Параметризация векторной функции при изучении кривых в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

школьников, что позволяет полнее раскрыть диапазон возможностей подростков, связанных с актуальной потребностью в самоутверждении и самореализации.

The article deals with some aspects of forming the adaptive educational environment, individualized interaction in TEACHER-PUPIL relatioship. Some conditions of forming socially important features of teenagers' personality by means of educational technologies are analyzed. The example of using the technology of individual reflexive education at the extra-curricular lesson on the theme "A teeager in the system of interpersonal relations" is given.

The key words: adaptive capacities, senior teenager, education technology, a dialogue, individualized interaction, individual reflexive education.

Список литературы

1. Капустин Н.П. Педагогические технологии адаптивной школы: учеб. пособие. М.: Академия, 1999. 216 с,

2. Кларин М.В. Инновации в мировой педагогике: обучение на основе исследования, игры и дискуссии: (Анализ зарубежного опыта). М; Рига: НПЦ «Эксперимент», 1998. 176 с.

3. Степанов II.В. Воспитание толерантности у школьников: теория, методика, диагностика / Под ред. ЛИ. Новиковой. М.: АПК и ПРО, 2003.

Об авторе

О.В. Карбанович - канд. пед. наук, ст. преп., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

УДК 512.942

Н.А. Малинникова

ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КРИВЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

В статье описываются результаты исследования способов решения актуальной методической задача: формирование средствами аналогии теории функций действительных переменных и дифференциальной геометрии параметрического метода исследования кривых и поверхностей у студентов в обучении геометрии. Отмечается, wo базовым умением метода параметризации в курсе дифференциальной геометрии выступает формируемое в дифференциальном исчислении умение переходить от аналитической формы задания функции у = /(х) к композиции у = f((p{t)) посредством параметра t. Ключевые слова: векторная функция, метод параметризации, кривые, поверхности, дифференциальная геометрия., векторная функция скалярного аргумента, механизм интеграции, дифференциально-интегральные средства скалярного аргумента

Содержанием дифференциальной геометрии как научной, так и учебной дисциплины, выступает исследование кривых и поверхностей на плоскости и в пространстве. В сугубо геометрической деятельности, на первый взгляд, неожиданно используется аппарат дифференциального и интегрального исчисления функций одной или нескольких переменных. Так, задача вычисления, например, радиуса кривизны некоторой кривой, внешне не связана с теорией функций, тем не менее, основные этапы исследования по своей содержательной части относятся к конкретным разделам математического анализа и лишь осложнены векторной, геометрической трактовками.

Интегрированный характер научных результатов дифференциальной геометрии ставит в основе актуальной методической задачи формирование у студентов подлинной аналогии методов теории функций действительных переменных и методов исследования кривых и поверхностей в геометрии. Механизм интеграции математического анализа и геометрии, затушеванный векторно-аналитической формулировкой, став первоначальным объектом исследования будущего учителя математики, в методическом

плане должен быть спроектирован и в конкретном дидактическом процессе технологи-зирован.

Достижение цели исследования геометрических фигур дифференциально-интегральными средствами в значительной степени осуществляется на этапе «параметризации» кривой или поверхности.

Теоретической основой формирования метода параметризации выступают:

- базовые понятия дифференциального и интегрального исчисления, реализованные в векторно-аналитической форме:

- определение векторной функции скалярного аргумента;

- уравнение векторной функции скалярного аргумента;

- задание кривой векторной функцией скалярного аргумента;

- определение параметризации в уравнении векторной функции скалярного аргумента;

- определение допустимого изменения параметра.

- методика формирования умений в системе технологических средств и приемов.

Модель реализациии базовых понятий учебных дисциплинах представим в таб-

лице 1.

Таблица 1.

