Параметрический синтез модели регулятора нелинейной системы управления модальным методом Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2017, 10(4), 497-507

УДК 681.5

Parametric Synthesis Model Controller for Nonlinear System Modal Control Method

Andrey P. Prokopev*, Vladimir I. Ivanchura* and Rurik T. Emelyanov

Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia

Received 03.02.2017, received in revised form 10.02.2017, accepted 15.05.2017

The methods of synthesis of nonlinear PID control system. As a theoretical basis modal synthesis technique used method. The ratios connecting overshoot and settling time of automatic control system with its zeroes and poles arrangement have been obtained. The technique of synthesis of PID control parameters was developed on the basis of these ratios. The numerical illustration is given.

Keywords: automatic control system, the synthesis of PID control, non-linear system, the modal method, overshoot, settling time, zeros and poles of system.

Citation: Prokopev A.P., Ivanchura V.I., Emelyanov R.T. Parametric synthesis model controller for nonlinear system modal control method, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2017, 10(4), 497-507. DOI: 10.17516/1999-494X-2017-10-4-497-507.

© Siberian Federal University. All rights reserved

* Corresponding author E-mail address: prok1@yandex.ru, ivan43ura@yandex.ru

Параметрический синтез модели регулятора нелинейной системы управления модальным методом

А.П. Прокопьев, В.И. Иванчура, Р.Т. Емельянов

Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

Рассмотрена методика синтеза ПИД-регулятора нелинейной системы управления. В качестве теоретической основы методики синтеза использован модальный метод. Получены соотношения, связывающие перерегулирование и время регулирования системы автоматического регулирования с расположением её нулей и полюсов. На основе этих соотношений разработана методика синтеза параметров ПИД-регулятора. Приводится числовой пример.

Ключевые слова: система автоматического управления, синтез ПИД-регулятора, нелинейная система, модальный метод, перерегулирование, время регулирования, нули и полюсы системы.

Введение

Наибольшее распространение в автоматизированных системах управления технологическими процессами получили пропорционально-интегрально-дифференцирующие (ПИД) регуляторы.

Проблема синтеза регуляторов систем управления - одна из основных предметных задач теории автоматического управления. В области ПИД-регулирования уже более 60 лет активно ведутся исследования. Было опубликовано огромное количество статей и отчетов, а также книг, в которых обоснована необходимость различных методов синтеза и приведены простые правила расчета параметров ПИД-регуляторов. Известны различные методы параметрического синтеза ПИД-регуляторов [1, 2].

Одним из эффективных методов с учетом накопленного практического опыта проектирования и эксплуатации систем управления является модальный метод. Существуют проблемы синтеза регуляторов реальных систем управления мобильными машинами, характеризующимися нелинейностью динамических процессов.

Цель исследования - разработка методики параметрического синтеза ПИД-регулятора нелинейной системы управления с применением модального метода.

Постановка задачи

Объект исследования - система управления динамическим объектом с обратной связью, представленная как скаляр (одномерная система - Single-Input-Single-Output, SISO).

Изучим вначалепроцен°фусинтеза параметров ПИД-регулятора с передаточной функцией Wy(s) в линейной системе

л d'r 2 ■ + Kd • r =-

r

к Kd ■ r + Kp ■ r + K Wy(r) = Kp +-Í. + Kd ■ r = --í-. d)

К нелинейным системам относят все системы, которые не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. В настоящей работе рассматриваются системы управления гидравлическим приводом, который относится к группе естественных нелинейных элементов, присутствующих в автоматических СУ.

Типы нелинейностей. К существенным нелинейностям гидропривода относятся зона нечувствительности, люфты, насыщение по расходу и давлению, сухое (контактное) трение в гидродвигателе [3].

Принцип построения динамической нелинейной структуры зависит как от типа существенной нелинейной характеристики, так и от типа динамического процесса, который предполагается исследовать.

Наиболее эффективным инженерным методом построения нелинейной динамической структуры является метод «обогащения» линейной модели гидропривода теми или иными нелинейными звеньями, обусловленными существенными нелинейностями.

