CC BY
27
УДК 621.372
А.Н. Сычев, Н.Ю. Рудый
Параметры несимметричных связанных линий с неоднородным диэлектриком
Рассмотрен общий случай несимметричных связанных линий в неоднородной диэлектрической среде. Представлены различные системы параметров, включая погонные и модальные. Впервые предлагается геометрическое представление систем параметров связанных линий; приводятся условия их физической реализуемости. Даны примеры расчета тестовых структур.
Ключевые слова: несимметричные связанные линии, неоднородный диэлектрик, погонные параметры, погонные емкости, погонные индуктивности, модальные параметры, характеристическое сопротивление, коэффициент связи.
ао1: 10.21293/1818-0442-2018-21-4-1-7-15
В СВЧ-устройствах связанные линии передачи (СЛ) находят самое широкое применение. Симметричные СЛ обычно используются в качестве направленных ответвителей, фильтров и т.п. [1—4], а несимметричные позволяют дополнить последние свойством трансформации импеданса [5, 6].
Несимметричные СЛ с неоднородным диэлектрическим заполнением имеют больше степеней свободы при проектировании устройств на их основе, однако они являются более сложными и трудными для расчёта, поэтому их моделированию посвящено меньше публикаций, чем симметричным типам СЛ.
Цель данной работы - обобщить и дополнить известные системы параметров, описывающие несимметричные связанные линии с неоднородным диэлектрическим заполнением [7-10], а также дать им геометрическое представление, которое позволит упростить и сделать наглядным анализ и синтез СЛ.
Конструкции и схемы несимметричных связанных линий
Конструкции несимметричных связанных линий с неоднородным диэлектрическим заполнением в поперечном сечении показаны на рис. 1.
Заметим, что когда говорят о симметрии связанных линий, то имеют в виду только импедансную электрическую симметрию. При этом, как правило, геометрическая симметрия обусловливает и электрическую, например как показано на рис. 1, а,
МЧ 5 М2
8г =1
2
8г =1
8г1
8г1 И1
8г1 Й2
8г =1
8г =1
8г1
8г =1
8г1
8г2
Й1
Й2
Рис. 1. Несимметричные связанные линии с неоднородным диэлектрическим заполнением: структуры со слабой (а, б) и сильной (в, г) асимметрией
при м1 = м2. Однако, двухуровневая конструкция с линиями неравной ширины (см. рис. 1, б) тоже может практически являться электрически симметричной, если соблюдается геометрическая пропорция М>х\(/?! + )«м>2/, а импедансы линий равны друг
другу. И наоборот, конструкция, показанная на рис. 1, г, обладающая геометрической вертикальной «внутрилинейной» симметрией, по существу, является сильно несимметричной в электрическом «межлинейном» смысле.
Схема нагруженного отрезка несимметричных связанных линий длиною I и эквивалентные схемы отрезка бесконечно короткой длины Дх ^ 0 показаны на рис. 2.
Первичные параметры связанных линий
Исходными данными для анализа СЛ в неоднородной диэлектрической среде являются шесть независимых коэффициентов телеграфных уравнений [3, 5, 7], формирующих две матрицы погонных емкостей С и индуктивностей Ь соответственно (см. рис. 2, в, г).
С02
б в г
Рис. 2. Несимметричные связанные линии: а - схема произвольно нагруженного отрезка; б - эквивалентная схема бесконечно короткого отрезка; в - частичные ёмкости; г - частичные индуктивности
а
1
И
б
а
1
1
И
2
2
в
С =
ь=
С11 -С12 С01 + С12 -С12
-С12 С22 _ _ -С12 С02 + С12 _
ГЬ|1 Ь12 Ь01 + Ь12 Ь12
¿12 Ь22 Ь12 Ь02 + Ь12
; (1) (2)
где С1Ь С22 - собственные погонные емкости первой и второй линий соответственно; С01, С02, С12 - собственные частичные и взаимная погонные емкости; Ьп, Ь22 - собственные погонные индуктивности первой и второй линий соответственно; Ь01, Ь02, Ь12 -собственные частичные и взаимная погонные индуктивности соответственно.
Матрица погонных емкостей имеет два расчётных вида: с реальным С и с воздушным С(1) диэлектрическим заполнением соответственно
" С11 (1) -С12 (1)" -С12 (1) С22 (1)
С(1) =
(3)
= С01 (1) + С12 (1) -С12 (1) _ -С12 (1) С02 (1) + С12 (1)
В последнем случае диэлектрическая проницаемость всей среды в конструкции связанных линий (см. рис. 1) предполагается равной единице (ег = 1), т.к. это даёт возможность сразу же найти матрицу погонных индуктивностей Ь по известной матричной формуле [8, 11]
Ь = е0|а0 С(1)-1 Гн/м, (4)
где е0 =8,854-10-12 Ф/м; |0 =0,4л-10-6 Гн/м - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемо -сти свободного пространства.
Кроме представленной выше системы погонных (первичных) параметров, существуют и другие системы. Это, прежде всего [1, 5]: 1) система параметров линий в рамках концепции «связанных волн», в которой за основу берётся каждая из двух линий передачи с распространяющимися в них волнами; 2) система модальных параметров в рамках концепции «нормальных волн», в которой за основу берутся две «нормальные волны (собственные моды)», являющиеся общими для обеих линий.
