Научная статья на тему 'Параметрическая идентификация математических моделей в форме дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений'

Параметрическая идентификация математических моделей в форме дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
140
41
Поделиться
Ключевые слова
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ / РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ / ИТЕРАЦИОННАЯ ПРОЦЕДУРА / СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ / ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ / PARAMETRICAL IDENTIFICATION / DIFFERENCE EQUATIONS / ITERATIVE PROCESS / MEANSQUARE APPROXIMATION / FRACTION-RATIONAL FUNCTIONAL DEPENDENCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Зотеев Владимир Евгеньевич, Романюк Мария Анатольевна

Рассматривается численный метод определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных функциональных зависимостей. В основе метода лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений. Такой подход к решению задачи идентификации дробно-рациональных функциональных зависимостей позволяет обеспечить высокую адекватность построенной математической модели и, как следствие, добиться высокой точности оценивания её параметров.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Зотеев Владимир Евгеньевич, Романюк Мария Анатольевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Parametrical identification of the mathematical model in the form of fraction-rational dependencies on the basis of difference equations

The numerical method of parametrical identification of the mathematical model in the form of fraction-rational functional dependencies is considered. The method is based on iteration procedure for mean-square estimation of coefficients of linear parametric discrete models in the form of stochastic difference equations. Such an approach to solving the problem of identification of the fraction-rational functional dependencies can ensure a high adequacy of the models, and as a consequence, achieve high accuracy of estimating of the models parameters.

Текст научной работы на тему «Параметрическая идентификация математических моделей в форме дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3 (28). С. 102—113

УДК 517.962.24+519.246

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ФОРМЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

В. Е. Зотеев, М. А. Романюк

Самарский государственный технический университет,

443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: zoteev-ve@mail.ru, zausmasha@mail.ru

Рассматривается численный метод определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных функциональных зависимостей. В основе метода лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений. Такой подход к решению задачи идентификации дробно-рациональных функциональных зависимостей позволяет обеспечить высокую адекватность построенной математической модели и, как следствие, добиться высокой точности оценивания её параметров.

Ключевые слова: параметрическая идентификация, разностные уравнения, итерационная процедура, среднеквадратичное приближение, дробно-рациональная функциональная зависимость.

Проблема параметрической идентификации математических моделей, описывающих динамические процессы различной физической природы в форме дробно-рациональных зависимостей, является одной из важнейших проблем в математическом моделировании. Исследование динамических процессов в форме дробно-рациональных функциональных зависимостей, которые являются точным или приближенным решением нелинейных дифференциальных уравнений, широко применяется в практике научно-технического и промышленного эксперимента. Например, в машиностроении для описания затухания амплитуды колебаний диссипативной механической системы обычно используется нелинейная функциональная зависимость вида [1]

a{t) = a0(l + (п - 1)^)

которая может быть аппроксимирована более простой дробно-рациональной функцией [2]:

a(t)

£о t

ао ( 1 + +

-ШГ1

1

(1)

где ао — начальная амплитуда колебаний; §о и T — декремент и период колебаний; n — характеристика нелинейности диссипативной силы. В частности, при турбулентном трении (n = 2) формула (1) задаёт гиперболическую зависимость [1, 2]:

a(t) =a0(l + .

Владимир Евгеньевич Зотеев (д.т.н., доц.), профессор, каф. прикладной математики и информатики. Мария Анатольевна Романюк, ассистент, каф. прикладной математики и информатики.

102

Параметрическая идентификация математических моделей ...

