CC BY
22
УДК 66.011
В. В. Федоров, С. В. Афанасьев ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОГО МЕТОДА УСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
Ключевые слова: конвективно-диффузионный метод, параметрическая оптимизация.
Параметрическая оптимизация химико-технологической системырассматривается как задача условной оптимизации с декомпозиционным методом расчетакритерия. Упрощенный расчет выходных переменных элементов системы позволяет вычислять производные целевой функции с малыми вычислительными затратами. Многомерная условная оптимизация выполняется конвективно-диффузионным методом.
Keywords: convection-diffusion method, parametric optimization.
The parametric optimization of chemical-technological system is considered as constrained optimization taskwith calculating of criteria by decomposition method. The simplified calculation of output variables of system elements allows calculating derivatives of the object function with low computational cost. The multivariable constrained optimization is executing by the convection-diffusion method.
Введение
Параметрическая оптимизация химико-технологической системы выполняется по некоторому критерию, который определяется по рассчитанным значениям выходных переменных. Но неявная зависимость этих переменных от входныхданных усложняет задачу, так каких расчет основан на решении самостоятельной оптимизационной задачи. Следует также отметить, что для некоторых систем вопрос о выборе эффективного метода расчета продолжает оставаться актуальным [1].
Концепция безусловной оптимизации критерия с помощью специализированных программ и алгоритмов, предназначенных для получения окончательных результатов в процессе итераций, практически не позволяет применение методов выше нулевого порядка[2], [3], [4].
Целью работы является разработка алгоритма параметрической оптимизации с помощью производных первого порядка. Известно, что для упрощения расчетов сложных систем обычно применяется декомпозиционный метод [5]. При заданных значениях входных переменных c отдельных элементов системы рассчитываются выходные переменные:
У = Ф(с).
Входные переменные корректируются и вычисления повторяются до выполнения некоторого условия:
g(c) = 0.
В этом случае, оптимизацию по критерию f(y) можно представить как задачу условной оптимизации: fc) ^ min g(c) = 0, h(c) < 0.
Упрощенный метод вычисления f(c) позволяет вычислять производные с малыми затратами. Но задача условной минимизации нелинейных функций также является не простой. Тем не менее, предлагается ее решение с помощью уравнений конвективной диффузии [6].
Конвективно-диффузионный метод условной минимизации
Процедура минимизации рассматривается как физический процесс конвективно-диффузионного перемещения частицы многокомпонентного потока с концентрацией cв многомерном пространстве с координатами c=(c1,c2,... ,cn):
dc/dT=Ddc/dl2 -w,-dc/dl+<^„i=1,2,..,n (1) где D -коэффициент диффузии; с-штрафной параметр;
w/=-f c)/dc/[E(df(c)/dck)2]05; 2 qs max (c)/dc/ [E(dg max (c)/dck)2]05; gmax(c) = max( max gj (c), max -h/c)). После интегрирования уравнения по времени тс заданными начальными и граничными условиямидо наступления стационарного состояния задача условной оптимизации решается в одномерной области^ как показано на рисунке 1.
Рис. 1 - Оптимизация в одномерной области
Интегрирование выполняется методом конечных разностей с неявной разностной схемой. Как показано в [7], при малых затратах на вычисление частных производных функций временная сложность предлагаемого метода должна иметь порядок, близкий к O(n).
Примеры параметрической оптимизации
Решение задач параметрической оптимизации разных химико-технологических систем заслужи-ваетотдельного и более подробного описания, так как каждая из них описывается своей математической моделью. Тем не менее, ниже приводятся два
примера, в которых критерии оптимизации может рассчитываться декомпозиционным методом.
Оптимизация гидравлической сети Наглядным примером применения предлагаемого подхода с декомпозиционным методом расчета целевоИ функции является параметрическая оптимизация гидравлической сети. В задаче требуется рассчитать оптимальные диаметры трубопроводов djj для подачи жидкости потребителям по схеме, приведенной на рисунке 2, с заданными напорами А0=30м, к2=1г4=5м и расходами для потребителей: боиа>0.005м3/с, 4>0.005м3/с [8].
О,
о.
