CC BY
18
Машиностроение к компьютерные технологии
Сетевое научное издание
http://www.technomagelpub.ru
Ссылка на статью:
// Машиностроение и компьютерные технологии. 2017. № 09. С. 12-23.
Представлена в редакцию: 14.08.2017
© НП «НЭИКОН»
УДК 51-74
Параметрический синтез рабочих характеристик системы амортизации упругой конструкции при неполной информации о стохастическом внешнем воздействии
Тушев О.Н. , Беляев А.В.
Ье]1аеу@ЬтБШли 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
к
Упругий объект и система амортизации описываются системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Вероятностные характеристики внешнего воздействия не известны. Допускается, оно может быть любым из конечного множества детерминированных реализаций, используется принцип гарантированного результата. Оптимизация параметров рабочих характеристик пассивной системы амортизации сводится к решению минимаксной многокритериальной задачи. Параметры амортизации варьируются в заданном классе без введения дополнительных ограничений. Для вычисления экстремума целевой функции используется поисковый алгоритм деформируемого многогранника Нелдера-Мида. Результаты иллюстрируются примером.
Ключевые слова: амортизатор, параметры, оптимизация, динамика нелинейных систем
Введение
В настоящее время проблема оптимальной защиты конструкций от динамических нагрузок с помощью амортизаторов является классической. Несмотря на то, что в этом направлении опубликовано достаточно много работ, остаются задачи, которые нуждаются в дополнительном рассмотрении. При формировании задачи оптимизации часто основные трудности связаны не столько с созданием расчетной модели конструкции и системы амортизации [1], сколько с адекватным описанием внешней нагрузки. В реальных условиях ударная нагрузка во многих случаях представляет собой стохастический нестационарный процесс общего вида. При этом информация о его вероятностных характеристиках приближенна, либо вообще отсутствует, что не позволяет корректно сформулировать задачу в вероятностной постановке. Распространенным и наиболее оправданным с инженерной точки зрения приемом является выбор из множества возможных реализаций внешнего воздействия некоторой конечной их совокупности, например [2]. В нее входят
наиболее опасные воздействия, которые вызывают максимальные перемещения или ускорения. При параметрическом синтезе, когда в широких пределах варьируются динамические свойства системы, изменяется иерархия опасности элементов заданной совокупности реализаций. Это приводит к необходимости постановки задачи оптимизации в условиях неопределенности внешнего воздействия. Опубликованных результатов в этом направлении существенно меньше, например [3 ]. Заметим, что заданная совокупность воздействия может состоять не только из выборочных реализаций случайного процесса, но и представлять собой некоторый "эталонный" набор функций, который назначает разработчик конструкции, исходя из эксплуатационных требований.
1. Постановка задачи
Будем считать, что на конструкцию амортизируемый объект - система амортизации действует одно из 2/(р) (/=1, 2, ... р) векторных нагружений, приоритеты которых не установлены: 2/(р) = (г\(/)((), г£\(),..., г/^))1 Таким образом, можно считать, что в такой постановке неопределенным является номер расчетного воздействия; р - мера неопределенности воздействия (при р = 1 неопределенность отсутствует).
Будем считать, что динамическое поведение конструкции описывается векторным дифференциальным уравнением в форме Коши
где x = (хгхи)Т- вектор фазовых координат; в = (Д)Т- вектор варьируемых параметров амортизации; Г (...) - нелинейная вектор-функция.
Введем вектор параметров качества конструкции [4]:
V(Х) = (V! (X),у2 (X).., V, (X))Т .
Обычно в качестве элементов V (X) выбираются параметры, значения которых определяют нормальное функционирование системы. Это могут быть перемещения и ускорения элементов конструкции, внутренние силовые факторы, время затухания переходного процесса и т.д. Для рассматриваемого класса задач оптимальной амортизации часть максимальных по времени модулей параметров качества (/ = 1, ...,к; к < I), являющихся критериями оптимизации, должны минимизироваться в пространстве значений вектора в . С учетом того, что x (ъj (^), I), это условие можно записать в виде
ЧРК К (г 1 (')'1 )1'е 1, (2)
где [0, Т] - интервал времени, на котором достигаются максимумы, например, время затухания переходного процесса.
Остальные параметры качества должны быть ограничены
тах iv (ъ, (г), г)| < v*, V/ > к, /, (3)
где V* - предельно допустимые заданные значения параметров качества.
Заметим, что в выражении (3) могут быть заданы и двусторонние границы изменения V. Соответствующим образом (без модуля) могут быть также сформированы и критерии оптимизации (2), что не имеет принципиального значения.
