CC BY
49
Пашенцев С.В. Параметрическая идентификация маневренных характеристик...
УДК 656.61.052.7
Параметрическая идентификация маневренных характеристик по результатам натурных испытаний вида "Зигзаг" в нелинейной модели управляемости судна
С.В. Пашенцев
Судоводительский факультет МА МГТУ, кафедра судовождения
Аннотация. В статье предлагается способ обработки результатов стандартного испытания "Зигзаг", позволяющий извлечь из него максимум возможной информации. Он основан на разложении в ряд Фурье правой части дифференциального уравнения изменения угловой скорости поворота судна с последующим уравниванием коэффициентов.
Abstract. The method of results' processing of the standard test "Zigzag" allowing to obtain maximum information has been proposed in the paper. It is based on development of the right part of the differential equation of the change of vessel turning movement angular velocity in Fourier series with consequent factors' adjustment.
Ключевые слова: обобщенное уравнение управляемости Номото, маневр Зигзаг, идентификация параметров Key words: generalized equation of controllability Nomoto, manoeuvre Zigzag, parameters' identification
1. Введение
Идентификация маневренных характеристик судна с помощью нелинейной модели поворота судна вокруг вертикальной оси выполнялась неоднократно (Гофман, 1988; Асиновский, Гофман, 1967). Однако ее результаты приводились в такой форме, что не позволяли строго оценить качество идентификации и адекватность построенной модели.
Стандартное испытание "Зигзаг", с одной стороны, является потенциально наиболее информативным среди типовых испытаний. С другой стороны, существующие способы обработки его результатов сложны и не позволяют извлечь всю возможную информацию. Ниже предлагается способ, который свободен от указанных недостатков. Он основан на разложении в ряд Фурье правой части дифференциального уравнения изменения угловой скорости поворота судна с последующим уравниванием коэффициентов.
2. Нелинейное уравнение управляемости судна
Будем использовать при решении проблемы уравнение управляемости следующего вида (Войткунский, 1985), которое рекомендовано 14 Международной конференцией опытовых бассейнов именно для таких целей:
rp(d2n./dtz) + rs(dQ./dt) + Q + vxq\q\ + v2Q 3 = KsS + KsT3(dS/dt). (1)
Здесь Q - угловая скорость поворота судна, S - угол кладки руля, а параметры Тр, ТЛ T3, Kg, v, v2 подлежат идентификации по результатам натурных испытаний. В том же источнике приводится методика определения части параметров уравнения (1). При этом для интегрирования используются функции треугольного вида без указаний на сходимость процесса разложения по ним. Сам процесс сложен и требует значений угловой скорости поворота и курсового угла судна в некоторых характерных точках выполнения маневра "Зигзаг". Все это ведет к тому, что модель, идентифицированная подобным образом, демонстрирует низкую степень адекватности.
Заметим, что треугольные функции выбраны только для того, чтобы упростить интегрирование уравнения, других оснований для их применения не указано. Логично поэтому использовать классический аппарат рядов Фурье для решения задач, где исследуется периодический процесс, которым является установившееся движение типа "Зигзаг". Периодичность процесса является веским основанием такого применения, а вопрос сходимости исчерпывающе изучен.
Для этого используем разложение в ряд Фурье процесса изменения кладки руля при выполнении маневра типа "Зигзаг". Эта периодическая трапециевидная функция, которая нечетна и симметрична на полуволне (рис. 1). Поэтому ее разложение в ряд имеет только нечетные гармоники синуса:
730
Вестник МГТУ, том 13, №4/1, 2010 г.