В этом случае нелинейную динамическую структуру можно разделить на две части: линейную (линейную динамическую модель) и нелинейную, которая формируется на основе учитываемой нелинейности. Такой подход позволяет сравнительно просто применить метод гармонической линеаризации и исследовать устойчивость следящей системы с помощью логарифмических частотных характеристик [3].

Ограничение энергетических возможностей насосной установки - давления рабочей жидкости и производительности насоса - приводит к нелинейности типа «насыщение» или «ограничение», выходных сигналов гидропривода. При увеличении амплитуды колебаний золотника выше некоторого значения рост амплитуды первых гармоник выходных сигналов начинает замедляться, а дальнейшее увеличение мощности выходных сигналов происходит за счет возрастания уровня гармонических составляющих более высокого порядка [4].

В системе MATLAB&Simulink имеется возможность ввода нелинейностей различного вида, которые позволяют описать процессы, не поддающиеся линеаризации. В модели насоса используются нелинейности, которые ограничивают выходную величину.

Блок Saturation (звено с ограничением или насыщением) представляет собой нелинейное устройство, сигнал на выходе которого равен входному сигналу до тех пор, пока не достигает порогов ограничения: верхнего Upper limit или нижнего Lower limit, после этого сигнал перестает изменяться.

Статическая характеристика этого блока приведена на рис. 1а для примера нереверсивного ГП, на рис. 1б - реверсивного ГП.

Структурная схема системы управления с нелинейным звеном типа «ограничение» изображена на рис. 2.

Здесь Wo(s) - передаточная функция объекта регулирования; Wy(s) - передаточная функция регулятора; g(s) - задающее воздействие; e(s) - ошибка регулирования; u(s) - управляющее воздействие; u(s) - управляющее воздействие с учетом влияния нелинейного звена; >>(s) - выходная регулируемая величина.

Объект регулирования имеет передаточную функцию Wo(s) второго порядка

Рис. 1. Статическаяхарактеристика блока сограничением Saturation

Нелинейное звено

Рис. 2. Структурнаясхема нелинейной одномерной(ЗКО) системыуправления

—т—-• ая

а0 к + а\^ + а2

Передаточная Яункция разомкнртого яонтуре с ПИД-регулятором имеет вид

Ка ■ Ь0 ■ s2 + Кр ■ Ь0 ■ s + К, ■ Ь0

ГГ(*) = Гу(*)-0МТа=тК-ФЗмр-£0"-(3)

а0 ■ ^ + — ■ 5 + 02 ■5

Определение параметров регулятора

по пзлюкам передаточной функции замкнутой системы

Полюсы передазочной Мкнеоции замклумой стстям к]. с ПИД-регулятором в основном определяют характер ее пероеодняй характеристики. Передатопная фуниция (ПФ) оамкнутой системы с ПИД-регуяяаекаме лихейномктнитите и единичной отрицательной обратной связью в соответствии с выражен ием (2)

кы М +К+-Ь0-.зл Ки - Ь0 К» =-3-—0--—-. (4)

От. л(а1 лК1сн-Ьъ)-ж -ь(аелКле'Ьй_5лК1ГЬо

Характеристическое уравнение замкнутой системыследует из выражения (4):

ж) = а0 ■ ж3 + (а + Кы-Ь0С • ж2 -2 (ск+К1р-Ь0)-ж + Ки ■ Ь0. (5)

Полюсы ПФ определяют численно по (5) при конкретных значениях Кр, К, К коэффициентов регулятора. Для системы третьего порядка возможны два варианта полюсов: комплексные и вещественные.

Комплексные полюсы

Пусть корни уравнения = 0 имеют вид

•1 = -т1ь й2 = —"П2 +./ '!+' = 1"12 — Ю' ° ?

