащения его умственного опыта [6, с. 67]. Основное назначение интеллектуального воспитания - помочь ребенку выстроить собственный ментальный мир на основе обогащения его индивидуального ментального опыта и в конечном счете реализовать его право владеть культурой мышления [6, с. 76]. Таким образом, интеллектуально воспитанный человек равно культурно мыслящий человек.
Что меняется в человеке, если он интеллектуально воспитан = культурно мыслит? М. А. Холодная пишет: «По-видимому, меняется тип познавательного отношения к миру: то, как человек воспринимает, понимает и объясняет происходящее» [7, с. 71]. На основании анализа работ Л. И. Боженковой, М. А. Холодной, Э. Г. Гельфман, О. А. Конопкина, А. М. Матюшки-на, А. В. Карпова критериями развития культуры мышления учащегося являются:
• компетентность - совокупность способностей, необходимых для выполнения конкретных действий в конкретной предметной области. Компетентного человека отличают множество разных знаний о разном, элементы знания четко выделены, между ними установлена связь, быстрота актуализации знаний в нужной ситуации, способность к переносу знаний в новую ситуацию, знания об общих понятий, идей, принципов, концепций. Компетентный человек характеризуется наличием собственного опыта [6; 7].
• интеллектуальная инициатива - это желание самостоятельно, по собственному побуждению отыскивать нужную новую информацию, выдвигать те или иные идеи, обосновывать их, полноценно аргументировать, ставить под сомнение выдвинутые кем-то предложения и идеи [6, с. 74].
• интеллектуальная осознанная саморегуляция - системно-организованный процесс внутренней психической активности человека по инициации, построению, поддержанию и управлению разными видами и формами произвольной активности, непосредственно реализующей достижение принимаемых человеком целей [8].
• интеллектуальное творчество - процесс создания субъективно и объективно новых идей, продуктов и способов деятельности [6].
• уникальность склада ума - индивидуально-своеобразные способы интеллектуального отношения к происходящему, в том числе индивидуализированные формы взаимной компенсации своих слабых и сильных сторон интеллекта, сформирован-ность индивидуальных предпочтений.
Формированию умственной культуры учащихся посвящено исследование В. Н. Осин-ской. Она придает особое значение обобщенным приемам умственной деятельности, которая классифицирует их на две группы - алгоритмического и эвристического типа. Она отмечает, что для формирования культуры мышления очень важно сочетать приемы рассудочного, правильного мышления со специальными эвристическими методами (метод мозгового штурма, метод эвристических вопросов, метод свободных ассоциаций, деловая игра) [9].
В нашем исследовании проверяется гипотеза о том, что педагогический потенциал математических дисциплин способствует развитию личности учащегося, в частности, формированию культуры его мышления [10].
Е. М. Вечмотов отмечает: «Математика - самая честная и творческая из наук. Она воспитывает не только правдивость, критичность, самостоятельность, справедливость, благородство, трудолюбие и дисциплинированность, но и учит "свободному полету мысли", несмотря на заданность строгих логических правил» [11, с. 235]. Другими словами, «математика ум в порядок приводит» (известные слова М. В. Ломоносова) и учит «отличать истину от лжи; отличать смысл от бессмыслицы; отличать понятное от непонятного» [12, с. 10]. Это значит, что содержание и методика обучения математическим дисциплинам не только влияют на культуру мышления учащегося, но и существенным образом воздействуют на духовную составляющую, тем самым развивая многогранную личность человека.
Основным инструментом реализации педагогического потенциала математических дисциплин выступает теория рефлексивного обучения решения математических задач [13]. Математические задачи являются тем «педагогическим сокровищем», которое позволяет учащемуся показать разные подходы, разные методы, оставаясь в парадигме истины, логики. Исторический опыт преподавания математики показал эффективность текстовых задач как моделей реальных проблемных ситуаций, в развитии культуры мышления учащихся.
Методика развития культуры мышления учащихся основывается на теории рефлексивного обучения решения математических задач и включает в себя следующие этапы [13]:
1) обучение учащихся анализу условия задачи;
2) обучение учащихся поиску решения задачи с привлечением математических методов с опорой на принятые математические теории;
3) обучение учащихся правдоподобным рассуждениям;
4) обучение учащихся анализу проведенных рассуждений и обоснование их истинности;
5) создание условий для обогащения опыта учащихся через решение текстовых задач, способствующих развитию культуре мышления.