Другим примером математического описания исследуемого объекта дробно-рациональными зависимостями является гиперболическая зависимость квадрата амплитуды а(,) вынужденных колебаний линейной диссипативной системы от частоты возбуждения [3, 4]:

а2(,)

К2

Р2, ,4

Ррш0________

w2)2 + 4h2oj2 ’

(2)

где Р0 — амплитуда гармонического возбуждения; ,0 — собственная (резонансная) частота системы; h — коэффициент демпфирования.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Известны методы оценивания параметров дробно-рациональных зависимостей вида (1) или (2), например, метод определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1], метод «затухающих колебаний» [1, 5], метод «кривой резонанса» [1, 5], обладающие рядом существенных недостатков, к которым можно отнести, во-первых, линеаризацию (упрощение) математической модели в той или иной форме, во-вторых, принципиальную невозможность применения статистических методов оценивания при обработке результатов измерений и, в-третьих, использование, как правило, громоздких промежуточных графических построений без какой-либо ориентации на применение современных средств вычислений и обработки информации. Вследствие этого эти методы обладают невысокими точностью и помехозащищенностью.

Одним из эффективных путей решения этой проблемы является применение численного метода, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений [2]. Параметрическая идентификация нелинейных функциональных зависимостей производится на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщённой регрессионной модели, которые известным образом связаны с параметрами дробно-рациональных функций.

В основе параметрической идентификации с использованием численного метода лежит вычисление таких оценок параметров математической модели, которые минимизируют величину её отклонения от результатов наблюдений по евклидовой норме в N-мерном арифметическом пространстве:

N -1

IIУ — yl|2 =J2(yk - )2 ^ min’

k=0

(3)

где yk — результаты наблюдений; Ук — результаты вычислений на основе построенной математической модели.

Численный метод определения параметров дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений включает следующие основные этапы:

- формирование выборки результатов наблюдений yk (к = 0,1, 2,..., N — 1) с периодом дискретизации т, где N — объём выборки;

- построение разностных уравнений, рекуррентно описывающих дискретные значения дробно-рациональной функции;

- построение разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений и формирование на их основе обобщенной регрессионной модели;

103

Зотеев В.Е., Романюк М. А.

- среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения;

- вычисление оценок параметров математической модели в форме дробно-рациональной зависимости;

- оценка погрешности результатов вычислений.

Рассмотрим применение численного метода на основе разностных уравнений в задаче параметрической идентификации математических моделей, описываемых дробно-рациональными функциями вида

i(t) i(t) =

y(t) =

- с° 1+Cit’ со

1 + C\t + c2t2’ Со + C\t

1 + c2t + Cot2 '

(4)

(5)

(6)

Полагая в равенствах (4)-(6) t = tk = Tk, где т — период дискретизации, k = 0,1, 2, 3,..., получаем уравнения, описывающие последовательности дискретных значений дробно-рациональных зависимостей:

со . _ с0 Л _ с0 + с\тк

1 + cirfc’ ^к 1 + с\тк + С2Т2к2 ’ ^к 1 + С2тк + сот2к2 ’

Рассмотрим построение разностного уравнения, рекуррентно описывающего последовательность дискретных значений дробно-рациональной зависимости (4).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Очевидно, что имеет место равенство

ilk = Ai + A2kyk,

где Ai = Со и A2 = —CiT. В то же время справедливо соотношение

yk-i = Ai + A2(k — 1)yk-i-

Отсюда для значений k = 1, 2, 3,... получаем разностное уравнение вида

ik — ik-i = A2 [kyk — (k — 1)yk—i],

которое можно дополнить равенством уо = Со = Ai. Аналогично формируются разностные уравнения, рекуррентно описывающие последовательности дискретных значений дробно-рациональных зависимостей (5) и (6):

уо = Ai,

ik — ik-i = A2[kyk — (k — 1)ik-i] + A3[k2 ik — (k — 1)2ik-i],

k = 1,2,3,...,

где Ai = Со, A2 = —CiT, A3 = —C2т2; f yo = Ab

< ik — ik-i = A2 + A3 [kyk — (k — 1)ik-i] + A4[k2ik — (k — 1)2 ik-i],

k = 1, 2, 3,...,

104

Параметрическая идентификация математических моделей ...

где Ai = со, А2 = cit, A3 = -С2Т, А4 = -сзт2.