где - степень устьйчивости; т|2 - абсолютное знтчение де йст вительнойчасти полюс а; в - частота колебаний переходной характертстики, оИусловленнуя польниьми. И соонретствующее хсректеричтическое уравнение примет вид

и1(н)=53+011 -ог-т^)-.2 +(р2-^ + 2-т° -11:2)•* + П • (6)

В сеучае; ве 1цественных полюсов

Ж = -т1+ К,2 = -72. Й3 = -113;

+ О) = К + Ь + Л2 + Лз ) •л2 + [пз • + Л2) + • П2 ] •5 + • П2 • Лэ- (7)

Сравнивая выражения (5), (6) и (+5), (7), получаем:

-111+2' Т123,

= П1+П2+Т1 з;

%

а1 + ' ■bo

а2 + p ■Ъ0

%

а2+ K\p 0о

= P2+il2 + 2-Лг -л 2; = 113-011+112)+т=1 • П2+;

% Ku-Ьо

%

= n -(p2+Ti2);

^ 111-112 "Ч3 •

%

Отсюда находим знач5ния коэффициентов регулятора, выраженные через значения полюсов передаточной функции заккнутойсистемысПИД-регулятором. Вслучае комплексных п-лю+ов

ф ф2 +-п2 + 2' Иг П2) 'а0~а2 .

^-ь0-'

к = п • - (8)

3 011+ 2'1Л12)'а0 -аЛ 6-++-•

110

В случае вещественныхполюсов

KP =

[n3-Oll+Tl2) + TlrTl2]-a0-a2 .

Ki =

(П1 • П2-Пэ) • a0 .

(9)

Кд =

(Tll+Tl2+Tl3)-a0-al

b0

Из вырамееий (8) и (9) следует очеви дны й выв од отом, что ис комые ПИД-

регулятора определяются как параметрами корректируемого объекта в соответствии с выраже-нием(2), таки полюсамипередаточнойфункции замкнутойсистемыс ПИД-регулятором.

Выражмивя (О) и(9) позволяют определиьь параметры ПИД-регуеятора птчзаданном распредмчение проюсое. Задаеа оятэделетная парамевров можетаы9о чвшена троимобразом, ееко дделать щечпршжвние, мам введение нвтпнеПного звена междп рсгулятором и вОтектом уппввпеоия! не имменяет еырадений (80 р (9)(Следуеатакже упорыветь известные [5, 6^ведения по влиянию размещения полюсов на вид переходной характеристики и сведения о влиянии размещения полюсов на связь временных и частотных показателей качества синтезируемой системы, хотя бы без учета нелинейности, возможного запаздывания в системе и изменения ее параметров. Ниже притедена методика пераметрического синтеза параметров регулятора в среде программирования Mathcad и MATLAB&Simulink для случая комплексного размещения полюеат.

Задание на синоез ПИД-регулятора

1. Рведем бе-размерныекоэффиуиенты, оор еделеющие соотнтшение в размещении полю-юв. Распредрлениеиолюсвн нро ирвестном оэиаяоио нонрсденяеткокоэффицибнтамн/:,, иЯ(^:

НгОН^ Юв1! Р(Лгр)=Нр-тц.

Вьйол) конкретных значений этих коэффициентов определяется степенью влияния комплексных полюсов нл в^мя и цид пхреходного процесса, йэмпяексные поыхоса с цельюоае-спечения мнеоцо пере^хулирования необходимо располагаиь дальше от мнимой оси и веще-ственногопо лю с а.

2. Определение коэффициентов ПИД-регулятора

K p(kn' ke> ni) =

Ki (к^^гц) = b- ill

Or

% ь

b „э

n2

( ) +(kn ) +2 • kn (()2 + ()2

an.

V

0 V b0

Зададимпараметры ррапределения hl основе данныхизпрактики синтеза регуляторов и получим значениякоэффициентовПИД-регуляторов:

М, (30,6,0.5) = 5.118^(30,6,0. 5) = 2.515 ^¿(ЗО, 0.5) = О.Ц5<54.

Для в ещественных корн ей

ы\2(кц) = кт] л; Чз(кц)=кц-'Пъ а (кв) = кв ■ Ль получим коэффициенты ПИД-регулятора

K =

_ (l +п\2 + Пз)-%- П

Kd =

Принимаем вещественные полюса:

^(¿ЩЛ-пЛ) = П ( +Р2т| "b^lT! •^n)')-bC'-

K iihy = k2 ip4l) = П1 •(( k2v)

2. •

V

ьо ьо

парзметры распрсдедения на еенкте даннаех из практики проецирования регуляторов и получим значения коэффициентовПИД-регуляторов:

/Ср (30, 330,0.451)= 3.963;

АЧ(зо,зо,о.451) = 1.775; А^(ио,из,з.а51) = з.з.