Обучение учащихся анализу условия задачи включает формирование умения записывать схематично условие задачи и работать с ним. Это значит: по условию задачи определять, какие элементы даны, а какие требуется найти; выделять главные (существенные) переменные, отличать их от второстепенных переменных; видеть в условии задачи комплекс взаимосвязанных величин, определять типы задач [13; 14].
Обучение учащихся поиску решения задачи происходит путем обучения искать аналогии и закономерности и применять эти знания для решения задач, соотносить условия задачи с известными теоретическими положениями, искать формулы, определения, правила, теоремы, связывающие данные в задаче; развертывать свернутые алгоритмы в пошаговые программы; подбирать теоретические сведения, необходимые для конкретной задачи. Главное - научить учащегося выбирать подходящий математический метод: арифметический, алгебраический, функциональный, геометрический, вероятностный, комбинаторный, логический [15].
На этапе оформления решения задачи важно научить учащегося логически мыслить в условиях и правилах выбранного метода решения задачи. Логично рассуждать - это значит уметь решение задачи представлять последовательно, без противоречий, опираясь на
данные задачи и верные теоретические положения. Культура мышления учащегося будет проявляться в том, что он сначала выбирает некоторую математическую теорию, которой доверяет и (в рамках этой теории), затем принимает решение и обосновывает его. Это очень важно, поскольку, как культурно образованный человек, он допускает свое фрагментарное видение проблемной ситуации.
Одним из наиболее важных умений учащегося является умение проигрывать разные варианты решений и оценивать правильность своих рассуждений в рамках выбранного метода. Для этого важно обучение учащихся проверке проведенного решения, а именно: не противоречит ли результат здравому смыслу, все ли условия задачи использованы, все ли требования выполнены, выбран ли рациональный путь решения и верный ли ответ получен.
Критерии отбора текстовых задач. Опишем критерии отбора текстовых задач, направленных на развитие культуры мышления учащихся [16].
Критерий новизны, который означает, что предлагаемые задачи должны быть новыми для учащихся. Не подходить под сформированные в курсе математики алгоритмы, правила, схемы, шаблоны, потому как алгоритмическая деятельность, присущая алгебре, формирует у учащихся в некоторой степени ригидность. Задачи, способствующие развитию культуры мышления, призывают учащихся к поиску новых понятий, приемов, способов.
Примерами таких задач могут быть текстовые задачи, решаемые функциональным методом.
Пример задачи на количество. Две группы ребят поспорили, как эффективнее раскладывать конфеты в пакеты и мешки на праздник. Первая группа ребят предложила раскладывать равными количествами конфеты в подарочные пакеты, а эти пакеты складывать в мешки, по 2 пакета в один мешок. Другая группа ребят те же самые конфеты предложила раскладывать в пакеты так, что в каждом из них было бы на 5 конфет меньше, но тогда в каждом мешке стало бы лежать по 3 пакета, а мешков при этом потребовалось бы на 2 меньше. Какое наибольшее количество конфет могли раскладывать дети и сколько мешков и пакетов потребовалось бы в каждом случае?
Критерий научной значимости, означающий, что решения задач основаны на законах математической логики. При решении этих задач математические методы используются как инструменты для разрешения противоречий. Решение таких задач должно демонстрировать силу разума в противовес интуитивному решению.
Примерами таких задач являются логические задачи, комбинаторные задачи, задачи на применение арифметической и геометрической прогрессии, задачи на нахождение вероятностей случайных событий.
Пример логической задачи. Четверо ребят - Алеша, Боря и Ваня, Гриша - соревновались в беге. После соревнований каждого из них спросили, какое место он занял. Алеша ответил: «Я не был ни первым, ни последним». Боря ответил: «Я не был последним». Ваня ответил: «Я был первым». Гриша: «Я был последним». Кто-то один сказал неправду. Кто? И кто же все-таки занял первое место?
Решение. Предположим, что Алеша сказал неправду. Тогда все остальные сказали правду, то есть Ваня был первым, а Гриша последним. Следовательно, Алеша не был ни первым, ни последним и, значит, сказал правду. Мы пришли к противоречию, значит, Алеша
сказал правду. Предположим, что Боря сказал неправду, то есть он был последним; тогда Гриша должен сказать правду, то есть он тоже на последнем месте. Мы пришли к противоречию, значит, Боря сказал правду.
Пусть Ваня сказал неправду, а все остальные - правду. При этом Алеша должен быть на 2-м месте или 3-м месте, Боря - на 1-м, 2-м или 3-м, Ваня (он сказал неправду) - на 2-м, 3-м или 4-м, Гриша - на 4-м. Мы видим, что первым мог быть только Боря.