Для общности постановки к (3) следует добавить еще ряд ограничений, обеспечивающих варьирование рабочих характеристик в области, где они не теряют физический смысл и технически реализуемы. Покажем, что проведенная определенным образом параметризация характеристик позволяет освободиться от этой группы ограничений.
В общем случае, при к > 1, р > 1 задача (2), (3) является многокритериальной и не может быть решена в таком виде, если не рассматривать оптимальность в смысле Парето [5], что не является целью настоящей работы. Другой подход к этой проблеме заключается в "свертывании" векторного критерия оптимизации в скалярный. Подобные способы широко описаны в литературе [6]. Осуществим эту операцию в два этапа. Поскольку иерархия в совокупности внешних воздействий не определена по условию задачи, то с практической точки зрения целесообразно использовать принцип гарантированного результата, т.е. ориентироваться на наихудший случай. Он соответствует максимуму целевого функционала (2) и правых частей ограничений (3) по] (так же, как и по времени).
Подходить к аналогичной операции по г с каких-либо общих позиций вряд ли имеет смысл, так как для ее осуществления требуется дополнительная информация, зависящая от деталей постановки задачи в каждом конкретном случае. В прикладных задачах оптимальной защиты механических объектов от динамических нагрузок в отличие от общих задач оптимизации обычно минимизируется группа каких-либо относительных перемещений, например ходов амортизаторов, или ускорений, реже - внутренних силовых факторов или других критериев. Поэтому очень часто критерии однородны или даже однородны и равноценны. Это приводит к тому, что анализ динамических процессов в изучаемой системе и технических требований к ней обычно позволяет сформулировать некоторый компромиссный критерий-свертку.
На основе изложенного сформулируем однокритериальную задачу оптимизации в следующем виде:
твт О« [Ц (В)], Ц (В) - ¥*< 0, V/ > к, (4)
ге[0,г ]
где Ц (b) = max max |уг ((t), t. Оператор G^ осуществляет свертку к критериев по индексу i.
2. Метод решения
Проведем параметризацию рабочих характеристик системы амортизации, в которой применяются пневмогидравлические амортизаторы, рассмотренные в [7] . Будем считать, что характеристику любого амортизатора можно выразить в сепарабельной форме
где у - ход амортизатора (перемещение элемента амортизатора, связанного с объектом, в системе координат основания амортизатора); / (1 ^, /(2 ^ - позиционная и скоростная характеристики амортизатора. Принимая во внимание условие пассивности амортизации, потребуем, чтобы характеристики находились в первом и третьем квадрантах. Будем считать их неубывающими функциями, что свойственно подавляющему числу типов амортизаторов. Убывание связано с нарушением нормального функционирования, к которому приводит разрушение упругого элемента, разгерметизации поршня и т.д. Будем искать оптимальные / (1 ^, /(2 ^ в классе кусочно-непрерывных функций, что наиболее целесообразно с инженерной точки зрения. Для примера проведем параметризацию /(1) (у) в первом квадранте; для третьего квадранта и функции /2)(у) эта позиция проводится аналогично. С практической точки зрения удобно варьировать координаты границ участков (рис. 1). Кривые на участках заданы и полностью определяются координатами точек сопряжения и условием неубывания. На практике бывает достаточно линейной или параболической аппроксимации на участке.
Если за варьируемые параметры выбрать непосредственно И1, ..., Ир, й1, ..., ёр (где р - число точек сопряжения участков), то для выполнения условий неубывания и принадлежности к первому квадранту требуется наложить ряд дополнительных координатных ограничений. Для устранения этого недостатка выберем варьируемые параметры следующим образом:
И = ехр Ъд Иг+1 - Иг = ехр Ъг+1, = 0, - ёг = ехр Ър+1+1, г = 1,...,р. (5)
Видно, что соотношения (5) обеспечивают выполнение указанных требований при любом варьировании bi, V/.
Неаддитивность минимаксных функционалов, сложность математического описания конструкции, достаточно высокая размерность вектора в ограничивают возможные подходы к решению поставленной задачи (4) методами нелинейного программирования. Используем для учета ограничений метод "штрафных" функций. Тогда выражение (4) трансформируется к виду
Ш1Пк0 [А(В)> £ ч,[Ц(в)-V*]2н[а,(в)-V*]}, (6)
^ /=к+1 J
где Н - функция Хевисайда, qi, V/ - коэффициенты штрафа.
