CC BY
11УДК 519.688
ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА, УЧИТЫВАЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ*
И. В. Смолехо
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: ismol@icm.krasn.ru
Разработанный ранее вычислительный алгоритм, позволяющий учитывать влияние электрического поля на поведение жидких кристаллов, реализован в виде параллельной программы с применением технологии CUDA. Проведены тестовые расчеты.
Ключевые слова: жидкий кристалл, динамика, электрическое поле, уравнение Лапласа, метод прямых, преобразование Фурье, технология CUDA.
PARALLEL IMPLEMENTATION OF THE ALGORITHM CONSIDERING THE INFLUENCE OF ELECTRIC FIELD ON LIQUID CRYSTALS
I. V. Smolekho
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: ismol@icm.krasn.ru
The previously developed numerical algorithm, allowing to take into account the influence of electric field on the behavior of liquid crystals, is implemented as a parallel program using the CUDA technology. The test computations were performed.
Keywords: liquid crystal, dynamics, electric field, Laplace equation, method of straight lines, Fourier transform, CUDA technology.
Жидкий кристалл - это фазовое состояние вещества между твердым кристаллом и изотропной жидкостью, в котором при определенном диапазоне температур проявляются одновременно свойства упругости и текучести. Благодаря зависимости от внешних воздействий различной физической природы (механических, тепловых, электрических, магнитных, оптических) жидкие кристаллы нашли широкую область применения. В аэрокосмической технике они используются в дисплеях приборов в качестве средства отображения информации.
Разработана математическая модель нематическо-го жидкого кристалла как акустической микронеоднородной среды с вращающимися частицами [1-4]. В модели учитываются термомеханические и электрические свойства кристаллов. В данной работе представлена численная реализация алгоритма, описывающего поведение жидкого кристалла под действием электрического поля.
Рассматривается слой жидкого кристалла под действием электрического поля, создаваемого зарядами на пластинах-обкладках конденсатора. Во внешней части слоя потенциал ф электрического поля Е = -Уф удовлетворяет уравнению Лапласа Д ф = 0. Внутри слоя выполняется уравнение, учитывающее анизотро-
пию среды: V • (е • Уф) = 0, где е - тензор диэлектрической проницаемости жидкого кристалла, зависящий от ориентации молекул. Решение уравнения Лапласа строится по методу прямых, а решение анизотропного уравнения - с применением итерационного метода.
Алгоритм реализован в виде параллельной программы, написанной на языке Си с применением технологии СИБА (см., например, [5]) для вычислительных систем с графическими ускорителями, ориентированных на выполнение программ с большим количеством вычислений благодаря параллельно работающим ядрам.
Расчетная область разбивается на квадратные блоки, содержащие одинаковое число нитей. Команды dim3 Ыоскв^п/Ьв', п2/Ьв, 1) и dim3 threads(bs, Ьв\ 1) определяют количество блоков и нитей (п1 и п2 - размерности конечно-разностной сетки, Ьв' - размер блока). Благодаря идентификаторам, имеющимся в СИБА, каждой ячейке сетки ставится в соответствие нить графического устройства. На каждом шаге по времени в параллельном режиме нити выполняют однотипные операции по расчету решения.
Этапы алгоритма выполняются последовательно, распараллеливание вычислений производится внутри каждого из этапов.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 18-31-00100.
Решетневские чтения. 2018
Линии уровня потенциала электрического поля при разных углах поворота молекул жидкого кристалла: (а) 0 = п/4, (б) 0 = п/2
В программе содержится 10 ядер, реализующих метод прямых с применением трехточечной прогонки, прямое и обратное преобразования Фурье, метод решения СЛАУ с помощью LU-разложения, а также итерационный метод решения уравнения для потенциала с помощью рекуррентного соотношения. Программа содержит процедуры, которые вызывают ядра в нужной последовательности. В начале работы программы подключаются все необходимые библиотеки и задаются константы, такие как размерность сетки, координаты концов верхней и нижней пластин конденсатора, угол поворота молекул жидкого кристалла и диэлектрические проницаемости. Все эти действия выполняются на CPU. Далее описываются одномерные массивы для искомых и вспомогательных величин (6 на CPU и 25 на GPU), выделяется под них память с помощью функций malloc (для CPU) и cu-daMalloc (для GPU). Затем задаются начальные данные в узлах разностной сетки для неизвестных величин. Необходимые данные и константы копируются в память графического устройства с помощью функций cudaMemcpy (для массивов) и cudaMemcpyToSymbol (для констант). На графическом устройстве производятся все вычисления, затем результаты копируются обратно на CPU, где формируются файлы с данными. Полученные файлы могут быть представлены графически с помощью программ персонального компьютера. В завершении работы программы память массивов освобождается с использованием функций free (для CPU) и cudaFree (для GPU).