Остается проверить, не подойдет ли и последний вариант, а именно что Гриша сказал неправду. Тогда все остальные сказали правду и, значит, никто не занял последнего места. Этого не может быть, значит, Гриша сказал правду. Итак, мы доказали, что неправду сказал Ваня, а первым был Боря.
Замечание. Такие задачи позволяют увидеть ситуацию в пространстве вариантов. Умение видеть ситуацию с позиции «а как было бы, если бы» говорит о гибкости мышления и его широте. Такие задачи можно решать с учащимися на этапе быстрой разминки перед какой-нибудь сложной темой, дав каждому варианту «проверить» одного из мальчиков. Задача наглядно демонстрирует, что не все, что говорится, есть правда, и не все есть ложь. Для того, чтобы выносить суждения, необходимо полностью проанализировать условия проблемной ситуации.
Пример задач из теории вероятностей. Что вероятнее: выиграть две игры из четырех или три игры из шести? Какой ПИН-код легче взломать: составленный из четырех цифр без повторения или с повторением?
Пример задачи на применение арифметической прогрессии. Некая серия книг публиковалась с интервалом в семь лет. Когда вышла в свет седьмая книга, сумма всех лет, в которые входили книги этой серии, равнялась 13 524. Можно ли узнать, когда была опубликована первая книга?
Решение. Среднее арифметическое лет публикации равно 13 524/7 = 1932, или среднему члену нашей арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии отличается от среднего члена на три разности. Следовательно, первая книга была опубликована в 1932 - 7 . 3 = 1911 г.
Критерий контекста. В задачах должен присутствовать определенный контекст, иллюстрирующий сюжетную ситуацию, связанную с важными для учащихся сферами жизни (отношения, семья, деньги) «с ориентацией на выявление существенных, объективно значимых аспектов происходящего» [6, с. 72].
Пример. Катя мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 миллиона рублей. Катя может купить ее в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Кате придется 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ей придется выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Катя может какое-то время снимать квартиру (стоимость аренды - 15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от ее возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За какое время в этом случае Катя сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость квартиры не изменится? [15; 17].
Решение.
1. Рассчитаем ежемесячный платеж в случае, если Катя возьмет кредит: (3 000 000 . 2,8) : 240 = 35 000 руб.
2. Рассчитаем ежемесячную сумму в случае, если Катя будет откладывать на квартиру: 35 000 - 15 000 = 20 000 руб.
3. Рассчитаем количество лет, необходимых Кате, чтобы скопить на квартиру:
3 000 000 : 20 000 = 150 месяцев.
Ответ: Катя накопит на квартиру за 12,5 лет.
Замечание. Представленная задача иллюстрирует проблемную ситуацию, в которой есть два варианта решения. Для того чтобы оценить их и принять правильное решение, применяется арифметический метод.
Пример. В порту 90% населения говорит по-английски, 85% - по-немецки, 80% - по-французски и 75% - по-испански. Какой наименьший и наибольший процент населения может говорить на всех четырех языках?
Критерий доступности, учитывающий не только уровень знаний, но и уровень зоны ближайшего развития школьников. Задача должна актуализировать у школьников необходимый опыт математической деятельности. Так, например, задачи на количество можно рассматривать с 6-го по 11-й класс, демонстрируя различные подходы к решению и анализу проблемной ситуации, а также выбору методов решения.
Исследовательский критерий, означающий, что задачи должны носить исследовательский характер. Задача должна давать возможность появлению разных мнений, отличающихся системой аргументации. Когда один школьник предлагает решение задачи, другой должен искать возражения и немедленно их высказывать. Примером исследовательских текстовых задач служат текстовые задачи с параметрами, задачи с альтернативными условиями, задачи с недостаточными или избыточными данными.
Пример традиционно-текстовой задачи на движение. От А до В расстояние б километров. Из А в В вылетел вертолет, а через £ часов - самолет. Он догнал вертолет в d километрах от А, долетел до В, сразу же повернул обратно, в d километрах от В встретил вертолет и вернулся в А позднее, чем вертолет прибыл в В. На сколько раньше вертолет прибыл в В, чем самолет вернулся в А?