Представленные выше соотношения лежат в основе построения стохастических разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений уk (k = 0,1, 2,... ,N — 1) при исследовании математических моделей процессов в форме дробно-рациональных зависимостей. Результаты эксперимента yk могут быть представлены в виде

Vk = Ilk + £k, (7)

где величина £k характеризует отклонение результата измерений yk от дискретного значения дробно-рациональной функции yk, используемой в качестве математической модели исследуемого процесса. Относительно характера величины £k (вообще говоря, случайной) пока никаких суждений делать не будем, что позволит существенно расширить область применения численного метода. С учётом соотношения (7) полученные выше формулы запишем так:

Уо = Ai + £о,

yk — Vk-i = А2 [kyk — (k — 1)yk-1] + nk+i,

nk+i = [A2(k — 1) — V]£k-i + (1 — A2 k)£k,

k = 1, 2,..., N — 1;

Уо = Ai + £о,

< Vk — Vk-i = A2[kyk — (k — 1)yk-i] + A3[k2yk — (k — 1)2yk-i] + nk+i, nk+i = [A2(k — 1) + A3 (k — 1)2 — 1]£k-i + (1 — A2k — A3k2)£k,

k = 1,2,..., N — 1;

Уо = Ai + £о,

Vk—Vk-i=A2+A3[kyk — (k — 1)yk-i] + A4[k2 yk — (k — 1)2yk-i] + nk+i,

nk+i = [A3(k — 1) + A4 (k — 1)2 — 1]£k-i + (1 — A3k — A4k2)£k,

k = 1,2,..., N — 1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(8)

(9)

(10)

Построенные разностные уравнения (8)—(10) в матричной форме принимают вид обобщённой регрессионной модели:

b = FA + n; n = A £.

(11)

Для дробно-рациональной зависимости (4) переопределённая система линейных алгебраических уравнений b = FA описывается следующими соотношениями: A = (Ai, A2)т — вектор коэффициентов разностного уравнения; b = (уо, Vi — Уо, У2 — Vi,..., Vn-i — Vn-2)т — N-мерный вектор правой части системы;

1 0 \

0 yi

F= 0 ю to • 1

0 (N — 1)vn-i — (N- <N 1 ft c7

105

Зотеев В.Е., Романюк М. А.

— (N х 2)-матрица регрессоров.

Для дробно-рациональной зависимости (5) имеем

Л = (Ai, А2, A3)Т, b = (уо^1 - Vo,V2 - Уъ ■ ■ ■ ,Vn-1 - Vn-2)Т,

I1 0 0 \

0 V1 V1

0 to to 1 to 1

\0 (N - 1)vn-1 - (N - 2)vn-2 (N - 1)2vn-1 - (N - 2)2vn-2/ а для зависимости (6) —

Л = (Л1 , Л2, Л3, Л4)Т, b = (Уо,У1 - У0,У2 - Vi, ■ ■ ■ ,Vn-1 - Vn-2)Т,

Z1 0 0

0 l V1

0 l to to 1

0

V1

4У2 - У1

\

\0 1 (N - 1)vn-1 - (N - 2)vn-2 (N - l)2vn-1 - (N - 2)2vn-2/

Вектор n = (П1, П2, ■ ■ ■, nN)T, описывающий эквивалентное возмущение в обобщённой регрессионной модели b = ^Л + n, есть линейное преобразование вектора остатков е = (е0,е1, ■ ■ ■ ,sn-1 )Т. Элементы матриц P\ = (pj} (i, j = l, 2, 3, ■ ■ ■ , N) линейного преобразования вектора остатков для дробнорациональных зависимостей (6)—(9) соответственно описываются следующими формулами:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Pij

Pij

Pij

'l,

l - Л2(г - l),

Л2(г - 2) - l,

0,

'l,

l - Л2(г - l) - Лз(г - l)2, Л2(i - 2) + Лз(г - 2)2 - l, 0,

'l,

l - Лз^ - l) - Л4(i - l)2, Л3(i - 2) + Л4(i - 2)2 - l,

0,

1 = j = l;

2 < i = j; i = j +1;

i < j, i > j +1;

1 = j = i;

2 < i = j; i = j + i;

i < j, i > j +1;

1 = j = i;

2 < i = j; i = j + i;

i < j, i > j + l-

В рассматриваемом численном методе вычисление коэффициентов разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений, сводится к решению регрессионной задачи (11): нахождению среднеквадратичных оценок, минимизирующих функционал (3): ||y - у|| = ||е|| ^ min. При решении регрессионной задачи применяется итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения [2], которая включает следующие основные шаги:

106

Параметрическая идентификация математических моделей ...

