CC BY
58
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XII
198 1
М 4
Ф:-
УДК 532.525.2
ПАРАМЕТРЫ ПОДОБИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ В КАНАЛЕ И ЗАТОПЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е. А. Лейтес
Предложен приближенный метод определения линейных масштабов для струи в канале и затопленном пространстве, основанный на линеаризации уравнений движения в окрестности изобарического сечения. Показано, что полученные аналитические зависимости хорошо согласуются с экспериментальными данными и результатами численных исследований в широком диапазоне изменения определяющих параметров.
В настоящее время для некоторых классов струйных течений на основании приближенных теоретических моделей установлены переменные подобия, позволяющие обобщить данные многочисленных расчетов и экспериментов [1—5]. Выяснено, в частности, что геометрические размеры струй хорошо обобщаются при использовании различных масштабов длины в продольном и поперечном направлениях. Как правило, получение соответствующих зависимостей для масштабов длины производилось в предположении гиперзвукового характера течения в струе и пренебрежимо малого размера выходного сечения сопла по сравнению с характерным поперечным размером струи. Эти предположения не позволяют использовать полученные зависимости при умеренных степенях нерасчетности и небольших сверхзвуковых скоростях газа на срезе сопла. Кроме того, предложенные теоретические модели справедливы, строго говоря, лишь на начальном участке струи. Распространение полученных закономерностей на дальнее поле струи производится чисто эмпирически. В данной работе при определении линейных масштабов струи используется отличный от имеющихся работ метод, который заключается в следующем. При отсутствии сил вязкости под действием ударно-волновых процессов происходит постепенное выравнивание начальной неравномерности параметров потока и на некотором расстоянии от вреза сопла течение приближается к некоторому одномерному потоку,
параметры которого могут быть определены из интегральных уравнений сохранения. В связи с малым отличием параметров струи на достаточном удалении от среза сопла от предельного одномерного потока, дифференциальные уравнения могут быть линеаризованы относительно средних значений. Из этих линейных уравнений легко получается связь между продольным и поперечным масштабами длины.
1. Рассмотрим истечение струи в цилиндрический канал на режиме, когда внешнее давление не влияет на параметры потока в канале. Без учета трения и теплообмена уравнения сохранения для течения в канале имеют вид:
<3 = р;«/^к; (1)
Л = (Рг+ рI«/) К; . (2)
х Р1 и?
г'о — ~—г -—н — ; (3)
х — 1 рг 2
здесь рг, мг, рь — соответственно средние значения плотности, скорости и давления в сечении, достаточно удаленном от среза сопла; /^ — площадь поперечного сечения канала, * — отношение удельных теплоемкостей, — энтальпия торможения, (3—расход газа
через сопло, У2 = У + рА(,рк — /^д), У—импульс газа на срезе сопла, рл — донное давление, ^„ — площадь среза сопла. Величина донного давления либо рассчитывается по какой-либо приближенной методике, либо определяется экспериментально. Из уравнений (1)—(3) можно получить следующие выражения для средних значений параметров потока:
!, , _ х2 — 1
р‘ — 2^(х-1)/'Д1± у х2у2г
1
и,- _ х— 1
Ут *71в /1 +
• /
Рг
*■/1
х2 /2 х ,/12
■Ч 1 ± - Т/ 1
(»■+!)
М-:
X2
!■ +"
V
х2 — 1
X2
здесь Мг — число М осредненного потока, Ут — максимальная ско-
ч Л
рость при истечении в вакуум, Уи= ПЛ- .
Как следует из приведенных формул, скорость газа в канале при постоянных параметрах на срезе сопла зависит от радиуса канала только через комплекс У12, в который входит произведение донного давления на площадь поперечного сечения канала.
