Параметрический анализ математических моделей в задачах линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, 3(1), с. 168-172

УДК 519.86

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

© 2010 г. Е.В. Кувыкина \ В.И. Кувыкин 2, М.Ю. Петухов 2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 ООО «ЛУКойл-Нижегороднефтеоргсинтез»

evkuv@mail.ru

Поступила в редакцию 16.02.2010

Вводится понятие «грубых» систем для задач линейного программирования. Показано, что при некоторых ключевых значениях параметров системы происходят качественные изменения решения задачи. Приведено использование алгоритмов поиска ключевых значений параметров для анализа эффективности высокоскоростного транспорта и оптимального планирования работы нефтеперерабатывающих заводов.

Ключевые слова: математическое моделирование, оптимальное управление, линейное программирование, грубые системы, высокоскоростной транспорт, нефтепереработка.

Введение

Задачи линейного программирования (ЛП) находят применение при оптимизации производственных мощностей, распределении ресурсов, составлении планов, сопоставлении альтернативных проектов [1, 2, 3]. Важным элементом практического использования математических моделей является параметрический анализ задачи ЛП. Практически применимые методы разработаны для случая, когда от параметра линейно зависят только коэффициенты целевой функции. Для случаев, когда от параметров зависят коэффициенты при переменных в условиях, еще не существует общих методов [1] .

При математическом моделировании никогда нельзя учесть всех факторов, влияющих на поведение системы. Более того, ни один из параметров модели не может оставаться неизменным в реальных процессах. В задачах линейного и нелинейного программирования коэффициенты при переменных считаются постоянными. Если модель хорошо отображает действительность, то при малых изменениях параметров у нее, в общем случае, должны сохраняться те черты, которые характеризуют поведение рассматриваемой системы. Такие системы в качественной теории дифференциальных уравнений получили название «грубых» [4]. Как известно из теории катастроф, в ЛП-задачах нет непрерывной зависимости решения от параметров системы, решение при определенных значениях параметров меняется скачкообразно [5]. Тем не менее изменение решения может быть

настолько велико, что оно не имеет физического смысла.

В работе исследуем разрывы целевой функции, возникающие при изменении параметров. В качестве приложения рассмотрим модели нефтепереработки и высокоскоростного транспорта, в которых моделирование позволяет получать существенную дополнительную прибыль или, наоборот, иметь упущенную выгоду в миллионы долларов.

Развитие высокоскоростного транспорта в настоящее время становится важной проблемой. Хотя чёткого деления на высокоскоростные и обычные поезда не существует, но принято к высокоскоростному относить транспорт со скоростью движения более 200 км/ч [6]. Общая протяженность высокоскоростных магистралей в мире, резкий рост которой происходит с 2000 г., составляет около 7000 км. Иная ситуация в России, где за последнее десятилетие протяженность железных дорог уменьшилась (с 87 тыс. км в 1995 г. до 85 тыс. км в 2006 г.) [7]. Качественное изменение железнодорожного транспорта произошло лишь в конце 2009 г. с пуском высокоскоростного поезда Москва -Санкт-Петербург. В настоящее время речь идет лишь об осуществлении в ближайшие годы единичных проектов и экономических расчетах перспективности создания высокоскоростных дорог. Сети железной дороги требуют больших государственных капитальных вложений, поэтому актуальна задача построения корректных моделей расчета и методов их анализа для определения конкурентоспособности относитель-

но существующего господства самолетов и автомобилей.

В нефтяной отрасли задачи ЛП широко используются при оптимальном планировании производства и сбыта, распределении нефти по заводам [8]. Особенностью современных моделей является большая размерность (используется около 103 переменных), что требует применения специальных программ и разработки специальных критериев для определения корректности модели [9].

Постановка задачи линейного программирования

Рассмотрим задачу линейного программирования для переменных Х1, X2,..., х , которые доставляли бы максимум целевой функции

Ь(х^, X 2,хп ) (1)

и удовлетворяли бы системе ограничений

gi(х,х2,Хп) = Ъ, г = 1,2,т, (2)

g(X!,х2,хп) <Ъ], у = тх +1,тх + 2,...,т , (3) гдех15х2хп > 0, Ъ - константы, Ь(х1,х2,...,х„) и g (х1, х 2, ..., х п ) - линейные функции [3].

При изменении параметров целевой функции она меняется непрерывно, в угловых точках области допустимых значений ее производная может терпеть разрыв [1]. Рассмотрим задачу о влиянии параметров, характеризующих ограничения (3).

Покажем, что существуют некоторые ключевые значения параметров, при достижении которых не только кардинально меняется структура оптимального решения, но и происходит скачкообразное изменение максимума целевой функции. Такие значения либо служат индикатором неточности линейного моделирования, либо отражают физические или экономические ограничения, которые требуют более тщательного анализа. В этом случае система становится негрубой.