о.
fo-
h,
(Лд
К 2: 'tfQo*. 2 4]
Qu
00,3 h, Оз,4
il, (2out,Л
Рис. 2 - Гидравлическая сеть
Разбивая систему трубопроводов на отдельные участки i-j, гидравлический расчет которых не представляет особого труда, сформулируем задачу следующим образом:
V(c) ^ min gi(c) = 0,
g2(c) < 0, (2)
где с=(й-|, h3, d01, d03,d1i2,d3i2,d1i4,d34); V(c) - объем трубопроводов; g1(c)=max/=0|i|3|byßy,/(c)| (для узлов без потребителей); g2(c)=max/=2i4(Qout,r^jQj,/(c)) (для узлов с потребителями); Qy>,(c)=sign(Ay-A,)n[gdy>/ |h;-h/ |/(8// ,Лу,)]0'5(расходвтрубопроводе i-j); g - ускорение свободного падения; Л;/ - коэффициент тре-ния(вязкость жидкости: Г10-6м2/с; шероховатость трубопровода: 0.0003м.
Частные производные функций gi(c),g2(c) и V(c) (по h и h3) рассчитываются методом конечных разностей в виде:
dfc)/ac,=
[f(ci ,С2, ... ,c,+5, ... ,c8)-/(ci,c2,... ,сД ... ,c8)]/5 где 8 - малое число.
Дифференциальные уравнения (1) интегри-ровалисьна отрезке с количеством точек N= 20,с уточняемыми граничными условиями и параметрами D=0.1,a=100 до наступления стационарного режима с точностью 110-3. Полученное решение V(17.599,12.886, 0.0697, 0.0576, 0.0293, 0.0262, 0.0276, 0.0611)=1.7695м3 можно легко проверить по приведенной таблице 1.
Таблица 1 - Результаты решения задачи оптимизации трубопровода
участок ё,м /,м hI,м Qi ■103 Л
i j м3/с
0 1 0.0697 100 30.000 17.599 9.2423 0.0288
1 2 0.0576 150 17.599 5.000 4.6061 0.0305
0 3 0.0293 200 30.000 12.886 0.7786 0.0366
3 2 0.0262 180 12.886 5.000 0.4148 0.0384
3 4 0.0276 300 12.886 5.000 0.3639 0.0384
1 4 0.0611 200 17.599 5.000 4.6364 0.0301
Расчет неадиабатической ректификации
Представляется интересной задача оптимизации ректификационной колонныдля бинарных систем с внутренним теплообменом типа HIDiC, схематично показанной на рисунке 3.
Рис. 3 - Схема работы колонны типа НГОЮ
В качестве независимых переменных выбраны расходы жидкости Ь=(£0, LN/2, LN) в укрепляющей части и расходы пара V=(V0, К№2, в ис-
черпывающей части. При известных значениях Ь и V с помощью уравнений материального и теплового ба-лансалегко можно рассчитать выходные переменные - температуры и тепловые нагрузки на тарелках.
Расчет производитсяпоследовательно: от верхней тарелки до нижней для укрепляющей части и от нижней тарелки до верхней (тарелки питания) для исчерпывающей части. Выполнение материального баланса в тарелке питания является условием минимизации тепловой нагрузки на кипятильникбгеъы1ег(с):
6геЪо11ег(с) ^ т1п
Я (С) = 0
бгеои (С) +е„г1р„<с) < 0, I = 0, ..., N-1 (3)
Тгеои^-Ггес^С^ 0, I = 0, ..., N-1
Тв1:г1р, 1(с)-¡^1 (с)< 0, г = 0, ..., N-1
где с=(Ь, V); я(с)=0 -уравнение материального баланса для тарелки питания; бгеси(с) и Оф^с)- тепловые нагрузки на ¡-й тарелке укрепляющей и исчерпывающей части соответственно; Тгес: ¡(с) и Тйгф/с)- температуры на ¡-й тарелке укрепляющей и исчерпывающей части соответственно.
В качестве примера взят процесс разделения бинарной смеси, состоящей из бензола и толуола. Константы фазового равновесия рассчитывались как для идеальной смеси. Энтальпии определялись с интерполяцией по табличным данным.
