ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПЕРАТОРОВ УПРАВЛЕНИЯ САУ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Труды МАИ. 2023. № 128 Trudy MAI, 2023, no. 128

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

Научная статья УДК 681.53

DOI: 10.34759/Ы-2023-128-16

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПЕРАТОРОВ УПРАВЛЕНИЯ САУ ПРИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Елизавета Юрьевна Ватаева

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического

приборостроения, Санкт-Петербург, Россия

lizon94-06@mail.ru

Аннотация. В работе рассматривается решение задачи синтеза законов управления нелинейных непрерывных и импульсных систем автоматического управления. В качестве математического аппарата решения предлагается применять обобщенный метод Галеркина. Рассмотренный метод распространён на новый класс систем с нелинейными характеристиками, аппроксимированными полиномиально. Также в работе рассматриваются достоинства полиномиальной аппроксимации на примере нестационарной нелинейной зависимости коэффициента сцепления тормозящего колеса тяжелого самолета с опорной поверхностью и автомобиля, приводятся результаты исследования.

Ключевые слова: нелинейные системы, нелинейные импульсные системы,

полиномиальная аппроксимация, обобщенный метод Галеркина

Для цитирования: Ватаева Е.Ю. Параметрический синтез операторов управления САУ при полиномиальной аппроксимации характеристик нелинейных элементов // Труды МАИ. 2023. № 128. DOI: 10.34759/Ы-2023-128-16

INFORMATION TECHNOLOGIES AND TELECOMMUNICATIONS

Original article

PARAMETRIC SYNTHESIS OF ACS CONTROL OPERATORS WITH POLYNOMIAL APPROXIMATION OF THE CHARACTERISTICS OF

NONLINEAR ELEMENTS

Elizaveta Yu. Vataeva

Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation,

Saint-Petersburg, Russia

lizon94-06@mail.ru

Abstract. Active technological development and improvement of technologies in various industries implies the use of non-linear discrete, discrete-continuous and impulse automatic control systems (ACS), the dynamics of which is described by high-order differential equations. In the modern theory of automatic control, the problem of synthesizing the parameters of the control laws of impulse systems containing elements and devices with nonlinear static and dynamic characteristics is a complex scientific and engineering problem. In this regard, in order to successfully solve this problem for the entire range of quality indicators and for the whole variety of systems from a unified mathematical and methodological position, it is necessary to develop new methods.The

development of Automatic control systems (ACS) control laws is directly related to the method of approximating a nonlinear characteristic, since it is necessary to maintain the degree of adequacy of the mathematical model. Since there are no universal approaches to the issue of approximation, for each specific case, it is required to take into account the specific modes of operation of the system. As you know, the most widely used piecewise linear approximation, however, the accuracy of the result obtained with such a mathematical model is not always sufficient. The various methods of approximation are considered, including irrational, integral, and analytical ones. This article proposes to use a polynomial approximation. As a method for synthesizing nonlinear systems, it is proposed to use the generalized Galerkin method, which makes it possible to synthesize control laws for automatic control systems of different classes (continuous automatic control systems and systems with various types of signal modulation, the dynamics of which is described by both linear and nonlinear equations of an arbitrarily high order).

Keywords: nonlinear systems, nonlinear impulse systems, polynomial approximation, generalized Galerkin method

For citation: Vataeva E.Yu. Parametric synthesis of ACS control operators with polynomial approximation of the characteristics of nonlinear elements. Trudy MAI, 2023, no. 128. DOI: 10.34759/trd-2023-128-16

Активное технологическое развитие и усовершенствование технологий в различных областях промышленности подразумевает использование нелинейных

дискретных, дискретно-непрерывных и импульсных систем автоматического управления (САУ), динамика которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка [1-8].

Как известно, в классической теории управления одно из основных положений - известная и адекватно описывающая математическая модель поведение исследуемого объекта [9-13]. В нелинейной теории решения задачи синтеза, часто приходится сталкиваться с неопределенностью задания модели объекта, в частности, с неточностью знания ее параметров.

При разработке математической модели объекта управления, необходимо сохранять степень адекватности, а это связано, для нелинейных САУ в том числе, с принятым способом аппроксимации нелинейности. Самым распространенным методом аппроксимации нелинейных характеристик является кусочно - линейная аппроксимация, суть которой заключается в замене нелинейной характеристики отрезками прямых, которые позволяют перейти от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким линейным с различными значениями входящих в них коэффициентов, однако при этом требуется учет краевых условий при переходе с одного линейного участка на другой, что достаточно подробно описано при формулировке принципа интервальной суперпозиции [14-17].

В данной работе предлагается использовать полиномиальную аппроксимацию и распространить обобщенный метод Галеркина на новый класс аппроксимирующих нелинейных характеристик функций, что даст возможность расширить потенциал данного метода синтеза параметров систем управления

различных классов. И также результаты данной работы могут быть применены в изучении и разработки регуляторов для систем торможения.

Аппроксимирующий полином предлагается записывать в виде:

у(х) = у( х0) + а (х - х0) + а2 (х - х0 )2 + К + ап (х - х0 )п Рассмотрим полиномиальную аппроксимацию для нестационарной нелинейной зависимости коэффициента сцепления тормозящего колеса тяжелого самолета с опорной поверхностью (рис.1). Различные виды аппроксимации для данной характеристики рассматривались [18].