Математический анализ Дифференциальная геометрия

1. Функцией называется соответствие /, при котором каждому элементу множества X сопоставляется единственный элемент у = /(х) множества У [3] 1. Функция f = r(t) скалярного аргумента t называется векторной на промежутке / ç. R, если каждому числу tel соответствует определенный вектор г (/) пространства V [3]

2. Дня функции у = /(х) множество всех точек (х;; /(х1)) на координатной плоскости образуют некоторую кривую (график) у, для которой у — /(х) - ее уравнение [3] 2. Для скалярной функции f = г (/) множество точек (ti ; r(tj )) в системе координат на плоскости образует некоторую кривую у, для которой f - r(t) - ее векторное уравнение [3]

3. Функциональное соответствие / : х —> у может быть задано методом параметризации (множество Т - композиция отображений): X —У / //Ш т Уравнение кривой примет вид: У = /(Р(0) И 2. . Функциональное соответствие / : t —> fit) может быть задано методом параметризации (множество U - композиция отображений): Т —¿-> fit) \ / <Р\ / г(<р(и)) и Векторное уравнение кривой у примет вид: ricpiu)) = xicpiu))i + yicpiu))] + г(ф))к . [3]

4. Для функций х = ср{1), у = ц/{() определенных и непрерывных в одном и том же промежутке, причем х = (р{{) - монотонна, можно установить соответствие / : х —» у путем введения параметра 1 = /?(х) - обратной функции для функции х = (р{{): у = у/(Н(х)) = /(х).[ 3] 4. Параметризацией кривой (соответствующей ей векторной функции) называется тот или иной конкретный гомеоморфизм if '■ I Уо, где I - промежуток, у0 - кривая), который порождает эту кривую (функцию) [3]

5. Пусть /(х) - непрерывная функция на отрезке [а, b\. Тогда, если: 1) функция х =• (p{t) дифференцируема [а, ß\ и cp'{t) непрерывна на [ot,ß]; 2) множеством значений функции х = (p{t) является отрезок [а,б]; 3) (р{а) а и (p{ß) = Ъ, то справедлива фор-

ъ ß

мула: \f{x)dx = ^ f {(p{t))(p'{t)dt [3]

а а

5. Скалярная функция от скалярного аргумента t = ср(и), заданная на промежутке /0, называется допустимым изменением параметра в уравнении векторной функции г = г((), если эта функция дифференцируема и непрерывна во всех точках промежутка /0 [3]

Сопоставляя понятия математического анализа и дифференциальной геометрии, невольно формулируются следующие выводы:

понятие векторной функции скалярного аргумента в курсе дифференциальной геометрии есть модификация общего понятия функции для множеств векторов и скаляров;

параметр в дифференциальном и интегральном исчислениях определяется как переменная в композиции функций, в дифференциальной геометрии роль функций играет гомеоморфизм - взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение

/: А" У ;

базовым умением метода параметризации в курсе дифференциальной геометрии выступает формируемое в дифференциальном исчислении умение переходить от аналитической формы задания функции у = /(х) к композиции у = /(<£•(/))посредством параметра 1:.

Роль умения - задавать функцию, заменяющую данную переменную - в решении геометрических задач представлена следующей схемой 1:

Схема 1

Дифференциальное Дифференциальная

исчисление геометрия

Таким образом, умение задавать композицию функций, сформировавшееся в курсе дифференциального исчисления, является основой для формирования подобного умения в курсе дифференциальной геометрии.

Процесс актуализации данного умения и его адаптации к задачам геометрии следует начать, например, с выполнения задания: показать, что для функции у - /(х),

непрерывной на отрезке [а, оо), существует такая функция х = , дифференцируемая и непрерывная на отрезке [0;1), которая переводит отрезок [а, со) в отрезок [0,1). Решение этого задания студенты оформляют с помощью карточ-ки-консультанта.

Карточка содержит рабочее определение, типовое задание, его решение с указанием последовательности действий и результатов выполнения этих действий.

Таблица 2. Карточка-консультант

Пусть у = /(х) - непрерывная функция на отрезке \a,b\. Тогда, если: 1) функция х = (pit) дифференцируема \а,/3\ и tp'it) непрерывна на [¿г,/?]; 2) множеством значений функции х = (pit) является отрезок [a,b\; 3) <pia) = а и (piP) = b, то Л*) = /Ш) ■

Задание: показать, что для функции у = fix), непрерывной на отрезке \a,b\, существует замена переменной х = (pit), где х = (pit) дифференцируема на [ОД] и cp'it) непрерывна на [0,l], которая переводит [а, А] в [ОД].

