Параметрическая модель узла нагрузки с нелинейными электроприемниками Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.311.1.018.3

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УЗЛА НАГРУЗКИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕКТРОПРИЕМНИКАМИ

Н.Н. Харлов

Томский политехнический университет E-mail: rcr@tpu.ru

Математическое моделирование качества электрической энергии, основанное на использовании метода гармонического баланса, требует применения соответствующих математических моделей узлов нагрузки, учитывающих их нелинейные и частотные свойства. Предложен подход к построению таких моделей, на основе имеющихся экспериментальных данных разработан алгоритм определения параметров моделей. Проведены расчеты применительно к одному из узлов нагрузки, обладающему такими свойствами.

В задачах математического моделирования режимов электроэнергетических систем и сетей, как правило, рассматривают синусоидальные, симметричные режимы. Как результат, определяется лишь один из показателей качества электрической энергии (ПКЭ) - установившееся отклонение напряжения в узлах электрической сети. В ряде случаев, прежде всего при проектировании новых и реконструкции существующих узлов нагрузки, а также в эксплуатации возникает необходимость определения таких показателей качества, как коэффициенты и-ных гармонических составляющих и коэффициенты искажения синусоидальности кривых напряжения, коэффициенты несимметрии напряжения по обратной и по нулевой последовательности. Такая необходимость обусловлена наличием в составе нагрузочных узлов современных промышленных и коммунальных электрических сетей электроприемников с нелинейными воль-тамперными характеристиками. Нелинейные свойства нагрузок проявляются также и в электрических сетях электроэнергетических систем. Существует устойчивая тенденция к увеличению доли нагрузок, обладающих данными свойствами.

Помимо электроприемников с нелинейными вольтамперными характеристиками в узле нагрузки всегда присутствуют элементы, обладающие линейными вольтамперными характеристиками, комплексные сопротивления которых зависят от частоты основной и высших гармонических составляющих напряжения - конденсаторные установки, трансформаторы и реакторы со своими индуктивностями рассеяния и пр. Таким образом, узлы нагрузки в большинстве случаев обладают одновременно нелинейными и частотными свойствами, при этом каждая из гармонических составляющих тока узла нагрузки определяется всеми гармоническими составляющими питающего напряжения. Изучение узлов нагрузки с этих позиций представляет практический интерес, прежде всего для целей расчета и прогнозирования показателей качества напряжения, определения вклада отдельных потребителей электрической энергии в их ухудшение, эквивалентирования нагрузок с нелинейными вольтамперными характеристиками и пр.

В этой связи следует отметить, что существующие математические модели нагрузок не обеспечивают учет несинусоидальности напряжения сети в

узле их подключения [1-3]. Это может приводить к получению неверных результатов, как показано, например, в [4]. В [5-7] разработаны методики расчета показателей качества напряжения, основанные на использовании метода гармонического баланса и свободные от указанных недостатков, но и они имеют ограниченное применение, поскольку в качестве нелинейного элемента узла нагрузки рассматривается только трехфазный мостовой преобразователь. Кроме того, данные методики предполагают наличие исчерпывающей информации о составе и режимах работы всех электроприемников, которая, как правило, в полном объеме отсутствует.

В настоящей статье предлагается один из подходов к построению математического описания узлов нагрузки, устанавливающего связи между мгновенными значениями напряжения на зажимах и мгновенными значениями тока нагрузки.

В основу положены принципы математического моделирования нелинейных систем [8].

1. Структурная схема и математическое описание нагрузки в форме нелинейной математической модели

Рассматриваемые узлы нагрузки в соответствии с существующей терминологией являются нелинейными инерционными элементами. Исследование таких объектов достаточно сложно. В теории нелинейных систем применяется расчетный прием в виде разделения нелинейного инерционного элемента на нелинейную неинерционную и линейную инерционную составляющие. При построении математического описания нелинейных нагрузок одна из фаз узла нагрузки представляется в виде элементарных нагрузок, нелинейные свойства которых учитываются нелинейными неинерционными блоками, а инерционные свойства - линейными инерционными блоками, рис. 1.

Трехфазная нагрузка может быть представлена совокупностью однофазных нагрузок, включенных на фазные и (или) линейные напряжения.

Нелинейные неинерционные блоки задаются аналитически степенной зависимостью:

Ф1 (ыу)) = а1ы ()1,

где ] - степень, численно равная номеру элементарной нагрузки; а - постоянный множитель; и(0 - фазное напряжение на зажимах.

Рис. 1. Структурная схема узла нагрузки в однофазном варианте

Линейные инерционные блоки характеризуются импульсными переходными функциями Н](т).

В соответствии с приведенной структурной схемой ток элементарной нагрузки у определяется формулой:

г

/\ (г) = | а1ы (т) (г —т)с1т.