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

—€

0.4 0.3 0.2 0.1 0

Мокрая опорная поверхность

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рисунок 1 - Качественный вид зависимостей ц = 1 - сухая опорная поверхность,

2 - мокрая опорная поверхность

В ходе вычислений был получен полином восьмой степени (2) и

коэффициенты для мокрой и сухой опорных поверхностей (табл. №1).

5

у(х) = Лх8 + Их1 + Сх6 + Бх5 + Ех4 + Ех3 + Ох2 + Нх+М

(2)

Таблица №1

Коэффициент Мокрая поверхность Сухая поверхность

Полиномиальная аппроксимация

A 98.27 270.49

B -361.3 -933.8

C 510.47 1.11 -103

D -323.12 -534.5

E 54.63 -131.8

F 39.64 234.3

G -22.3 -92.74

H 3.84 14.89

M 0.0017 0.031

Рисунок 2 - Полиномиальная аппроксимация зависимости ц = для мокрой

опорной поверхности

Рисунок 3 - Полиномиальная аппроксимация зависимости ц = ц(5) для сухой

опорной поверхности Рассмотрим еще одну аппроксимацию на примере зависимости коэффициента

сцепления от коэффициента относительного проскальзывания автомобиля (рис 4).

Рисунок 4 - Качественный вид зависимостей ц = ц(5) для автомобиля, 1 - сухой асфальт, 2 - мокрый асфальт, 3 - свежевыпавший снег, 4 - укатанный снег, 5 - лед ц

Проаппроксимируем каждую зависимость полиномиально, получаем полином

О /Г Г __/I _ Л Л

вида у( х) = Ах + Вх + Сх + Бх + Ех + ¥х + Ох + Нх + М и коэффициенты приведены в таблице 2

Таблица 2

Вид поверхности Сухой асфальт Мокрый асфальт Свежевы-павший снег Укатанный снег Лед

A 5.49*10-7 -2.48*10-6 1.4*10-6 9.05*10-7 -6.71 *10-7

B -2.7*10-5 1.1*10-4 -5.5*10-5 -3.6*10-5 3.1*10-5

C 5.4*10-4 -0.002 8.37*10-4 5.64*10-4 -5.98*10-4

D -0.0055 0.014 -0.006 -0.004 0.0063

E 0.029 -0.067 0.02 0.016 -0.038

F -0.054 0.17 0.0028 0.0013 -0.14

G -0.14 -0.29 -0.20 -0.15 -0.30

H 0.77 0.55 0.47 0.4 0.34

M 0.003 0.002 -3.57*10-4 2.28*10-4 1.41*10-4

Графические результаты представлены на рис. 5-9

Рисунок 5 - Полиномиальная аппроксимация зависимости ц = ц(£) для льда

Рисунок 7 - Полиномиальная аппроксимация зависимости ц = ц(£) при мокром асфальте

Рисунок 6 - Полиномиальная аппроксимация зависимости ц = ц(5) при укатанном снеге

0.45

Исходная характеристика Аппроксимированная характеристика

0.3

0.25 А 0.2

0.15

0.05

-0.05

1 2 5 4 5 6 7 10

Рисунок 8 - Полиномиальная аппроксимация зависимости ц = ц(5) при свежевыпавшем снеге

1 1 1 1 ^^^ Исходная характеристика ^^^Аппроксимированная характеристика

..и________

/

/ Г

/ V

I /

г

Рисунок 9 - Полиномиальная аппроксимация зависимости ц = при сухом

асфальте

Обобщая полученные результаты аппроксимации, можно сделать вывод, что полиномиальная аппроксимация более точно повторяет вид нелинейной характеристики.

Как было указано выше, для решения задачи синтеза предлагается использовать в качестве математического аппарата обобщенный метод Галеркина. Кратко рассмотрим общую схему решения задачи синтеза обобщенным методом Галеркина, подробная методика рассмотрена в [19]. Для простоты изложения будем рассматривать импульсный элемент в качестве идеального, сигнал на выходе может быть представлен в виде

ад

х\г) = £ х(пТ)8(г - пТ) (3)

п=0

где х(пТ) = | х(г)5(г - пТвеличина п -го дискретного значения; 5 - задержанная

0

импульсная функция, существующая при I = пТ ; Т - период прерывания, интервал времени между соседними импульсами.

Задача синтеза нелинейных импульсных САУ рассматривается в следующей постановке, предполагается, что известна структура синтезируемой САУ и параметры объекта управления. Также накладываются ограничения на значения варьируемых параметров из условия их технической реализуемости:

< ск < ск. к = 1,2>к т

где си+ - максимально допустимые значения варьируемых параметров; си' -минимально допустимые значения варьируемых параметров

Ограничения на грубость системы по варьируемым параметрам имеют следующий вид

Д = ^ <д0,

ск

где Д0 - заданное значение грубости системы; си - вариации параметров, в пределах которых обеспечивается устойчивость системы; с - искомые параметры оператора управления.