№ шага Последовательность действий Результат выполнения действиг

1 Записываем хе[а,б] и t е [ОД] в виде двойных неравенств а<х<Ъ, 0</<1

2 Задаем отображение, переводящее область определения х в область значений t, при котором а ->■ 0, b -»1. а<х <Ь, а - а < х - а < Ъ - а, „ х-а Ъ- а 0<-<-, Ъ - а Ъ - а х-а , 0<- Ъ-а

3 Вводим вспомогательную переменную t - параметр х-а t =- Ъ-а

4 Устанавливаем аналитическое выражение х через t в виде х = (pit) q>\ x = ib-a)t + a

5 Согласуем полученную функцию с определением композиции функций: дифференцируема ли функция х = (pit)на [ОД]; непрерывна ли (p'it) на [0,l]; является ли отрезок [a, b\ множеством значений функции х - (pit); выполняется ли Да (х' = (Ь-а)) 4а Да ( хе[а,Ъ]) Да (следует из способа задания отображения)

(р{0) - а и (р( 1) = Ъ

6 Делаем вывод Функция x = (b-a)t + a задает композицию у = /(<p(t)) с областью оп ределения [ОД]

На этапе проверки данного задания, следует обсудить вопросы поиска решения [2]: что дано в условии что требовалось (задать функцию х ~ какое условие использовалось для задания функции (искомая функция должна переводить отРезок [а'х)в отрезок [0Д)^; сколько шагов в реШении можно выделить (шесть); сформулируйте каждый шаг решения.

Предлагаемая деятельность по формированию метода параметризации позволяет подробнее остановиться и на системе вопросов, определяющих теоретический фундамент решения задачи:

что является параметризацией кривой (конкретный гомеоморфизм); что понимают под гомеоморфизмом (отображение одного множества в другое /: А' >Г);

какими свойствами обладает это отображение (оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображение);

X У

какие множества рассматриваются в качестве множеств ' (промежуток

I У

и линия 10);

как обозначается параметризация в векторном уравнении кривой (параметром

0;

что, значит, изменить параметризацию в уравнении векторной функции (надо

задать новый гомеоморфизм некоторого промежутка в ту же линию ^0);

что называется допустимым изменением параметра в уравнении векторной

функции (скалярная функция от скалярного аргумента ' ~

какими свойствами должна обладать эта скалярная функция ( ^и в0 всех

точках промежутка ).

Данные анализа определений сводятся в опорную схему, наглядно показывающую логические связи между понятиями, для представления которой используется компьютерная презентация. Схема предполагает пропуски, заполняемые студентами (устанавливается связь между промежутками I и 10 и определяется выход этой связи на определение допустимого изменения параметра). Это способствует формированию у студентов обобщенных видов познавательной деятельности, позволяющих им самостоятельно и успешно анализировать частные случаи без дополнительного обучения.

Следствием работы над данной схемой является формулирование студентами последовательности этапов метода параметризации с помощью карточки-консультанта: Установить промежутки I и /о, на которых определена данная кривая разной параметризацией t и и;

Записать эти промежутки в виде двойных неравенств;

Задать гомеоморфизм, отображающий один промежуток в другой;

Определить значение параметра и;

Задать функцию, выражающую параметр ( через и,

Подвести функцию под определение;

Сделать вывод.

Схема 2

Параметризация линии

Допустимое Уп\Г=Г (©(«))

"__] изменение _ у

параметра

// ^ \\

«V I \\

/ т \

Промежуток гомеоморфизм Промежуток

I 1о

Метод аналогий позволяет студентам не только избежать ошибок, но и установить связи между материалом, ранее изученным, и новым.

Диагностика правильности сформулированного алгоритма может осуществляться средствами компьютерной презентации, тестов на установление последовательности шагов, устных ответов студентов и их обсуждений.