1) вычисление первоначальной оценки |(0) вектора коэффициентов регрессионной модели;

2) вычисление элементов матрицы Р\ линейного преобразования вектора остатков;

3) преобразование обобщенной регрессионной модели к виду

Р-1 b = Р-1 FX + £(г)

PA(i) b PA(i) FA + ’

где £(г) = Р- n, i = 0,1, 2, 3,... — номер итерации;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4) решение линейной регрессионной задачи

||£(г) У2 = ||Р-1)b - P-1)FA(m) II2 ^ min,

11 11 II A(i) A(i) И ’

которое приводит к новой уточненной среднеквадратичной оценке вектора регрессионных коэффициентов:

Л(г+1) = (FT Q-(1) F)-1 FTQ-(1) b,

где ^A(i) = p>A (i) pA(i);

5) сравнение двух последовательных приближений вектора оценок коэффициентов разностного уравнения:

|А(г+1) - |(г) | ^ 0,001.

Если данное условие выполняется, то итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок завершается; в противном случае следует перейти ко второму шагу.

Очевидно, что при сходимости итерационной процедуры (Нтг^те А(г) = А) выполняется равенство Р-1П = £, то есть Итг^те £(г) = £, и, следовательно,

вектор А оценок регрессионных коэффициентов обеспечивает минимум остаточной суммы квадратов:

N-1

Л = argmin V(ik - ilk)2.

A(i) k=0

Проблема сходимости итерационной процедуры уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения исследована в [2,7]: сформулированы достаточные условия сходимости; получена формула апостериорной оценки погрешности; сформулированы ограничения на величину случайной помехи, обеспечивающие достаточное условие сходимости; построена формула априорной оценки погрешности, позволяющая оценить число итераций, необходимое для достижения заданной точности.

Начальное приближение |(0) вектора коэффициентов регрессионной модели может быть получено из условия минимизация функционала невязки [2]

||n||2 = lib — F All2 ^ min.

107

Зотеев В.Е., Романюк М. А.

В этом случае первоначальная оценка вычисляется по формуле

д(0) = (FTF)-1FTb.

Однако при большом разбросе экспериментальных данных итерационная процедура, использующая эту оценку, не всегда обеспечивает минимум остаточной суммы квадратов. Другой подход к выбору начального приближения Л(0) заключается в решении интерполяционной задачи: вычислению коэффициентов разностного уравнения из условия совпадения значений дробно-рациональной функции с результатами наблюдений в нескольких специальным образом выбранных точках эксперимента. Например, рассмотрим выбор начального приближения Л(0) в задаче параметрической идентификации дробно-рациональной зависимости (5), для которой система разностных уравнений (9) содержит три коэффициента Ai, Л2 и Л3.

Потребуем, чтобы значения дискретной функции

- _________Со________________Ai_____

^k 1 + с\тк + С2Т2к2 1 — A 2k — Аз к2

при Л1 = Л10), Л2 = Л20) и Л3 = Л30) совпадали с результатами наблюдений

у к в трёх различных точках, соответствующих к = 0, k = m = [N/2] и к = = N — 1, где [x] — целая часть числа x: у0 = У0, Ут = Ут и yw-i = Ум-i. В результате получаем у0 = у0 = Л10), Ут = Ут = A0° + тут А2° + m2ymА3° и yw-1 = ум-1 = Л00) + (N — 1)ум-1Л20) + (N — 1)2yw-1Л30). Отсюда начальное приближение А0 = ( Л10), Л20), Л30) )т вычисляется по формулам

Л (0) = У Л(0) Л1 = у0, Л2

m(N — 1 )(m — N + 1)

(0)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3

(1 - m(N- 1) - (1 - —)m

V Ут/У____' V VN-1'

m(N — 1 )(m — N + 1)

Аналогично формируется вектор первоначальных оценок коэффициентов разностного уравнения для дробно-рациональных функций (4) и (6).