Как показано в работе [4], при достаточно больших радиусах ка* нала донное давление изменяется обратно пропорционально площади канала. В результате при фиксированных размерах сопла и параметрах потока на срезе с увеличением размеров поперечного сечения канала произведение ра(Рк — Ра), а, следовательно, и весь комплекс J^z, начиная с некоторого радиуса канала, остаются постоянными. Это приводит к тому, что осредненное значение скорости перестает зависеть от размеров канала, а давление и плотность изменяются обратно пропорционально площади поперечного сечения канала. Из расчетных и экспериментальных исследований известно, что с увеличением числа Ма на срезе сопла донное давление уменьшается быстрее, чем статическое давление на срезе. В результате при достаточно больших значениях Ма оказывается, что величина Л практически полностью определяется импульсом истекающей струи и мало зависит от донного давления. В этом случае исходная система уравнений для равномерного потока на срезе сопла допускает следующие простые решения, соответствующие сверхзвуковому режиму течения в канале: иг = иа, р _ р
Р»=='ря> Р'1 ~ й-~' • Здесь индекс а относится к параметрам по-
г к 'к
тока на срезе сопла.
2. Уравнения импульса, неразрывности и энергии, записанные для случая течения сжимаемого невязкого, нетеплопроводного совершенного газа в цилиндрическом канале, имеют вид:
р (иах + 1)иг) +/7^=0;
?№х + ™,) + рг = 0;
(ри^+(р®0|-=о»
1 — 2
г.- 1
р = —— р*;
здесь приняты следующие обозначения: гшг, ъи1— осевая и радиальная составляющие скорости, рр£ — плотность, /?р;и?— давление, 10и\ — энтальпия торможения, иг; рг — скорость и плотность осред-ненного течения, формулы для вычисления которых приведены в предыдущем разделе; индексы х и г означают частные производные по соответствующим координатам. Продольная л: и поперечная г координаты отнесены к радиусу канала.
Предположим, что, начиная с некоторого сечения, максимальное отличие скорости от среднего значения значительно меньше средней скорости:
е = шах | и — 11 < 1.
Представляя решение исходной системы уравнений в виде разложения по степеням малого параметра
II = 1 “I- V = 31^
р = 1 + еР1 + • • • , Р — -7^2 + + • • • >
• N -V
получаем следующую систему линейных уравнений для первого приближения:
'■(р1+.»1), + (г01)г=О;
г- 1 г. — 1
Решение этой системы имеет вид
со
#i = 2 Л (Хк Р(- г) Хк [у4к cos (Хк х) Вк sin (Хк дс)], k =1 00
X>i = 2 Р/ -А 0'к Pj ^”) [^к siп (Хк х) -J- Вк cos (Хк х)],
Й = 1
Pi = M]j
р\ =—»1.
где Pi = 'KM?— 1, У0 и 7t — функции Бесселя первого рода, нулевого и первого порядка.
При решении системы линейных уравнений на стенке канала ставится условие непротекания, которое используется для нахождения собственных чисел Хк и имеет вид
•MUi) = 0, (4)
а также условие ограниченности решения при г = 0. Произвольные постоянные Ак и Вк могут быть найдены, если известны профили-параметров потока в каком-либо сечении, где возмущения могут считаться малыми. Следует, однако, отметить, что для целей настоящего исследования в определении этих констант нет необходимости, поскольку они влияют на амплитуду, а не на период колебаний. Примем, что длина периодической структуры L соответствует периоду первой гармоники. В этом случае можно записать L = t где Xj — первый ненулевой корень уравнения (4):
) _3,83
Тогда для длины периодической структуры первой гармоники может быть записано следующее выражение:
L = 1,64 RKV М% — 1 . (5)
Как было отмечено выше, в случае, когда влиянием донного давления на осредненные характеристики можно пренебречь, Мг не зависит от размеров канала и равно Ма. Тогда из выражения (5) следует, что длина периодической структуры изменяется прямо пропорционально радиусу канала, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. На рис. 1 результаты расчета по формуле (5) сопоставляются с экспериментальными результатами работ [4, 6, 7]. При построении графика линейные размеры относились к радиусу среза сопла. Сплошной линией обозначен расчет по формуле (5), значками — экспериментальные результаты. При
проведении расчета использовались экспериментальные данные по донному давлению, полученные в этих же работах. Расчеты показали, что при Ма>2,0 можно пренебречь влиянием донного давления на скорость осредненного течения. В работе [4] из других соображений с точностью до постоянного множителя найден продольный масштаб течения, справедливый при достаточно больших
Ма и ЯК = ЯК/га. Полученная в данной работе зависимость свободна от указанных ограничений.
