CC BY
22
УДК 621.3
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
В.Ф. ШИШЛАКОВ, Д.В. ШИШЛАКОВ
Государственный университет аэрокосмического управления
Предлагается метод параметрического синтеза линейных непрерывных многосвязных систем автоматического управления, математическую основу которого составляет обращение прямого вариационного метода анализа -обобщенного метода Галеркина - на решение задачи синтеза.
При решении многих технических задач объектами управления являются не отдельные звенья, а более сложные комплексы со многими регулируемыми переменными и внутренними взаимосвязями [1]. Это обусловлено непрерывным усложнением автоматизируемых технологических процессов, укрупнением мощности сложных комплексов, интенсивным развитием техники и многими другими причинами. Системы, в которых имеется несколько регулируемых величин, причем изменение какой-либо одной из них вызывает изменение других, если не предусмотрены средства, устраняющие в процессе регулирования указанную связь [2], относятся к классу многосвязных систем автоматического регулирования и управления (МСАУ).
Примерами МСАУ могут служить электроэнергетические системы, в которых осуществляется автоматическое регулирование частоты, напряжения, потоков активных и реактивных мощностей для большого числа работающих параллельно синхронных генераторов; системы автоматического регулирования турбо- и гидродвигателей, где требуется одновременная стабилизация скоростей вращения, параметров рабочего тела (температуры, давления и т. п.) на различных ступенях гидравлического тракта; системы автоматического управления (САУ) полётом летательных аппаратов, электроприводами в станах непрерывной прокатки холодного и горячего металла и многие другие САУ технологическими процессами в химической, текстильной, угольной и других отраслях промышленности [3, 4].
Наличие нескольких взаимодействующих друг с другом управляемых величин, более сложная зависимость между характеристиками управляющей части (регулятор) и показателями качества системы, неизбежный рост объёма промежуточных вычислений - эти и другие факторы существенно ограничивают применение традиционных методов синтеза, развитых преимущественно для одномерных систем управления с обратной связью. Особое значение приобретает задача структурного синтеза, заключающаяся в отыскании рационального способа построения регулятора с учётом реальных динамических свойств объекта управления и требований к характеристикам синтезируемой системы. Для того, чтобы успешно преодолеть многочисленные трудности, возникающие при решении задачи синтеза МСАУ, предлагается использовать обобщенный метод Галеркина (метод ортогональных проекций) [5, 6], который эффективно применяется для решения задач синтеза параметров линейных и нелинейных систем управления широкого класса: непрерывных, импульсных (с амплитудноширотно- и частотно-импульсной модуляцией), дискретных, дискретнонепрерывных.
© В. Ф. Шишлаков, Д.В. Шишлаков Проблемы энергетики, 2006, № 11-12
Задача синтеза многосвязных систем автоматического управления рассматривается в традиционной для обобщенного метода Галеркина постановке [5, 6]. Предполагается, что известна структура синтезируемой САУ и параметры объекта управления. Параметры регулятора (оператора управления), структура которого задана в самом общем виде, определяются из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества работы САУ в переходном режиме (времени переходного процесса - Тпп , перерегулирования - о , колебательности -ц). При этом, безусловно, должна обеспечиваться устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам.
Ввиду того, что число искомых параметров может быть любым, оператор управления структурно может быть задан со значительной избыточностью. В этом случае после определения значений искомых параметров в результате применения методов теории чувствительности, определяющих координаты системы, чувствительные к варьируемым параметрам, часть этих параметров может быть принята равной нулю (бесконечности), что приводит к упрощению оператора управления и выявлению, тем самым, наиболее целесообразной его структуры.
Как правило, задача синтеза решается при технических ограничениях, которые накладываются на значения варьируемых параметров:
с _< ек < е+, к = 1,2,к, т (1)
где ск +, ск- - максимально и минимально допустимые значения варьируемых параметров.
Ограничения на грубость системы по варьируемым параметрам имеют следующий вид:
А = — < А0, (2)
ск
где А0 - заданное значение грубости системы; бек - вариации параметров, в пределах которых обеспечивается устойчивость системы.
Для определенности задачу синтеза рассмотрим при внешнем скачкообразном входном воздействии /(*) = Н1(*) и нулевых начальных условиях для момента времени * = - 0, т.е. до приложения к системе воздействия.
х_о = 0, х_о = 0, х_о = 0,..., х-0 1) = 0. (3)
Так как при синтезированных параметрах система должна быть устойчива,
то
х (да) = Н, X (да) = 0, X (да) = 0,., х(и-1) = 0. (4)
Выбираем систему из т непрерывно дифференцируемых линейнонезависимых координатных функций:
Ф1 (),Ф2 (),.,Фц (),.,Фт (). (5)
В соответствии с требуемыми показателями качества работы синтезируемой системы управления в переходном режиме зададимся желаемым программным движением в виде
і
(6)
і=1
где й о ( )= ш о ( )1() - функция, удовлетворяющая заданным граничным (начальным (3) и конечным (4)) условиям; й; (^ )= ш; () - функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям; - известные
коэффициенты.