Ключевые значения параметров

в задачах линейного программирования

Зададим целевую функцию следующим образом

Ь = сххх + с2х2 , (4)

где с1, с 2 - маржинальная прибыль с учетом

издержек на производство и транспортировку единицы продукции х1, х2 соответственно.

Систему уравнений (2) и ограничений (3) запишем в виде

*1 - х 3 - х 5 = 0 х 2 - х 4 - х 6 = 0 х 3 + х 4 = Ь /2 х 5 + х 6 = Ь /2

(5)

(6)

х1,х 2т" 6 — ^ * (7)

Здесь Р1, Р2, Я1, Я 2 , Ь - параметры задачи

(см. рис. 1), которые упорядочены следующим образом с1 < с2, Рх < Р2, Ях < Я2.

І рхг ягX3 Я2х5 < О

ІР2X2 - Ят X4 - Я2X6 < О

14

2Л6

Рис. 1. Схема задачи

Исследуем поведение максимального значения Ь = тах (Ь) целевой функции (4) от параметров системы.

Известно, что функция оптимальных значений Ь = Ь (с1, с 2 ) непрерывна, вогнута, кусочно-непрерывна [1] . Проведем анализ решения в зависимости от параметров в ограничениях (6). Рассмотрим зависимость Ь = Ь (Я 2 ) от параметров при фиксированном значении Я1 = Р1 (рис. 2). При значениях Я2 = Р1 и Я2 = Р2 функция Ь = Ь (Я 2 ) терпит разрыв первого рода. Таким

образом, существуют такие значения параметров в системе (4)-(7) , незначительная вариация которых приводит к разрыву первого рода целевой функции. Значения параметров, в которых максимум целевой функции Ь изменяется скачкообразно, будем называть ключевыми значениями параметров ЛП-системы. Система приобретает свойство негрубости, и требуется дополнительный анализ корректности моделирования.

Поясним экономическое содержание задачи (4)-(7) на двух упрощенных моделях.

Пусть требуется максимизировать прибыль от авиационных и железнодорожных перевозок пассажиров, определить количество пассажиров на каждом из видов транспорта и принять решение об эффективности одного из видов транспорта для конкретного региона. Пусть минимальная средняя цена билетов, по которым

можно осуществлять перелеты, составляет Р1, билетов на высокоскоростной поезд - Р2 (рис. 1).

Предположим, что существует 2 группы пассажиров А1 и А2, готовых заплатить за поездку цену Ях и Я2 соответственно. Количество пассажиров в группе Ь /2. Прибыль от авиаперевозки одного пассажира - ох, высокоскоростным поездом - с 2. Общее количество пассажиров в самолете - х1, в том числе из группы А1 - х3, из группы А2 - х5, в поезде пассажиров X2 , в том числе из группы А1 - X4 , из А2 - х6 .

Если в группах платежеспособный спрос низкий и составляет менее Я2 < Р1, нет пассажиров

ни на один вид транспорта; при Я2 > Р1 предпочтителен воздушный транспорт, при Я 2 > Р2 используются оба вида; Я2 > (2Р2 - Р1) - только

высокоскоростные поезда. Итак, если существует платежеспособный спрос А2 такой, что Я2 > (2Р2 - р), эффективным оказывается высокоскоростной транспорт, т.к. пассажиры бизнес-класса могут вместе с пассажирами эконом-класса обеспечить минимальные ограничения.

Таким образом, из рассмотренной модели можно сделать следующие выводы:

- развивать высокоскоростной транспорт имеет смысл только в том случае, если существует платежеспособный спрос;

- при моделировании особое внимание следует уделить корректному определению ключевых параметров для оценки экономической эффективности.

Рассмотрим задачу планирования производства автомобильных бензинов. Автобензины двух марок в объеме х1 и х 2 с минимально допустимыми октановыми числами Р1 и Р2 получаются смешением катализатов х3, х 4 и х5, х6

с установок А1 и А2 (рис. 1). Установки загружены равным количеством сырья Ь /2 . Потери в системе не учитываются. Обозначим октановые числа катализатов установки А1 - Ях и А2 -

Я2 (рис. 1).

При ключевых значениях параметров

Я1 = Р1 и Я2 = Р2 целевая функция Ь = Ь(Я2)

терпит разрыв (рис. 2). Это означает резкое изменение ассортимента при незначительном изменении качества сырья. Система теряет свойство грубости. Математическая модель, резко меняющая свое поведение при малом изменении входящих в нее параметров, которые физически никогда не могут измеряться точно, требует дополнительной технологической информации.