Для параллельной реализации прямого и обратного преобразований Фурье применяется библиотека cuFFT (Cuda Fast Fourier Transform). С помощью функций библиотеки cuSolver осуществляется метод Z^-разложения для решения СЛАУ. Метод прогонки реализуется следующим образом: расчетная область в направлении x1 разбивается между нитями графического устройства, в параллельном режиме каждая нить выполняет последовательную трехточечную прогонку в направлении x2.
На рисунке приведены результаты расчетов, выполненных для жидкого кристалла 5ЦБ размером
200 мкм х 40 мкм при разных углах поворота молекул. Пластины конденсатора расположены несимметрично. Длина верхней пластины 20 мкм, координата ее левого конца 150 мкм, длина нижней пластины 60 мкм, координата ее левого конца 50 мкм.
Диэлектрические проницаемости в направлении ориентации молекул и в поперечном направлении отличаются в 5 раз: е^ = е" /5. Горизонтальными линиями показаны границы жидкокристаллического слоя. Размер конечно-разностной сетки внутри слоя 2048^1024 ячеек, вне слоя - по 2048*512 ячеек сверху и снизу.
Библиографические ссылки
1. Sadovskaya O. V. Numerical simulation of the dynamics of a liquid crystal in the case of plane strain using GPUs // AIP Conf. Proc. 2014. Vol. 1629. P. 303-310.
2. Смолехо И. В., Садовская О. В. Применение технологии CUDA при численном моделировании поведения жидких кристаллов // Девятая Сибирская конф. по параллельным и высокопроизводительным вычислениям : сб. ст. / под ред. А. В. Старченко. Томск : Изд. дом Томск. гос. ун-та, 2017. С. 13-20.
3. Smolekho I., Sadovskaya O., Sadovskii V. Numerical analysis of acoustic waves in a liquid crystal taking into account couple-stress interaction // CEUR Workshop Proc.: Mathematical and Information Technologies (MIT-2016). 2017. Vol. 1839. P. 473-486.
4. Sadovskii V., Sadovskaya O. Acoustic Approximation of the Governing Equations of Liquid Crystals under Weak Thermomechanical and Electrostatic Perturbations. In: Advances in Mechanics of Microstructured Media and Structures / Ed. by F. dell'Isola, V. A. Eremeyev, A. Porubov. Vol. 87 of Advanced Structured Materials. Cham: Springer, 2018. P. 297-341.
5. Farber R. CUDA Application Design and Development. Amsterdam - Boston - Heidelberg - London -New York - Oxford - Paris - San Diego - San Francisco - Singapore - Sydney - Tokyo: Morgan Kaufmann / Elsevier, 2011. 315 p.
References
1. Sadovskaya O. V. Numerical simulation of the dynamics of a liquid crystal in the case of plane strain using GPUs. AIP Conf. Proc. 2014. Vol. 1629. P. 303-310.
2. Smolekho I. V., Sadovskaya O. V. [Application of CUDA technology for numerical modeling of the behavior of liquid crystals]. Sbornik statej Devjatoj Sibirskoj konf. po parallel. i vysokoproizv. vychisl. / Ed. by A. V. Starchenko. Tomsk, TSU Publ., 2017. P. 13-20. (In Russ.)
3. Smolekho I., Sadovskaya O., Sadovskii V. Numerical analysis of acoustic waves in a liquid crystal taking into account couple-stress interaction. CEUR Workshop
Proc.: Mathematical and Information Technologies (MIT-2016). 2017. Vol. 1839. P. 473-486.
4. Sadovskii V., Sadovskaya O. Acoustic Approximation of the Governing Equations of Liquid Crystals under Weak Thermomechanical and Electrostatic Perturbations. In: Advances in Mechanics of Microstructured Media and Structures / Ed. by F. dell'Isola, V. A. Eremeyev, A. Porubov. Vol. 87 of Advanced Structured Materials. Cham, Springer, 2018. P. 297-341.
5. Farber R. CUDA Application Design and Development. Amsterdam - Boston - Heidelberg - London - New York - Oxford - Paris - San Diego - San Francisco -Singapore - Sydney - Tokyo, Morgan Kaufmann / Elsevier, 2011. 315 p.
© CMOJiexo H. B., 2018