3. При истечении струи в затопленное пространство на больших расстояниях от среза сопла происходит выравнивание параметров газового потока, и в некотором сечении, называемом изобарическим, статическое давление становится практически постоянным и равным давлению окружающей среды. Если пренебречь перемешиванием газа струи с газом окружающей среды, можно считать, что все параметры течения в этом сечении постоянны и могут быть определены из интегральных уравнений сохранения, в которых, в отличие от течения в канале, заранее неизвестна площадь, занимаемая потоком, но зато известно давление. Уравнения сохраг нения в этом случае имеют вид:
где Уз = (ра — рн + Ра и2а), рн — давление в окружающей среде
Л —1
Р
где п =ра!рн — степень нерасчетности истечения. Аналогичное решение приведено в работе [10].
/
Для осесимметричной струи радиус изобарического сечения вычисляется по формуле
Из полученной формулы видно, что при достаточно больших степенях нерасчетности радиус изобарического сечения изменяется пропорционально У я. Кроме того, при больших значениях Ма величина практически не зависит от Ма. Интересно отметить, что аналогичные особенности отмечены и для радиуса максимального сечения струи Ят [3], где использованный в данной работе подход, строго говоря, неприменим. Это позволяет рассчитывать на то, что поперечный масштаб струи с точностью до постоянного множителя является единым как для начального газодинамического участка, так и для области струи, приближающейся к изобарическому сечению. Линеаризуя уравнение движения относительно изобарического сечения, получим систему такого же вида, что и при течении в канале. Отличие заключается в граничном условии на боковой поверхности. Если для течения в канале ставится условие непротекания, то в данном случае ставится условие постоянства давления на свободной границе. Это означает, что возмущение давления, а следовательно, и продольной составляющей скорости равно нулю. Последнее имеет место в случае, если
Л(^Яг) = 0. , (6)
Отметим, что получаемые в настоящем разделе решения по фррме практически не отличаются от решений для истечения струй в затопленное пространство, давление в котором мало отличается от давления на срезе сопла [8]. Основная разница заключается в выборе параметров, относительно которых производится линеаризация. Решения, приведенные в работе [8], непригодны при больших степенях нерасчетности, в то время как полученные в данной работе соотношения позволяют-определить масштабы течения при произвольных степенях нерасчетности для достаточно удаленной от среза сопла области течения, а при степени нерасчетности, близкой к 1, и во всем потоке. Решая уравнение (6), получим следующее выражение для длины волны первой гармоники:
/.=2^/Х1==2,62 (7)
В этой'формуле рг- и /?, вычисляются по параметрам потока в изобарическом сечении. На рис. 2 представлено сопоставление эмпирической зависимости из работы [9] (штрихпунктирные линии) с расчетом длины волновой структуры по формуле (7) (сплошные линии). Видно., что полученная зависимость качественно верно отражает связь между длиной волны, числом М на срезе сопла и степенью нерасчетности, однако дает несколько завышенные значения, особенно при небольших Ма. Это связано с тем, что теоретическая зависимость получена при условии малых возмущений параметров потока, которое в эксперименте не соблюдается. Кроме т^ого, согласно работе [5], вязкое смешение на границе ■ струи приводит к уменьшению скорости и увеличению поперечного
размера изобарического сечения. Согласно выражению (7), эти два эффекта в некоторой степени компенсируют друг друга при расчете длины периодической структуры. Следует отметить также, что периодическая структура обязана своим существованием сверхзвуковому ядру струи, в связи с чем учет всей присоединенной массы, часть которой имеет дозвуковую скорость, для определения средних параметров потока вряд ли целесообразен. Оставаясь в рамках теории идеальной жидкости, улучшить корреляцию между расчетной и экспериментальной зависимостью можно следующим образом. Будем чисто формально считать, что линеаризованные уравнения справедливы вплоть до среза сопла. Это справедливо при небольших степенях нерасчетности, когда уровень возмущений в струе невелик. С ростом нерасчетности это предположение теряет силу, и поэтому приведенные ниже рассуждения носят чисто формальный характер и должны проверяться путем сопоставления с опытом. При сделанном предположении в качестве масштаба возмущений скорости может быть выбрана разность скоростей на срезе сопла и в изобарическом сечении $ = иг- — и.а.