Примеры численного поиска ключевых значений

Поиск особых значений параметров в ЛП-системе реальных моделей, описываемых несколькими тысячами уравнений, на первый взгляд представляется затруднительным. Задача осложняется тем, что вычислительные программы осуществляют численный поиск решения ЛП лишь при конкретных значениях параметров. Однако негрубая модель меняет свое поведение не только в точке, но и в некоторой

14 1--------------------т------------------т-------------------т------------------

93 94 95 96 97

_ *2

Рис. 3. Зависимость максимума целевой функции Ь от параметра Я2 при Ь = 1, сх = 10, с2 = 20 для ^ = 95.0 -кривая (1), Я1 = 95.1 - кривая (2), Я 2 = 95.5 - кривая (3)

ШЕЕЖ шшш ШКЕШ швш ■ ЕВРО-98

г £ г~ 30,8% 30,8% / 30,7% 30,7% □ ЕВРО-95

г <i с 1 Г 29,9% 29,9% □ ЕВРО-92

49,4% 49,4% □ Нормаль-80

31,6% 31,6% В Бензин

щутш ШУХУШ прямогонный

0,90 1,00 1,01 1,10

Содержание бензола, %об.

Рис. 4. Зависимость оптимального ассортимента бензинов от объемной доли бензола катализата установки каталитического риформинга

окрестности, что позволяет провести диагностику модели численно, проводя пошаговые расчеты в окрестности ограничений.

Для численных расчетов, не нарушая общности, зададим значения Р1 = 92 (автобензин «Ре-

гуляр-92»), Р2 = 95 (автобензин «Премиум-95»), с1 = 10, с2 = 20, Ь = 1. Рассмотрим поведение в 8-окрестности Ях = 95, Я2 = 95 . При значениях Ях = 95 + £ (£ << 1) функция Ь = Ь(Я2 ) является непрерывной в интервале Я2 = 95 - £

(£ << 1), но производная дЬ / дЯ2 >> 1 (рис. 3).

Таким образом, резкое изменение целевой функции происходит уже в окрестности ключевых значений.

Как показывают расчеты, незначительное изменение октанового числа установки А2 на 0.1 пункта (с 94.8 до 94.9) при Ях = 95.1 приводит к

увеличению прибыли на 14%. Таким образом, технологически регулируя параметры системы (в данном случае октановое число), можно получить значительный эффект в виде дополнительной прибыли.

Покажем существование ключевых значений параметров и кардинальных изменений оптимального ассортимента в модели большой размерности. Исследуем поведение решения для некоторой типичной модели нефтеперерабатывающего завода с размерностью (n х т) = = 3000 х 4100. Результаты получены с использованием программы RPMS фирмы Honeywell, цены и качество компонентов условные.

Одним из ограничений на выпуск автомобильных бензинов является содержание бензола в автобензине [9]. На рис. 4 представлена зависимость оптимального ассортимента бензинов от объемной доли бензола в катализате установки каталитического риформинга. Из резуль-

татов расчета следует, что при количестве бензола 1%об. имеет место как изменение ассортимента, так и скачкообразное увеличение маржинальной прибыли. Необходимо провести дополнительный анализ данной модели для ключевого значения параметра.

Заключение

На примере системы, которая описывается системой линейного программирования, исследованы основные закономерности поведения оптимального решения задачи в зависимости от его параметров. Показано, что существуют ключевые значения параметров, в которых происходит скачкообразное изменение целевой функции. В этом случае требуется провести анализ адекватности самой модели и обратить внимание на корректность моделирования ключевых параметров.

Именно исследование поведения целевой функции в окрестности ключевых значений является основным фактором максимизации маржинальной прибыли в задачах оптимального планирования. При этом анализ чувствительности оптимального решения к параметрам целевой функции [4] оказывает меньшее влияние на результат и должен проводиться во вторую очередь.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант № 09-08-00188-а).

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1980. 975 с.

2. Таха Х. Введение в исследование операций. М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. 912 с.

3. Волошин Г.Я. Методы оптимизации в экономике. М.: Из-во «Слово и дело», 2004. 320 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

5. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.

6. Высокоскоростной железнодорожный транспорт [Электронный ресурс]. иЯЬ: Шр://^^^

infuture.ru/article/392 (дата обращения 11.11.2009).

7. Транспорт России. 2007: Стат. сб. М.: Росстат, 2007. 198 с.

8. Артемьев С.Б., Соркин Л.Р., Хохлов А.С. Декомпозиция задачи текущего планирования в вертикально-интегрированных нефтяных компаниях // ИНП РАН. 2001. № 2. С. 142-146.

9. Колесников А.О., Антонов М.Л. Направления и способы повышения качества моделей оперативного планирования нефтепереработки // Нефтепереработка и нефтехимия. 2007. № 12. С. 3-6.

10. ГОСТ Р 51866-2002. Бензин неэтилированный. Технические условия. М.: Госстандарт, 2002. 20 с.

PARAMETRIC ANALYSIS OF MATHEMATICAL MODELS IN LINEAR PROGRAMMING E.V. Kuvykina, V.I. Kuvykin, M.Yu. Petukhov

The term «rough» system is introduced for linear programming. A qualitative change of the problem solution has been shown to take place at some key values of the system parameters. The authors also consider the algorithms to search for key parameter values in analyzing high-speed transport performance and in optimal planning of oil refinery operation.

Keywords: mathematical modeling, optimal control, linear programming, dynamical systems, high-speed transport, refinery.