/%) +
к
о
с\
у
з *
Рис. 1. Параметризация нелинейной силовой характеристики амортизатора
Известно, что использование целевой функции (6) для оптимизации требует организации ряда последовательных итераций с возрастающими штрафами до удовлетворения необходимой точности по ограничениям. Этого можно избежать, если задать коэффициенты штрафа по формуле [8]
где в - любая допустимая точка, - абсолютная ошибка выполнения ¡-го ограничения
Расчеты показывают [9, 10], что формула (7) дает сильно завышенный штраф для малых si ,что приводит к серьезным вычислительным трудностям. Поэтому при практическом использовании (7) не следует задавать si ниже 0,2 . Как правило, фактическая
точность оказывается значительно выше и удовлетворяет инженерным требованиям.
Для безусловной минимизации можно применить только тот алгоритм, который не требует вычисления производных, так как нелинейности в выражении (1) имеют особенности. При этом даже в случае привлечения аппарата обобщенного дифференцирования эта операция связана с многократно завышенным использованием ресурсов компьютера.
В настоящей работе предлагается применить метод "деформируемого многогранника" Нелдера - Мида, эффективность которого отмечается в исследованиях [9-11]. Суть метода заключается в следующем. В пространстве поиска размерности т задается многогранник с т+1 вершинами. В каждой вершине вычисляется значение целевой функции задачи. Многогранник движется к экстремуму путем замены по специальному правилу вер-
(7)
с = тГ О^ [Ц (В)]. Если минимизируется модуль V , то с = 0
шин с максимальным значением целевой функции на вершины с меньшим значением целевой функции.
В процессе поиска многогранник деформируется, адаптируясь к особенностям многомерного рельефа, а в окрестности экстремума стягивается в точку. Поиск заканчивается, как только значения целевой функции в вершинах многогранника достаточно близки.
3. Пример
В качестве примера рассмотрим изделие 1 в виде упругой балки, размещенной в упругом контейнере 2 на четырех упругих опорах 3 (рис. 2). Контейнер установлен посредством двух амортизаторов 4 на абсолютно жестком основании 5. Контейнер также моделируется балкой. Амортизаторы, обозначенные прямоугольниками, имеют нелинейные силовые характеристики. Решаем задачу оптимального выбора параметров данных силовых характеристик амортизаторов.
Рис. 2. Схема размещения изделия в контейнере
Внешние воздействия имеют кинематическую природу. Воздействия являются неопределенными. Это означает, что в каждой точке крепления амортизатора к основанию задан целый вектор г\^ (^), ] = 1,5 возможных смещений основания.
Реализоваться с одинаковой вероятностью может любой из элементов вектора воздействий. Общий вид элементов вектора внешних кинематических воздействий Ъj (/)
представлен на рис. 3, соответствующие расчетные числовые параметры воздействий приведены в таблице.
Рис. 3. Перемещения основания в местах расположения амортизирующих опор
Путем адекватной дискретизации конструкция с распределенными параметрами заменена системой из 10 сосредоточенных масс (рис. 4). Массы локализуются в точках крепления элементов конструкции друг к другу. Сосредоточенные массы пронумерованы; Я1, ..., Я4 - коэффициенты жесткости упругих связей изделия и контейнера.
1 2 3 4 5 6
Рис. 4. Многомассовая упругая динамическая модель амортизируемой системы
Будем считать, что рабочие характеристики амортизаторов с учетом преобразования (5) выражаются в виде
Л (У\ -- ) = ^Ф fy">i+ ^Р " ^Е11 = fi (>з= Уъ) = ^Ф - sign у2 + ехр ЪА - signу2 ? где y = x7 - z[1 ^, y2 = x10 - z[J^- ходы амортизаторов.
Обозначим XI, ..., хю перемещения масс. По условию задачи выбраны следующие параметры качества амортизации:
где перемещения основания под массами 8 и 9 23^, определяются линейным преобразованием 2-р, 22^\
Цель расчета - обеспечить минимальное совокупное перемещение контейнера (нижней балки) относительно основания, которое определяется параметрами качества амортизации VI ^ у4, при условии, что значения усилий в упругих связях ^ и ускорение v9 массы 1 не выйдут за заданные границы.
Критерии VI ^ V4 однородны и равноценны. Поэтому, исходя из физического смысла задачи, оператор-свертку целесообразно задать в виде О^ [Ц (В)] = тах [Ц (В)].
Оптимум определяли с точностью до второго знака, т.е. поиск заканчивали, если значения целевой функции в вершинах многогранника совпадали до второго знака включительно. Для этого потребовалось 58 шагов итерации. Значения допустимой погрешности , V/ принимали равными 30% допуска. При этом в окрестности экстремума фактическая ошибка по выполнению ограничений не превышала 2%. Имеется в виду ограничение на ускорение массы 1, которое в окрестности экстремума оказалось активным.