Если в качестве состояния, относительно которого производится осреднение, выбрать параметры потока в изобарическом сечении, тогда возмущение скорости на срезе сопла равно г. В принципе, в качестве среднего значения скорости можно выбрать некоторое промежуточное
II а <С ^ср ^ ^г-
При этом в решение для возмущений скорости необходимо ввести дополнительный член, равный , разности между средней скоростью и скоростью в изобарическом сечении, для ТОГО чтобы удовлетворялись граничные условия на свободной поверхности. Структура остальной части выражения для скорости имеет такой же вид, как и ранее, за исключением того, что параметр р определяется по средней скорости. Если в качестве средней скорости
выбрать «ср = , то отличие граничных значений скорости от
средней будет равно ®/2. Можно надеяться, что в этом случае, в связи с меньшим масштабом возмущений, расчет возмущенного течения будет более точным. На рис. 2 пунктиром представлены результаты расчета по формуле (7), в которой р вычисляется по средней скорости, определенной выше. Видно, что при таком подходе существенно улучшается согласование расчетных и экспериментальных данных.
4. Рассмотрим теперь несколько подробнее вопрос о поперечном масштабе. В рамках настоящего подхода ордината кривой, описывающей границу струи, является возмущением относительно среднего значения, равного,радиусу изобарического сечения. Величина возмущения в соответствующих сечениях должна быть пропорциональна масштабу возмущений. Примем в качестве масштаба возмущения границы разность между поперечными размерами струи в изобарическом сечении и на срезе сопла Дга. Тогда, в соответствии со сказанным выше, для максимального полеречного сечения струи в первой бочке можно записать:
где Ит = /?т/га, Д; = Я1/га.
Величина константы должна быть найдена из сравнения с экспериментом, а приведенная зависимость может использоваться для корреляции расчетных и экспериментальных данных. На рис. 3/ такое сопоставление выполнено для радиуса максимального сечения струи при различных значениях числа М на срезе сопла, степени нерасчетности и показателя адиабаты. При построении графика использовались экспериментальные данные различных авторов, приведенные в работе [10], и результаты численных расчетов работы [11]. В отличие от имею-'V
ванный в данной работе подход позволяет обобщить экспериментальные и расчетные данные не только при больших, но и при умеренных степенях нерасчетности.
Во многих работах для обобщения экспериментальных результатов в качестве продольного масштаба выбирается расстояние до диска Маха. Для определения этого расстояния существует ряд способов, основанных как на чисто эмпирических соотношениях, так и на некоторых теоретических моделях. В частности, в работе [3] предлагается определять масштабы длины из анализа размерностей и упрощенных схем течения. При этом для определения поперечного масштаба используется упрощенное уравнение количества движения. Выбор же продольного масштаба в значительной степени произволен и базируется на анализе размерностей и некоторых качественных соображениях. Согласно работе [3], продольный масштаб течения определяется по формуле
Это выражение при больших числах Жа с точностью до постоянного множителя совпадает с эмпирической зависимостью для рас-
щихся в настоящее время работ по моделированию границ сверхзвуковых струй [3, 12, 13], использо-
V
Рис. 2
Рис. 3
стояния до диска Маха, Казалось бы, этот подход может быть использован и для анализа плоских струй. В этом случае из соображений размерности следует, что выражение для продольного масштаба должно иметь вид
R OXm^xMlnVru Рн иа
Отсюда следует, что при больших Ма продольный масштаб течения должен быть пропорционален М|. В то же время эксперименты и численные исследования, проведенные в работе [14J, показали, что в плоском случае, так же как и в осесимметричном, продольный масштаб пропорционален Ма. Для корреляции экспериментальных данных в работе [14] предложена следующая эмпирическая формула, позволяющая определить положение диска Маха относительно среза сопла:
1
i = (ттт*"’ »y+W-. (8)
где h — расстояние от среза сопла до точки отражения висячего скачка, J = 1 или 0 для осесимметричной и плоской струй, соответственно.