стр.730-735
(установившееся движение: t0 - время перекладки из ДП на борт, tk - моменты перехода руля через ДП, тк - моменты перехода через ноль отклонения курса от начального значения)
S(t) = 0.135Ag Y sin{кШ0) sin(kwt). (2)
' к =13,5 (Шо)2 " ' (2)
Амплитуда Ag зависит от конкретного маневра, так, при зигзаге 20°-20° она равна 20 градусам. Это означает, что кладка руля на борт равна 20°, при достижении отклонения от первоначального курса этого значения руль перекладывается на другой борт, и так далее (рис. 1). Положим, что курс судна K(t) изменяется по закону K(t) = AK sin(at-e), следовательно, угловую скорость его вращения можно описать гармонической функцией с той же основной частотой a, с которой происходит перекладка руля, £2. (t) = dK/dt = AKa cos(at-e), но с некоторой начальной фазой e. Считаем при этом, что в результате натурного испытания мы получим тем или иным способом значения амплитуды курса А K, частоты о и фазы e.
Подставим это выражение в левую часть дифференциального уравнения управляемости (1). Три первых члена, являются линейными по угловой скорости, и вычисляются элементарно. Кубический член можно выразить через простые гармоники с помощью элементарных тригонометрических соотношений.
£3 = (A *о )3cos3(ot-е) = (A3®3)[3/4cos(®t-е) + 1/4cos3(ot-e)]. (3)
Член вида £ ■ | £ | = A2a2 cos(at-e) | cos(at-e) | разложение строится обычным образом и имеет вид:
придется разложить в ряд Фурье. Такое
£(t)|£(t) = 2.56A2o2 Y
к=1,3,5
л k ]
(-1)2 cos[k(at -e)]
к(4 - к2)
(4)
где под [к/2] понимается целая часть от деления к на 2.
Теперь можно закончить подстановку в уравнение (1) всех входящих туда переменных, при этом в разложениях (2) и (4) оставим только два члена с первой и третьей гармониками. Получаем следующее алгебраическое соотношение:
Tp(-о3)Acos(at -е) -Tsa2 Asin(o/ -e) + Aacos(at -e) +
+Vj2.56A2a2 /15[5cos(o/-e) + cos3(®/ -e)] +
+v2A2O’ / 4[3 cos(at - e) + cos3(at - e)] =
0 135/9
= Kg Ag ———— [9 sin(a t0) sin(a t) + sin(3o t0) sin(3o t)] + t0O
+ Kg AT
0.135/3
tO
[3 sin(a t0) cos(a t) + sin(3a t0) cos(3a t)]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых гармониках sin^at) и cos^at), к=1,3, и получаем 4 соотношения:
731
Пашенцев С.В. Параметрическая идентификация маневренных характеристик...
sin mt||[-Tpm2 +1 + v2 A2©2 3/4 + Vj2.56 / 3Am] sin(e) + [-Tsm]cos(£) = K8 At
0A35sin(mt0)
t02m Am
cosmt|| [-Tpm2 +1 +v2A2m23/4 +v12.56/3Am]cos(£)-[-Tsm]sin(£) = KsAST3 sin3mt|| [v12.56/15Am+V2A2©2 /4]sin(3e) = KsAs в©35/©sin(3mt„),
0.135sin(mt0)
t^mAm
(6)
t02m Am
i, 0 135/3
cos3©t -[v12.56/15Am) +v2A2m2 /4]cos(3e) = KsA8T3 —-sin(3mt0).
