CC BY
59
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 3 (28). С. 102—113
УДК 517.962.24+519.246
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ФОРМЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
В. Е. Зотеев, М. А. Романюк
Самарский государственный технический университет,
443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mail: zoteev-ve@mail.ru, zausmasha@mail.ru
Рассматривается численный метод определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных функциональных зависимостей. В основе метода лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений. Такой подход к решению задачи идентификации дробно-рациональных функциональных зависимостей позволяет обеспечить высокую адекватность построенной математической модели и, как следствие, добиться высокой точности оценивания её параметров.
Ключевые слова: параметрическая идентификация, разностные уравнения, итерационная процедура, среднеквадратичное приближение, дробно-рациональная функциональная зависимость.
Проблема параметрической идентификации математических моделей, описывающих динамические процессы различной физической природы в форме дробно-рациональных зависимостей, является одной из важнейших проблем в математическом моделировании. Исследование динамических процессов в форме дробно-рациональных функциональных зависимостей, которые являются точным или приближенным решением нелинейных дифференциальных уравнений, широко применяется в практике научно-технического и промышленного эксперимента. Например, в машиностроении для описания затухания амплитуды колебаний диссипативной механической системы обычно используется нелинейная функциональная зависимость вида [1]
a{t) = a0(l + (п - 1)^)
которая может быть аппроксимирована более простой дробно-рациональной функцией [2]:
a(t)
£о t
ао ( 1 + +
-ШГ1
1
(1)
где ао — начальная амплитуда колебаний; §о и T — декремент и период колебаний; n — характеристика нелинейности диссипативной силы. В частности, при турбулентном трении (n = 2) формула (1) задаёт гиперболическую зависимость [1, 2]:
a(t) =a0(l + .
Владимир Евгеньевич Зотеев (д.т.н., доц.), профессор, каф. прикладной математики и информатики. Мария Анатольевна Романюк, ассистент, каф. прикладной математики и информатики.
102
Параметрическая идентификация математических моделей ...
Другим примером математического описания исследуемого объекта дробно-рациональными зависимостями является гиперболическая зависимость квадрата амплитуды а(,) вынужденных колебаний линейной диссипативной системы от частоты возбуждения [3, 4]:
а2(,)
К2
Р2, ,4
Ррш0________
w2)2 + 4h2oj2 ’
(2)
где Р0 — амплитуда гармонического возбуждения; ,0 — собственная (резонансная) частота системы; h — коэффициент демпфирования.
Известны методы оценивания параметров дробно-рациональных зависимостей вида (1) или (2), например, метод определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1], метод «затухающих колебаний» [1, 5], метод «кривой резонанса» [1, 5], обладающие рядом существенных недостатков, к которым можно отнести, во-первых, линеаризацию (упрощение) математической модели в той или иной форме, во-вторых, принципиальную невозможность применения статистических методов оценивания при обработке результатов измерений и, в-третьих, использование, как правило, громоздких промежуточных графических построений без какой-либо ориентации на применение современных средств вычислений и обработки информации. Вследствие этого эти методы обладают невысокими точностью и помехозащищенностью.
Одним из эффективных путей решения этой проблемы является применение численного метода, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений [2]. Параметрическая идентификация нелинейных функциональных зависимостей производится на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщённой регрессионной модели, которые известным образом связаны с параметрами дробно-рациональных функций.
В основе параметрической идентификации с использованием численного метода лежит вычисление таких оценок параметров математической модели, которые минимизируют величину её отклонения от результатов наблюдений по евклидовой норме в N-мерном арифметическом пространстве:
N -1
IIУ — yl|2 =J2(yk - )2 ^ min’
k=0
(3)
где yk — результаты наблюдений; Ук — результаты вычислений на основе построенной математической модели.
Численный метод определения параметров дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений включает следующие основные этапы:
- формирование выборки результатов наблюдений yk (к = 0,1, 2,..., N — 1) с периодом дискретизации т, где N — объём выборки;
- построение разностных уравнений, рекуррентно описывающих дискретные значения дробно-рациональной функции;
- построение разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений и формирование на их основе обобщенной регрессионной модели;
103
Зотеев В.Е., Романюк М. А.
- среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения;
- вычисление оценок параметров математической модели в форме дробно-рациональной зависимости;
- оценка погрешности результатов вычислений.