Проведённые численно-аналитические исследования показали высокую эффективность выбора первоначальных оценок вектора коэффициентов разностного уравнения на основе вычисления параметров интерполирующей функции.

При вычислении оценок параметров математической модели в форме дробно-рациональной зависимости можно воспользоваться формулами Л = Л1, А = — А2/т для зависимости (4), формулами с0 = А1, с1 = — А2/т, с2 = = — Л3/т2 для зависимости (5) или формулами с0 = Л1, с1 = Л2/т, с2 = —Л3/т, с3 = — Л4/т2 для зависимости (6).

Для оценки погрешности результатов вычислений можно воспользоваться методикой, описанной в [2]. В основе этой методики лежит предположение, что разброс результатов наблюдений ук относительно математической модели в каждой точке эксперимента описывается независимой случайной

108

Параметрическая идентификация математических моделей ...

величиной, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. Обычно в практике эксперимента это требование выполняется. В этом случае за оценку предельной абсолютной погрешности вычисления параметра Ci можно принять (с доверительной вероятностью 1 — а) величину Ac = tas[ci\, где значение ta = t(a,v) берётся из таблицы распределения Стьюдента при числе степеней свободы v = N — n и уровне значимости а; s[Ai\ — оценка среднеквадратического отклонения параметра ci. Так как оценка любого из параметров Ci дробно-рациональных функций (4)-(6) пропорциональна оценке Лj какого-либо коэффициента разностного уравнения, имеет место равенство

Ci = |fc|s[Aj\,

где k — коэффициент пропорциональности; s[ Aj\ — оценка среднеквадратического отклонения соответствующего коэффициента разностного уравнения.

Для вычисления оценки дисперсии коэффициента Aj разностного уравнения можно воспользоваться формулой

s [ Aj\ gjj soct ,

в которой gjj —диагональный элемент матрицы G = (FTQ-F)-1, где

р- pj s2

Л Л ’ ост

1

N—n

N-1

Е

k=0

(Ук — yk)

2

n — число параметров в модели [2].

На основе компьютерного моделирования проведены численно-аналитические исследования эффективности описанного численного метода определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных зависимостей. Целью исследований являлся анализ зависимостей погрешности 5ci вычисления каждого из параметров дробно-рациональной функции (4)-(6) от величины случайной помехи е в результатах наблюдений, а также степени адекватности s построенной математической модели истинной функциональной зависимости.

Таблица 1

Значения параметров дробно-рациональных зависимостей, используемые при компьютерном моделировании

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для этого формировалась выборка из N = 50 значений yk дробно-рациональной зависимости с периодом дискретизации т и параметрами ci, значения которых представлены в табл. 1.

К смоделированным таким образом дискретным значениям yk добавлялась случайная помеха ек, величина которой е изменялась от 0 до 10%:

/N-1 * N-1 \ 1/2

J2ek/Y^y2) • 100%-

k=0 k=0

Зависи- мость Период диск-ретизадии, т Параметры зависимости

со Cl С2 сз

(4) 0,4 1,0 0,5 — —

(5) 0,1 1,0 1,0 1,0 —

(6) 0,1 1,0 -0,5 0,1 1,0

е=

С целью статистической обработки результатов исследований в каждой точке численного эксперимента (при одной и той же величине е случайной помехи)

109

Зотеев В.Е., Романюк М. А.

вычисление оценки параметров дробно-рациональной зависимости повторялось M = 100 раз. Для оценки погрешности вычисления параметра Ci использовалась величина

Sci = yjM[{ci - сг)2] • \ci\~1 • 100%,

где второй центральный момент относительно истинного значения параметра Ci вычислялся по формуле

M[(Ci - Ci)2} = Y^{Cij ~ Cif.