1 tQmAm
Для вычисления 6-и идентифицируемых параметров Тр, ТЛ Т3, К8, v1 и v2 необходимо получить еще два уравнения. Для этого воспользуемся тем же уравнением управляемости (1), записав его для установившейся циркуляции. Все члены с производными по времени исчезают, и мы получаем еще одно алгебраическое соотношение:
Дс+V1QC | а | + V2.a3=m. (
Здесь Дс - угловая скорость установившейся циркуляции, 8с - угол кладки, который ей соответствует. Чтобы освободиться от модуля угловой скорости, запишем это уравнение для двух правых циркуляций (Дс > 0, 8 > 0) и (О20 > 0, 802 > 0). Получим два недостающих алгебраических уравнения:
а + V Да2 + V2013 = +К5оь (
0с2 + V Дс22 + V2A23 = +Кгбо2- (9)
Система линейных уравнений (6), (8), (9) распадается на подсистемы, которые можно решать независимо. Так, третье уравнение группы (6) и уравнения (8), (9) составляют подсистему третьего порядка для параметров К8 v1 и v2:
V2.56/15A3+V2 A2m2/4- К,Aг[(0.135/9sin(3ю/o))/(/oVAюsin(3£))]=0;
vOd2 + V20d3 -№= -Дс1; (10)
V1 Дс22 + V2Дс23 -КдЬо2= -Дс2-
Решением этой системы будут следующие выражения для идентифицируемых параметров:
Ks= [
2.56Дс
15
■(йлаС2 -802ДС1)+
AmOc
4~
(80 2ДО1 -№2)]/
2568с1 (8 Д3 8 Д3 ) , Am802 /S с2 S д2
15 (801ДО2 -802ДО1) +:
0,135Ag sin(3mt0) Д2 Д2 9(t„m)2 A2m
4
-(80 2Д с1 -801Д22)
(11)
Д^Дс2 -Д01)]
)2 A2m2
Параметры v1 и v2 находим через определенный выше параметр К8 с помощью выражений:
V1 = (К88с1 - Дс1)(8с1Дс23 - <8с2Дс\')/Дс\Дс2(Дс2 - Дс1);
V2 = (К88с2 - Дс2)(8с2Дс 13 - 8с1Дс23)/Дс12Дс22(Дс2 - ДОПараметр Т3 определяем делением четвертого уравнения группы (6) на третье уравнение:
Т3 = 1/[3m • tg(3e)].
(12)
(13)
Оставшиеся два параметра Тр и Т3 находим из первых двух уравнений группы (6), в которых все остальные идентифицируемые параметры уже известны. Систему двух уравнений для них можно представить в форме:
-Трз2 sin(e) - Тsm cos(e) = 51;
-Трз2 cos(e) + Тsm sin(e) = 52,
где правые части уравнений имеют вид:
(14)
51 = -[1 +v1(2.56/3)Amv2 + (3/4)A2©2] sin(e) + 0Л235,К8As sin(mt0)
t02m Am
0 135K A T
52 = -[1 + v1(2.56/ 3)Am] + v2(3/ 4)A2m2]cos(e) + ' 2 8 8 3 sin(mt0).
t^mAm
(15)
Решение системы (14) исключительно просто, и дает значения последних идентифицируемых параметров:
[
732
Вестник МГТУ, том 13, №4/1, 2010 г.
стр.730-735
Тр = -[B1sin(e) + B2cos(e)]/0; (16)
Ts = [-B1cos(e) + B2sin(e)]/o. 1 ;
Таким образом, последовательность выражений (11), (12), (13) и (16) описывает получение всех 6 параметров нашей математической модели управляемости судна.
3. Обработка данных натурного эксперимента
Для расчетов параметров идентификации по формулам, которые приведены выше, необходимо знание величин А, со и е. Их следует определить при обработке результатов натурного проведения маневра "Зигзаг". Обычно при его проведении записываются текущие значения положения руля и курса судна, при более тщательных испытаниях записываются также координаты судна, определенные с помощью спутниковой навигационной системы (СНС). Амплитуду изменений курса судна определяют так. Дождавшись, когда движение судна станет установившимся, выполняются примерно 5-7 циклов перекладки руля. Фиксируются максимальные значения курса и среди них находится среднее арифметическое Kmax. Аналогично находится Kmin. Амплитуду курса находят как АК = (Kmax-Kmin)/2. Период установившегося движения можно определить как по перекладке руля, так и по изменению курса. Лучше сделать и то, и другое, и определить средний период. Для этого фиксируются моменты прохождения кладки руля через ДП и(или) достижения судном первоначального курса (т.е. отклонения от первоначального курса проходят через ноль). Находятся разности соседних значений этих моментов времени, далее среди них определяется среднее арифметическое значение Tg по углу кладки руля или ТК по курсу - полупериоды. Определяется средний период Т = (Tg+TK)/2. Частота вычисляется как о = п/Т. Для определения сдвига по фазе между кладкой руля и курсом используются те же моменты времени, и вычисляются разности между соседними значениями времени прохождения руля через ДП тк и курса через начальное значение tk: Atk = (тк - tk). Сдвиг по фазе е находим как среднее арифметическое величин Atk, умноженное на частоту со: е = о ■ Atk. Сдвиг будет всегда отрицательным - курс запаздывает по отношению к кладке руля, и это учтено в предыдущих выкладках.