Рассмотрим применение численного метода на основе разностных уравнений в задаче параметрической идентификации математических моделей, описываемых дробно-рациональными функциями вида
i(t) i(t) =
y(t) =
- с° 1+Cit’ со
1 + C\t + c2t2’ Со + C\t
1 + c2t + Cot2 '
(4)
(5)
(6)
Полагая в равенствах (4)-(6) t = tk = Tk, где т — период дискретизации, k = 0,1, 2, 3,..., получаем уравнения, описывающие последовательности дискретных значений дробно-рациональных зависимостей:
со . _ с0 Л _ с0 + с\тк
1 + cirfc’ ^к 1 + с\тк + С2Т2к2 ’ ^к 1 + С2тк + сот2к2 ’
Рассмотрим построение разностного уравнения, рекуррентно описывающего последовательность дискретных значений дробно-рациональной зависимости (4).
Очевидно, что имеет место равенство
ilk = Ai + A2kyk,
где Ai = Со и A2 = —CiT. В то же время справедливо соотношение
yk-i = Ai + A2(k — 1)yk-i-
Отсюда для значений k = 1, 2, 3,... получаем разностное уравнение вида
ik — ik-i = A2 [kyk — (k — 1)yk—i],
которое можно дополнить равенством уо = Со = Ai. Аналогично формируются разностные уравнения, рекуррентно описывающие последовательности дискретных значений дробно-рациональных зависимостей (5) и (6):
уо = Ai,
ik — ik-i = A2[kyk — (k — 1)ik-i] + A3[k2 ik — (k — 1)2ik-i],
k = 1,2,3,...,
где Ai = Со, A2 = —CiT, A3 = —C2т2; f yo = Ab
< ik — ik-i = A2 + A3 [kyk — (k — 1)ik-i] + A4[k2ik — (k — 1)2 ik-i],
k = 1, 2, 3,...,
104
Параметрическая идентификация математических моделей ...
где Ai = со, А2 = cit, A3 = -С2Т, А4 = -сзт2.
Представленные выше соотношения лежат в основе построения стохастических разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений уk (k = 0,1, 2,... ,N — 1) при исследовании математических моделей процессов в форме дробно-рациональных зависимостей. Результаты эксперимента yk могут быть представлены в виде
Vk = Ilk + £k, (7)
где величина £k характеризует отклонение результата измерений yk от дискретного значения дробно-рациональной функции yk, используемой в качестве математической модели исследуемого процесса. Относительно характера величины £k (вообще говоря, случайной) пока никаких суждений делать не будем, что позволит существенно расширить область применения численного метода. С учётом соотношения (7) полученные выше формулы запишем так:
Уо = Ai + £о,
yk — Vk-i = А2 [kyk — (k — 1)yk-1] + nk+i,
nk+i = [A2(k — 1) — V]£k-i + (1 — A2 k)£k,
k = 1, 2,..., N — 1;
Уо = Ai + £о,
< Vk — Vk-i = A2[kyk — (k — 1)yk-i] + A3[k2yk — (k — 1)2yk-i] + nk+i, nk+i = [A2(k — 1) + A3 (k — 1)2 — 1]£k-i + (1 — A2k — A3k2)£k,
k = 1,2,..., N — 1;
Уо = Ai + £о,
Vk—Vk-i=A2+A3[kyk — (k — 1)yk-i] + A4[k2 yk — (k — 1)2yk-i] + nk+i,
nk+i = [A3(k — 1) + A4 (k — 1)2 — 1]£k-i + (1 — A3k — A4k2)£k,
k = 1,2,..., N — 1.
(8)
(9)
(10)
Построенные разностные уравнения (8)—(10) в матричной форме принимают вид обобщённой регрессионной модели:
b = FA + n; n = A £.
(11)
Для дробно-рациональной зависимости (4) переопределённая система линейных алгебраических уравнений b = FA описывается следующими соотношениями: A = (Ai, A2)т — вектор коэффициентов разностного уравнения; b = (уо, Vi — Уо, У2 — Vi,..., Vn-i — Vn-2)т — N-мерный вектор правой части системы;
1 0 \
0 yi
F= 0 ю to • 1
0 (N — 1)vn-i — (N- <N 1 ft c7
105
Зотеев В.Е., Романюк М. А.
— (N х 2)-матрица регрессоров.