Запишем дифференциальное уравнение, описывающее движения системы, содержащей модулятор и нелинейный элемент с учетом полиномов оператора дифференцирования р с вещественными постоянными коэффициентами степеней п,ы,у соответственно:

2 а (С,) р'х(г) + 2 а* (С,) р'х(г) + 2 6г (с,) ру(г) +2 6* (с,) ру(г) =

г=0 г=0 г=0 г=0

= ¿е (с,)р/(г) + 22 е* (с,) р/*(г), у(г) = ^ [х(г)] ,у*(г) = ^

г=0 г=0

где у(г) = ^ [х(г)],у*(г) = ^ Гх*(г)

сигналы на выходе нелинейного элемента при

непрерывном х(г) и импульсном х*(г)входном сигнале.

При синтезе нелинейных САУ п - го порядка программное движение целесообразно задать в виде

х° (г) = (х^ + Н*е-ш ооб (рг - Фо)) 1 (г)

(5)

где х - значение желаемого процесса х0 (г) при г = ад ; а Н* и ф0 определяются

соотношениями вида

Н =

(х0 - ху )2 +

а(х0 - ху) + &

Ф0 = аг^

а( х0 - ху ) + &

Р( х0 - ху )

здесь х0, х& - начальные значения исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ и ее производной в момент

времени г = +0; показатель затухания а , определяется из соотношения а =

3 ■ 4

Т

-гг

Следовательно, сигнал на выходе идеального модулятора, согласно

выражению (3)

0*

х

(г) = Гху + Н'е-ш ооб (рп - Ф)] Ъ(г - пТ)

п

п

2

После того как задано желаемое программное движение и определены его параметры, формируются невязка

¥ (ск,г ) = б (ск,и) х0 (г)+0 (ск,П) х* (г)+Я {ск,Б) Г [х0 (г) ,В {х0 (г)}\+

(6)

+Я* (ск,Б)Г [х0* (г),в{х0*(г)}]-5(ск,Б)/(г)-* (скВ)/* (г)

где х0 - желаемое программное движение, В - оператор обобщенного дифференцирования

Значение искомых параметров с^ определяется из условий ортогональности невязки (5) координатным функциям

ад

ск,г)ф? (г)сИ = 0;к,д = 1,2,К ,т (7)

о

где ф (г) - система из т непрерывно дифференцируемых линейно-независимых

координатных функцийф1 (г),ф2(г),К ,ф/г),К ,фт(г).

Подставляя желаемое программное (5) в уравнение движения САУ (4) и решая уравнение (7) получаем следующую систему из т линейных алгебраических уравнений

X С (ск) А с* (ск) Ь (ск) Бд1+Х Ъ* (ск) В:

г=0 г=0 г =0 г =0

-X ^ (ск ) ^ (ск ) с: = 0 (8)

г=0 г =0

д = 1,2,К, т

где

ГС

Aqi = jD1 {x0(t)}e-pqtdt = Aqp'ql;i = 1,2,K ,n

0 ад

a; = jD1 {x0* (t)}e-pqtdt = A**Pq;i = 1,2,K ,n*

0

ад

Bqi = jD4 {f[x0 (t)]}e~p"'dt = Bqp;-1 ;i = 0,1,K ,u;

0

ад

в;= jD1 {f[x0* (t)]}e-p;tdt =B'qp'q;i = 0,1,K ,u*;

0

ад

Cqi= jD {f (t)}e-p;tdt = CqP1;1 ;i = 0,1,K ,v,

0

ад

С* = jD' {f * (t)}e^dt = C'qp'q;i = 0,1,K ,v*

0

qi

Рекуррентные аналитические выражения A . , A* , C . , C* были рассчитаны ранее в [19], подробные расчеты и обобщения выражение B ■ для непрерывных и B

для импульсных систем при полиномиальной аппроксимации приведены в работе [20]. В данной работе приводится результат вычисления аналитического выражения Bqi и B*qi для процессов, записанных относительно сигнала ошибки САУ

^ у

x0(t) = [H e~a cos(p -% )]5(t - nT) (9)

и относительно выхода САУ

x° (t) = [x^ - H*e-at cos (pt - %)] 5 (t - nT) (10)

в табл.3 и табл.4 представлены результаты вычислений рекуррентных аналитических выражений, определяющих интегралы B**.

ад

*

Аналитические соотношения, определяющие интегралы В* для импульсных САУ

Таблица 3

Показатель степени, g * В* для процесса вида х0(0 = [Н*е~Ш соб/ -%-пТ)

8=1 В* = Н ■ е2(а+р)Т соб % - еа+р)Т СОБ(/Т + % )" е2(а+р)Т -2 соб /Те{а+р)Т +1

8=2 В] =1Н2 9 2 ■ е<-2а+р)Т е22а+рс>)Т соб 2% - е(2а+р)Т соб 2(рТ + % )"

е(2а+рЧ)Т -1 е2(2а+р)Т - 2 соб 2рТе{2а+р)Т +1

8=3 В] =1Н3 9 4 ■ е2(3а+р)Т соб % - е(За+Р)Т соб(/Т + % ) | е2(3а+р)Т соб 3% - е(За+Р)Т соб 3(/ЗТ + % )"

е2(3а+р)Т - 2 соб /Те{3а+р)Т +1 е^3а+р)Т - 2 соб 3/Те{3а+р)Т +1

8=4 в:=1 н4 9 8 ■ е2(4а+«)т со8 4% - е(4«+«)Т ^ 4(/Т + % ) е2(4а+р:)Т соб 2% - е(4а+р:)Т соб 2(/Т + % ) е(4а+р:)Т