К параметрам линий, прежде всего, относятся характеристические собственные импедансы первой и второй линий, вычисляемые по формулам
=7 Ьц/ С11 и 12 =7 ¿22/ С22 (5)
соответственно [5]. Заметим, что такая пара параметров, как фазовые скорости волн в линиях
V =1Д/ЬПСП и У2 = 1Д/¿22С22 , (6)
используется редко, обычно в линиях со слабой связью. Однако широкое применение получили такие параметры, как коэффициенты емкостной и индуктивной связи соответственно
= Ы , Ь
кг =-
кг =-
12
(7)
•\/С11С22 л/Ь11Ь22
а также коэффициент неуравновешенности емкост ной и индуктивной связи [7]
кь - ко
При этом, исходя из условия физической реализуемости, их значения должны лежать в следующих пределах: 0 < кС, к ь < 1; -1 < кЬС < 1.
Модальные параметры
Система модальных параметров отыскивается в результате модального анализа из решения алгебраической проблемы собственных значений [8, 11]. К сожалению, у разных авторов применяются различные обозначения для одних и тех же параметров [9, 10, 12], поэтому будем использовать лишь те, которые устоялись в международной научной литературе [9]. Это, прежде всего, относится к названиям пары нормальных волн, которые могут называться: 1) синфазная (с) и противофазная (л); 2) чётная (е) и нечётная (о). Первую пару названий обычно применяют в случае несимметричных связанных линий, вторую - в случае симметричных.
Исходными данными для поиска модальных (вторичных) параметров являются матрицы первичных параметров - погонных емкостей С и погонных индуктивностей Ь. На первом этапе отыскивается произведение матриц емкостей и индуктивностей О = ЬС.
(9)
Г011 012 " "¿11 Ь12 Г Сц -С12
_021 022 _ _Ь12 Ь22 _ _-С12 С22
Ь11С11 - Ь12С12 -Ь11С12 + Ь12С22 _Ь12С11 - Ь22С12 -Ь12С12 + Ь22С22 _
Для найденного произведения определяется спектральное разложение решением задачи на собственные значения
ЬС = О = Ш1ая(1/ V2 )и-1 = иШая(ег/с2 )и-1, (10)
где с - скорость света в свободном пространстве; V -вектор, составленный из значений скоростей нормальных волн - синфазной Vс и противофазной ег - эффективные диэлектрические проницаемости для структур синфазного егс и противофазного егл возбуждений соответственно
ег(с,л)= у (11 + 022 ± О); О = ^/(011 - 622)2 + 4012021
(11)
где и - нормированная матрица модальных напряжений, составленная из собственных векторов матрицы О, записывается
Г1 1
Яс Ял
и=
(12)
кЬС =8=-
1- кька
(8)
где Яс, Ял - модальные числа, характеризующие отношение напряжений в линиях и вычисляемые по следующим формулам [9]:
Яс =(022 -011 + О)/(2012); (13)
Ял =(022 -011 -О)/(2012). (14)
При этом из условия физической реализуемости всегда должно выполняться неравенство Ял < 0 < Яс.
Из полученных параметров вычисляется матрица модальных токов J [9], элементы которой в результате соответствующей нормировки приобретают размерность проводимостей
= CU diag(v)=CU diag(c/ ,/e7) =
c1 RcZc2
Z Til Z ^
Zc11
Z Ttl1
-(7c1Rn) 1 -(7 n1Rc) 1
(15)
где 2с1 - импеданс первой линии при синфазном возбуждении; 2* - импеданс первой линии при противофазном возбуждении; 2с2 - импеданс второй линии при синфазном возбуждении; 2*2 - импеданс второй линии при противофазном возбуждении, которые вычисляются по следующим формулам:
Zc1 -■
_1_
icT
f
\
7 - 1 -1 Z л1 --
Yn1 c 1
C11 - C12R
v C11 - C12 Rn
7c2 -^—--RcRn7c1; Yc2
7Tt 2 —
1
RCRn7 7t1
(16)
(17)
(18) (19)
2
Важно отметить, что модальные импедансы 2С1, 2л 1, 2С2, 2Л2 и модальные числа Яс, Яя соотносятся следующим образом [9]:
2с2 = 2 7т 2 2 711
-RcR„ - -
7c277t 2
(20)
2с1 2я1 V 2с12 л1
В случае симметричных линий справедливо 2с1 = 2с2, 2 л 1 = 2Л 2, а также Яс = 1, Я* = -1.
Далее с использованием матриц модальных напряжений и и токов Л, определяются матрицы характеристических импедансов (волновых сопротивлений) Z и адмитансов (волновых проводимо-стей) У [8]
Z - UJ 1 -
711
712
712 7 22
Ом;
(21)
Y - Z-1 - JU-1 -
Y11
-Y12
-Y12 722 .