Таблица
\ 1 2 3 4 5
Ь, с 0,6 0,7 0,3 0,4 0,7
12, с 1,2 1,3 0,84 0,84 1,5
с 1,8 1,8 1,6 1,23 1,8
аь м 0,63 0,69 0,27 0,4 0,54
а2, м -0,025 -0,06 -0,27 -0,32 -0,54
Ь, с 0,74 0,58 0,33 0,4 0,7
12, с 1,43 1,4 0,74 0,87 1,6
г® с 1,8 1,8 1,1 1,26 2,16
а1, м 0,54 0,54 0,23 0,31 0,45
а2, м -0,43 -0,35 -0,24 -0,26 -0,42
В оптимальной точке, имеющей координаты Ъ = 1,40; Ь2 = 2,98; Ь3 = 2,72; Ь4 = 2,56 значение перемещения равно 0,584 м; в начальной точке (лучшая вершина исходного многогранника) оно было равно 1,13 м. Поиск с другим начальным приближением дал практически совпадающий результат.
Заключение
Задача динамики упругой конструкции рассмотрена совместно с системой амортизации. Оптимизация параметров амортизации формализована в виде задачи нелинейного программирования. Ограничения учитывались с помощью метода погружения. Для этого
разработано оригинальное преобразование. Алгоритм оптимизации построен с учетом возможности изменения коэффициента штрафа в процессе поиска экстремума в зависимости от потребной точности вычислений, что позволяет существенно снизить трудоемкость решения задачи оптимизации в условиях неопределенности внешнего воздействия.
Список литературы
1. Кобызев С. В., Ломакин В.В., Забегаев А. И. Методика построения математической модели пневмогидравлического амортизатора // Инженерный вестник. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. Режим доступа: http://engbul.bmstu.ru/doc/742677.html (дата обращения 26.10.2017).
2. Воронин В.В. Выбор энергетических характеристик амортизатора механического посадочного устройства возвращаемого космического аппарата // Космонавтика и ракетостроение. 2013. № 1(70). С. 95-102.
3. Баландин Д.В. Оптимизация противоударных амортизаторов для класса внешних воздействий // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. № 1. С. 53-60.
4. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 335 с.
5. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.
6. Черноруцкий И.Г. Оптимальный параметрический синтез. Л.: Энергоатомиздат, 1987. 128 с.
7. Тушев О.Н., Беляев А.В. Оптимизация технических характеристик пневмогидравли-ческих амортизаторов из условия максимума надёжности механической системы // Инженерный вестник. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 6. Режим доступа: http://engsi.ru/doc/597480.html (дата обращения 26.10.2017).
8. Баранов А.Ю., Трухаев Р.И., Хоменюк В.В. Обоснование метода погружения в вариационных задачах // Автоматика и телемеханика. 1967. № 7. С. 10-14.
9. Сычев М.П. Модифицированный алгоритм Нелдера - Мида для решения задачи нелинейного программирования с ограничениями // Вычислительные, измерительные и управляющие системы: Сб. науч. тр. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского гос. техн. ун-та, 1996. С. 150-156.
10. Сычев М.П., Тушев О.Н. Поисковый алгоритм оптимизации механической системы из условия максимума надежности // «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред»: IV междунар. симп. им. А.Г. Горшкова (Яропо-лец, 16-20 февраля 1998 г.): Материалы. М.: Изд-во "ЛАТМЭС" МГАТУ, 1998. С. 71.
11. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с. [Himmelblau D.M. Applied nonlinear programming. N.Y.: McGraw-Hill, 1972. 498 p.].
Mechanical Engineering & Computer Science
Electronic journal
http://www.technomagelpub.ru
Mechanical Engineering and Computer Science, 2017, no. 09, pp. 12-23.
Received: 14.08.2017
© NP "NEICON"
Parameters Synthesis of the Shock Absorber System for an Elastic Object with Incomplete Data on Stochastic External Loads
O.N. Tushev1, A.V. Belyaev1'* 'Waevigbmstuju
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: shock absorber, parameters, optimization, dynamics of non-linear systems
The parameter synthesis of shock absorbers to protect elastic structures from the impact loads is an urgent task in designing rocket and space technology. The external loads, which are a stochastic non-stationary process, represent a limited set of possible realizations that are dangerous for the normal operation of equipment. The adjustments of the pneumatic shock absorber characteristics represent variable parameters. The optimal adjustment of the shock absorber characteristics is aimed at reducing the amplitude values of displacements and accelerations in the critical points of an elastic structure.