0

В дальнейшем полагаем

И1 (г-т) = а1И1 (г-т).

Ток нелинейной нагрузки определится как сумма токов элементарных нагрузок:

Кг) = Х 11(г) =Х |ы(т) (г-т)Ст. (1)

1=1 1=1 0

При условии ¡р(0)=0.

Далее линейные инерционные блоки представляются двухполюсниками с частотными характеристиками

да

21(1а) = |И 1 (т)е~'шт Ст = 21 (а)е'Ф](ш\

0

В периодических режимах с частотой повторяемости процессов а>0 ы($ представляется рядом Фурье:

да

ы(г У = и 01 + X ит1 С05(кюог) + и'П1 $т(кЮог). к=1

В этом случае ток элементарной нагрузки определится формулой:

да

1](г) = и Щ12 01 + X К1 соь(каог -% )/ к.

к=1

да

+YU'mj Sin(k^0t~%j)/ 1

к=1

(2)

где 1кр Фр - модуль и фаза частотной характеристики у-ого двухполюсника на частоте к-ой гармоники.

При наличии в питающей электрической сети периодических колебаний напряжения с периодом большим периода основной частоты, но кратным ему, в его спектре будут присутствовать и субгармонические составляющие с периодом больше периода основной частоты. В этом случае расчет следует проводить в пределах интервала повторяемости колебаний напряжения.

2. Идентификация (определение параметров) нелинейной математической модели узла нагрузки

Задачей идентификации параметров модели является определение импульсных переходных функций h (т) линейных блоков. Определение их может быть выполнено либо на основе имеющихся осциллограмм напряжений и токов в узле нагрузки, либо расчетным путем с использованием импульсных переходных функций типовых групп электроприемников, определенных ранее для существующих электроустановок. Поскольку второй путь базируется на первом, рассмотрим определение импульсных переходных функций по результатам измерений в действующих электроустановках. В процессе идентификации необходимо обеспечить наибольшую близость фактического тока i (t) и тока i(t,h1(r),h2(T),...hlt(f)), определяемого с использованием математической модели (1). Критерием близости в данном случае служит минимум целевого функционала:

T

F = J(i(t,й1(т),к2(т),...кп(т)) - i (t))2dt ^min, (3)

0

где Т - период повторяемости фазного напряжения и тока, на основе которых проводится идентификация.

Для получения значений hj(r) используется способ так называемой параметрической идентификации, когда структура функции задается заранее, а ее параметры подлежат определению.

Одним из возможных способов является представление импульсной переходной функции ~~( т) для j-ой элементарной нагрузки функцией следующего вида:

h. (т) = 8(т)1 + U (т)/L + 8’(т)С1

(4)

где и(т) и 5(т) - единичная функция и единичная импульсная функция соответственно.

Данная импульсная переходная функция соответствует параллельно включенным ЯрЬр С.

Задача идентификации параметров математической модели узла нагрузки в данном случае сводится к определению значений ЯрЬр С для всех линейных инерционных блоков. Данная задача является задачей безусловной минимизации целевого функционала (3). Ограничения на знаки переменных не накладываются ввиду возможности проявления в нелинейных цепях как их положительных, так и отрицательных значений. Целевой функционал в данном случае является сепарабельным, что позволяет получить простые аналитические выражения для определения значений переменных, минимизирующих его значение вдоль каждой из координат.

Опыт проведения расчетов параметров моделей применительно к реальным узлам нагрузки показывает, что для получения приемлемой точности требуется достаточно большое количество шагов

минимизации (до 500), дающее в итоге достаточно хорошее совпадение моделируемого тока нагрузки с результатами измерения. В ходе многократного повторения циклов минимизации целевого функционала рассчитываются значения Ц,Ц,С, где индекс к относится к циклу минимизации, а индекс - к элементарной нагрузке.

3. Алгоритм определения параметров нелинейной

математической модели

Ниже описан алгоритм, являющийся алгоритмом безусловной покоординатной минимизации целевого функционала (3). Расчет необходимо проводить в относительных единицах (во избежание переполнения разрядной сетки компьютера), принимая за базисные максимальные по абсолютной величине значения и(7) и /(/) на интервале повторяемости процессов Т.

Алгоритм представляет собой многоэтапную процедуру минимизации, количество этапов которой определяется стремлением получить требуемую точность в определении параметров математической модели.