Для дробно-рациональной зависимости (5) имеем
Л = (Ai, А2, A3)Т, b = (уо^1 - Vo,V2 - Уъ ■ ■ ■ ,Vn-1 - Vn-2)Т,
I1 0 0 \
0 V1 V1
0 to to 1 to 1
\0 (N - 1)vn-1 - (N - 2)vn-2 (N - 1)2vn-1 - (N - 2)2vn-2/ а для зависимости (6) —
Л = (Л1 , Л2, Л3, Л4)Т, b = (Уо,У1 - У0,У2 - Vi, ■ ■ ■ ,Vn-1 - Vn-2)Т,
Z1 0 0
0 l V1
0 l to to 1
0
V1
4У2 - У1
\
\0 1 (N - 1)vn-1 - (N - 2)vn-2 (N - l)2vn-1 - (N - 2)2vn-2/
Вектор n = (П1, П2, ■ ■ ■, nN)T, описывающий эквивалентное возмущение в обобщённой регрессионной модели b = ^Л + n, есть линейное преобразование вектора остатков е = (е0,е1, ■ ■ ■ ,sn-1 )Т. Элементы матриц P\ = (pj} (i, j = l, 2, 3, ■ ■ ■ , N) линейного преобразования вектора остатков для дробнорациональных зависимостей (6)—(9) соответственно описываются следующими формулами:
Pij
Pij
Pij
'l,
l - Л2(г - l),
Л2(г - 2) - l,
0,
'l,
l - Л2(г - l) - Лз(г - l)2, Л2(i - 2) + Лз(г - 2)2 - l, 0,
'l,
l - Лз^ - l) - Л4(i - l)2, Л3(i - 2) + Л4(i - 2)2 - l,
0,
1 = j = l;
2 < i = j; i = j +1;
i < j, i > j +1;
1 = j = i;
2 < i = j; i = j + i;
i < j, i > j +1;
1 = j = i;
2 < i = j; i = j + i;
i < j, i > j + l-
В рассматриваемом численном методе вычисление коэффициентов разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений, сводится к решению регрессионной задачи (11): нахождению среднеквадратичных оценок, минимизирующих функционал (3): ||y - у|| = ||е|| ^ min. При решении регрессионной задачи применяется итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения [2], которая включает следующие основные шаги:
106
Параметрическая идентификация математических моделей ...
1) вычисление первоначальной оценки |(0) вектора коэффициентов регрессионной модели;
2) вычисление элементов матрицы Р\ линейного преобразования вектора остатков;
3) преобразование обобщенной регрессионной модели к виду
Р-1 b = Р-1 FX + £(г)
PA(i) b PA(i) FA + ’
где £(г) = Р- n, i = 0,1, 2, 3,... — номер итерации;
4) решение линейной регрессионной задачи
||£(г) У2 = ||Р-1)b - P-1)FA(m) II2 ^ min,
11 11 II A(i) A(i) И ’
которое приводит к новой уточненной среднеквадратичной оценке вектора регрессионных коэффициентов:
Л(г+1) = (FT Q-(1) F)-1 FTQ-(1) b,
где ^A(i) = p>A (i) pA(i);
5) сравнение двух последовательных приближений вектора оценок коэффициентов разностного уравнения:
|А(г+1) - |(г) | ^ 0,001.
Если данное условие выполняется, то итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок завершается; в противном случае следует перейти ко второму шагу.
Очевидно, что при сходимости итерационной процедуры (Нтг^те А(г) = А) выполняется равенство Р-1П = £, то есть Итг^те £(г) = £, и, следовательно,
вектор А оценок регрессионных коэффициентов обеспечивает минимум остаточной суммы квадратов:
N-1
Л = argmin V(ik - ilk)2.
A(i) k=0
Проблема сходимости итерационной процедуры уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения исследована в [2,7]: сформулированы достаточные условия сходимости; получена формула апостериорной оценки погрешности; сформулированы ограничения на величину случайной помехи, обеспечивающие достаточное условие сходимости; построена формула априорной оценки погрешности, позволяющая оценить число итераций, необходимое для достижения заданной точности.
Начальное приближение |(0) вектора коэффициентов регрессионной модели может быть получено из условия минимизация функционала невязки [2]
||n||2 = lib — F All2 ^ min.
107
Зотеев В.Е., Романюк М. А.
В этом случае первоначальная оценка вычисляется по формуле
д(0) = (FTF)-1FTb.
Однако при большом разбросе экспериментальных данных итерационная процедура, использующая эту оценку, не всегда обеспечивает минимум остаточной суммы квадратов. Другой подход к выбору начального приближения Л(0) заключается в решении интерполяционной задачи: вычислению коэффициентов разностного уравнения из условия совпадения значений дробно-рациональной функции с результатами наблюдений в нескольких специальным образом выбранных точках эксперимента. Например, рассмотрим выбор начального приближения Л(0) в задаче параметрической идентификации дробно-рациональной зависимости (5), для которой система разностных уравнений (9) содержит три коэффициента Ai, Л2 и Л3.