е2(4а+рд)Т - 2 соб 4/ЗТв{4а+рс,)Т +1 1 е2(4а+р)Т - 2 соб 2/Те(4а+Р)Т +1 + е(4а+р<?)Т -1

8=5 В * = — Н5 : 16 ■ 2(5«+^)Т соб% - е{5а+рч)Т соб(/Т + % ) е2(5а+р)Т собЗ% - е(5а+р)Т собЗ(/Т + %) " е2(5а+р)Т -2 собрТе(Ъа+р)Т +1 ' е2(5а+р)Т -2соБ3/Те(5а+Р)Т +1 + е2(5а+р)Т соб 5% - е(5а+р)Т соб5(/Т + %) + е2(5а+р)Т - 2 соб 5/Те(5а+Р)Т +1 _

*

Аналитические соотношения, определяющие интегралы Bдля импульсных САУ

Таблица 4

Показатель степени, g

Bq для процесса вида x0 (t) = ^x^ - H*e at cos (/t - p0)] S (t - nT)

g=1

-,pqT

Bq xy „pqT

-1

- H

'e2{a+pq)T cosp - e{a+pq)T cos(/T + p )"

2(a+pq)T

- 2 cos /Te

(a+pq)T

g=2

,pqT

B* = x

y epqT -1

- 2 xyH

'e2{a+pq)T cosp - e{a+pq)T cos(/T + p )'

e

2(a+pq )T

- 2 cos /Te

(a+pq )T

+

H2

e

(2a+pq)T

(2a+pq )T

e -1

+

e

2(2a+pq)T

cos 2p - e

(2a+pq)T

cos2(/T + p )

2(2a+pq )T

- 2 cos 2 /Te

(2a+pq)T

1

g=3

epqT

B = x 3 _e_

q y epqT -1

- 3xy H

1H3

e2(a+pq)T cos p0 - e{a+pq)T cos(/T + p0 ) e2(a+pq)T -2 cos fiTe(a+pq)T +1

3H2 x,,

+

e(2a+pq)T

(2a+p )T ~

e -1

2(2a+pq)T

+

cos 2p - e

(2a+pq )T

cos2(/T + p )

?2(2a+pq)T - 2 cos 2pTe(2a+pq)T +1

2(3a+pq)T

cos p0 - e

(3a+pq)T

cos(pT + p0)

2(3a+pq)T

cos 3p0 - e

(3a+pq)T

cos 3(/T + p0)

2(3a+pq )T

— 2 cos 2/Te'

(3a+pq)T

1

2(3a+pq)T

2cos3/Te

(3a+pq)T

1

g=4

,pqT

B = x4 ——

Bq xy Л pqT

-1- 4 H

4 XyH 3

• e^(a+pq)T cos p - e(a+pq)T cos(/T + p )"

2(a+pq)T

e

2(3a+pq)T

- 2 cos /3Te

(a+pq)T

1

6H2 x2

+

e(2a+pq)T

(2a+p )T ~

e -1

2(2a+pq)T

+

cos 2p - e

(2a+pq)T

cos2(/T + p )

2(2a+pq )T

- 2cos2/Te

(2a+pq )T

1

cos p0 - e

(3a+pq )T

cos(/T + Po)

2(3a+pq )T

cos3p - e

(3a+pq)T

cos3(/T + p0)

2(3a+pq )T

- 2 cos /Te

(3a+pq)T

1

2(3a+pq)T

- 2cos3/Te

(3a+pq)T

1

+1H4 8

2(4a+pq )T

cos 4p - e

(4a+pq )T

cos4(/T + p )

2(4a+pq)T

2(4a+pq )T

- 2cos4/Te

(4a+pq )T

1

cos 2p - e(4a+pq)T cos 2(/T + p ) e

(4a+pq )T

2(4a+pq)T

— 2cos2/Te

(4a+pq)T

(4a+pq )T

-1

g=5

,pqT

B? xy /->pqT

-- ^ x;H

5x yH3

■ e2l(a+pq)T cos p - e(a+pq)T cos(/T + p )

2(a+pq)T

e

2(3a+pq)T

- 2 cos /Te

(a+pq)T

-5 x^H2

(2a+pq)T

2(2a+pq)T

cos2p - e

(2a+pq)T

cos2(/T + p )

(2a+pq)T

-1

2(2a+pq)T

— 2cos2/Te

(2a+pq)T

1

cos p - e

(3a+pq)T

cos(/T + po)

2(3a+pq)T

cos 3p - e

(3a+pq)T

cos3(/T + p )

2(3a+pq)T

- 2 cos /Te

(3a+pq)T

1

2(3a+pq)T

- 2cos3/Te

(3a+pq)T

1

4

4

2

Показатель степени, g

Bq для процесса вида x0 (t) = ^x^ - H*e at cos (pt - %0)] S (t - nT)

5 7-7-4

+ - xvH 8 v

2(4a+pq )T

e™)- cos 4% - e(4a+pq)T cos4(PT + %) e2(4a+pq)T cos2% - e(*a+pq)1 cos2(PT + %) e

(4a+pq )T

e2(-4a+pq)T - 2 cos 4pTe{4a+pq)T +1 e2(4a+pq)T - 2 cos 2pTe{4a+pq)T +1 e(4a+pq)T -1