См, (22)
где 71Ь У22, У12 - собственные и взаимный характеристические адмитансы связанных линий, при этом 2т = 1/Г12 - взаимный импеданс. 211, 222, 212 - собственные и взаимный характеристические импедансы связанных линий вычисляются по формулам
211 = ((1Яс - 2с1Я* ) ; (23) 222 = ((1Яя - 2с1Яс )ЯсЯяй ; (24)
212 =(2* 1 - 2с1))с^ ; (25)
й = (Яс - Я* )-1. (26)
Теперь определим важнейший модальный параметр - характеристический импеданс связанных линий 20, который можно отыскать по следующим формулам [9]:
20 =42с22тЛ =42с12п2 =42122т ;
70 ^V-RcR7t7c177d 7c277t2(-RR) 1 •
(27)
(28)
Заметим, что по известным характеристическим импедансам (23)-(25) можно определить коэффициент импедансной связи к [14] (иногда называемый коэффициентом амплитудной связи [13, с. 150] или коэффициентом связи по напряжению [3, с. 46]).
212 _
к -
V711722
7c1 - 7 7t1
7
(29)
/2<21 + 2 - 2с12 л1 (Яс/Яя + Ял/Яс )
Введём ещё один новый параметр, который будет дополняющим к коэффициенту связи к, и назовём его «характеристическим коэффициентом» к'. Насколько известно авторам, здесь он вводится впервые и будет вычисляться по формуле
к '=У 1-к2 = 20 , (30)
"V 211222
при этом сумма квадратов коэффициента связи к и характеристического коэффициента к' всегда равна единице:
к2 + к '2 = = 1. (31)
2112 22
Вновь предложенный характеристический ко -эффициент к' позволяет существенно упростить форму записи ряда соотношений для связанных линий, делая их более компактными и рационализированными:
20 = кV2Ц222 ; 212 = к^2п222 . (32)
Итак, напомним, что для полного описания несимметричных связанных линий требуется шесть независимых параметров. Из системы модальных параметров таковыми могут быть выбраны следующие: 8гс, 8гЯ, 2с1 (или 2с2), 2*1 (или 2^), Яс и Я*. Заметим, что нет необходимости одновременно задавать 2с1 и 2с2, так как они взаимозависимы (20); то же относится и к 2я1 и 2я2 [5, с. 142].
Ещё одним набором параметров СЛ может быть следующий: 20, к, Яс, Я*, 8гс, 8гя, в котором вместо модальных характеристических импедансов первой линии 2с1, 2я1 задаются средний характеристический импеданс связанных линий 20 и коэффициент связи к, что при синтезе бывает более удобным. Отсюда, зная 2с1, 2я1, Яс, Я*, можно найти 20, к по ранее записанным формулам (28) и (29). И наоборот, зная 20, к, Яс, Яя, можно найти 2с1, 2я1 по следующим формулам:
7c1
7о E
7 я1
nE
(33)
где n RcRn - коэффициент симметрии; E - \/XWX2=1 - exp[Arch(X)/2] ; 1 - к 2 (RdRn+ RJ Rc ))
X —
1-к2
(34)
Кроме ранее приведенных зависимостей, также будут интересны формулы для средних модальных импедансов 2с и 2*:
n
7с 7\\722 +1\2 -^оу-^к7с\7; (35)
7л -л17\\722 -^12 -70^—к 7с\7' позволяющие определить следующие величины:
л/2\\222 -( +7^2; 7\г-( -7л)/2; (37)
70 -^[7с7п ; ,, -
к * - _2У 7с7л .
7с + 7 л
к
7 - 7
к-~ с ^л
7с + 7 л
(38)
(39)
Сюда же можно добавить ещё несколько полезных формул
"У7!!722 7\2 + 70 -
7с2 - 7л2 _ Яс - Ял
+ 7с\7л2 -
Б
V Яс Ял
к -
7с\ 7л\ .
Б '
(40) (4\)
722 - К7л\Ял-7с\Яс)ЯсЯл - [Тс^Яс-ТлА .
7\\
7 л\Яс 7ЛЯл 7с\ - 7л\
7\2 -
7л\Яс 7с\Ял . 7с2 - 7л2
V ЯсЯл Яс - Ял
7с2 + 7л2
(42)
где Б-,JzСl^zЛ1-zС1z~1{RJRЛ+яJяc) - вспомогательный параметр.
Большинство представленных выше импеданс-ных соотношений, имеющих физический смысл в несимметричных связанных линиях 7\\ Ф 722, можно облечь в графическую (точнее, в геометрическую) форму и, связав воедино, изобразить на одном (рис. 3, а) или нескольких (рис. 3, б; 4) чертежах, в которых длины отрезков соответствуют числовым значениям искомых параметров.
Из чертежа на рис. 3, а видно, что он содержит окружность среднего характеристического импеданса диаметром 7с + 7л- 247п7 22 (штрихпунктир-ная линия), две полуокружности - верхнюю диаметром 7с\ + 7л\, соответствующую первой линии, и нижнюю диаметром 7с2 + 7л2, соответствующую второй линии, а также два вписанных в «усреднённую» окружность симметричных относительно горизонтальной оси прямоугольных треугольника с
гипотенузой х/7п722 и катетами 7\2 и 70, соответствующих параметрам линий.