Потребуем, чтобы значения дискретной функции
- _________Со________________Ai_____
^k 1 + с\тк + С2Т2к2 1 — A 2k — Аз к2
при Л1 = Л10), Л2 = Л20) и Л3 = Л30) совпадали с результатами наблюдений
у к в трёх различных точках, соответствующих к = 0, k = m = [N/2] и к = = N — 1, где [x] — целая часть числа x: у0 = У0, Ут = Ут и yw-i = Ум-i. В результате получаем у0 = у0 = Л10), Ут = Ут = A0° + тут А2° + m2ymА3° и yw-1 = ум-1 = Л00) + (N — 1)ум-1Л20) + (N — 1)2yw-1Л30). Отсюда начальное приближение А0 = ( Л10), Л20), Л30) )т вычисляется по формулам
Л (0) = У Л(0) Л1 = у0, Л2
m(N — 1 )(m — N + 1)
(0)
3
(1 - m(N- 1) - (1 - —)m
V Ут/У____' V VN-1'
m(N — 1 )(m — N + 1)
Аналогично формируется вектор первоначальных оценок коэффициентов разностного уравнения для дробно-рациональных функций (4) и (6).
Проведённые численно-аналитические исследования показали высокую эффективность выбора первоначальных оценок вектора коэффициентов разностного уравнения на основе вычисления параметров интерполирующей функции.
При вычислении оценок параметров математической модели в форме дробно-рациональной зависимости можно воспользоваться формулами Л = Л1, А = — А2/т для зависимости (4), формулами с0 = А1, с1 = — А2/т, с2 = = — Л3/т2 для зависимости (5) или формулами с0 = Л1, с1 = Л2/т, с2 = —Л3/т, с3 = — Л4/т2 для зависимости (6).
Для оценки погрешности результатов вычислений можно воспользоваться методикой, описанной в [2]. В основе этой методики лежит предположение, что разброс результатов наблюдений ук относительно математической модели в каждой точке эксперимента описывается независимой случайной
108
Параметрическая идентификация математических моделей ...
величиной, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. Обычно в практике эксперимента это требование выполняется. В этом случае за оценку предельной абсолютной погрешности вычисления параметра Ci можно принять (с доверительной вероятностью 1 — а) величину Ac = tas[ci\, где значение ta = t(a,v) берётся из таблицы распределения Стьюдента при числе степеней свободы v = N — n и уровне значимости а; s[Ai\ — оценка среднеквадратического отклонения параметра ci. Так как оценка любого из параметров Ci дробно-рациональных функций (4)-(6) пропорциональна оценке Лj какого-либо коэффициента разностного уравнения, имеет место равенство
Ci = |fc|s[Aj\,
где k — коэффициент пропорциональности; s[ Aj\ — оценка среднеквадратического отклонения соответствующего коэффициента разностного уравнения.
Для вычисления оценки дисперсии коэффициента Aj разностного уравнения можно воспользоваться формулой
s [ Aj\ gjj soct ,
в которой gjj —диагональный элемент матрицы G = (FTQ-F)-1, где
^Л
р- pj s2
Л Л ’ ост
1
N—n
N-1
Е
k=0
(Ук — yk)
2
n — число параметров в модели [2].
На основе компьютерного моделирования проведены численно-аналитические исследования эффективности описанного численного метода определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных зависимостей. Целью исследований являлся анализ зависимостей погрешности 5ci вычисления каждого из параметров дробно-рациональной функции (4)-(6) от величины случайной помехи е в результатах наблюдений, а также степени адекватности s построенной математической модели истинной функциональной зависимости.
Таблица 1
Значения параметров дробно-рациональных зависимостей, используемые при компьютерном моделировании
Для этого формировалась выборка из N = 50 значений yk дробно-рациональной зависимости с периодом дискретизации т и параметрами ci, значения которых представлены в табл. 1.
К смоделированным таким образом дискретным значениям yk добавлялась случайная помеха ек, величина которой е изменялась от 0 до 10%:
/N-1 * N-1 \ 1/2
J2ek/Y^y2) • 100%-
k=0 k=0
Зависи- мость Период диск-ретизадии, т Параметры зависимости
со Cl С2 сз
(4) 0,4 1,0 0,5 — —
(5) 0,1 1,0 1,0 1,0 —
(6) 0,1 1,0 -0,5 0,1 1,0
е=
С целью статистической обработки результатов исследований в каждой точке численного эксперимента (при одной и той же величине е случайной помехи)
109
Зотеев В.Е., Романюк М. А.