--1 H 5

16

e

2(5«+pq)T

cos 5% - e1

e

2(5a+ pq)T

(5«+pq)T cos 5(PT + % ) e2(5«+Pq)T cos 3% - e(5«+pq)T

cos3(PT + %)

- 2 cos 5 pTe

(5a+pq)T

2(5a+pq)T

- 2cos3pTe

(5a+pq)T

1

+

+10

e2(5a+pq)T cos% - e(5a+pq)T cos(PT + % )

e

2(5a+pq )T

- 2 cos PTe

(5a+pq )T

g=6

epqT

в = x6-e— 6 x5 h

q v epqT -1 v

e2(a+pq)T cos% - e{a+pq)T cos(PT + %)

e

2(a+pq )T

- 2 cos pTe

(a+pq)T

1

15x 4 H2

+ -

(2a+pq)T

2(2a+pq)T

(2a+pq)T

-1

■ + ■

cos 2% - e

(2a+pq)T

cos2(PT + % )

2(2a+pq)T

— 2cos2pTe

(2a+pq )T

1

20 x3 H3

2(3a+pq)T

cos % - e

(3a+pq)T

cos(pT + %))

2(3a+pq )T

cos 3% - e1

(3a+pq)T

cos3(PT + %)

2(3a+pq )T

- 2 cos PTe

(3a+pq )T

1

2(3a+pq )T

- 2cos3pTe

(3a+pq)T

1

+15 x2 H4

2(4a+pq)T

e2( -' - - cos - e(4a+pq)T cos 4(PT + % ) eA4a+pq )T cos - e1-™)T cos 2(PT + % ) „ e

(4a+pq )T

e2(4a+pq)T - 2 cos 4pTe(4a+pq)T +1 e2(4a+pq)T - 2 cos 2pTe(4a+pq)T +1

(4a+pq)T

-1

-- xyH5 16 v

e

2(5a+pq)T

cos 5% - e

e

2(5a+pq )T

(5a+pq)T cos5(pT + % ) e2(5a+pq)T cos 3% - e(5a+pq)T

cos3(pT + % )

- 2 cos 5 pTe

(5a+pq)T

1

2(5a+pq)T

- 2 cos3 pTe

(5a+pq)T

1

+

+10

e2(5a+pq)T cos% - e(5a+pq)T cos(pT + %)

e

2(5a+pq)T

- 2 cos pTe

(5a+pq)T

+1

+

H 32

o(6a+pq)T

10

t(6a+pq)T

-1

+15

e2(6a+pq)T cos 2% - e(6a+pq)T cos2(pTT + %)

2(6a+pq )T

- 2cos2pTe

(6a+pq)T

+1

+

+6-

e

2(6a+pq )T

cos 4% - e

(6a+pq)T

cos4(pT + % ) e

2(6a+pq)T

cos 6% - e

(6a+pq)T

cos6(pT + % )

e

2(6a+pq)T

- 2 cos 4 pTe

(6a+pq )T

1

2(6a+pq)T

— 2 cos 6 pTe

(6a+pq)T

1

4

8

Обобщая выражения в табл.3 для процесса (9) получаем:

- для нечетной степени

g-1

jf=_LHg у cg cosp0(g - 2k)e2<ga+pq)T - e(ga+pqT cos [(g - 2k)(/T + p)]

q 2g-1 ¿0 * e2(ga+pq)T - e(ga+pq)T 2 cos [(g - 2k)/T]

- для четной степени

f e-(ga+pq)T)fcg cosp0(g-2k)e2(ga+pq)T -e^v cos[(g-2k)(/T + p)] ¿0 e J 2g-1 ¿0 k e2(ga+pq)T - e(ga+pq)T 2 cos [(g - 2k)/T]

Обобщая выражения в табл.4 для процесса (10) получаем:

^ e2(ka+pq)T cos kp - e(ka+pq)T cos k(/T + p) ^

2k-1 (e2(ka+pq)T - 2e(ka+pq)T cos k(/T +1) k(e2(ka+pq)T cos(k - 2)p - e(ka+pq)T cos [(k - 2)(/T + p)]) v+ 2^^ ,

Вычисление рекуррентных соотношений для нелинейных непрерывных систем для процесса, записанного относительно сигнала ошибки САУ (9) представлены в табл.5 и относительно выхода САУ (10) в табл.6.

B* = Hg

g

B=S xg-kHk (-1)k c;

k=0

Аналитические соотношения, определяющие интегралы В для непрерывных САУ Таблица 5

Показатель степени, g 7~) Л * _г*! В. для процесса вида х (£) = [ Не еоБф? - фд)]1(/)

8=2 н 2*р. < +(-1)^ 1 ((2а + рд) 008 2ф0 + 2р8т2<^0) ^ . 1 ((2а + рд ) 0082Фо + 2р^п2Фо)

2(2а + р.) ' 2 ((2а + р. )2 + 4р2) 1 ((2а + рд) 008 2ф0 + 2р 2<^0 ) 2(2а + р.) ' 2 ((2а + р. )2 + 4р2) + ■( 1 [2(2а + р.) ' 2((2а + р.)2 + 4р2) • р."

g=3 Н < - (у3* 3 (3а + рч) 00Б ф0 + в sin ф0 (3а + рч) ооб 3ф + 3р 3ф0 1 4 (3а + р.)2 + р2 + (3а + р.)2 + 9р2 ]"