Analysis of a dynamic behavior of the structure is based on solving a system of vector differential equations in the Cauchy form
X = F(X:B:Z (t),t),
where X - the vector of phase coordinates, B - the vector of variable shock absorber parameters, F - nonlinear vector function, Z . (t) - vector of external forces, j - load number from a
given set, t - time. The system state is evaluated using the parameter vector V = (v,...,v¡)T. Its
value depends on the vector of phase coordinates x . It, usually, involves the relative displacements and / or absolute accelerations of the localized masses. There is a need to minimise several parameters \vt|(/ = 1,2...k) and impose restrictions on the other ones |v¿|(/ = k +1,..,l) . When k > 1 the task is multi-criteria. A convolution of several criteria is applied if they are uniform. The problem is reduced to finding an extremum of the functional
min Gkk) [L, (b)], L, (b) - v < 0, V/ > k, L, (b) = max max |v, (zj (t), t)|.
The operator G(-1 performs the k criteria convolution by the index i. A method of the penalty functions was used to account for constraints in the problem of unconditional minimisation, which was solved by the method of a "deformable" polyhedron.
There is an example to illustrate the technique applied. The optimum characteristics of the shock absorbers were determined for a beam placed in a container. The external load action is time-limited and involves five displacement variants of the base connected to the container by two shock absorbers.
The proposed technique allows significant (by orders) reducing complexity to optimise the shock absorber system to protect the elastic structure from the impact loads, taking into account their uncertainty.
References
1. Kobyzev S.V., Lomakin V.V., Zabegaev A.I. The technique of building mathematical models of pneumatic-hydraulic shock absorber. Inzhenernyj vestnik [Engineering Bulletin], 2014, no. 12. Available at: http://engbul.bmstu.ru/doc/742677.html, accessed 26.10.2017_(in Russian).
2. Voronin V.V. Selection of mechanical landing gear shock absorber power budget of reentry vehicle. Kosmonavtika i raketostroenie [Cosmonautics and Rocket Engineering], 2013, no. 1(70), pp. 95-102 (in Russian).
3. Balandin D.V. Optimization of shock absorbers for a class of external influences. Izvestiia Akademii nauk SSSR Mekhanika tverdogo tela [Mechanics of solids], 1989, no. 1, pp. 53-60 (in Russian).
4. Bolotin V.V. Sluchajnye kolebaniia uprugikh system [Random vibration of elastic systems]. Moscow: Nauka Publ., 1979. 335 p. (in Russian).
5. Podinovskij V.V., Nogin V.D. Pareto-optimal'nye resheniia mnogokriterial'nykh zadach [Pareto-optimal solutions of multicriteria problems]. Moscow: Nauka Publ., 1982. 254 p. (in Russian).
6. Chernorutskij I.G. Optimal'nyjparametricheskij sintez [Optimal parametric synthesis]. Leningrad: Energoatomizdat Publ., 1987. 128 p. (in Russian).
7. Tushev O.N., Beliaev A.V. Optimization of technical characteristics of pneumatic-hydraulic shock absorbers from a condition of maximum reliability of mechanical systems. Inzhenernyj vestnik [Engineering Bulletin], 2013, no. 6. Available at: http://engsi.ru/doc/597480.html , accessed 26.10.2017 (in Russian).
8. Baranov A.Yu., Trukhaev R.I., Homenyuk V.V. Basis of immersion method in variational problems. Automation and Remote Control, 1967, pp. 1005-1009.
9. Sychev M.P. Modifitsirovannyj algoritm Neldera-Mida dlia reshenia zadachi nelinejnogo programmirovaniia s ogranicheniiami [Modified algorithm of Nelder - Mead to solve the problem of nonlinear programming with restrictions]. Vychislitel'nye, izmeritel'nye i upravliayushchie sistemy [Computing, measuring and control systems]. S.-Petersburg: S.-Petersburg State Technical Univ. Publ., 1996. Pp. 150-156 (in Russian).
10. Sychev M.P., Tushev O.N. Poiskovyj algoritm optimizatsii mekhanicheskoj sistemy iz usloviia maksimuma nadezhnosti [Search algorithm optimization of mechanical system in
conditions of maximum reliability]. Dinamicheskie i tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstruktsij i sploshnykh sred [Dynamic and technological problems of mechanics of constructions and continuous media: IV Intern. Symp. (Iaropolets, Russia, February 16-20, 1998)]: Proc. Moscow, 1998. P. 71 (in Russian).
11. Himmelblau D.M. Applied nonlinear programming. N.Y.: McGraw-Hill, 1972. 498 p. (Russ. ed.: Himmelblau D.M. Prikladnoe nelinejnoe programmirovanie. Moscow: Mir Publ., 1975. 534 p.).