По завершении этих рассуждений студентам предлагается следующее задание на распознавание и усвоение ситуаций, удовлетворяющих условию метода: показать, что существуют допустимые изменения параметров, которые переводят каждый из следующих промежутков: а <и <Ъ, а <и <Ь, а<и < оо, - оо <и <Ь, - оо < м < оо -в один из промежутков 0 < / < 1, 0 < / < 1, 0 < / < 1.

Особенности процесса решения этой задачи характеризуются тем, что в условии не оговариваются соответственные пары промежутков. Однако, проанализировав промежутки изменения параметра замечаем, что они схожи своими граничными значениями, и отличаются лишь их включением в промежуток. Поэтому, при решении особое внимание следует уделить реализации третьего этапа алгоритма. Например:

Таблица 3.

Вопросы Действия

а<и<Ъ

Можно ли свести левую часть неравенства к нулю? Как? Да, прибавив ко всем частям неравенства число, противоположное а а-а<и-а<Ь-а, 0<и-а<Ь-а

Можно ли свести правую часть неравенства к единице? Как? Да, разделив все части неравенства на (Ь- а)

Изменятся ли знаки неравенства? Почему? Нет, т.к. (Ь-а)>0 по условию 0 и а Ъ-а -<-<——, Ь - а Ъ-а Ъ-а г, и-а ., 0 < <1 Ь-а

Какова искомая функция? ^ и-а Ь - а

Дальнейшее решение данной задачи может реализовываться, в частности, при групповой работе, что позволяет осуществлять взаимопроверку.

На отработку отдельных шагов метода параметризации предлагается следующая задача: показать, что следующие функции являются допустимыми изменениями параметров. Определить промежутки, в которые переходят области определения данных

1

и"

функций: а) (= (Ь - а)и + а,а <Ь, 0 < и < 1; б) / = —-—, 0 <и < ос;

и' +1

в)I = аг^и, -оо <и < оо.

Поиск способа решения можно осуществить посредством ответов студентов на вопросы:

Как показать, что функция является допустимым изменением параметра? {Надо показать, что данная функция обладает свойствами функции - допустимого изменения параметра)

Какими свойствами должна обладать данная функция? ^ 0 во всех точках

(Ли

промежутка /0).

Проверяя свойства данной функции, какой шаг алгоритма по нахождению скалярной функции - допустимого изменения параметра - нами будет выполняться? (Шестой: подведение функции под определение)

Что требуется еще по условию задачи? (Определить промежуток, в который переходит область определения данной функции)

Можно ли по имеющимся данным определить этот промежуток и как? (Да. Составим функцию и = обратную данной I = (р(п). Так как функция 1 - ср(и) дифференцируема и непрерывна на области определения, то существует ей обратная функция. Подставим это выражение и в данное двойное неравенство. Разрешим полученное неравенство относительно I)

Обсуждение решения данных задач позволяет не только повторить метод параметризации и отработать отдельные его шаги, но и выделить базовые задачи, решаемые с его помощью:

Найти допустимое изменение параметра, если известны два соотвественных промежутка;

Найти промежуток, в который переходит область определения данной функции; Определить, является ли функция допустимым изменением параметра. Следующая задача на применение метода параметризации: показать, что соотношения:

ч Х.Ч Г-6Г+\ Щг -1) , ,

а) X = СО Ш, у = Б1П и, {-к <и< ж), Ъ)х = —;-—....., у = •—; (-1 <t < 1) явля-

02+1)2 (/2+1)2

ются различными параметрическими представлениями одной и той же окружности, лежащей в плоскости ХОУ.

Анализ условия, осуществляемый посредством ответов студентов, позволит им составить опорную схему 3 условия задачи и сформулировать план ее решения:

задать скалярную функцию - допустимое изменение параметра - t = ctg—;

4

показать, что параметрические уравнения хтг + i _ 4t(t2 -1) с помощью

(t2 + \f 'у (/2+i)2

данной функции сводимы к параметрическим уравнениям х = cosw, у = sin и;

показать, что параметрические уравнения кривой у0 сводимы к уравнению окружности х2 + у2 = 1 .