Из сказанного можно сделать вывод, что метод определения продольного масштаба, использованный в работе [3], не обладает достаточной общностью и не может быть использован при анализе течения в плоских струях. Можно показать, что подход, предложенный в настоящей работе, правильно отражает зависимость продольного масштаба от Ма как в плоском, так и в осесимметричном случае. При этом длина периодической структуры плоской струи находится по форме
рсрД,
где Dt — ширина струи в изобарическом сечении, рср определяется
- "Я"» Щ ! 11„ ,л ,
по средней скорости иср = —7)—“ • Эта формула получается при
решении уравнений плоского те-
Осесимметричназ струн ЧеНИЯ, ЛИНеарИЗОВЗННЫХ ОТНОСИ-
Рис. 4
Рис. 5
тельно параметров в изобарическом сечении, с коррекцией средней скорости, как и в осесимметричном случае. Для нерасчетностей, мало отличающихся от единицы, аналогичное решение приведено в работе [8].
Известно, что для осесимметричных недорасширенных струй продольная координата диска Маха пропорциональна длине периодической структуры струи [5, 9]. Если предположить, что и для плоской струи имеет место такая же связь, то полученные в данной работе формулы для длины волны с точностью до постоянного множителя могут быть использованы для определения местоположения диска Маха. Величина постоянного множителя определяется из сопоставления расчета с экспериментом.
На рис. 4 и 5 представлены зависимости координаты точки отражения висячего скачка, рассчитанной по формуле (8), от длины периодической структуры, вычисленной по зависимостям данной работы. Расчеты выполнены для разных чисел М на срезе сопла и степеней нерасчетности как для плоских, так и для осесимметричных струй. Видно, что рассматриваемые величины пропорциональны друг другу, причем коэффициент пропорциональности примерно одинаков для обоих типов струй, что подтверждает справедливость сделанного предположения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Moran J. P. Similarity in high-altitude jets. „AIAA“, vol. 5,
N 5, 1967.
2. Гусев В. H., Михайлов В. В. О подобии течений с расширяющимися струями. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 4, 1970.
3. Мур зин ов И. Н. Параметры подобия при истечении сильно недорасширенных струй в затопленное пространство. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 4.
4. Лейте с Е. А., Нестеров Ю. Н., Хомутов В. А. Распространение сверхзвуковой струи в канале с внезапным расширением. Труды ЦАГИ, вып. 1672, 1975.
5. Глотов Г. Ф., Фейман М. И. Исследование параметров осесимметричных недорасширенных струй газа, истекающих в затопленное пространство. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 4, 1971.
6. Д а в и д с о н В. Е., Н е щ е р е т П. А., Глинкин Б. А, Об истечении недорасширенной звуковой воздушной струи в трубу. Сб. „Гидроаэромеханика и теория упругости". Днепропетровский государственный университет, вып. 15, 1972.
7. Д а в и д с о н В. Е., Н е щ е р е т П. А., Глинкин Б. А. Об истечении недорасширенной сверхзвуковой струи в цилиндрическую трубу с уступом. Сб. „Гидроаэромеханика и теория упругости". Днепропетровский государственный университет, вып. 16, 1973.
8. Бай-Ши-и. Теория струй. М., Физматгиз, 1960.
9. А н ц у п о в А. В. Исследование параметров нерасчетной сверхзвуковой струи газа. „ЖТФ“, т. XLIV, № 2, 1974.
10. А б р а м о в и ч Г. Н. Прикладная газоваа динамика. М., „Наука“, 1969.
11. АверенковаГ.Н., АшратовЭ. А..Волконская Т. Г., Дьяконов Ю. Н., Егорова Н. Н.Мельников Д. А., Р о с-л я к о в Г. С., У с к р в В. Н. Сверхзвуковые струи идеального газа.
Ч. 2. Истечение струй в затопленное пространство. М., МГУ, 1971.
12. Шелухи н Н. Н. Параметры подобия формы недорасширенной струи при истечении в затопленное пространство. „Ученые записки ЦАГИ“, т. X, № 2, 1979.
13. G i b b i n g s J. С., Ingham J., Johnson D. Flow in a supersonic jet expanding from a converqent nozzle, ARC CP N 1197, 1968.
14. Д'рифтмайер. Корреляция параметров свободных струй. „Ракетная техника и космонавтика", т. 10, № 8, 1972.
Рукопись поступила 3jl 1980 г. Переработанный вариант поступил 23\IV 1980 г.