На рис. 4 для несимметричных СЛ показаны: треугольники ненормированных и нормированных импедансов; полуокружность, приведенная к единичному радиусу, со вписанным треугольником нормированных импедансов; а также окружность модальных чисел отношения напряжений (при этом всегда Ял < 0) с соответствующими формулами.
7с + 7л = 2 |/7п722 <-►
7с\ + 7л\
7с + 7л = 2 7 722
И-1
/ |/7П722/
/ \/7ГТ722 ¿Гц
7с
7т
б
Рис. 3. Геометрическое представление импедансных соотношений в несимметричных связанных линиях 7и Ф 722 (а); полуокружность среднего импеданса со вписанным треугольником для выявления соотношений между параметрами линий и их модальными параметрами (б); две пересекающиеся полуокружности для выявления соотношений между
модальными и взаимными импедансами (в)
\+ к
Ь к
/ п /-Яс Ял-| ь_1_ 7с2 \ 7с1
- Ял п кс /-Яс Ял-| 7л2 I 7лу
<- Яс - Ял -►
б
Рис. 4. Несимметричные связанные линии: а - треугольники импедансов; б - полуокружность, приведенная к единичному радиусу, со вписанным треугольником нормированных импедансов; в - окружность модальных чисел (Ял < 0 < Яс)
а
в
а
в
Используя геометрическое представление интересующих зависимостей, поняв их геометрический смысл и применяя известные геометрические теоремы, в том числе Пифагора, можно напрямую из чертежей «увидеть» основные импедансные соотношения для несимметричных связанных линий, записанные выше.
Характеристические нагрузки
Теперь для полубесконечного отрезка несимметричных связанных линий, показанных на рис. 5, а, представим два варианта схем замещения, показанных на рис. 5, б, в, которые являются полно -стью согласованными неотражающими, т. е. характеристическими нагрузками связанных линий [8, 12].
Формулы для вычисления значений элементов идеально согласованных нагрузок в виде П-образ-ной, Т-образной цепей, замещающих полубесконечный отрезок СЛ, записываются так, что в индексах важна последовательность их записи.
Отсюда значения элементов цепи 21с, 21я, 22с, 22я не надо путать с ранее описанными модальными импедансами 2с1, 2%1, 2с2, 2*2 - это совершенно разные величины, однако это не относится к взаимным импедансам 2т и 212, которые идентичны и элементам цепи, и элементам характеристических матриц.
21* =[2с2 ((Яс -1)-2*2 (1/Я* -1)]/(Яс - Я*) ;
22* =[2с2 (Яс -1)-2я2 ( -1)]/(Яс -Ял) ;
212 =(2с2 - 2*2 )/(Я - Я*); (43)
21с = 20/22п ;
22с = 20/21я ;
2т = 20/212 . (44)
Здесь выполняются следующие соотношения между значениями элементов нагрузок:
20 =л121с22я =\121п22с =л12122т . (45)
Особую важность имеет эквивалентная схема в виде раздельной пары нагрузочных резисторов (рис. 5, г), которая идеально согласована со связанными линиями, имеющими однородное диэлектрическое заполнение. Расчётные номиналы резисторов (см. рис. 5, г) вычисляются по формулам [14], геометрическое представление которых для случая Яс = -Я* дано на рис. 5, д,
201 -,
202
1 Rc2 л1 - Ял 2c1
Rc2 %1 1 - Ял 2c1
1 Rc2c 2 - Ял 2л2
Rc2c2 Ял 2л2
при этом выполняется
20 -\1201202
(46)
(47)
2c2 + 2%2
oU
2
1о—чм
2™ П
2о—3—1
2lc
н=Н
22c б
2<
21л
22%
212
201
202
д
Рис. 5. Полубесконечный отрезок несимметричных связанных линий (а) и его эквивалентные схемы в виде П-образной (б) и Т-образной (в) цепей, а также двух резисторов (г); геометрическое представление расчётных импедансов (д)
1
1
а
в
г
Фазовые параметры
Теперь от импедансных зависимостей перейдём к фазовым, определив вначале понятия усреднённых (среднегеометрических) модальных диэлектрической проницаемости 8г, электрической длины 6 и скорости волны V соответственно
8г = фгс8т '; 6 = ^6с6„ ; V = ^JvV , (48) где 8гс, 8г* - относительные диэлектрические проницаемости среды в структурах синфазного и противофазного возбуждений; 6*, 6с - электрические длины линий синфазного и противофазного возбуждений; vc, vл - скорости синфазной и противофазной волн. Далее определим понятие модально-фазового отношения т [15]:
/егл 0л vc
. (49)
8гс "с гп
И наконец, определим ещё пару фазовых коэффициентов - коэффициент диэлектрической связи
к = £гс - ^гп = 1- ^гя/ ^гс = 1-т (50)
еГс + £га 1 + ^ги/ егс 1+т2 и собственно коэффициент фазовой связи, который может быть вычислен по следующим формулам:
kv = ke -
slerc л/егл - vn -vc -Öc -0л .
kv -
erc + Ver% v% + vc 0c +0%
1-л/ёГ%/-1-Vc/V% - 1-0%/0c - 1 -от
-v/erc 1+vc/v% 1+0%/0c 1
(51)
При этом значения всех модальных фазовых ко -эффициентов, как и коэффициента неуравновешенности (8) индуктивной и емкостной связи (по сути являющимся тоже фазовым параметром), лежат в пределах от «минус единицы» до «плюс единицы», т.е. -1<кI,кс ,кЕ ,ку ,кд <1.