Квадратичная интегральная оценка качества перехяяногоароцесса

■/2о(<](о.5), <Ка(о.9б3), 03(1.775)) = о. 022.

ОпределениеполюсоввсистемесПИД-регулятором:

(ао4, а 042 482,923

68, о ах

Fc (3.963,1.775,0.5- =

v 2,473 ,

polyroots ((, (33.99(5:3, 1.775, (0.5)) =

Г-13,528-+0,26-/Л -13,528- 0, 226 • / ^0, 450

Определение показателей качества переходного процесса и запасов устойчивости. Вычислениеквадратичной интегральнойоценки

<=0 - a0 ' c1 - a1n _ - a2 > d0 = a0, . =aл +Kd-b0,

2 0 2 + 2

Cq • • ^2 + ( cj — 2 • CQ • c*2 ) * • =q + ¿2 * do • =Q

J2Q (do ,d2,d3) =---3-;

2-dQ'd°-(dr ■ d2 —dQ ■ d3)

dl(Kd) = n++Kd-bQ, d2(Kpk = ci2+Kp-b0, d?,— ) = Kfbç; •/2o(di(Kil xK ак^ао=

_o0 -Ki-bo-(dl + Кp-btk) (of -2-°k-o2)-Ki-boo +o2 bt +Kd-bk)-dk 2 -dk-Kr bo •( +Kd- ьoKv2 + ivb<>)- d0-к, • ¿>0 +

Определениеполюсов всистеме сПИД-регулятором:

f

Vc(Kp, KuKd) =

Ki-u о m2 +Kp'bo

ml+Kr/-^0 ee о

A

polyroots(Vc{Kp,Ki,Kd) ).

Изменение распределения полюсов в комплексной плоскости в случае неудовлетворитель-ныхрезультатов.

Пример. Синтез параметров регулятора прикомплексном характере по люсов.

Задание. Определить паремет]^^^ ПИД-регулвторы в тмртемеуправленияскоростыпдви-жения дорожного катка. Обеспечить время переходного процесса ^ < 0,5, перерегулирование с%< 5 %.

Методика синтеза 1. Распределение полюсов:

т

<11 =

«o^l+^i-n+^w)

= |0,5+М-

¿=•( + (00 + 00))

= 0,451.

2. Определение коэффициентов ПИД-регулятора:

Кр(0330,6,0.451) = 4,12; Кн(30,6,0.451) =1,846; К5(30,0.451) = 0,5.

3. Вычисление квадратичной интегральной оценки ,/20:

((о.5), (2 О, (о.5)) = о, оз (.

4. О пределение полюсов всистемесПИД-регулятором:

М 212,382Д ЦИИ,986

(41 .122,1.846, 0 .5) =

68,025 2,4173

polyroots ((4.12,1.846,0.5)} =

f-13,528 - 2,715 • i4 -1 3,528 + 2,715 • i -0,451

По люсы замкнутой линейной системы при найденных значениях параметров регулятора соот ветствуютзаданному распределению.

5. Опрдделение запасов устойчивости в системе с ПИД-регулятором для вычисленных значений коэффициентов ПИД-регулятора:

Кр =4,1 2; =1,846;^ =0,0 .

Передаточная функция разомкнутой системы без учета нелинейности

ГЛ7/ч кК-Ьокв-Ь0.з + К^-Ь0 ™ (з) =-3-^"2-•

а0 л +ан'Т + €¡2 ■ з

Определяем частоту среза юср = а и запасы устойчивости в радианах у и градусах у1: начальноезначение частоты ю = 10; дано |Г(/ю)| = 1;

а = Л'и^ю), толучим чассоту сраса а = 24,48.

Запас устойчивости у = % + №%/• а)), тогда запус устоЧчовости показе I! радианах у = 1,42

180 - ,10 180 8 1

ч в градусах 71 = у--= 1,410--= 81,31.

п п

Таким обраюм, запат усво йчтвостт по фазе вчставил 81.31 градуса, что указывает на большой запас устойчосости миоармы и переаодная харакоертсотки системы имеет практически апериодический характеризменения (перерегулирование ст% < 2 %).