M j= 1

Для анализа адекватности построенной математической модели истинной дробно-рациональной зависимости использовалась величина

/N-1 ,N-1 \ 1/2

s = [J2(yk-yfc)2/^y2) •100%-

\k=0 ' k=0 J

Результаты вычислений погрешности оценок параметров bc и адекватности построенной модели s представлены в табл. 2.

Полученные результаты численно-аналитических исследований позволяют сделать вывод о высокой эффективности численного метода параметрической идентификации дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений. Представленные в табл. 2 результаты показывают, что построенные математические модели даже при высоком уровне помехи в результатах наблюдений адекватно описывают исходные дробно-рациональные

Таблица 2

Погрешности вычисления параметров Sc дробно-рациональных функций и величины s в зависимости от величины случайной помехи е в результатах наблюдений

Зависимость (4)

£,% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6со, % 0,0 0,2 0,5 0,9 1Д 1,6 1,9 2,3 3,1 3,8 4Д

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

<5сь % 0,0 0,4 0,9 1,7 2,2 3,3 3,8 4,9 6,8 8,3 9,2

8,% 0,0 0,1 0,3 0,5 0,6 0,9 1,1 1,4 2,0 2,4 2,7

Зависимость (5)

£,% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6со, % 0,0 0,3 0,5 0,9 1,1 1,5 1,6 2,0 2,7 3,1 3,3

Scu % 0,0 1,8 2,9 5,0 6,6 7,7 10,0 12,2 13,2 15,7 15,0

5с2, % 0,0 1,0 1,9 3,4 5,0 6,6 9,4 12,0 14,4 18,4 21,0

8,% 0,0 0,2 0,4 0,7 0,9 1,3 1,6 2,0 2,7 3,3 3,7

Зависимость (6)

£,% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6со, % 0,0 0,2 0,4 0,7 1,3 0,9 1,5 2,3 2Д 2,5 1,9

6с1г % 0,0 0,2 0,6 0,8 1,2 1,4 1,5 2,6 3,2 3,7 3,8

дс2, % 0,0 18,7 31,6 53,5 73,0 75,2 106,2 77,8 121,6 197,9 176,2

Sc3, % 0,0 1,5 3,3 4,7 7,9 9,2 13,4 15,1 22,5 28,4 30,1

8,% 0,0 0,2 0,5 0,8 1,2 1,5 2,0 2,7 3,6 4,2 4,6

110

Параметрическая идентификация математических моделей ...

зависимости. Однако для дробно-рациональной зависимости (6) погрешность вычисления параметра С2 при больших е достаточно велика. Это можно объяснить некоторой неустойчивостью самой (обратной) задачи: при существенных различиях в параметрах (176,2%) сама зависимость практически не изменяется (4,6%).

Проведён сравнительный анализ известного метода определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1] и численного метода на основе разностных уравнений. Так как огибающая амплитуд колебаний нелинейной диссипативной механической системы описывается дробно-рациональной зависимостью (1) [1, 2], в численном методе использовалась система разностных уравнений (9). В качестве результатов наблюдений были взяты данные эксперимента, приведенные в [1]. Результаты N = 10 измерений ak амплитуды колебаний с шагом т, равным периоду колебаний T = 0,15 c, представлены во второй строке табл. 3.

Таблица 3

Экспериментальные и расчётные значения амплитуд колебаний

к 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1ДГ

10,00 6,84 5,05 3,92 3,14 2,58 2,17 1,85 1,60 1,40 -

41} 10,00 6,92 5,12 3,97 3,18 2,61 2,19 1,87 1,62 1,42 0,89, %

«12) 10,00 6,84 5,05 3,92 3,14 2,59 2,17 1,85 1,60 1,40 0,06, %

В третьей строке табл. 3 приведены значения огибающей амплитуд колебаний, вычисленные известным методом определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1],

а в последней строке — значения a[.2) огибающей амплитуд колебаний, вычисленные численным методом на основе разностных уравнений. В последнем столбце табл. 3 приведены значения величины s для моделей, построенных по экспериментальным данным:

s

9 ,9

Y,(ak - 4г))2/ak

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

k=0 ' k=0

1/2

■ 100%.