Заметим, что для симметричных СЛ выполняется равенство кЬс = ке. Более того, в однородной диэлектрической среде все фазовые коэффициенты равны нулю, поэтому линии передачи с однородным диэлектрическим заполнением (ег = егс = е^) называют ещё синхронными [16] или с уравновешенной электромагнитной связью [1, 10], в противном случае они - асинхронные или с неуравновешенной связью [4].
Графические построения, позволяющие определить среднегеометрическую диэлектрическую проницаемость ег и коэффициент диэлектрической связи ке, изображены на рис. 6.
егс
Рис. 6. Полуокружности со вписанными треугольниками для определения среднегеометрической проницаемости ег и коэффициента диэлектрической связи ке
Условия физической реализуемости
Вновь вернёмся к полной системе параметров, описывающих несимметричные СЛ в неоднородной диэлектрической среде. Таких систем может быть несколько. Они могут быть основаны на погонных, модальных или смешанных параметрах, включающих импедансы согласованных нагрузок, и т. п.
Для системы из шести первичных параметров связанных линий - погонных емкостей и индуктив-ностей - условия физической реализуемости формулируются просто: значения всех частичных собственных и взаимных параметров должны быть больше нуля, т.е. С01, С02, С12 > 0; Ь01, Ь02, Ьи > 0 (см. рис. 2).
Ещё одной удобной для расчёта является система, содержащая следующие шесть параметров линий: характеристический импеданс 20, коэффициент импедансной связи к, модальные числа Яс, Я% и модальные диэлектрические проницаемости бгс, е^. Заметим, что одновременно и произвольно все параметры задавать нельзя, поэтому необходимо сформулировать условия физической реализуемости несимметричных СЛ. Начнём с характеристического импеданса, который обычно выбирается равным системному импедансу (как правило, 50 Ом). Коэффициент импедансной связи к можно задать любым в диапазоне [0.. .1). А вот модальные числа, характеризующие степень импедансной асимметрии линий, в случае однородного диэлектрика (ег= бгс = ег%; п = Яс = -Як) должны удовлетворять следующим условиям физической реализуемости [16]:
к < min
in(n±2)<1 или 1<max(n±2)<i/к2 . (52)
При асимметрии в случае неоднородного диэлектрика 6ГС Ф и равенстве по модулю модальных чисел n = Rc = -Яя требуется ещё выполнение условия
Л±1
max
1-к)
1 + n
i - n
(53)
И, наконец, в случае симметрии СЛ (Яс = -Як = 1) модальные диэлектрические проницаемости егс, еГК, характеризующие степень неоднородности диэлектрика, должны удовлетворять условию [4]
Гм—л±г
1< max
1+к 1-к,
или
min
(54)
Представленные условия позволяют утверждать, что только в структуре из симметричных связанных линий в однородной диэлектрической среде коэффициент импедансной связи может быть задан произвольным в диапазоне [0; 1). Кроме того, величина импедансной связи к определяет верхнюю границу асимметрии импедансов и нижнюю границу фазового отношения, т.е. слишком большая связь не позволяет достигать дополнительной асимметрии, а слишком малая связь не позволяет достигать большого фазового отношения. Другими словами, при росте требований к асимметрии связь надо снижать, а при росте требований к разносу модальных скоростей связь надо увеличивать. Например, при связи
к = 1/-\/2 (3 дБ) максимально достижимая асимметрия в однородном диэлектрике, выражаемая отношением импедансов линий, равна двум, а максимально возможное фазовое отношение модальных скоростей в симметричных линиях близко к т ~ 5,8.
Основные типы связанных линий и их базовые наборы параметров представлены в табл. 1.
Таблица 1
Среда Электрическая симметрия Погонные (первичные) параметры Модальные параметры
Неоднородная Несимметричные La, L22, L12, Сц,С22,С12 Zo, к, Rc, Я P P
Однородная Cii,C22, Ci2, pr Z0, к, n, er
Неоднородная Симметричные L1b Li2, C11,C12 ^ кг> pre, pro
Однородная C1b C12, pr Zo, к, sr
По табл. 1 заметим, что погонные параметры являются первичными при анализе связанных линий, однако при синтезе СЛ исходными данными являются модальные параметры. Синтез погонных параметров Пусть заданы значения шести модальных параметров несимметричных связанных линий в неод-
нородной диэлектрической среде: 20, к, Яс, Як, 6ТО бгк, которые удовлетворяют условиям физической реализуемости (52) и (53). Найдём их погонные параметры по следующему алгоритму:
1) зная 20, к, Яс, Як и используя формулы (33), (34), находим параметры 2с1, 2%1, Яс, Як;
2) формируем матрицы модальных напряжений и и токов 3 согласно (12) и (15);
3) перемножив известные матрицы, получаем искомые матрицы погонных емкостей С и индук-тивностей Ь соответственно
Таблица 2
L = U diag (RS7/c)j
C=J diag(RS7/c)u-1.