8=4 н4* 8 р" г-1 +2К- ■=1 +(-1)г 4 ( 4а + р?) 0082ф0 + 2р8т2ф0 (4а + ) 0084^+ 4р8т4ф0 3 1 2 + 2 + ( \ [ (4а + р.) + 4р2 (4а + р.) + 1бр2 (4а + р.) ■ 4(4а + р.)0082Фо + 2р«п2Фо ^4а + р.)0084Фо + 4р81п4Ф^ 3 [ (4а + р. )2 + 4р2 (4а + р. )2 + 1бр2 (4а + р 4 ( 4а + рч) 008 2ф0 + 2р8т2ф0 ( 4а + рч) 008 4ф0 + 4р8т4ф0 3 (4а + р. )2 + 4р2 (4а + р. )2 + 1бр2 (4а + р.) + •)]+

8=5 Н5* 1 (5а + рч) cos 5ф0 + 5р sin 5ф0 5 (5а + рч) cos 3ф0 + 3р sin 3ф0 10 (5а + рч) cos ф0 + р ф0 16 (5а + р. )2 + 25р2 ' (5а + р. )2 + 9р2 ' (5а + р. )2 + р2 _ ■р."'

Аналитические соотношения, определяющие интегралы В для непрерывных САУ

Таблица 6

Показатель степени, g

В

д для процесса вида

g=2

^ - 2 Ху н

[(а + р„ )cosФo + вБ1ПФо ]Р

д , и*2

(а + Рд )2 + р2

■ + н

1 (2а + р ) cos 2ф0 + 2в б1п 2ф0

2(2а + Рд) 2[(2а + Рд )2 + 4в2 ]

Рд ГРд

g=3

ху - 3Ху2н*

(а + Рд ) С^Фо + ^Шфо

(а + Рд) + в2

Рд + 3ХуН

*2

(2а + рч ) соб 2ф + 2в б1п 2ф0

2 (2а + Рд) 2 [(2а + Рд) + 4р2

- Н

*3

3 [(3а + р9 ) соБф0 + в§1пф (3а + Рд) собЗф0 + 3в в1п3ф0

4 (3а + Рд )2 + в2 4 (За + Рд )2 + 9в2

g=4

Ху4 - 4 ху Н

[(а + Рд ) СОЭФо + Р81ПФо

(а + Рд) + в2

- + 6 ху2 Н *2

(2а + р? ) соб 2ф + 2в б1п 2ф0

2 (а + Рд)

(а + Рд )2 + 4в2

-4 хН

*3

3 [(3а + Рд ) СО8Фо + ^1ПФо

4 (3а + Рд )2 + в2

(3а + Рд )2 + 9в2

'Рд

Н"4 (4а + р?) соб 4ф + 4в б1п 4ф0 (4а + Рд) соб2ф + 2вБ1п2ф 3

8 (4а + Рд )2 + 16в2 (4а + Рд )2 + 4в2 Рд 1 _ 4а + р д _

Обобщая выражения в табл. 5 получаем:

- для нечетной степени

I и

в = уа ун'кс

" ¿—I и ^ I

2"-1 (ка + р. )

1 - к - 2Е\ -

(ка + р ) 008 (кф0) + кр (кф0)

(ка + р. ) + (кр)2

к[(ка + р. )008((к - 2)фо) + (к - 2)р8т((к - 2)фр)]

(ка + р. ) +((к - 2)р)2

- для четной степени

I и

В = Уа УН'кСк

" И ^ II

2к-1 (ка + р. )

1 - к - 2Е| -

(ка + р? ) 008 (кф0) + кр (кф0)

( ка + р. ) +(кр )2

к[(ка + р. )008((к - 2)фр) + (к - 2)р8т((к - 2)фр)]

+2 У (-1) ■

и=0

У« У н 'с

2к к

(ка + р. ) +((к - 2)р)2

2к-1 (ка + р. )

1 - к-2Е\ -

(ка + р? ) 008 (кф0 ) + кр8гп (¿ф0) (ка + р. )2 +( кр )2

к [ (ка + р. ) 008 ((к - 2) фр) + (к - 2) р ((к - 2) фр)] (ка + р. )2 +((к-2)р)2

+(-1)^

У«и У Н 'к Ск

2к-1 (ка + р. )

1 - к-2Е\ |

(ка + р? ) 008 (¿ф0) + кр8гп (¿ф0) (ка + р. )2 +(кр)2

к[(ка + р. ) 008 ((к - 2) фр) + (к - 2)р8т ((к - 2) фр)] (ка + р. )2 +((к-2)р)2

здесь Е - целая часть числа.