Пример физической задачи. Цилиндрическая трубка с поршнем погружена в резервуар с водой; между поршнем и водой находится столб воздуха в h м при атмосферном давлении. Затем поршень поднимают на Ь м над уровнем воды в резервуаре. Вычислить высоту воды в трубке, зная, что высота столба жидкости в водяном барометре при атмосферном давлении равна с м.
Критерий вариативности, означающий, что учащемуся нужно предлагать задачи из различных областей математики и различными видами деятельности.
Пример социально-экономической задачи. Некоторое предприятие приносит убытки, составляющие 31 млн руб. в год. Для превращения предприятия в рентабельное было предложено увеличить ассортимент продукции. Подсчеты показали, что дополнительные доходы, приносящиеся на каждый новый вид продукции, оставят 25 млн руб. в год, а дополнительные расходы окажутся равными 5 млн руб. в год при освоении одного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на 10 млн руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Можно ли указанным способом сделать предприятие рентабельным?
Решение. Если ввести один новый вид продукции, то предприятие будет приносить убыток в 11 млн руб. в год. При внедрении в том же году одного нового вида продукции предприятие будет приносить убыток в 1 млн руб. При внедрении в производство (в том же году) третьего вида продукции доход в 25 млн руб. от внедрения этого вида продукции будет по условию задачи компенсирован расходом в те же 25 млн руб., так что предприятие опять будет приносить убыток в 1 млн руб. Далее доход (25 млн руб.) будет меньше расхода (35 млн руб.), и убыток в год вырастает до 1 млн руб. и в дальнейшем будет возрастать. Значит, указанным способом можно лишь снизить убыточность в год до 1 млн руб., но доходным предприятие сделать нельзя.
Пример комбинаторной задачи. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно два туза, одна дама, одна бубновая карта?
Замечание. В решении этой задачи учащийся должен рассмотреть различные варианты: среди пяти выбранных карт есть бубновая дама, среди пяти выбранных карт есть бубновый туз, среди пяти выбранных карт нет бубнового туза и бубновой дамы.
Критерий завершенности. Решение задачи должно иллюстрировать завершенность мыслительного процесса: анализ проблемной ситуации ^ постановка проблемы ^ поиск недостающей информации и выдвижение гипотез ^ проверка гипотез и получение нового знания ^ перевод проблемы в задачу (или несколько задач) ^ поиск способа решения ^ решение ^ проверка решения ^ доказательство правильности решения ^ вывод.
Пример. Вам предложили сделку: вы кладете деньги в банк, где они каждый месяц удваиваются. Но за это вы платите банку ежемесячно 24 000 руб., которые банк изымает из ваших денег после каждого их удвоения. Выгодна ли для вас эта сделка?
Решение. Пусть, например, сумма вклада равна 20 000 руб. Тогда к концу первого месяца станет 20 000 . 2 - 24 000 = 16 000 руб., к концу второго месяца 16 000 . 2 - 24 000 = 8000, к концу третьего месяца 19 000 - 24 000 = -5000. К концу третьего месяца вы теряете уже 5000 руб.
Анализ ситуации на простом примере показывает, что необходимо переформулировать вопрос. Так как из суммы вклада, которая каждый месяц удваивается, вычитается каждый месяц 24 000 руб., то следует задать вопрос: выгодна ли будет сделка, если сумма вклада меньше 24 000 руб.?
Делаем вывод: для успеха сделки первоначальный вклад должен быть больше, чем сумма, которую нужно ежемесячно выплачивать банку.
В предложенной задаче поставлена проблема, предложены варианты ее решения, обоснован ответ, сделан вывод.
Развитие культуры мышления учащихся с помощью решения тестовых задач будет способствовать профилактике интеллектуальной пассивности, которая проявляется в нежелании или неумении думать, размышлять, анализировать, делать выводы, искать ошибки, доказывать свою правоту и находить истину. В. А. Лекторский отмечает: «...современный этап развития цивилизации, который называют информационным обществом, характеризуется частым возникновением нештатных, неординарных ситуаций. Выход из этих ситуаций, в которых нередко оказывается отдельный человек, требует от него принятия собственного творческого, нестандартного решения. Это значит, что современная цивилизация усиливает требования к отдельному индивиду, который уже не сможет
спрятаться за анонимными решением безликого коллектива, а должен следовать на свой страх и риск» [18, с. 14]. Как следствие этого - повышение ответственности преподавателей в подготовке будущих учителей и формирование их профессионально-методической компетентности в области развития культуры мышления учащихся.