(55)
(56)
Выполнив поэлементное умножение в (55) и (56), найдём элементы матриц погонных параметров:
с1 I ЯcЯкd
Lll =
R„
Rc
L22 =
Rsrn Z n1Rn J^ZclRc)
\RcRnd
RcR„ d
(57)
(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
d = R - Rn)_1, где c - скорость света в свободном пространстве.
После синтеза погонных параметров связанных линий предполагается их конструктивная реализация, однако этот этап - за рамками данной работы.
В завершение представим четыре тестовые структуры связанных линий различных типов с полным списком их расчётных параметров, которые сведём в табл. 2. Первая структура - это СЛ с воздушным однородным заполнением (все фазовые коэффициенты равны нулю); линии имеют импедан-сы 75 и 50 Ом соответственно и представляют собой несимметричный согласованный противонаправленный ответвитель со слабой связью (10 дБ, т.е. к = 0,316) [16]. Вторая - это связанные микрополоско-вые линии неравной ширины (см. рис. 1, а) с параметрами конструкции: wjh = 0,4; w2/h = 0,11; s/h = 0,08; sr = 10 [17]. Третья - противонаправленный мост с трансформацией импеданса (50/25 Ом) на несимметричных СЛ с лицевой связью (см. рис. 1, г): w1 = 0,36 мм; w2 = 3,15 мм; h1 = 0,051 мм; h2 = 0,548 мм; sr1 = sr2 = 3,38 [18]. Четвертая - впервые синтезированная в данной работе структура, являющаяся квадратурным транснаправленным мостом (3 дБ) с трансформацией импеданса (50/25 Ом).
Группы Значения параметров
параметров Параметры [16] [17] [18] Эта работа
L11, мкГн/м 0,2635 0,5885 0,2724 0,4365
L12, мкГн/м 0,0680 0,3789 0,148 0,1747
Погон- L22, мкГн/м 0,1757 0,8072 0,1481 0,1749
ные С1Ь пФ/м 46,85 158,3 257,81 419,7
C12, пФ/м 18,14 66,83 257,8 419,6
C22, пФ/м 70,27 112,1 472,2 489,4
Z0, Ом 61,24 70,5 24,03 35,36
к 0,3162 0,527 0,7379
Модаль- Rc 0,8165 0,994 0,9446 1
ные -0,8165 -2,061 -0,0759 -0,001
src 1,0 6,387 2,858 1,1
srn 1,0 5,523 2,889 9,9
Zb Ом 75 61,0 32,5 32,3
Z2, Ом 50 84,6 17,7 18,9
Zc, Ом 84,9 126,7 61,9 111,3
Импе- Zn, Ом 44,1 39,24 9,33 11,2
дансы Zc1, Ом 104,1 91,66 394,4 50082
Z^, Ом 54,1 26,5 20,4 25,0
Zc2, Ом 69,3 187,8 28,3 50,1
Zn2, Ом 36,0 54,22 1,46 0,02
к l 0,3162 0,552 0,737 0,632
Коэффициенты кс 0,3162 0,502 0,739 0,926
kLC ks 0 0 0,069 0,088 -0,004 -0,005 -0,708 -0,8
kv 0 0,044 -0,003 -0,5
Z11, Ом 79,1 70,4 48,2 75
Импедан- Z22, Ом 52,7 97,7 26,3 50
сы, про- Z12, Ом 20,4 43,7 26,3 50
водимо- Y„, См 0,0141 0,020 0,0455 0,04
сти Y22, См 0,0211 0,014 0,0835 0,06
Y12, См -0,0054 -0,009 -0,0455 -0,04
Z01, Ом 75 59,9 32,6 25
Z02, Ом 50 83,0 17,7 50
Нагрузочные рези- Z1c, Ом Z2c, Ом Zm, Ом 116 63,9 184 92,1 185,9 113,7 66791 26,3 22,0 50082 50,1 25,0
Z1n, Ом 58,6 26,7 22,0 25,0
Z2n, Ом 32,3 54,0 0,01 0,02
Z12, Ом 20,4 43,7 26,3 50,0
Заключение
Обобщены и дополнены известные системы параметров, описывающих несимметричные СЛ с неоднородным диэлектрическим заполнением. Вводится такой новый параметр, как «характеристический коэффициент», позволяющий рационализировать и сделать компактной запись ряда соотношений. Впервые системам параметров СЛ дана геометрическая интерпретация, которая позволила ускорить и сделать наглядными их анализ и синтез. Приведены примеры расчета тестовых структур.
Приложение
При моделировании СЛ используются соотношения из алгебры и геометрии, которым необходимы соответствующие пояснения и иллюстрации. Итак, пусть даны две в величины хг и х2. Требуется найти их среднее арифметическое с и среднее гео-
метрическое Ь значения. Основные соотношения и геометрическое решение задачи [19] даны на рис. П1.
Х1 + Х2 = 2с
•ч —J N
b^
c J a
Рис. П1. Геометрический чертёж для отыскания среднего арифметического с и среднего геометрического Ь
Литература
1. Влостовский Е.Г. К теории связанных линий передачи // Радиотехника. - 1967. - Т. 22, № 4. - С. 28-35.