а. Опридс лечит чсра перехтдной еоаачсористихи и других временных функций по имитационной модели (рис. 3).

Переходная хертктертстиот с; сиитеемдованнооми тарамет.ами ПИД-ре^иятортпоказсна на ]^]нс.4 (сарсмсеры ПИД-ритуиятора: ^4И2; се=1,т4Ч) «м2о^О,ми1)-

Важно также отмесить, чсч тпсчиидтиесчий маеаетло ирит-сио наиболееблагоприятен для гидрав лимесиих чииводов соео^с^т^^л]ьн ыч ес дорожмиьх машин,работ;цощих в ночьвисх зиа-читтимчых ччисмических иагиу зок - уменьшается вероятность гидравлических ударов.

PID

Хт-^Ф

Gain3

1/s

Gain4 Integrator2

du/dt

_115.05

2.473s2+10.05s+26.98

Transfer Fcnl

Gain5 Derivative

0.98*1

Constant

1.02*1

Scope2

Рис. 3. Имитационная модель нелинейной системы с ПИД-регулятором на языке Simulink

Рис. 4. Переходная характеристика с синтезированными параметрами регулятора (время переходного процесса t. = 0,4с,перерегулирование а% < 2 %)

Таким образом, параметры ПИД-регулятора в системе управления с гидравлическим приводом - нелинейным звеном типа «ограничение», должны выбираться так, чтобы в соответствующей линейной системе практически отсутствовало перерегулирование.

Заключение

На основе модального метода разработана методика синтеза ПИД-регулятора нелинейной системы управления. Получены соотношения, связывающие перерегулирование и время регулирования системы автоматического регулирования с расположением её нулей и полюсов. Определено, что параметры ПИД-регулятора в системе управления с гидравлическим приводом - нелинейным звеном типа «ограничение», должны выбираться так, чтобы в соответствующей линейной системе практически отсутствовало перерегулирование.

Список литературы

[1] Александров А.Г., Паленов М.В. Состояние и перспективы развития адаптивных ПИД-регуляторов. Автомат. и телемех., 2014, 2, 16-30 [Alexandrov A.G., Palenov M.V. Adaptive PID Controllers: State of the Art and Development Prospects, Automation and remote control, 2014, 2, 16-30 (in Russian)]

[2] Alexandrov A.G., Palenov M.V. Adaptive PID controllers: State of the art and development prospects, Automation and Remote Control, 2014, 75(2), 188-199.

[3] Гамынин Н.С. Гидравлический привод систем управления. М.: Машиностроение, 1972. 376 с. [Gamynin N.S. Gidravlicheskijprivodsistem upravlenija. M.: Mashinostroenie, 1972. 376 p. (in Russian)]

[4] Циммерман В.В. Нелинейные свойства электрогидравлического вибрационного источника сейсмических колебаний. Проблемы нелинейной сейсмики. ИФЗ АН СССР. М.: Наука, 1987. С. 273-279. Режим доступа: http://www.seisel.com/docs/i_nelsv.pdf. [Cimmerman V.V. Nelinejnye svojstva jelektrogidravlicheskogo vibracionnogo istochnika sejsmicheskih kolebanij. Problemy nelinejnoj sejsmiki. IFZ AN SSSR. M.: Nauka, 1987. P. 273-279. (in Russian)]

- 506 -

[5] Вадутов О.С. Синтез ПИД-регулятора в системах с запаздыванием методом условной оптимизации с ограничениями на размещение полюсов. Известия Томского политехн. ун-та, 2014, 325(5), 1622. [Vadutov O.S. Design of PID controller for delayed systems using optimization technique under pole assignment constraints, Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2014, 325(5), 1622 (in Russian)]

[6] Кан Б.А., Кривошеев В.П. Параметрический синтез дискретного алгоритма ПИД-регулятора частотным методом. Информатика и системы управления, 2013, 3(37), 143-151 [Kan B.A., Krivosheev V.P. Parametric synthesis algorithm of discrete PID controller frequency response method, Informatics and control systems, 2013, 3(37), 143-151 (in Russian)]