Обобщение для нелинейных систем для процесса, записанного относительно

выхода САУ (10), представленных в табл.6

I и

В.=У «и У х*-к н *к(- 1)к си

2к-1 (ка + р. )

1 - к - 2 Е| -

(ка + рч ) 008 (кф0) + кр (к% )

(ка + р. ) +(кр)2

к [(ка + р. )008 ((к - 2) фр) + (к - 2)р ((к - 2) фр)]

(ка + р.) +((к - 2)р)2

В работе продемонстрирована полиномиальная аппроксимация нелинейной зависимости коэффициента сцепления тормозящего колеса с опорной поверхностью для самолета и автомобиля. По результатам эксперимента можно сделать вывод о том, что полиномиальная аппроксимация более точно повторяет вид нелинейной характеристики, что в дальнейшем улучшить качество синтеза параметров регулятора. Впоследствии при решении задачи синтеза системы проектировщик определяет подходящий вид аппроксимации в зависимости от типа рассматриваемой системы и режимов ее работы. Также, в ходе решения поставленной задачи обобщенный метод Галеркина был распространён на решение задачи синтеза нелинейных импульсных и непрерывных систем автоматического управления при полиномиальной аппроксимации. Полученные рекуррентные соотношения для вычисления интегралов В* и В позволяют значительно упростить

процесс вычислений при решении задачи параметрического синтеза для нелинейных импульсных и непрерывных систем произвольного высокого порядка и свести все вычисления к выполнению лишь простых математических операций.

Список источников

1. Borgul A., Bobtsov A., Kolyubin S., Zimenko K., Rabyish E., Pyrkin A. Mechatronic and Robotic Setups for Modern Control Theory Workshops // 9th IFAC Symposium on Advances in Control Education, 2012, pp. 348-353. DOI: 10.3182/20120619-3-RU-2024.00070

2. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Faronov M. Output Controller for Uncertain Nonlinear Systems with Structural, Parametric, and Signal Disturbances // IEEE MultiConference on Systems and Control, 2012. DOI: 10.1109/CCA.2012.6402352

3. Колюбин С.А., Ефимов Д.В., Никифоров В.О., Бобцов А.А. Управление нелинейными системами на основе гибридных моделей с адаптацией // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. № 3 (79). С. 64-67.

4. Spong M.W., Corke P., Lozano R. Nonlinear control of the Reaction Wheel Pendulum // Automatica, 2001, no. 37 (11), pp. 1845-1851. DOI: 10.1016/S0005-1098(01)00145-5

5. Hauser John, Murray Richard M. Nonlinear controllers for non-integrable systems: The Acrobot example // Proceedings of the American Control Conference, 1990, pp. 669671. DOI: 10.23919/acc.1990.4790817

6. Данг Б., Пыркин А.А., Бобцов А.А., Ведяков А.А. Синтез адаптивного наблюдателя для нестационарных нелинейных систем с неизвестными полиномиальными параметрами // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2021. Т. 21. № 3 (133). С. 374-379. DOI: 10.17586/2226-1494-2021-21-3-374-379

7. Абрамкин С.Е., Душин С.Е. Разработка комплексных алгоритмов для автоматизированных технологических комплексов // Международная конференция «Проектирование и обеспечение качества информационных процессов и систем» (Санкт-Петербург, 15-17 марта 2022): сборник докладов. - Санкт-Петербург, Санкт-

Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова, .2022. С. 58-61.

8. Ильюшин Ю.В., Шестопалов М.Ю. Применение модифицированного критерия Найквиста для анализа импульсных распределенных систем // Известия СПбГЭТУ ЛЭТИ. 2019. № 3. С. 42-46.

9. Мельников Д.В., Широкова З.Г. Синтез радиоэлектронных систем управления в классе нелинилейных систем // Наука, техника и образование. 2016. № 3 (7). С. 3644.

10. Дыбок В.В., Ходунков В.П., Баскаков В.А. Перспективные технические решения в синтезе следящих систем автоматического управления // Технико-технологические проблемы сервиса. 2014. № 1 (27). С. 53-56.

11. Wang J., Aranovskiy S.V., Bobtsov A.A., Pyrkin A.A., Kolyubin S.A. A Method to Provide Conditions for Sustained Excitation // Automation and Remote Control, 2018, vol. 79, no. 2, pp. 258-264. DOI: 10.1134/S0005117918020054

12. Bazylev D., Vukosavic S., Bobtsov A., Pyrkin A., Stankovic A., Ortega R. Sensorless Control of PM Synchronous Motors with a Robust Nonlinear Observer // Proceedings 2018 IEEE Industrial Cyber-Physical Systems (ICPS), 2018, pp. 304-309. DOI: 10.1109/ICPHYS.2018.8387676

13. Hassan K. Khalil. Nonlinear Systems, USA, 2013, 560 p.

14. Shankar Sarty. Nonlinear Systems. Analysis, Stability, and Control, USA, Berkeley Publ., 1999, 675 p.

15. Haskara I., Ozguner U. Winkelman J. Extremum control for optimal operating point determination and set point optimization via sliding modes // Journal Dynamic System, Measurement and Control, 2000, vol. 122, pp. 719-724. DOI: 10.1115/1.1317231

16. Ибрагимов Д.Н. Аппроксимация множества допустимых управлений в задаче быстродействия линейной дискретной системы // Труды МАИ. 2015. № 87. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=69797

17. Урюпин И.В. Синтез оптимальных кусочно - гладких аппроксимаций траекторий движения летательных аппаратов // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93440

18. Шишлаков В.Ф., Шишлаков А.В., Тимофеев С.С. Синтез САУ при различных видах аппроксимации нелинейных характеристик: теория и практика: монография. -СПб.: ГУАП, 2017. - 151 с.

19. Никитин А.В., Шишлаков В.Ф. Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления: монография. - СПб: ГУАП, 2003. - 358 с.