Очевидно, что применение численного метода позволяет более чем на порядок повысить адекватность математической модели по сравнению с известным методом.

Аналогичный вывод можно сделать и при сравнительном анализе известного метода «кривой резонанса» [1] и численного метода на основе разностных уравнений, использующего математическую модель амплитудно-частотной характеристики диссипативной механической системы в форме (2). В [4] представлены результаты такого анализа, подтверждающие высокую эффективность рассматриваемого численного метода.

Таким образом, разработан эффективный численный метод определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных функций, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения, описывающего результаты наблюдений. Этот метод может быть применен в задачах параметрической идентификации объектов, систем или процессов различной физической природы.

111

Зотеев В.Е., Романюк М. А.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вибрации в технике: Справочник в 6-ти т. Т. 1. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.; Т. 2. М.: Машиностроение, 1979. 351 с. [ Vibrations in Engineering: Handbook in 6 Vols. Vol. 1. Moscow: Mashinostroenie, 1978. 352 pp.]; Vol. 2. Moscow: Mashinostroenie, 1979. 351 pp.]

2. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / ред. В. П. Радченко. М.: Машиностроение-1, 2009. 344 с. [Zoteev V. E. Parametric identification of dissipative mechanical systems based on difference equations / ed. . V. P. Radchenko. Moscow: Mashinostroenie-1, 2009. 344 pp.]

3. Пановко А. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение, 1976. 320 с. [Panovko A. G. Fundamentals of applied theory of vibrations and shock. Leningrad: Mashinostroenie, 1976. 320 pp.]

4. Попова Д.Н., Зотеев В. Е. Разработка и исследование линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики механической системы с линейно-вязким трением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. №2(15). С. 179-182. [Popova D. N., Zoteev V. E. Development and research of the parametric linear discrete model for amplitude-frequency response of a mechanical system with linear-viscous friction// Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2007. no. 2(15). Pp. 179-182].

5. Писаренко Г. С., Матвеев В. А., Яковлев А. П. Методы определения характеристик колебаний упругих систем. Киев: Наукова думка, 1976. 88 с. [Pisarenko G.S., Matveev V. V., Yakovlev A. P. Methods of determining the vibration-damping characteristics of elastic systems. Kiev: Naukova Dumka, 1976. 88 pp.]

6. Зотеев В. Е. Исследование сходимости итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения / В сб.: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 4: Информационные технологии в математическом моделировании / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 47-54. [Zoteev V. E. Convergence analysis of the iterative procedure for coefficients difference equation calculating / In: Proceedings of the Sixth All-Russian Scientific Conference with international participation (1-4 June 2009). Part 4 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2009. Pp. 47-54].

7. Зотеев В. Е. О сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. №1(18). С. 133-141. [Zoteev V. E. On convergence of iteration procedure for mean-square estimation of coefficients of a linear parametric discrete model// Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009. no. 1(18). Pp. 133141].

Поступила в редакцию 02/V/2012; в окончательном варианте — 26/VIII/2012.

112

Parametrical identification of the mathematical model ...

MSC: 65C20; 65P40, 34C15, 37M05

PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF THE MATHEMATICAL MODEL IN THE FORM OF FRACTION-RATIONAL DEPENDENCIES ON THE BASIS OF DIFFERENCE EQUATIONS

V. E. Zoteev, M. A. Romanyuk

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.

E-mail: zoteev-ve@mail.ru, zausmasha@mail.ru

The numerical method of parametrical identification of the mathematical model in the form of fraction-rational functional dependencies is considered. The method is based, on iteration procedure for mean-square estimation of coefficients of linear parametric discrete models in the form of stochastic difference equations. Such an approach to solving the problem of identification of the fraction-rational functional dependencies can ensure a high adequacy of the models, and as a consequence, achieve high accuracy of estimating of the models parameters.

Key words: parametrical identification, difference equations, iterative process, mean-square approximation, fraction-rational functional dependence.

Original article submitted 02/V/2012; revision submitted 26/VIII/20l2.

Vladimir E. Zoteev (Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Mariya A. Romanyuk, Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.