2. Фильтры и цепи СВЧ / пер. с англ. Л.В. Алексеева,
A.Е. Знаменского, В.С. Полякова. - М.: Связь, 1976. - 248 с.
3. Справочник по элементам полосковой техники / О.И. Мазепова, В.П. Мещанов, Н.И. Прохорова и др. / под ред. А. Л. Фельдштейна. - М.: Связь, 1979. - 336 с.
4. Сычев А.Н., Стручков С.М. Системы параметров одинаковых связанных линий с неуравновешенной электромагнитной связью // Доклады ТУСУР. - 2014. - № 1 (31). -C. 39-50.
5. Mongia R., Bahl I.J., Bhartia P. RF and microwave coupled-line circuits. - Norwood: Artech House, 1999. - 520 p.
6. Wincza K. Asymmetric coupled-line directional couplers as impedance transformers in balanced and n-way power amplifiers/ K. Wincza, S. Gruszczynski // IEEE Trans. - 2011. -Vol. MTT-59, No. 7. - P. 1803-1810.
7. Krage M.K., Haddad G.I. Characteristics of coupled microstrip transmission lines-I: Coupled-mode formulation of inhomogeneous lines // IEEE Trans. - 1970, Vol. MTT-18, No. 4. - P. 217-222.
8. Marx K.D. Propagation modes, equivalent circuits, and characteristic termination for multiconductor transmission lines with inhomogeneous dielectrics // IEEE Trans. - 1973. -Vol. MTT-21, No. 7. - P. 450-457.
9. Tripathi V.K. Asymmetric coupled transmission lines in an inhomogeneous medium // IEEE Trans., 1975. -Vol. MTT-23, No. 9. - P. 734-739.
10. Малютин Н. Д. Матричные параметры неодинаковых связанных полосковых линий с неоднородным диэлектриком // Радиотехника и электроника. - 1976. - Т. 21, № 12. - С. 2473-2478.
11. Pipes L.A. Matrix theory of multiconductor transmission lines // Phil. Magazine, 1937. - Vol. 24, July. - P. 97-113.
12. Сычев А.Н., Малютин Н.Д. Квази-Т-параметры многопроводных связанных линий и их топологическое представление в задачах построения САПР СВЧ-устройств // Вопросы конструирования и технологии производства РЭА / Под ред. Е.И. Гольдштейна, Н.Д. Малютина. -Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1986. - С. 110-115.
13. Конструирование и расчёт полосковых устройств /
B.И. Голубев, И.С. Ковалёв, Е.Г. Кузнецов / под ред. И.С. Ковалёва. - М.: Сов. радио, 1974. - 296 с.
14. Tsai C., Gupta K.C. A generalized model for coupled lines and its applications to two-layer planar circuits // IEEE Trans. - 1992. - Vol. MTT-40, No. 12. - P. 2190-2199.
15. Сычев А.Н. Синтез идеального фазового отношения для ответвителей на связанных линиях по заданному типу направленности / А.Н. Сычев, С.М. Стручков, Н.Ю. Рудый // Доклады ТУСУР, 2017. - Т. 20, № 2. - C. 15-18.
16. Cristal E.G. Coupled-transmission-line directional couplers with coupled lines of unequal characteristic impedances // IEEE Trans. - 1966. - Vol. MTT-14, No. 7. - P. 337-346.
17. Sachse K. Scattering parameters and directional coupler analysis of characteristically terminated asymmetric coupled transmission lines in an inhomogeneous medium // IEEE Trans. - 1990. - Vol. MTT-38, No. 4. - P. 417-425.
18. Сычев А.Н. Моделирование неодинаковых связанных линий с лицевой связью / А.Н. Сычев, К.К. Жаров // Электронные средства и системы управления: мате. докл. XIV Междунар. науч.-практ. конф. (28-30 нояб. 2018 г.): В 2-х ч. - Ч. 1 - Томск: В-Спектр, 2018. - C. 91-93 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://storage.tusur.ru/ files/122116/2018-1.pdf (дата обращения: 28.01.2019).
19. Среднее геометрическое [Электронный ресурс]. -Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Среднее_гео-метрическое (дата обращения: 28.01.2019).
Сычев Александр Николаевич
Д-р техн. наук, профессор каф. компьютерных систем
в управлении проектировании (КСУП)
Томского государственного ун-та
систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Ленина пр-т., 40, г. Томск, 634050, Россия
ORCID 0000-0002-4079-4605
Тел.: +7 (382-2) 41-47-17
Эл. почта: ans@main.tusur.ru
Рудый Николай Юрьевич
Студент каф. КСУП ТУСУРа
Ленина пр-т., 40, г. Томск, 634050, Россия
Тел.: +7 (382-2) 41-47-17
Эл. почта: nickolay0512@mail.ru
Sychev A.N., Rudyi N.Y.