На к-ом этапе расчета производятся вычисления параметров линейных блоков, обеспечивающих минимизацию целевого функционала (3). Для -ого блока параметры определяются в приведенном ниже порядке формулами: т т

я] = | ы(г)2Сг /1 ы(г)1Гк-1п (г)Сг, (5)

0 0

41(г) = >1,п (г) - ы (г)/ я],

т г т г

=| (| ы] (х)Сх)2 Сг /1 (/'к 1 (г) | ы] (х)Сх)Сг, (6)

0 0 0 0 г

к 1 (г) = 41 (г) -1 и (х) Сх / ь],

duj (x)

dx

dx

hj (t) = ikj (t) - C d (uJ (t))/ dt.

‘k ,J

Расчет проводится для значений от р=1 до и.

На первом этапе расчета значение /к-1и(0 принимается равным I (/).

По достижении значения целевого функционала, соответствующего требуемой точности, процесс минимизации заканчивается и определяются значения ЯрЬр С из выражений:

т

1/Я. = Х1/Я,

к=1 т

1/ь. = Х1/ьк,

] ¿—1 ]5

(8)

с. = Х ск.

j L-i j

к=1

Здесь m - количество циклов минимизации.

4. Переход от нелинейной модели к эквивалентной линейной параметрической модели

Определенные в соответствии с пл. 2, 3 значения импульсных переходных функций /~( т) позволяют произвести переход к эквивалентной линейной модели узла нагрузки, представленной также в виде элементарных нагрузок, нелинейные и инерционные свойства которых моделируются введением линейных инерционных блоков с изменяющимися во времени параметрами, и характеризуемых импульсными переходными функциями h(t,т), рис. 2. Для определения h (t, т) воспользуемся условиями:

R . (t) = u(t)/(Rj*u(t )J),

L. (t) = J u (t)dt /(L j * J u (t)J dt),

C. (t) = (du (t) / dt) /(CJ *du (t)J / dt),

и далее определяется значение h ¡(t, т):

h j (t, t ) = S(t )/ Rj( t) + U ( t )/ Lj( t) +S'( t ) Cj( t).

Импульсная переходная функция нагрузки определяется как сумма импульсных переходных функций элементарных нагрузок:

h(t, т) = J hj(t, т).

j=i

Ток нагрузки в этом случае определится по формуле

n n t

i(t) = Xij(t) =X Ju(T)hj (t,T)dT =

j=1 j=1 0

t n t

= J u(t )X h(t, т )dr = J u(t ) h(t, т) dт.

0 j=1 0

5. Определение параметров математической модели одного из узлов нагрузки

Ниже приводятся результаты определения параметров математической модели однофазной нагрузки, содержащей в своем составе значительную долю люминесцентных ламп и микропроцессорной техники. Измерения, выполненные с помощью анализатора качества электрической энергии типа AR-5, позволили определить спектральный состав напряжения и тока (рис. 2, 3), а также их временные диаграммы. В ходе определения параметров математической модели нагрузки количество элементарных нагрузок n принято равным 50. Количество m этапов минимизации целевого функционала (3) составило 100. На рис. 4 показано изменение целевого функционала в ходе его минимизации. Процесс минимизации уверенно сходится, хотя с увеличением желаемой точности получаемых результатов объем вычислений значительно возрастает. На рис. 5-7 приведены значения параметров, полученные в ходе минимизации (3) по формулам (5-8). На рис. 8 показана зависимость тока нагрузки во времени, полученная с использованием (1). Экспериментальная и восстановленная

0

о

к=1

зависимости тока достаточно хорошо согласуются даже при~условии ограниченности учета составляющих Н(т) входящих в выражение (3).

4 -3.5

~ 3

Ч 15

О

£ 2 х 1.5 3 1

0.5 О

п .пП|р

см ■» СО ч- ’3-Ь-ОСОЮО)(ЧЦ-)СОТ--3-Г^О т-т-СМСМСМСМСОСОСО'Й-'^-'^-Ю

Номер гармонической составляющей

Рис. 2. Гармонический состав питающего напряжения

30 25

- 20

н

о

? 15 £. 10

п п п

Номер гармонической составляющей

Рис. 3. Гармонический состав тока нагрузки

Рис. 4. Изменение целевого функционала в процессе определения параметров математической модели

Показатель степени \-\л элементарной нагрузки

Рис. 5. Значения величины 1/Н, полученные в результате минимизации целевого функционала

7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 I

Показатель степени ] элементарной нагрузки

Рис. 7. Значения величины С, полученные в результате минимизации целевого функционала

Рис. 6. Значения величины 1/1, полученные в результате минимизации целевого функционала

Рис. 8. Питающее напряжение, экспериментальная и восстановленная временные диаграммы тока

6. Использование полученных математических моделей для расчетов установившихся режимов электрических систем и сетей

При расчетах уровня несинусоидальности электрической сети на первом этапе в качестве начального приближения задаются узловые напряжения и(/)(0) (например, номинальные синусоидальные). По (1,2) определяется гармонический состав токов узлов нагрузки сети. Полученные значения гармонических составляющих токов используются для уточнения спектрального состава напряжений в узлах сети и(?)т путем расчета установившегося несинусоидального режима обычными методами и вновь рассчитывается гармонический состав токов. Уточнения продолжаются до выполнения принятого критерия сходимости итерационного процесса.