4. Численная идентификация параметров
Используем результаты предыдущих расчетов для конкретной идентификации нелинейного уравнения управляемости танкера "Саратов". Для этого используем три вида типовых маневров, произведенных в процессе сдаточных испытаний для судна в грузу и балласте: две циркуляции и зигзаг 20°/20°. По результатам двух первых испытаний для кладки руля 15° и 35° получены угловые скорости установившейся циркуляции Д по результатам маневра "Зигзаг" амплитуда курса Лк, период изменения курса Т, время перекладки руля на борт t0, сдвиг по фазе е. Приведем эти данные в табличной форме.
Таблица 1
Наименование параметра Судно в балласте Судно в грузу
Т, с 165 (166) 192 (207)
Лк , град. 28 (29) 32 (33.6)
to, с 4 5
е, с 63 (62) 80 (82)
Дь с-1 0.0147 0.0139
Д-2, с-1 0.0189 0.0174
С помощью данных табл. 1 в среде MathCad вычисляем все идентифицируемые в соответствие с последовательностью и формулами, описанными выше. На этом процесс идентификации заканчивается. Отметим, что при этом использовались только конечные формулы, не прибегая к интегральным процедурам (фактически, они заложены в коэффициентах Фурье). Приведем результаты идентификации в табл. 2.
Таблица 2
Наименование параметра Судно в балласте Судно в грузу
Тэ 4 0
Тр 291 194
Т 1 s 11 5.6
V -133 -143
V2 6815 6172
Kg 0.0285 0.011
733
Пашенцев С.В. Параметрическая идентификация маневренных характеристик...
Идентифицированные значения параметров были введены в исходное дифференциальное уравнение (точнее, в эквивалентную систему дифференциальных уравнений первого порядка):
dK/dt = Q ;
dQ /dt =E; (17)
dE/dt = -(Ts dQ /dt + Q + v1q\q\ + v2Q 3 ) = (KsS + KST3 dS/dt)/Tp.
В систему (17) добавлен курс судна К, а через Е обозначено угловое ускорение судна. Для ее решения была сконструирована специальная программа в среде VB6, которая позволяет управлять судном. А именно, изменять кладку руля при достижении определенной ситуации (здесь K=S), перекладывать руль с борта на борт. В результате решения этой системы уравнений (17) были получены периодические решения, период, амплитуда, и фаза которых приведены также в табл. 1 курсивом в скобках рядом с соответствующими исходными данными. Видно, что результаты достаточно хорошо совпадают, следовательно, найденными параметрами уравнения поворотливости можно пользоваться для прогнозирования ряда маневров, производимых примерно на той же скорости, что и испытание "Зигзаг". Идентифицированные параметры были проверены также для маневра "Циркуляция" в среде MathCad. При этом получено практически идеальное совпадение с тестовыми данными такого маневра по угловой скорости и времени установления установившейся циркуляции.
5. Возможное расширение полученного решения
Дифференциальное уравнение второго порядка (1) получено из системы двух уравнений первого порядка, одно из которых включает производную угла дрейфа, путем исключения угла дрейфа Д
dfi/dt + q2ie + г21Ю- (V® \ Ю \ +V2®3)q/q31 = -s21S; (18)
drn/dt + q31e + r31 ю = -s31 S
При этом преобразовании возникает ряд соотношений между параметрами системы (18) и уравнения (1):
q = q21^31 - q31^21, s = q31S21 - q21S31, 2p = Г31 + q^; q = 1/Tp, 2p/q = Ts, Ks = s/q, KST3 = -s^/q.