Parameters of asymmetric coupled lines with inhomogene-ous dielectrics
The general case of asymmetric coupled lines in an inhomo-geneous dielectric medium is considered. Various systems of parameters are presented, including per-unit-length and modal ones. For the first time, a geometrical representation of systems of parameters of coupled lines is proposed. The conditions of their physical implementation are given. Keywords: asymmetric coupled lines, inhomogeneous dielectric, per-unit-length parameters, per-unit-length capacitances, per-unit-length inductances, modal parameters, characteristic impedance, coupling coefficient. doi: 10.21293/1818-0442-2018-21-4-1-7-15
References
1. Vlostovskiy E.G. , Theory of coupled transmission lines, Telecommun. Radio Eng., 1967, vol. 21, Apr., pp. 87-93.
2. Microwave filters and circuits, Ed. A.Matsumoto, New York, London: Academic Press, 1970, 349 p.
3. Handbook on components of stripline techniques, Ed. Fel'dstein A.L., Moscow: Svyaz' Publ., 1979, 336 p. (in Russ.).
4. Sychev A.N., Struchkov S.M. Parameter sets of the uniform coupled transmission lines with unbalanced electromagnetic coupling, Proceedings of TUSUR University, 2014, no. 1 (31), March, pp. 39-50 (in Russ.).
5. Mongia R., Bahl I.J., Bhartia P. RF and microwave coupled-line circuits, Norwood: Artech House, 1999.- 520 p.
6. Wincza K., Gruszczynski S. Asymmetric coupled-line directional couplers as impedance transformers in balanced and n-way power amplifiers, IEEE Trans., 2011, vol. MTT-59, no. 7, pp. 1803-1810.
7. Krage M.K., Haddad G.I. Characteristics of coupled microstrip transmission lines-I: Coupled-mode formulation of inhomogeneous lines, IEEE Trans., 1970, vol. MTT-18, no. 4, pp. 217-222.
8. Marx K.D. Propagation modes, equivalent circuits, and characteristic terminations for multiconductor transmission lines with inhomogeneous dielectrics, IEEE Trans. Mi-crow. Theory Tech, vol. MTT-21, no. 7, July 1973, pp. 450-457.
9. Tripathi V.K. Asymmetric coupled transmission lines in an inhomogeneous medium, IEEE Trans., 1975, vol. MTT-23, no. 9, Sept., pp. 734-739.
10. Malyutin N.D. Matrix parameters of unequal coupled striplines with inhomogeneous dielectrics, Radio-engineering and Electronics, 1976, vol.21, no. 12, pp. 2473-2478 (in Russ.).
11. Pipes L.A. Matrix theory of multiconductor transmission lines, Phil. Magazine, 1937, vol. 24, July, pp. 97-113.
12. Sychev A.N., Malyutin N.D. Qasi-static parameters of multi-conductor coupled lines and their topological representation in problems of CAD of microwave circuits, in book Questions of design and manufacturing technology of electronic equipment, Ed. E.I. Goldstein, N.D. Malyutin, Tomsk: TSU Press, 1986, pp. 110-115 (in Russ.).
13. Konstruirovaniye i raschet poloskovykh ustroystv / Golubev V.I.. Kovalev I.S.. Kuznetsov E.G. / Pod red. I.S. Kovaleva, Moskva: Sov. Radio, 1974, 296 s. [Design and calculation of stripline circuits, Ed. I.S. Kovalev, Moscow: Sov. Radio Publ., 1974, 296 p. (in Russ.).
14. Tsai C., Gupta K.C. A generalized model for coupled lines and its applications to two-layer planar circuits, IEEE Trans., 1992, vol. MTT-40, no. 12, pp. 2190-2199.
15. Sychev A.N., Struchkov S.M., Rudyi N.Y. Synthesis of an ideal phase ratio for a coupled-line coupler with given
15
type of directivity, Proceedings of TUSUR University, 2017, vol. 20, no. 2, pp. 15-18 (in Russ.).
16. Cristal E.G. Coupled-transmission-line directional couplers with coupled lines of unequal characteristic impedances, IEEE Trans, 1966, vol. MTT-14, no. 7, pp. 337-346.
17. Sachse K. Scattering parameters and directional coupler analysis of characteristically terminated asymmetric coupled transmission lines in an inhomogeneous medium, IEEE Trans, 1990, vol. MTT-38, no. 4, pp. 417-425.
18. Sychev A.N., Zharov K.K. Modeling of asymmetric broad-side coupled lines, Electronic Tools and Control Systems: Proc. of XIV Int.Scientific Conf. (Nov. 28-30, 2018): in 2 part, part 1, Tomsk: V-Spectrum, 2018, pp. 91-93 (in Russ.). [Online] Available at: https://storage.tusur.ru/files/122116/ 2018-1.pdf (accessed January 28, 2019).
19. Geometric mean. [Online] Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean (accessed: January 28, 2019).
Aleksandr N. Sychev
Doctor of Engineering, Professor,
Department of Computer Systems, Tomsk State
University of Control Systems and Radioelectronics (TUSUR)
40, Lenin pr., Tomsk, 634050, Russia
ORCID 0000-0002-4079-4605
Phone: +7 (382-2) 41-47-17
Email: ans@main.tusur.ru
Nickolay Y. Rudyi
Student of Department of Computer Systems, Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics (TUSUR) 40, Lenin pr., Tomsk, 634050, Russia Phone: +7 (382-2) 41-47-17 Email: nickolay0512@mail.ru