Исходные данные: температура питания - 364оК;
состав питания: бензол - 50 моль/с; толуол - 50 моль/с;
давление в укрепляющей части - 180 кПа; давление в исчерпывающей части - 100 кПа; состав дистиллята: бензол - 45 моль/с; толуол - 5 моль/с;
состав кубового остатка: бензол-5 моль/с; толуол -45 моль/с;
количество ступеней в каждой части - N=7.
Как и в предыдущем примере, задача (3) решалась интегрированием уравнений (1) на отрезке с количеством точек 20, параметрами Д=0.07,а=100 с уточняемыми граничными условиями.
Согласно полученным результатам, приведенным на рисунке 4, видно, что тепловая нагрузка на кипятильник равна:
6геЬо11ег=556.9-308Л=248.8кВт. Для сравнения можно отметить, чтотепловая нагрузка в адиабатической колонне с таким же количеством тарелок составляет более 3000 кВт.
Рис. 4 - Результаты оптимизации HIDiC
Данные результаты практически совпадают с результатами расчета, выполненного по программе ChemCad для двух колонн с внешним теплообменом
при бгес^бзЩр,,' (0, ..., N-1).
Заключение
Для получения более точных результатов в предлагаемом методе требуется многократное решение краевой задачи (1) в новой области, в центре которой находится точка, полученная в предыдущем расчете. Тем не менее, следует отметить, что методы минимизации с применением производных, (например, градиентные методы) сходятся к минимуму со скоростью геометрической прогрессии, а частные производные при декомпозиционном подходе вы-
числяются с малыми затратами. Результаты численных экспериментов, подтверждают возможность параметрической оптимизации химико-технологической системы сприменением конвективно-диффузионного метода условной минимизации.
Литература
1. E. Abraham, I. Stoianov.Efficient preconditioned iterative methods for hydraulic simulation of large scale water distribution networks. Procedía Engineering, 119, 623-632 (2015).
2. R. Gutiérrez-Guerra, R. Murrieta-Dueñasb, J. Cortez-Gonzálezb, J. G. Segovia-Hernándezc, S. Hernándezc, A. Hernández-Aguirred. Design and optimization of HIDiC columns using a constrained Boltzmann-based estimation of distribution algorithm-evaluating the effect of relative volatility. Chemical Engineering and Processing:Process Intensification, 104, 6, 29-42 (2016).
3. H. Shahandeha, J. Ivakpourb, N. Kasiria. Internal and external HIDiCs (heat-integrated distillation columns) optimization by genetic algorithm. Energy, 64, 1, 875-886 (2014).
4. M.D. SPASOJEVIC, M.R. JANKOVIC, D.D. DJAKOVIC. A new approach to entropy production minimization in diabatic distillation column with trays. Thermal science, 14, 2, 317-328 (2010).
5. В.А. Холоднов, К. Хартманн, В.Н. Чепикова, В.П. Андреева.Системный анализ и принятие решений. СПбГТИ (ТУ), Санкт-Петербург, 2006, 160 с.
6. В.В. Федоров. Минимизация с ограничениями в виде равенств с помощью уравнений конвективной диффузии. Вектор науки ТГУ,28, 2, 21-25 (2014).
7.В.В. Федоров. Новый конвективно-диффузионный метод глобальной минимизации для решения обратных задач химической кинетики. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журнал. 4, 75-90 (2013).
8. В.В.Федоров.Конвективно-диффузионный метод условной минимизации для оптимизации гидравлической сети. Актуальные проблемы и достижения в естественных и математических науках. ИЦРОН, Самара, 2015, С. 14-18.
© В. В. Федоров - начальник сектора конструкторского бюро ОАО «ТОЛЬЯТТИАЗОТ», Тольятти (Россия); С. В. Афанасьев - доктор технических наук, профессор Тольяттинского государственного университета, Тольятти (Россия), nnziat@yandex.ru.
© V. V. Fedorov - chief of sector of design office TOGLIATTIAZOT, Togliatti (Russia); S. V. Afanasyev - Doctor of Technical sciences, Professor of Togliatti State University, Togliatti (Russia), nnziat@yandex.ru.