Чтобы процесс обучения решению текстовых задач был одновременно процессом развития культуры мышления, необходимо выполнение ряда педагогических условий:
• создавать на уроке особые педагогические ситуации, в результате которых через организацию познавательной деятельности у школьника складывалась бы полная картина представлений о культуре мышления;
• эффективность процесса понимания стимулируется особым состоянием сознания -«пытливостью ума»;
• необходимо включать в урок текстовые задачи, которые побуждали бы ребенка к поиску самостоятельных решений;
• организация постоянного взаимодействия абстрактного и конкретного в процессе познания способствует «научению мышления» [1, с. 163].
Таким образом, целенаправленная деятельность учителей математики по формированию культуры мышления учащихся включается в себя решение текстовых задач на всех этапах обучения математике: на этапе мотивации формулируется проблемная ситуация, на этапе усвоения и закрепления - формируется опыт анализа и принятия решения, на этапе обобщения и закрепления происходит обогащение опыта в новых, нестандартных ситуациях. Чем чаще и активнее учащийся думает самостоятельно, тем больше нейронных сетей у него формируется, тем выше будет уровень интеллектуального воспитания учащегося, тем легче ему будет взаимодействовать с информационно-насыщенной средой и быть интеллектуально активным, поскольку культурно мыслящий человек испытывает потребность в строгости, в обоснованности выводов и умозаключений.
Список литературы
1. Корчажкина О. М. Диалектика познания и обучение мышлению: размышляя вместе с Ильенковым // Вопросы философии. 2008. № 4. С. 155-163.
2. Меерович М. И. Основы культуры мышления // Школьные технологии. 1997. № 5. С. 34-38.
3. Галушко В. Г. Культура мышления и преемственность в мышлении и культуре // Сборники конференций НИЦ СОЦИОСФЕРА. 2015. № 51. С. 147-152.
4. Крутецкий В. А. Психология математических способностей. М.: Изд-во «Ин-т практ. психологии»; Воронеж: Изд-во НПО «МОДЭК», 1998. 416 с.
5. Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. 206 с.
6. Гельфман Э. Г. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное воспитание учащихся. СПб.: Питер, 2006. 384 с.
7. Холодная М. А. Психология интеллекта: Парадоксы исследования. СПб.: Питер, 2002. 272 с.
8. Конопкин О. А. Общая способность к саморегуляции как фактор субъектного развития // Вопросы психологии. 2004. № 2. С. 128-135.
9. Осинская В. Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике. Киев: Радянська школа, 1989. 188 с.
10. Кислякова М. А., Поличка А. Е. Педагогический потенциал математических дисциплин в подготовке студентов гуманитарных профилей: моногр. Хабаровск: Изд-во Тихооке-ан. гос. ун-та, 2019. 240 с.
11. Вечмотов Е. М. Метафизика математики. Киров: Изд-во ВятГГу, 2006. 508 с.
12. Успенский В. А. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера // Химия и жизнь. 2010. № 4. С. 4-16.
13. Кислякова М. А. Методика рефлексивного обучения решению математических задач. Хабаровск: Изд-во Тихоокеанского гос. ун-та, 2020. 207 с.
14. Кислякова М. А. О некоторой классификации математических задач // Методика преподавания математических и естественнонаучных дисциплин: современные проблемы и тенденции развития: материалы VI Всерос. науч.-практ. конф. (Омск, 4 июля 2019 г.) / [редкол.: А. А. Романова (отв. ред.) и др.]. Омск: Изд-во ОмГТу, 2019. 276 с. С. 45-48.
15. Кислякова М. А. Об одном практическом занятии по методам решения текстовых сюжетных задач // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып. 21. 2019. С. 154-162.
16. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Критерии отбора задач для выявления математических способностей школьников // Традиции гуманизации в образовании. III Международная конференция: сб. материалов. М., 2014. С. 77-80.
17.Математика. ЕГЭ 2017. Кн. 2. Профильный уровень / Д. А. Мальцев, А. А. Мальцев, Л. И. Мальцева. Ростов н/Д.: Издатель Мальцев Д. А.: Народное образование, 2017. 224 с.
18. Лекторский В. А. Умер ли человек? // Человек. 2004. № 4. С. 10-16.
19. Боженкова Л. И. Интеллектуальное воспитание учащихся при обучении геометрии. Калуга: Изд-во КГПу им. К. Э. Циолковского, 2007. 281 с.
20. Попков В. А., Коржуев А. В. Рефлексивные стратегии познавательной деятельности в высшем профессиональном образовании. М.: Изд-во ИУО РАО, 2004. 200 с.