вычисление оценки параметров дробно-рациональной зависимости повторялось M = 100 раз. Для оценки погрешности вычисления параметра Ci использовалась величина
Sci = yjM[{ci - сг)2] • \ci\~1 • 100%,
где второй центральный момент относительно истинного значения параметра Ci вычислялся по формуле
M[(Ci - Ci)2} = Y^{Cij ~ Cif.
M j= 1
Для анализа адекватности построенной математической модели истинной дробно-рациональной зависимости использовалась величина
/N-1 ,N-1 \ 1/2
s = [J2(yk-yfc)2/^y2) •100%-
\k=0 ' k=0 J
Результаты вычислений погрешности оценок параметров bc и адекватности построенной модели s представлены в табл. 2.
Полученные результаты численно-аналитических исследований позволяют сделать вывод о высокой эффективности численного метода параметрической идентификации дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений. Представленные в табл. 2 результаты показывают, что построенные математические модели даже при высоком уровне помехи в результатах наблюдений адекватно описывают исходные дробно-рациональные
Таблица 2
Погрешности вычисления параметров Sc дробно-рациональных функций и величины s в зависимости от величины случайной помехи е в результатах наблюдений
Зависимость (4)
£,% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6со, % 0,0 0,2 0,5 0,9 1Д 1,6 1,9 2,3 3,1 3,8 4Д
<5сь % 0,0 0,4 0,9 1,7 2,2 3,3 3,8 4,9 6,8 8,3 9,2
8,% 0,0 0,1 0,3 0,5 0,6 0,9 1,1 1,4 2,0 2,4 2,7
Зависимость (5)
£,% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6со, % 0,0 0,3 0,5 0,9 1,1 1,5 1,6 2,0 2,7 3,1 3,3
Scu % 0,0 1,8 2,9 5,0 6,6 7,7 10,0 12,2 13,2 15,7 15,0
5с2, % 0,0 1,0 1,9 3,4 5,0 6,6 9,4 12,0 14,4 18,4 21,0
8,% 0,0 0,2 0,4 0,7 0,9 1,3 1,6 2,0 2,7 3,3 3,7
Зависимость (6)
£,% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6со, % 0,0 0,2 0,4 0,7 1,3 0,9 1,5 2,3 2Д 2,5 1,9
6с1г % 0,0 0,2 0,6 0,8 1,2 1,4 1,5 2,6 3,2 3,7 3,8
дс2, % 0,0 18,7 31,6 53,5 73,0 75,2 106,2 77,8 121,6 197,9 176,2
Sc3, % 0,0 1,5 3,3 4,7 7,9 9,2 13,4 15,1 22,5 28,4 30,1
8,% 0,0 0,2 0,5 0,8 1,2 1,5 2,0 2,7 3,6 4,2 4,6
110
Параметрическая идентификация математических моделей ...
зависимости. Однако для дробно-рациональной зависимости (6) погрешность вычисления параметра С2 при больших е достаточно велика. Это можно объяснить некоторой неустойчивостью самой (обратной) задачи: при существенных различиях в параметрах (176,2%) сама зависимость практически не изменяется (4,6%).
Проведён сравнительный анализ известного метода определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1] и численного метода на основе разностных уравнений. Так как огибающая амплитуд колебаний нелинейной диссипативной механической системы описывается дробно-рациональной зависимостью (1) [1, 2], в численном методе использовалась система разностных уравнений (9). В качестве результатов наблюдений были взяты данные эксперимента, приведенные в [1]. Результаты N = 10 измерений ak амплитуды колебаний с шагом т, равным периоду колебаний T = 0,15 c, представлены во второй строке табл. 3.
Таблица 3
Экспериментальные и расчётные значения амплитуд колебаний
к 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1ДГ
10,00 6,84 5,05 3,92 3,14 2,58 2,17 1,85 1,60 1,40 -
41} 10,00 6,92 5,12 3,97 3,18 2,61 2,19 1,87 1,62 1,42 0,89, %
«12) 10,00 6,84 5,05 3,92 3,14 2,59 2,17 1,85 1,60 1,40 0,06, %
В третьей строке табл. 3 приведены значения огибающей амплитуд колебаний, вычисленные известным методом определения параметров характеристики сопротивления по огибающей экспериментальной виброграммы [1],
а в последней строке — значения a[.2) огибающей амплитуд колебаний, вычисленные численным методом на основе разностных уравнений. В последнем столбце табл. 3 приведены значения величины s для моделей, построенных по экспериментальным данным:
s
9 ,9
Y,(ak - 4г))2/ak
k=0 ' k=0
1/2
■ 100%.