Найдя все параметры системы (18), мы сможем получить существенно больше информации о движении судна при маневрировании за счет знания угла дрейфа. Однако, если в уравнении (1) мы идентифицировали 6 параметров, то в системе (18) таких параметров 8. Следовательно, нам не хватает для замыкания задачи двух условий. Эти условия можно получить в форме стационарного состояния, описываемого вторым уравнением системы (18), записав его для двух установившихся циркуляций, подобно соотношениям (8), (9) для уравнения (1):
q31^d + r31 Юс1------s31Sc1;
q3lPс2 + r31 Юс2 = - s31Sc2.
Наиболее ценной в данный момент была бы информация об угле дрейфа на циркуляции Д, но стандартные маневры не предусматривают его измерения. Перспектива его определения - измерение вектора скорости в двух разнесенных точках судна (пока достаточно призрачная). Найдем этот угол на установившейся циркуляции путем вычисления по формуле, рекомендуемой справочником
(Войткунский, 1985):
вс = ХоЮс(1 + V2®/V)0'5,
где х0 - полюс поворота. Его значение изменяется в узких пределах от 0.3L до 0.5L, мы примем его равным 0.4L (L - длина ватерлинии). Считая этот угол известным для двух циркуляций, сможем найти параметры q31 и r31 из (20):
ЧЪ1 =
KST3 Дс1Юс 2 Дс2Юс1
Tp Рс1Юс 2 — Рс2Юс1
r = KST3 Sc2pd 31 Tp вю
se 2
Рс2Юс1
(21)
при этом s31 = -KST3/Tp на основании последнего соотношения из (19). Далее последовательность вычислений на базе соотношений (19) и уже найденных параметров такова:
q21 = Ts/Tp - r31 s21 = (KSTp + q21 ' s31)/q31r21 = (q21 ' r31 - 1/T3)/q31. (22)
В табл. 3 приведены результаты по идентификации параметров системы (18) при вычисленных значениях углов дрейфа вс1 и вс2.
734
Вестник МГТУ, том 13, №4/1, 2010 г.
стр.730-735
Таблица 3
Наименование параметра Судно в балласте Судно в грузу
V -133 -143
V2 6815 6172
q21 0.122 0.112
q31 8.9 • 10-3 9.4 • 10-3
>21 -1.56 -1.859
>31 -0.085 -0.088
s21 -6.6 • 10-3 3.7 • 10-3
s31 -3.9 • 10-4 -2.5 • 10-4
На 0.152 0.137
вс2 0.208 0.179
Система (18) проинтегрирована для найденных значений параметров в среде MathCad при кладке руля, плавно возрастающей от нуля до максимального значения 35°. На рис. 2-3 приведены графики изменения угла дрейфа и угловой скорости поворота судна в грузу и балласте. Они вполне соответствуют их реальным изменениям при таком виде маневра, а установившиеся значения этих кинематических характеристик практически равны заложенным в процедуру идентификации их стационарным значениям.
Рис. 2. Изменение кладки руля 8, угла дрейфа в и угловой скорости поворота Ц для танкера "Саратов" в балласте
Рис. 3. Изменение кладки руля 8, угла дрейфа в и угловой скорости поворота Ц для танкера "Саратов" при полной загрузке
6. Заключение
Предложенная в статье совокупность конечных формул (11-13), (16) и (21), (22) позволяет обрабатывать данные по маневрам вида "зигзаг" и получать результаты, близкие к реальным. Использование методики требует тщательного проведения самого маневра и последующих измерений амплитуды, периода и фазы для получения надежных результатов. Возможна модификация методики, которая сводится к дополнительному учету пятых гармоник в разложениях функций ЦЦ (4) и 8 (2). Это позволит привлекать только одно испытание установившейся циркуляции вместо двух, что сокращает необходимое количество исходных данных и дает меньшую зависимость результата от них.
Литература
Асиновский В.А., Гофман А.Д. Об оценке управляемости судов. Научно-техн. общество судостр.
пром-сти им акад. А.Н. Крылова, Л., Судостроение, вып. 90, с.47-59, 1967.
Войткунский Я.И. Справочник по теории корабля. Л., Судостроение, 544 c., 1985.
Гофман А.Д. Движительно-рулевой комплекс и маневрирование судна. Справочник. Л., Судостроение, 340 c., 1988.
735