References
1. Korchazhkina O. M. Dialektika poznaniya i obuchenie myshleniyu: razmyshlyaya vmeste s Ilyenkovym. Voprosy filosofii. 2008, No. 4, pp. 155-163.
2. Meerovich M. I. Osnovy kultury myshleniya. Shkolnye tekhnologii. 1997, No. 5, pp. 34-38.
3. Galushko V. G. Kultura myshleniya i preemstvennost v myshlenii i culture. Sborniki konferentsiy NITs SOTsIOSFERA. 2015, No. 51, pp. 147-152.
4. Krutetskiy V. A. Psikhologiya matematicheskikh sposobnostey. Moscow: Izd-vo "In-t prakt. psikhologii"; Voronezh: Izd-vo NPO "MODEK", 1998. 416 p.
5. Matyushkin A. M. Problemnye situatsii v myshlenii i obuchenii. Moscow: Pedagogika, 1972. 206 p.
6. Gelfman E. G. Psikhodidaktika shkolnogo uchebnika. Intellektualnoe vospitanie uchashchikhsya. St. Petersburg: Piter, 2006. 384 p.
7. Kholodnaya M. A. Psikhologiya intellekta: Paradoksy issledovaniya. St. Petersburg: Piter, 2002. 272 p.
8. Konopkin O. A. Obshchaya sposobnost k samoregulyatsii kak faktor subyektnogo razvitiya. Voprosy psikhologii. 2004, No. 2, pp. 128-135.
9. Osinskaya V. N. Formirovanie umstvennoy kultury uchashchikhsya v protsesse obucheniya matematike. Kiev: Radyans'ka shkola, 1989. 188 p.
10. Kislyakova M. A., Polichka A. E. Pedagogicheskiy potentsial matematicheskikh distsiplin v podgotovke studentov gumanitarnykh profiley: monogr. Khabarovsk: Izd-vo Tikhookean. gos. un-ta, 2019. 240 p.
11. Vechmotov E. M. Metafizika matematiki. Kirov: Izd-vo VyatGGU, 2006. 508 p.
12. Uspenskiy V. A. Matematicheskoe i gumanitarnoe: preodolenie baryera. Khimiya i zhizn. 2010, No. 4, pp. 4-16.
13. Kislyakova M. A. Metodika refleksivnogo obucheniya resheniyu matematicheskikh zadach. Khabarovsk: Izd-vo Tikhookeanskogo gos. un-ta, 2020. 207 p.
14. Kislyakova M. A. O nekotoroy klassifikatsii matematicheskikh zadach. In: Romanova A. A. (ed.) Metodika prepodavaniya matematicheskikh i estestvennonauchnykh distsiplin: sovremennye problemy i tendentsii razvitiya. Proceedings of the VI All-Russian scientific-practical conference (Omsk, 04.07.2019). Omsk: Izd-vo OmGTU, 2019. 276 p. Pp. 45-48.
15. Kislyakova M. A. Ob odnom prakticheskom zanyatii po metodam resheniya tekstovykh syuzhetnykh zadach. Matematicheskiy vestnik pedvuzov i universitetov Volgo-Vyatskogo regiona. Iss. 21. 2019. Pp. 154-162.
16. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Kriterii otbora zadach dlya vyyavleniya matematicheskikh sposobnostey shkolnikov. In: Traditsii gumanizatsii v obrazovanii. Proceedings of the III International conference. Moscow, 2014. Pp. 77-80.
17. Maltsev D. A., Maltsev A. A., Maltseva L. I. Matematika. EGE 2017. Iss. 2. Profilnyy uroven. Rostov-on-Don: Izdatel Maltsev D. A.: Narodnoe obrazovanie, 2017. 224 p.
18. Lektorskiy V. A. Umer li chelovek? Chelovek. 2004, No. 4, pp. 10-16.
19. Bozhenkova L. I. Intellektualnoe vospitanie uchashchikhsya pri obuchenii geometrii. Kaluga: Izd-vo KGPU im. K. E. Tsiolkovskogo, 2007. 281 p.
20. Popkov V. A., Korzhuev A. V. Refleksivnye strategii poznavatelnoy deyatelnosti v vysshem professionalnom obrazovanii. Moscow: Izd-vo IUO RAO, 2004. 200 p.
Интернет-журнал «Проблемы современного образования» 2021, № 1
Статья поступила в редакцию 22.06.2020 The article was received on 22.06.2020