Очевидно, что применение численного метода позволяет более чем на порядок повысить адекватность математической модели по сравнению с известным методом.
Аналогичный вывод можно сделать и при сравнительном анализе известного метода «кривой резонанса» [1] и численного метода на основе разностных уравнений, использующего математическую модель амплитудно-частотной характеристики диссипативной механической системы в форме (2). В [4] представлены результаты такого анализа, подтверждающие высокую эффективность рассматриваемого численного метода.
Таким образом, разработан эффективный численный метод определения параметров математических моделей в форме дробно-рациональных функций, в основе которого лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов разностного уравнения, описывающего результаты наблюдений. Этот метод может быть применен в задачах параметрической идентификации объектов, систем или процессов различной физической природы.
111
Зотеев В.Е., Романюк М. А.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вибрации в технике: Справочник в 6-ти т. Т. 1. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.; Т. 2. М.: Машиностроение, 1979. 351 с. [ Vibrations in Engineering: Handbook in 6 Vols. Vol. 1. Moscow: Mashinostroenie, 1978. 352 pp.]; Vol. 2. Moscow: Mashinostroenie, 1979. 351 pp.]
2. Зотеев В. Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / ред. В. П. Радченко. М.: Машиностроение-1, 2009. 344 с. [Zoteev V. E. Parametric identification of dissipative mechanical systems based on difference equations / ed. . V. P. Radchenko. Moscow: Mashinostroenie-1, 2009. 344 pp.]
3. Пановко А. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение, 1976. 320 с. [Panovko A. G. Fundamentals of applied theory of vibrations and shock. Leningrad: Mashinostroenie, 1976. 320 pp.]
4. Попова Д.Н., Зотеев В. Е. Разработка и исследование линейно параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики механической системы с линейно-вязким трением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. №2(15). С. 179-182. [Popova D. N., Zoteev V. E. Development and research of the parametric linear discrete model for amplitude-frequency response of a mechanical system with linear-viscous friction// Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2007. no. 2(15). Pp. 179-182].
5. Писаренко Г. С., Матвеев В. А., Яковлев А. П. Методы определения характеристик колебаний упругих систем. Киев: Наукова думка, 1976. 88 с. [Pisarenko G.S., Matveev V. V., Yakovlev A. P. Methods of determining the vibration-damping characteristics of elastic systems. Kiev: Naukova Dumka, 1976. 88 pp.]
6. Зотеев В. Е. Исследование сходимости итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения / В сб.: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 4: Информационные технологии в математическом моделировании / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 47-54. [Zoteev V. E. Convergence analysis of the iterative procedure for coefficients difference equation calculating / In: Proceedings of the Sixth All-Russian Scientific Conference with international participation (1-4 June 2009). Part 4 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2009. Pp. 47-54].
7. Зотеев В. Е. О сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. №1(18). С. 133-141. [Zoteev V. E. On convergence of iteration procedure for mean-square estimation of coefficients of a linear parametric discrete model// Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009. no. 1(18). Pp. 133141].
Поступила в редакцию 02/V/2012; в окончательном варианте — 26/VIII/2012.
112
Parametrical identification of the mathematical model ...
MSC: 65C20; 65P40, 34C15, 37M05
PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF THE MATHEMATICAL MODEL IN THE FORM OF FRACTION-RATIONAL DEPENDENCIES ON THE BASIS OF DIFFERENCE EQUATIONS
V. E. Zoteev, M. A. Romanyuk
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia.
E-mail: zoteev-ve@mail.ru, zausmasha@mail.ru
The numerical method of parametrical identification of the mathematical model in the form of fraction-rational functional dependencies is considered. The method is based, on iteration procedure for mean-square estimation of coefficients of linear parametric discrete models in the form of stochastic difference equations. Such an approach to solving the problem of identification of the fraction-rational functional dependencies can ensure a high adequacy of the models, and as a consequence, achieve high accuracy of estimating of the models parameters.
Key words: parametrical identification, difference equations, iterative process, mean-square approximation, fraction-rational functional dependence.
Original article submitted 02/V/2012; revision submitted 26/VIII/20l2.
Vladimir E. Zoteev (Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Mariya A. Romanyuk, Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.