Выводы

1. Узлы нагрузки, обладающие нелинейными и частотными свойствами, могут быть представлены в виде математических моделей двух типов: нелинейными (непараметрическими) и линейными (параметрическими). Используемые в данных моделях выражения импульсных переходных функций - элементарны, что позволяет значительно упростить дальнейшие выкладки и расчеты, в которых возникает необходимость использования полученного математического описания нагрузок.

2. Полученное математическое описание нагрузок позволяет определять токи нагрузки для целей расчета установившихся режимов и показателей

качества электрической энергии в питающей электрической сети. Модель обеспечивает учет искажения питающего напряжения в узле нагрузки, а в случае необходимости и периодические колебания напряжения и может применяться при определении показателей качества электрической энергии с использованием метода гармонического баланса.

3. Разработан алгоритм определения параметров математической модели узла нагрузки по результатам измерения спектрального состава напряжений и токов. Алгоритм основан на использовании метода покоординатной минимизации целевого функционала и дает возмож-

ность определять параметры линейных инерционных блоков структурной схемы. Работоспособность предложенного подхода к математическому моделированию и определению параметров математической модели узла нагрузки проиллюстрирована на примере реальной нагрузки, содержащей в своем составе значительное количество люминесцентных ламп и микропроцессорной техники. Полученные результаты подтверждают его эффективность и перспективность применения с целью дальнейшего развития методов и алгоритмов моделирования показателей качества электрической энергии на основе метода гармонического баланса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жежеленко И.В. Высшие гармоники в системах электроснабжения промпредприятий. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 184 с.

2. Черепанов В.В. Расчеты несинусоидальных и несимметричных режимов систем электроснабжения промышленных предприятий. - Горький, ГТУ. 1989. - 95 с.

3. Гармоники в электрических системах / Пер. с англ. Дж. Аррилага, Д. Брэдли, П. Боджер. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 320 с.: ил.

4. Харлов Н.Н., Лир Л.В. О влиянии питающей сети на гармонический состав токов мощных статических преобразователей // Известия вузов. Энергетика. - 1987. - № 2. - С. 35-37.

5. Харлов Н.Н. Методика совместного расчета установившихся режимов систем электроснабжения и преобразователей: Авто-реф. дис. ... канд. техн. наук. - Киев, 1985. - 22 с.

6. Левченко В.В. Расчет установившихся режимов в системах переменного тока сложной структуры, содержащих мощные преобразователи. Преобразовательные устройства и системы возбуждения синхронных машин. - Л.: Наука, 1973. - С. 18-22.

7. Кучумов Л.А., Харлов Н.Н., Картасиди Н.Ю., Пахомов А.В., Кузнецов А.А. Использование метода гармонического баланса для расчета несинусоидальных и несимметричных режимов в системах электроснабжения // Электричество. - 1999. - № 12. - С. 10-22.

8. Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.П., Шмульян Б.Л. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. - М.: Энергия, 1976. - 440 с.: ил.

УДК 621.311.1

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ УСТОЙЧИВОГО Н-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

С.А. Бурдинский, В.К. Кистенев, А.С. Торопов

Красноярский государственный технический университет E-mail: Andrej_tr@mail.ru

Показана возможность прогнозирования электропотребления крупных электроэнергетических систем с помощью метода рангового анализа.

Существующие методы прогнозирования электрических нагрузок формализуют расчеты на основе классических представлений электротехники и методах математической статистики. Но расчет электрических нагрузок, опирающийся только на классический аппарат, не может обеспечить достаточную точность при прогнозировании процессов в современных условиях в крупных электроэнергетических системах.

Электрическое хозяйство крупного предприятия является системой нового типа, для которой характерно, что ее свойства не вытекают из совокупности свойств отдельных элементов ее образующих. В биологии, например, системы такого типа и порядка сложности определяются как ценозы.

Исследование ценоза - это исследование целого конкретного объекта, предполагающее движение от целого к части при изучении очень сложных вероятностных систем.

Научно-технический прогресс достиг степени развития, когда видовое разнообразие выпускаемых изделий соизмеримо с видовым разнообразием в природе. Законы формирования технических систем из отдельных изделий схожи с законами формирования биосистем из отдельных особей. Законы развития и поведения биологических и технических систем имеют общность, поэтому представляется возможным и необходимым описать законы функционирования и развития сложных технических систем, основываясь на ценологическом подходе к