Опорная схема 3 позволяет увидеть закономерности между известными и неизвестными данными в условии задачи, играет роль ориентировочных основ действий. Кроме того, данная схема является частным случаем реализации схемы 2, что способствует лучшему усвоению данного метода. Схема 3.

Окружность в плоскости ОХУ

i ?

У Кривая '0 заданная

различной параметризацией

X = cos и, у = sin и

Допустимое изменение

параметра ?

п<и< Ж

í -6t2 +1 4t (t -Г

X = —„-----—, V = -------Î

(Г+1)2 • (Г+1)-

1<*<1

Метод параметризации кривой актуален и при изучении следующих вопросов в теме «Кривая в пространстве»: нахождение длины дуги линии; переход от уравнений кривой, заданных в декартовых координатах, к параметрическим; введение естественной параметризации кривой.

Реализованная в формировании конкретного метода методическая система обладает свойством универсальности, что подтверждается анализом практики работы преподавателей геометрии в вузе и методикой подготовки будущего учителя математики

The article focuses on the analysis of the acute methodological task of forming in students the parametric method of curve tracing and surface exploration in geometry teaching process by means of analogy of theory of functions of a real variable with differential geometry.

The key words: vector function, parameterization method, skill formation technique, curve, surfaces, differential geometry.

Список литературы

1. Атанасян U.C., Васильева М.В., Вересова Е.Е. и др. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-ов, ч. II. М., «Просвещение», 1975. 176 с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I. М.: Наука, 1982. 616 с.

3. Сборник задач по геометрии: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. вузов, обучающихся по спец. 032100 «Математика»/ С.А. Франгулов, П.И. Совертников, A.A. Фадеева, Т.Г. Ходот. М.: Просвещение, 2002. 238 с.

Об авторе

H.A. Малинникова - канд. пед. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.

УДК 371.3

Н.К. Минина

ФОРМИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ КАРТИНЫ МИРА НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРНЕТ-ТЕХНОЛОГИЙ

В статье на основе эмпирического исследования раскрыты способы применения современных технологий обработки и передачи информации на уроках информатики с использованием интернет-технологий с целью формирования информационной картины мира. Подчеркивается актуальность и необходимость разработки методики формирования информационной картины мира у учащихся школ- интернатов. Ключевые слова: технические средства массовой коммуникации, информатика, теории информации, общая теория систем, кибернетика, информационные процессы, интернет-технологии.

Научно-техническая революция и информатизация всех сфер общественной жизни привели к глобальным изменениям в мире, нашим представлениям о нем. Бесконечный поток всеобъемлющей информации, обрушившийся на человека в XX в. и продолжающий расти в третьем тысячелетии, позволил индивидам получить доступ к различным идеям, взглядам, ценностям. Пересматриваются кардинальные научные концепции, расширяются границы нашего познания. С одной стороны, текущие изменения способствуют прогрессу во всех областях социальной жизни, с другой - затрудняют ориентацию человека в мире.

В связи с развитием технических средств массовой коммуникации информация стала представать перед человеком в разных формах. Информационный взрыв, появление различных теорий информации, общей теории систем, кибернетики позволили осознать значительность информационных процессов. Таким образом, в XX в. среди прочих стали выделять информационную научную картину мира (Леонтьев А. Н., Лосев А. Ф., Смирнов С. Д., Петухов В. В.)

Картина мира (или образ мира, автор А.Н. Леонтьев) —- «методологическая установка, предписывающая исследование когнитивных процессов индивида в контексте его субъективной картины мира, как она складывается у этого индивида на протяжении развития познавательной деятельности. Это — многомерный образ мира, образ реальности» [1]

Информатика - одна из фундаментальных областей научного знания, формирующая системно информационный подход к анализу окружающей действительности, изучающая информационные процессы в природе и обществе, а также методы и средства получения, хранения, преобразования и использования информации. Применение современных технологий обработки и передачи информации имеет решающее значение для развития экономики современного общества. Широкое применение информационных и коммуникационных технологий является глобальной тенденцией мирового характера. Новый толчок к развитию методической системы обучения информатике дает принятая в феврале 2002 года «Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года» (Приказ МО РФ от 11 февраля 2002 г. №393). В этом документе