Обобщение результатов анализа частных случаев структур линейных МСАУ показывает, что многолучевые системы при наличии г входов и одного выхода описываются дифференциальным уравнением
от1 т2
х(* )П 0і (ск , В) = X /і(і )5І (ск ,П)’ 1=1 1=1
(7)
где х (*) — координата выхода многосвязной системы; /і (*) сигналы на входах
пі уі .
системы управления; 0,1 (ск, В)=Ха1і (ск )°1; $1 (ск,В)=Хе1і (ск )°1 -
і=0 і=0
полиномы оператора дифференцирования В с вещественными постоянными коэффициентами степеней пі, VI соответственно.
Многолучевые МСАУ при наличии одного входа и я выходов описываются в матричной форме уравнением вида
Ох = 8/ (),
(8)
где х = | 1*1 (),Х2(*),...,хя()||т- вектор-столбец процессов на я выходах системы управления; / () - процесс на входе системы управления; О , 8 - диагональные матрицы порядков я и г, соответственно, которые являются функциями оператора обобщенного дифференцирования Б и в общем случае функциями варьируемых
параметров С = ||ск||т, к = 1, 2, ..., т.
01 0 0 •• 0 $1 0 0 •• 0
0 02 0 • 0 0 $2 0 • 0
О = 0 0 0з • 0 ; 8 = 0 0 $3 •• 0
0 • 0я 0 . $г
Системы управления, имеющие в общем случае г входов и я выходов, также описываются уравнением вида
Ох = 8Г, (9)
где { = ||/1 (0,/2(О, -.,/г(г)т- вектор-столбец процессов на г входах системы управления.
Структура конкретной МСАУ определяет некоторые особенности решения задачи синтеза ее параметров обобщенным методом Галеркина.
Так, в случае многосвязной системы управления с одним выходом и несколькими входами желаемое программное движение (6) подставляем в уравнение (7) и образуем невязку
т1 Ш2
у(с, г) = Х V )П 0-1 (к, Б)-Х / (г )№ (ск, Б).
1=1 1=1
Ортогональность невязки системе координатных функций приводит к следующей системе алгебраических уравнений:
го
| у (с, г )ф ц ( ) = 0, 1 = 1,2., г.
0
В общем случае при нелинейной зависимости между варьируемыми параметрами и вследствие необходимости введения ограничений (1), (2), а также обеспечения устойчивости МСАУ, безусловная ортогональность невязки координатным функциям выполняться не будет. Поэтому задача синтеза системы управления данного класса произвольно высокого порядка в вычислительном плане сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией, построенной на основе уравнений Галеркина:
«-1
| у (с, г )ф ц (г)г
0
2
, I = 1,2., г; ц = 1,2., т. (10)
Варьируемые параметры оператора управления (регулятора) определяются путем минимизации функционала (10) с помощью известных [5, 6] методов поиска экстремума целевой функции. На каждом шаге поиска параметров проверяется ограничение на устойчивость линейной многосвязной системы по критерию устойчивости Рауса.
В данном случае решение задачи синтеза линейных МСАУ с математической точки зрения не отличается от решения подобной задачи для одномерной системы [5, 6].
Если же рассматривается многосвязная система управления с несколькими выходами и в общем случае несколькими входами, вектор желаемого программного движения подставляем в уравнение (8) или (9) и образуем вектор невязки
¥(с, г) = Ох0 - 81\
где ¥(с, г)- вектор-столбец невязки, определяемый следующим образом:
У(с, г) = || у 1 (с, г), у 2 (с ,г), ■- •, у г (с, г)т.
а x0 =
(t), *2 (t ),..., xj° (t)
вектор-столбец желаемых процессов на выходах
системы управления, здесь г - число выходов САУ. При этом целевая функция
r m
J=££^
i=1 q=1
Jу i (c,t)<pq (t)dt > , i = 1,2k,r; q = 1,2k,m
Особенностью решения задачи синтеза в данном случае является то, что при решении поставленной задачи формирование вектора желаемых программных движений на всех выходах системы осуществляется исходя из требований, предъявляемых к динамическим свойствам синтезируемой МСАУ, в соответствии с рекомендациями [5, 6].
т
2
Summary
It’s considered the method of synthesis of linear automatic control system. A mathematics base of this approach is use of direct variation method of analysis -Galerkin’s generalized method - to solve problems ofparameter synthesis control system.
Литература
1. Пухов Г.Е, Жук К.Д. Синтез многосвязных систем управления методом обратных операторов. - Киев: Наукова думка, 1996.
2. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования. - Киев.: Наука думка, 1965.
3. Морозовский В.Т. Многосвязные системы автоматического
регулирования. - М.: Энергия, 1970.
4. Васильев В. И., Шаймарданов Ф. А. Синтез многосвязных автоматических систем методом порядкового отображения. - М.: Наука, 1983.
5. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции: Монография СПб: ГУАП, 1999.
6. Никитин А.В., Шишлаков В.Ф. Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления: Монография / Под ред. В.Ф. Шишлакова/ СПб: ГУАП, 2004.