20. Vladislav Shishlakov, Elizaveta Vataeva, Natalia Reshetnikova, Dmitriy Shishlakov. Synthesis of control laws of electromechanical systems under polynomial approximation of characteristics of nonlinear elements // 13th International Scientific-Technical Conference on Electromechanics and Robotics «Zavalishin's Readings», 2018, vol. 161 (2), pp. 02006. DOI: 10.1051 /matecconf/201816102006

References

1. Borgul A., Bobtsov A., Kolyubin S., Zimenko K., Rabyish E., Pyrkin A. Mechatronic and Robotic Setups for Modern Control Theory Workshops, 9th IFAC Symposium on Advances in Control Education, 2012, pp. 348-353. DOI: 10.3182/20120619-3-RU-2024.00070

2. Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Faronov M. Output Controller for Uncertain Nonlinear Systems with Structural, Parametric, and Signal Disturbances, IEEE MultiConference on Systems and Control, 2012. DOI: 10.1109/CCA.2012.6402352

3. Kolyubin S.A., Efimov D.V., Nikiforov V.O., Bobtsov A.A. Nauchno-tekhnicheskii vestnik informatsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2012, no. 3 (79), pp. 64-67.

4. Spong M.W., Corke P., Lozano R. Nonlinear control of the Reaction Wheel Pendulum, Automatica, 2001, no. 37 (11), pp. 1845-1851. DOI: 10.1016/S0005-1098(01)00145-5

5. Hauser John, Murray Richard M. Nonlinear controllers for non-integrable systems: The Acrobot example, Proceedings of the American Control Conference, 1990, pp. 669-671. DOI: 10.23919/acc.1990.4790817

6. Dang B., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Vedyakov A.A. Nauchno-tekhnicheskii vestnik informatsionnykh tekhnologii, mekhaniki i optiki, 2021, vol. 21, no. 3 (133), pp. 374-379. DOI: 10.17586/2226-1494-2021-21-3-374-379

7. Abramkin S.E., Dushin S.E. Mezhdunarodnaya konferentsiya «Proektirovanie i obespechenie kachestva informatsionnykh protsessov i sistem»: sbornik dokladov, Saint-Petersburg, Sankt-Peterburgskii gosudarstvennyi elektrotekhnicheskii universitet "LETI" im. V.I. Ul'yanova, 2022, pp. 58-61.

8. Il'yushin Yu.V., Shestopalov M.Yu. Izvestiya SPbGETULETI, 2019, no. 3, pp. 42-46.

9. Mel'nikov D.V., Shirokova Z.G. Nauka, tekhnika i obrazovanie, 2016, no. 3 (7), pp. 3644.

10. Dybok V.V., Khodunkov V.P., Baskakov V.A. Tekhniko-tekhnologicheskie problemy servisa, 2014, no. 1 (27), pp. 53-56.

11. Wang J., Aranovskiy S.V., Bobtsov A.A., Pyrkin A.A., Kolyubin S.A. A Method to Provide Conditions for Sustained Excitation, Automation and Remote Control, 2018, vol. 79, no. 2, pp. 258-264. DOI: 10.1134/S0005117918020054

12. Bazylev D., Vukosavic S., Bobtsov A., Pyrkin A., Stankovic A., Ortega R. Sensorless Control of PM Synchronous Motors with a Robust Nonlinear Observer, Proceedings 2018 IEEE Industrial Cyber-Physical Systems (ICPS), 2018, pp. 304-309. DOI: 10.1109/ICPHYS.2018.8387676

13. Hassan K. Khalil. Nonlinear Systems, USA, 2013, 560 p.

14. Shankar Sarty. Nonlinear Systems. Analysis, Stability, and Control, USA, Berkeley Publ., 1999, 675 p.

15. Haskara I., Ozguner U. Winkelman J. Extremum control for optimal operating point determination and set point optimization via sliding modes, Journal Dynamic System, Measurement and Control, 2000, vol. 122, pp. 719-724. DOI: 10.1115/1.1317231

16. Ibragimov D.N. Trudy MAI, 2015, no. 87. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=69797

17. Uryupin I.V. Trudy MAI, 2018, no. 100. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=93440

18. Shishlakov V.F., Shishlakov A.V., Timofeev S.S. Sintez SAUpri razlichnykh vidakh approksimatsii nelineinykh kharakteristik: teoriya i praktika (Synthesis of automatic control systems for various types of approximation of nonlinear characteristics: theory and practice). Saint Petersburg, GUAP, 2017, 151 p.

19. Nikitin A.V., Shishlakov V.F. Parametricheskii sintez nelineinykh sistem avtomaticheskogo upravleniya (Parametric synthesis of nonlinear automatic control systems), Saint Petersburg, GUAP, 2003, 358 p.

20. Vladislav Shishlakov, Elizaveta Vataeva, Natalia Reshetnikova, Dmitriy Shishlakov. Synthesis of control laws of electromechanical systems under polynomial approximation of characteristics of nonlinear elements, 13th International Scientific-Technical Conference on Electromechanics and Robotics «Zavalishin's Readings», 2018, vol. 161 (2), pp. 02006. DOI: 10.1051/matecconf/201816102006

Статья поступила в редакцию 04.12.2022 Одобрена после рецензирования 12.12.2022 Принята к публикации 27.02.2023

The article was submitted on 04.12.2022; approved after reviewing on 12.12.2022; accepted for publication on 27.02.2023